Funkcije, razlažući ih na komponente. Naizmjenične struje i naponi, pomaci, brzina i ubrzanje koljenastih mehanizama i akustični valovi su tipične praktične primjene. periodične funkcije u inženjerskim proračunima.

Proširenje Fourierovog reda zasniva se na pretpostavci da svi imaju praktični značaj funkcije u intervalu -π ≤x≤ π mogu se izraziti u obliku konvergentnih trigonometrijskih nizova (serija se smatra konvergentnom ako se niz parcijalnih suma sastavljen od njegovih članova konvergira):

Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

gdje su a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. realne konstante, tj.

Gdje se, za raspon od -π do π, koeficijenti Fourierovog reda izračunavaju pomoću formula:

Koeficijenti a o , a n i b n se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu pronaći, tada se poziva serija (1). pored Furijea, koja odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,

Drugi način za pisanje niza je korištenje relacije acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Gdje je a o konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 su amplitude različitih komponenti i jednako je a n =arctg a n /b n.

Za niz (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) ili c 1 sin(x+α 1) naziva se prvim ili osnovni harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ili c 2 sin(2x+α 2) se naziva drugi harmonik i tako dalje.

Za precizno predstavljanje složenog signala obično je potreban beskonačan broj pojmova. Međutim, u mnogim praktičnim problemima dovoljno je razmotriti samo prvih nekoliko pojmova.

Fourierovi nizovi neperiodičnih funkcija s periodom 2π.

Proširivanje neperiodičnih funkcija u Fourierove redove.

Ako je funkcija f(x) neperiodična, to znači da se ne može proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je definirati Fourierov red koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2π.

S obzirom na neperiodičnu funkciju, nova funkcija se može konstruirati odabirom vrijednosti f(x) unutar određenog raspona i ponavljanjem izvan tog raspona u intervalima od 2π. Budući da je nova funkcija periodična s periodom 2π, može se proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Na primjer, funkcija f(x)=x nije periodična. Međutim, ako ga je potrebno proširiti u Fourierov niz u intervalu od o do 2π, onda se izvan ovog intervala konstruira periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije kao što je f(x)=x, zbir Fourierovog reda jednak je vrijednosti f(x) u svim tačkama u datom rasponu, ali nije jednak f(x) za tačke izvan dometa. Da bi se pronašao Fourierov red neperiodične funkcije u rasponu 2π, koristi se ista formula Fourierovih koeficijenata.

Parne i neparne funkcije.

Kažu da je funkcija y=f(x) čak, ako je f(-x)=f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na y-os (odnosno, oni su zrcalne slike). Dva primjera parnih funkcija: y=x2 i y=cosx.

Kažu da je funkcija y=f(x) čudno, ako je f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

Proširivanje Fourierovog reda u kosinusima.

Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2π sadrži samo kosinusne članove (tj. nema sinusne članove) i može uključivati ​​konstantan član. dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov red neparne periodične funkcije f(x) sa periodom 2π sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).

dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov niz u poluciklusu.

Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fouriera u poluciklusu.

Ako želite da dobijete razlaganje Poluciklusni Fourier po kosinusima funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je parna funkcija simetrična u odnosu na f(x) os, povlačimo liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući trokutasti oblik periodičan sa periodom od 2π, onda konačni graf izgleda ovako: na sl. ispod. Pošto moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n

Ako želite da dobijete funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada morate konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2π, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b

Fourierov red za proizvoljan interval.

Proširenje periodične funkcije s periodom L.

Periodična funkcija f(x) se ponavlja kako se x povećava za L, tj. f(x+L)=f(x). Prijelaz sa prethodno razmatranih funkcija s periodom od 2π na funkcije s periodom od L je prilično jednostavan, jer se može izvršiti promjenom varijable.

Da bismo pronašli Fourierov red funkcije f(x) u opsegu -L/2≤x≤L/2, uvodimo novu varijablu u tako da funkcija f(x) ima period od 2π u odnosu na u. Ako je u=2πx/L, tada je x=-L/2 za u=-π i x=L/2 za u=π. Također neka je f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov red F(u) ima oblik

Gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Međutim, češće gornja formula rezultira ovisnošću o x. Pošto je u=2πx/L, to znači du=(2π/L)dx, a granice integracije su od -L/2 do L/2 umjesto - π do π. Prema tome, Fourierov red za ovisnost o x ima oblik

gdje su u rasponu od -L/2 do L/2 koeficijenti Fourierovog reda,

(Granice integracije mogu se zamijeniti bilo kojim intervalom dužine L, na primjer, od 0 do L)

Fourierov red na poluperiodu za funkcije specificirane u intervalu L≠2π.

Za supstituciju u=πh/L, interval od x=0 do x=L odgovara intervalu od u=0 do u=π. Posljedično, funkcija se može proširiti u niz samo u kosinusima ili samo u sinusima, tj. V Fourierov niz u poluciklusu.

Kosinusna ekspanzija u rasponu od 0 do L ima oblik

Fourierov red proširenja parnih i neparnih funkcija proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemima funkcija Fourierov red u ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Beselova nejednakost Jednakost Parseval Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red Funkcija f(x), definirana na intervalu \-1, gdje je I > 0, naziva se parnom ako je graf parne funkcije simetričan u odnosu na ordinatnu os. Funkcija f(x), definirana na segmentu J), gdje je I > 0, naziva se neparnom ako je graf neparne funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Primjer. a) Funkcija je parna na intervalu |-jt, jt), budući da je za sve x e b) Funkcija je neparna, budući da je proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusi Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Furijeovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema c) Funkcija f (x)=x2-x, pri čemu ne pripada ni parnim ni neparnim funkcijama, budući da je funkcija f(x), koja zadovoljava uslove teoreme 1, parna na intervalu x|. Onda za sve tj. /(x) cos nx je parna funkcija, a f(x) sinnx je neparna. Stoga će Furijeovi koeficijenti parne funkcije f(x) biti jednaki, pa Fourierov red parne funkcije ima oblik f(x) sin h - parna funkcija. Dakle, imat ćemo Dakle, Fourierov red neparne funkcije ima oblik Primjer 1. Proširite funkciju 4 u Fourierov red na intervalu -x ^ x ^ n Pošto je ova funkcija parna i zadovoljava uvjete teoreme 1, onda njegov Fourierov red ima oblik Nađi Fourierove koeficijente. Imamo Primjenjujući integraciju po dijelovima dva puta, dobijamo da Dakle, Fourierov red ove funkcije izgleda ovako: ili, u proširenom obliku, Ova jednakost vrijedi za bilo koje x €, budući da je u tačkama x = ±ir zbir serija se poklapa sa vrijednostima funkcije f(x) = x2, budući da su grafovi funkcije f(x) = x i zbroj rezultirajućeg niza dati na Sl. Komentar. Ovaj Fourierov red nam omogućava da pronađemo zbir jednog od konvergentnih numeričkih redova, naime, za x = 0 dobijamo da je Primjer 2. Proširiti funkciju /(x) = x u Fourierov red na intervalu. Funkcija /(x) zadovoljava uslove teoreme 1, pa se može proširiti u Fourierov red, koji će zbog neparnosti ove funkcije imati oblik Integrirajući po dijelovima, nalazimo Fourierove koeficijente. Fourierov red ove funkcije ima oblik Ova jednakost vrijedi za sve x B u tačkama x - ±t, suma Fourierovog reda se ne poklapa sa vrijednostima funkcije /(x) = x, jer je jednaka Izvan intervala [-*, i-] zbir niza je periodični nastavak funkcije /(x) = x; njegov grafikon je prikazan na sl. 6. § 6. Proširivanje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Neka je na intervalu data ograničena po komadima monotona funkcija /. Vrijednosti ove funkcije na intervalu 0| može se dalje definisati na različite načine. Na primjer, možete definirati funkciju / na segmentu tc] tako da /. U ovom slučaju kažu da je) „prošireno na segment 0] na paran način“; njegov Fourierov niz će sadržavati samo kosinuse. Ako je funkcija /(x) definirana na intervalu [-l-, mc] tako da je /(, tada je rezultat neparna funkcija, a onda kažu da je / „prošireno na interval [-*, 0] na neparan način”; u ovom slučaju, Fourierov red će sadržavati samo sinuse. Dakle, svaka ograničena po komadima monotona funkcija /(x) definirana na intervalu može se proširiti u Fourierov niz i po sinusima i po kosinusima. Primjer 1 Proširite funkciju u Fourierov red: a) kosinusima; b) po sinusima. M Ova funkcija, sa svojim parnim i neparnim nastavcima u segment |-x,0) bit će ograničena i po komadima monotona. a) Proširimo /(z) u segment 0) a) Proširimo j\x) u segment (-tr,0| na paran način (slika 7), tada će njegov Fourierov red i imati oblik P= 1 gdje su Fourierovi koeficijenti jednaki, odnosno za Dakle, b) Proširimo /(z) u segment [-x,0] na neparan način (slika 8). Zatim njegov Fourierov red §7. Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Neka funkcija fix) bude periodična s periodom od 21,1 ^ 0. Da bismo je proširili u Fourierov red na intervalu gdje je I > 0, vršimo promjenu varijable postavljanjem x = jt . Tada će funkcija F(t) = / ^tj biti periodična funkcija argumenta t sa periodom i može se proširiti na segment u Fourierov niz. Vraćajući se na varijablu x, tj. postavku, dobijamo sve teoreme važeće za Fourierove redove periodičnih funkcija s periodom 2π , ostaju važeći za periodične funkcije sa proizvoljnim periodom 21. Konkretno, dovoljan kriterij za razgradljivost funkcije u Fourierovom redu također ostaje važeći. Primer 1. Proširiti u Fourierov red periodičnu funkciju sa periodom 21, datu na intervalu [-/,/] formulom (slika 9). Budući da je ova funkcija parna, njen Fourierov red ima oblik Zamjenom pronađenih vrijednosti Fourierovih koeficijenata u Fourierov red, dobijamo Napominjemo jednu stvar važna imovina periodične funkcije. Teorema 5. Ako funkcija ima period T i integrabilna je, tada za bilo koji broj a vrijedi jednakost m. odnosno integral segmenta čija je dužina jednaka periodu T ima istu vrijednost bez obzira na položaj ovog segmenta na brojevnoj osi. U stvari, vršimo promjenu varijable u drugom integralu, pod pretpostavkom. Ovo daje i stoga, geometrijski, ovo svojstvo znači da u slučaju područja zasjenjenog na Sl. 10 oblasti su međusobno jednake. Konkretno, za funkciju f(x) s periodom dobijamo proširenje u Fourierov niz parnih i neparnih funkcija, proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim period Kompleksna notacija Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemskim funkcijama Fourierov red u ortogonalnom sistemu Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema Primjer 2. Funkcija x je periodična s periodom Zbog neparnosti ove funkcije, bez izračunavanja integrala, možemo reći da za bilo koje Dokazano svojstvo, posebno, pokazuje da se Furijeovi koeficijenti periodične funkcije f(x) s periodom od 21 mogu izračunati korištenjem formula gdje je a proizvoljan realni broj (imajte na umu da cos funkcije- i grijeh imaju period od 2/). Primjer 3. Proširiti u Fourierov red funkciju datu na intervalu s periodom 2x (slika 11). 4 Nađimo Fourierove koeficijente ove funkcije. Stavljajući formule nalazimo da će za Prema tome, Fourierov red izgledati ovako: U tački x = jt (tačka diskontinuiteta prve vrste) imamo §8. Kompleksni prikaz Fourierovog reda Ovaj dio koristi neke elemente sveobuhvatna analiza(vidi Poglavlje XXX, gdje su sve radnje koje se ovdje izvode sa složenim izrazima strogo opravdane). Neka funkcija f(x) zadovoljava dovoljne uslove proširivost u Fourierovom nizu. Tada se na segmentu x] može predstaviti nizom oblika. Koristeći Ojlerove formule. Zamjenom ovih izraza u niz (1) umjesto cos πx i sin φx imaćemo sljedeću notaciju. Tada će niz (2) uzeti oblik Dakle, Fourierov red (1) je predstavljen u kompleksnom obliku (3). Nađimo izraze za koeficijente kroz integrale. Imamo Slično, nalazimo Konačne formule za s„, s_p i s mogu se napisati na sljedeći način: . . Koeficijenti s„ se nazivaju kompleksni Fourierovi koeficijenti funkcije. Za periodičnu funkciju s periodom), kompleksni oblik Fourierovog reda će poprimiti oblik u kojem se koeficijenti Cn izračunavaju pomoću formula. Konvergencija redova (3 ) i (4) podrazumijeva se na sljedeći način: nizovi (3) i (4) se nazivaju konvergentnim za date vrijednosti ako postoje granice Primjer. Proširiti funkciju perioda u složeni Fourierov red.Ova funkcija zadovoljava dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Nađimo kompleksne Fourierove koeficijente ove funkcije. Imamo za nepar za par n, ili, ukratko. Zamjenom vrijednosti) konačno dobijamo Napomena da se ovaj niz može napisati i na sljedeći način: Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija 9.1. Ortogonalni sistemi funkcija Označimo skupom svih (realnih) funkcija definiranih i integrabilnih na intervalu [a, 6] s kvadratom, tj. onih za koje postoji integral. Konkretno, sve funkcije f(x) kontinuirane na intervalu [a , 6], pripadaju 6], a vrijednosti njihovih Lebesgueovih integrala poklapaju se sa vrijednostima Riemannovih integrala. Definicija. Sistem funkcija, gdje, se naziva ortogonalnim na intervalu [a, b\, ako uvjet (1) posebno pretpostavlja da nijedna funkcija nije identična nuli. Integral se shvata u Lebesgueovom smislu. i veličinu nazivamo normom funkcije.Ako u ortogonalnom sistemu za bilo koje n imamo, onda se sistem funkcija naziva ortonormalnim. Ako je sistem (y>„(x)) ortogonan, onda je sistem Primer 1. Trigonometrijski sistem je ortogonan na segmentu. Sistem funkcija je ortonormirani sistem funkcija na primjeru 2. Kosinusni sistem i sinusni sistem su ortonormirani. Uvedemo oznaku da su ortogonalni na intervalu (0, f|, ali ne ortonormalni (za I F- 2). Pošto su njihove norme COS Primjer 3. Polinomi definirani jednakošću se nazivaju Legendre polinomi (polinomi). Jer n = 0 imamo Može se dokazati da funkcije formiraju ortonormalni sistem funkcija na intervalu. Pokažimo, na primjer, ortogonalnost Legendrovih polinoma. Neka je m > n. U ovom slučaju, integrirajući n puta po dijelova, nalazimo jer za funkciju t/m = (z2 - I)m svi derivati ​​do reda m - I uključujući nestaju na krajevima segmenta [-1,1). Definicija. Sistem funkcija (pn(x)) naziva se ortogonalnim na intervalu (a, b) preko prevjesa p(x) ako: 1) za sve n = 1,2,... postoje integrali. Ovdje je pretpostavio da je težinska funkcija p(x) definisana i pozitivna svuda na intervalu (a, b) sa mogućim izuzetkom konačnog broja tačaka u kojima p(x) može nestati. Nakon što smo izvršili diferencijaciju u formuli (3), nalazimo. Može se pokazati da su Chebyshev-Hermite polinomi ortogonalni na intervalu Primjer 4. Sistem Beselovih funkcija (jL(pix)^ je ortogonan na intervalu nula Beselove funkcije Primjer 5. Razmotrimo Chebyshev-Hermite polinome, koji može se definisati pomoću jednakosti. Množenjem obe strane poslednje jednakosti sa - fiksno) i integrisanjem preko x od a do 6, u Zbog ortogonalnosti sistema dobijamo da ova operacija ima, uopšteno govoreći, čisto formalni karakter. Međutim, u nekim slučajevima, na primjer, kada se niz (4) ravnomjerno konvergira, sve funkcije su kontinuirane i interval (a, 6) je konačan, ova operacija je legalna. Ali za nas je sada važno formalno tumačenje. Dakle, neka je data funkcija. Formiramo brojeve c* prema formuli (5) i zapišemo. Niz na desnoj strani naziva se Fourierov red funkcije f(x) u odnosu na sistem (^n(i)). Brojevi Cn nazivaju se Fourierovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu na ovaj sistem. Znak ~ u formuli (6) samo znači da su brojevi Cn povezani sa funkcijom f(x) formulom (5) (ne pretpostavlja se da red s desne strane uopće konvergira, a još manje konvergira funkciji f (x)). Stoga se prirodno postavlja pitanje: koja su svojstva ove serije? U kom smislu ona „predstavlja“ funkciju f(x)? 9.3. Konvergencija u prosjeku Definicija. Niz konvergira elementu ] u prosjeku ako je norma u prostoru Teorema 6. Ako niz ) konvergira ravnomjerno, tada konvergira u prosjeku. M Neka niz ()) ravnomjerno konvergira na intervalu [a, b] funkciji /(x). To znači da za svakoga, za sve dovoljno veliko n, imamo Dakle, iz čega slijedi naša izjava. Obrnuto nije tačno: niz () može u prosjeku konvergirati na /(x), ali ne može biti ravnomjerno konvergentan. Primjer. Razmotrimo niz nx. Lako je vidjeti da Ali ova konvergencija nije uniformna: postoji e, na primjer, takvo da, bez obzira koliko je n, na intervalu kosinusa Fourierovog niza za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksna reprezentacija Fourierovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema i neka Označimo sa c* Fourierove koeficijente funkcije /(x ) ortonormalnim sistemom b Razmotrimo linearnu kombinaciju gdje je n ^ 1 fiksni cijeli broj i pronađi vrijednosti konstanti za koje integral uzima minimalna vrijednost. Napišimo to detaljnije. Integrirajući član po član, zbog ortonormalnosti sistema, dobijamo. Prva dva člana na desnoj strani jednakosti (7) su nezavisna, a treći član je nenegativan. Dakle, integral (*) uzima minimalnu vrijednost pri ak = sk. Integral se naziva aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije /(x) linearnom kombinacijom Tn(x). Dakle, aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije /\ uzima minimalnu vrijednost kada. kada je Tn(x) 71. parcijalni zbir Fourierovog reda funkcije /(x) nad sistemom (. Postavljanjem ak = sk, iz (7) dobijamo Jednakost (9) naziva se Beselov identitet. strana je nenegativna, onda iz nje slijedi Besselova nejednakost. Pošto sam ovdje proizvoljno, Besselova nejednakost se može predstaviti u pojačanom obliku, tj. za bilo koju funkciju / niz kvadrata Fourierovih koeficijenata ove funkcije u ortonormalnom sistemu ) konvergira . Pošto je sistem ortonormalan na intervalu [-x, m], onda nejednakost (10) prevedena u uobičajenu notaciju trigonometrijskog Fourierovog reda daje relaciju do koja vrijedi za bilo koju funkciju /(x) s integrabilnim kvadratom. Ako je f2(x) integrabilno, onda, zbog neophodnog uslova za konvergenciju niza na lijevoj strani nejednakosti (11), to dobijamo. Parsevalova jednakost Za neke sisteme (^„(x)), predznak nejednakosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije f(x) 6 ×) znakom jednakosti. Rezultirajuća jednakost naziva se Parseval-Steklovska jednakost (uslov potpunosti). Beselov identitet (9) nam omogućava da zapišemo uslov (12) u ekvivalentnom obliku. Dakle, ispunjenje uslova potpunosti znači da parcijalni sumi Sn(x) Fourierovog reda funkcije /(x) konvergiraju funkciji /(x) u prosjeku, tj. prema normi prostora 6]. Definicija. Ortonormalni sistem ( naziva se potpun u b2[au b] ako se svaka funkcija može u prosjeku aproksimirati sa bilo kojom tačnošću linearnom kombinacijom oblika c dovoljno veliki brojčlanove, tj. ako za svaku funkciju f(x) € b2[a, b\ i za bilo koje e > 0 postoji prirodni broj nq i brojevima a\, a2y..., tako da Ne Iz gornjeg rezonovanja slijedi Teorema 7. Ako je ortonormalizacijom sistem ) potpun u prostoru, Fourierov red bilo koje funkcije / nad ovim sistemom konvergira na f(x) na po normi Može se pokazati da je trigonometrijski sistem potpun u prostoru.To implicira tvrdnju. Teorema 8. Ako joj funkcija /o njen trigonometrijski Fourierov red konvergira u prosjeku. 9.5. Zatvoreni sistemi. Kompletnost i zatvorenost sistema Definicija. Ortonormalni sistem funkcija \ naziva se zatvorenim ako u prostoru Li\a, b) ne postoji funkcija različita od nule koja je ortogonalna na sve funkcije.U prostoru L2\a, b\ pojmovi kompletnosti i zatvorenosti ortonormalnih sistema se poklapaju. Vježbe 1. Proširite funkciju 2 u Fourierov niz u intervalu (-i-, x) 2. Proširite funkciju u Fourierov niz u intervalu (-tr, tr) 3. Proširite funkciju 4 u Fourierov niz u interval (-tr, tr) u Fourierov red u funkciji intervala (-jt, tr) 5. Proširite funkciju f(x) = x + x u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 6. Proširiti funkciju n u Fourierov red u intervalu (-jt, tr) 7. Proširiti funkciju /(x) = sin2 x u Fourierov red u intervalu (-tr, x). 8. Proširiti funkciju f(x) = y u Fourierov red u intervalu (-tr, jt) 9. Proširiti funkciju f(x) = | sin x|. 10. Proširiti funkciju f(x) = § u Fourierov red u intervalu (-π-, π). 11. Proširiti funkciju f(x) = sin § u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 12. Proširiti funkciju f(x) = n -2x, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red, proširujući je na interval (-x, 0): a) na paran način; b) na čudan način. 13. Proširiti funkciju /(x) = x2, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red u sinusima. 14. Proširiti funkciju /(x) = 3, datu u intervalu (-2,2), u Fourierov red. 15. Proširite funkciju f(x) = |x|, datu u intervalu (-1,1), u Fourierov red. 16. Proširite funkciju f(x) = 2x, specificiranu u intervalu (0,1), u Fourierov red u sinusima.

Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2p sadrži samo članove sa kosinusima (tj. ne sadrži članove sa sinusima) i može uključivati ​​konstantan član. dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Proširenje Fourierovog reda u sinusima

Fourierov red neparne periodične funkcije f (x) sa periodom 2p sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).

dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov niz u poluciklusu

Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do p, a ne samo od 0 do 2p, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fourier on poluciklus

Ako želite da dobijete razlaganje Fourier on poluciklus By kosinus funkcije f (x) u rasponu od 0 do p, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f (x) = x, izgrađena na intervalu od x = 0 do x = p. Pošto je parna funkcija simetrična u odnosu na f (x) os, povlačimo liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući trokutasti oblik periodičan sa periodom od 2p, konačni graf izgleda ovako: na sl. ispod. Pošto moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n

Ako treba da dobijete raspadanje Fourier on poluciklus By sinusi funkcije f (x) u rasponu od 0 do p, tada je potrebno konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f (x) =x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=p. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl.

Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2p, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b

Koje su već prilično dosadne. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuku nova konzervirana roba. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije mogu biti
"ponovno ujedinjenje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

On ovu lekciju Upoznat ćemo se s trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i sume i, naravno, analizirat ćemo brojne primjere proširenja funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak „Furierov niz za lutke“, ali to bi bilo neiskreno, jer bi rješavanje problema zahtijevalo poznavanje drugih grana matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)

Prvo, treba pristupiti proučavanju materijala stranica u odličnoj formi. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj nozi hrčka i opsesivnih misli o teškoćama života akvarijskih riba. Fourierov niz nije teško razumjeti, ali praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - u idealnom slučaju, trebali biste potpuno napustiti spoljni podražaji. Situaciju otežava činjenica da ne postoji lak način da se proveri rešenje i odgovori. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.

Drugo, prije letenja u svemir morate proučiti instrument tablu svemirski brod. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . Zaista, sinusoida "prošiva" x-osu kroz svaki "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .

2) . Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi" je ekvivalent "blinkaru":

Negativan argument ne mijenja stvar: .

Možda je to dovoljno.

I treće, dragi kosmonautski korpusi, morate biti u stanju da... integrisati.
Posebno samouvjereno podvesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrisati po komadu i budi u miru Newton-Leibnizova formula. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Kategorično ne preporučujem da ga preskočite, kako se kasnije ne biste zgnječili u bestežinskom stanju:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje preuzima prirodne vrijednosti.

Rješenje: integracija se vrši preko varijable “x” i u ovoj fazi se diskretna varijabla “en” smatra konstantom. U svim integralima stavi funkciju pod diferencijalni predznak:

Kratka verzija rješenja na koju bi bilo dobro ciljati izgleda ovako:

Hajde da se naviknemo:

Četiri preostale tačke su za vas. Pokušajte savjesno pristupiti zadatku i napišite integrale na kratak način. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon izvođenja vježbi KVALITETNO obukli smo skafandere
i spremam se za početak!

Proširivanje funkcije u Fourierov niz na intervalu

Razmislite o nekoj funkciji odlučan barem na određeno vrijeme (a moguće i na duži period). Ako je ova funkcija integrabilna na intervalu, onda se može proširiti u trigonometrijsku Fourierova serija:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju se poziva broj period raspadanja, a broj je poluživot raspadanja.

Očigledno je da se u opštem slučaju Fourierov red sastoji od sinusa i kosinusa:

Zaista, hajde da to zapišemo detaljno:

Nulti član serije obično se piše u obliku .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Savršeno dobro razumijem da onima koji počinju proučavati ovu temu još uvijek nisu jasni novi pojmovi: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti itd. Bez panike, ovo se ne može porediti sa uzbuđenjem prije izlaska otvoreni prostor. Razumijemo sve u sljedećem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:

Šta treba da uradite u sledećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov niz. Uz to, često je potrebno prikazati graf funkcije, graf zbira niza, djelomični zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastavi i izračunaj tri definitivni integral.

Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago što neki posetioci sajta ostvaruju svoj detinji san da postanu astronaut pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu. Konstruirajte graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.

Rješenje: Prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.

Početak je standardan, obavezno zapišite:

U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod.

Proširimo funkciju u Fourierov niz na intervalu:

Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada treba da sastavimo i izračunamo tri definitivni integral. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je najjednostavniji, međutim, za njega su potrebne i očne jabučice:

2) Koristite drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzima deo po deo:

Koristi se kada se nađe metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, pošto postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo je izgubiti! Zagrade se mogu proširiti u bilo kojem daljnjem koraku; to sam učinio kao krajnje sredstvo. U prvom "komadu" Pokazujemo izuzetnu pažnju u zamjeni; kao što vidite, konstanta se ne koristi, a granice integracije su zamijenjene u proizvod. Ova radnja je istaknuta u uglastim zagradama. Pa, upoznati ste sa integralom drugog “komada” formule iz zadatka za obuku ;-)

I što je najvažnije - ekstremna koncentracija!

3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:

Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je takođe integriše po komadu:

Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak:

(1) Izraz je u potpunosti stavljen u velike zagrade. Nisam želeo da delujem dosadno, prečesto gube konstantu.

(2) U ovom slučaju, odmah sam otvorio ove velike zagrade. Posebna pažnja Posvećujemo se prvom “komadu”: stalno puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije (i) u proizvod. Zbog nereda zapisa, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala;-)

(3) U uglastim zagradama vršimo transformacije, au desnom integralu - zamjenu granica integracije.

(4) Uklonimo „trepćuće svjetlo“ iz uglastih zagrada: , a zatim otvorimo unutrašnje zagrade: .

(5) Poništavamo 1 i –1 u zagradama i činimo konačna pojednostavljenja.

Konačno, sva tri Furijeova koeficijenta su pronađena:

Zamijenimo ih u formulu :

U isto vrijeme, ne zaboravite podijeliti na pola. U zadnjem koraku, konstanta (“minus dva”), koja ne zavisi od “en”, uzima se izvan zbira.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prste", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik na matematička analiza (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je teže).

Drugi dio zadatka zahtijeva crtanje grafa, grafa zbira niza i grafa parcijalnog zbira.

Grafikon funkcije je uobičajen prava linija na ravni, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Hajde da shvatimo zbir serije. Kao što znate, nizovi funkcija konvergiraju u funkcije. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x"će konvergirati funkciji koja je prikazana crvenom bojom. Ova funkcija toleriše rupture 1. vrste u tačkama, ali je i definisan na njima (crvene tačke na crtežu)

ovako: . Lako je uočiti da se primjetno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega u unosu Koristi se tilda umjesto znaka jednakosti.

Hajde da proučimo algoritam koji je pogodan za konstruisanje zbira niza.

Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).

Hajdemo sada malo o prirodi trigonometrijske ekspanzije koja se razmatra. Fourierova serija uključuje samo periodične funkcije (konstante, sinuse i kosinuse), dakle zbir serije je također periodična funkcija.

Šta to znači u našoj konkretan primjer? A to znači da je zbir serije –svakako periodično a crveni segment intervala mora se beskonačno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je značenje izraza „period raspadanja“ sada konačno postalo jasno. Pojednostavljeno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda raspadanja, kao što je to učinjeno na crtežu. Pa, i "panjevi" susjednih perioda - tako da je jasno da se grafikon nastavlja.

Od posebnog interesa su tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako saznati ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": da bismo to učinili, izračunamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački središnjeg perioda ekspanzije: . Da biste izračunali ordinatu "donjeg sprata", najlakši način je da uzmete najlijevu vrijednost istog perioda: . Ordinata srednje vrijednosti je prosjek aritmetički zbir"gore i dolje": . Ugodna činjenica je da ćete prilikom konstruiranja crteža odmah vidjeti da li je sredina izračunata ispravno ili netačno.

Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat i iz lekcije o zbir niza brojeva. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:

Da biste sastavili delimični zbir, potrebno je da napišete nula + još dva člana serije. To je,

Crtež prikazuje graf funkcije zeleno, i, kao što vidite, prilično čvrsto „zamota“ punu količinu. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir pet članova serije, onda će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije; ako postoji sto članova, tada će se "zelena zmija" zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima, itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.

Zanimljivo je primijetiti da je bilo koji djelomični iznos kontinuirana funkcija, međutim, ukupan zbroj serije je i dalje diskontinuiran.

U praksi, nije tako retko konstruisati graf parcijalne sume. Kako uraditi? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Uostalom, aproksimacija je također periodična funkcija... ...na neki način me njen grafikon podsjeća na ujednačen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.

Izvođenje konstrukcije, naravno, nije baš zgodno, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Međutim, ugodit ću čitateljima kojima crtanje nije ugodno - u "stvarnom" problemu nije uvijek potrebno crtanje, u oko 50% slučajeva je potrebno proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to .

Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:

Odgovori:

U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste tačno tokom perioda raspadanja:

Primjer 3

Proširite funkciju datu na intervalu u Fourierov niz. Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija je specificirana u komadima (i, napominjemo, samo na segmentu) i izdrži ruptura 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijeva i desna strana funkcije su integrabilne na svojim intervalima, dakle integrali u svakom od njih tri formule treba predstaviti kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Druga dva Fourierova koeficijenta opisana su slično.

Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo ravnu liniju, a na intervalu - ravnu liniju (odsjek ose ističemo podebljano i podebljano). Odnosno, na intervalu ekspanzije, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda osim za tri „loše“ tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red će konvergirati do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta. Nije teško to usmeno vidjeti: lijevo ograničenje: , desno ograničenje: i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti zbira, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno ista stvar mora biti prikazana na intervalima i . Istovremeno, u tačkama će Fourierov red konvergirati srednjim vrijednostima.

U stvari, tu nema ničeg novog.

Pokušajte sami da se nosite sa ovim zadatkom. Približan uzorak završni dizajn i crtež na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov niz u proizvoljnom periodu

Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se malo složenijim argumentom za sinus i kosinus:

Ako je , tada dobivamo intervalne formule s kojima smo započeli.

Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir.

Rješenje: zapravo analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u tački . U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvar - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov niz:

Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbir dvaju integrala:

1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo gledamo na površinu Mjeseca:

Drugi integral uzimaj deo po deo:

Šta tražiti veliku pažnju, nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah izvršavamo pretplati se na diferencijalni znak. Drugo, ne zaboravite na nesrećnu konstantu ispred velikih zagrada i nemojte se zbuniti znakovima kada koristite formulu . Velike zagrade je ipak pogodnije otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike, poteškoće može izazvati samo nedovoljno iskustvo u rješavanju integrala.

Da, nisu uzalud bili ogorčeni ugledni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se on usudio složiti funkcije u trigonometrijske nizove?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. Na tome je radio i sam Fourier matematički model toplotne provodljivosti, a kasnije se serija nazvana po njemu počela koristiti za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su vidljivi i nevidljivi u okolnom svijetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nisam slučajno uporedio grafik drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Zainteresovani se mogu upoznati praktična primjena Fourierova transformacija u izvorima trećih strana. ...Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)

3) Uzimajući u obzir više puta spominjane slabe karike, pogledajmo treći koeficijent:

Integrirajmo po dijelovima:

Zamijenimo pronađene Fourierove koeficijente u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu konstruišemo pravu, a na intervalu pravu. Ako je vrijednost “x” nula, stavljamo tačku u sredinu “skoka” jaza i “repliciramo” graf za susjedne periode:


Na “spojnicama” perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama “skoka” jaza.

Spreman. Da vas podsjetim da je sama funkcija po uvjetu definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbirom nizova na intervalima

Odgovori:

Ponekad je funkcija zadana po komadima kontinuirana tokom perioda ekspanzije. Najjednostavniji primjer: . Rješenje (vidi Bohan tom 2) isto kao u dva prethodna primjera: uprkos kontinuitet funkcije u tački , svaki Fourier koeficijent se izražava kao zbir dva integrala.

Na intervalu razlaganja tačke diskontinuiteta 1. vrste i/ili može biti više „spojnih“ tačaka grafa (dvije, tri i općenito bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je i proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim tako okrutnu stvar. Međutim, postoje teži zadaci od onih koji su upravo razmatrani, a na kraju članka su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti za sve.

U međuvremenu, opustimo se, zavalimo se u fotelje i promatrajmo beskrajna zvjezdana prostranstva:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.

U ovom problemu funkcija kontinuirano na poluintervalu ekspanzije, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru br. 2. Iz svemirskog broda nema bijega - morat ćete odlučiti =) Približan primjer dizajna na kraju lekcije, raspored je u prilogu.

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. I zato. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red s periodom od “dva pi” i proizvoljna tačka “dva el” .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako proširujemo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .

dakle, parna funkcija se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima:

Zbog integrali parnih funkcija duž segmenta integracije koji je simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se preostali Fourierovi koeficijenti pojednostavljuju.

Za prazninu:

Za proizvoljan interval:

Primjeri iz udžbenika, koji se mogu naći u gotovo svakom udžbeniku matematičke analize, uključuju proširenja čak i funkcije . Osim toga, nekoliko puta su se susreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6

Funkcija je data. Obavezno:

1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati ekspanziju na intervalu, konstruisati funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.

Rješenje: u prvom pasusu predlaže se rješavanje problema u opšti pogled, i veoma je zgodno! Ako se ukaže potreba, samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period ekspanzije je poluperiod. Tokom dalje radnje, posebno tokom integracije, "el" se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se može proširiti u Fourierov niz samo u kosinusima: .

Fourierove koeficijente tražimo koristeći formule . Obratite pažnju na njihove bezuslovne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo “X” od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.

dva:

Integrirajmo po dijelovima:

ovako:
, dok se konstanta , koja ne zavisi od “en”, uzima izvan zbira.

Odgovori:

2) Zapišimo ekspanziju na interval, u tu svrhu u opšta formula zamijenite željenu vrijednost poluperioda:

Fourierovi redovi su reprezentacija proizvoljne funkcije sa određenim periodom u obliku niza. Uglavnom ovu odluku naziva se dekompozicija elementa u ortogonalnoj bazi. Proširenje funkcija u Fourierov red je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstava ove transformacije tokom integracije, diferencijacije, kao i pomjeranja izraza argumentom i konvolucijom.

Osoba koja nije upoznata sa višom matematikom, kao i sa radovima francuskog naučnika Fouriera, najvjerovatnije neće razumjeti šta su ove „serije“ i čemu su potrebne. U međuvremenu, ova transformacija je postala prilično integrirana u naše živote. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, doktori, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi. Pogledajmo pobliže radove velikog francuskog naučnika koji je napravio otkriće koje je bilo ispred svog vremena.

Čovjek i Fourierova transformacija

Fourierovi redovi su jedna od metoda (uz analizu i druge) Ovaj proces se dešava svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho automatski transformiše elementarne čestice u elastičnom mediju u redove (duž spektra) uzastopnih nivoa jačine zvuka za tonove različite visine. Zatim, mozak pretvara ove podatke u zvukove koji su nam poznati. Sve se to dešava bez naše želje ili svesti, samo od sebe, ali da bismo razumeli te procese, biće potrebno nekoliko godina da se izuči višu matematika.

Više o Fourierovoj transformaciji

Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierovi redovi se odnose na numeričku metodu razlaganja bilo kakvih oscilatornih procesa - od okeanskih plima i svjetlosnih valova do ciklusa solarne (i drugih astronomskih objekata) aktivnosti. Koristeći ove matematičke tehnike, možete analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusnih komponenti koje se kreću od minimuma do maksimuma i nazad. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Takođe, Fourierovi nizovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što omogućava ispravnu interpretaciju eksperimentalnih zapažanja dobijenih u medicini, hemiji i astronomiji.

Istorijska referenca

Osnivač ove teorije je francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier. Ova transformacija je kasnije nazvana po njemu. U početku je naučnik koristio svoju metodu da proučava i objasni mehanizme toplotne provodljivosti - širenja toplote u unutrašnjosti čvrste materije. Fourier je predložio da se početna nepravilna raspodjela može razložiti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se mjeriti od minimuma do maksimuma i nazad. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza raspodjele temperature. Autor teorije je opću funkciju distribucije, koju je teško matematički opisati, sveo na vrlo pogodan niz kosinusa i sinusa, koji zajedno daju originalnu distribuciju.

Princip transformacije i pogledi savremenika

Naučnikovi savremenici - vodeći matematičari ranog devetnaestog veka - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor je bila Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija, koja opisuje pravu liniju ili diskontinuiranu krivu, može predstaviti kao zbir sinusoidnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Hevisajdov korak: njegova vrijednost je nula lijevo od diskontinuiteta i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje o privremenoj varijabli kada je krug zatvoren. Savremenici teorije u to vrijeme nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom u kojoj bi diskontinuirani izraz bio opisan kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija kao što su eksponencijalne, sinusne, linearne ili kvadratne.

Šta je zbunilo francuske matematičare oko Furijeove teorije?

Na kraju krajeva, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda se zbrajanjem beskonačnog trigonometrijskog Fourierovog niza može dobiti tačan prikaz koraka izraza, čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog veka takva izjava je izgledala apsurdno. Ali uprkos svim sumnjama, mnogi matematičari proširili su opseg proučavanja ovog fenomena, odvodeći ga dalje od proučavanja toplotne provodljivosti. Međutim, većinu naučnika i dalje muči pitanje: „Može li se zbir sinusoidnog niza konvergirati na tačna vrijednost diskontinuirana funkcija?

Konvergencija Fourierovih redova: primjer

Pitanje konvergencije se postavlja kad god je potrebno sabrati beskonačne nizove brojeva. Da biste razumjeli ovaj fenomen, razmislite klasičan primjer. Hoćete li ikada moći doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Recimo da ste dva metra od cilja, prvi korak vas vodi do polovine, sljedeći vas vodi do tri četvrtine, a nakon petog ćete preći gotovo 97 posto puta. Međutim, bez obzira na to koliko koraka napravite, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, može se dokazati da je na kraju moguće prići što bliže određenoj udaljenosti. Ovaj dokaz je ekvivalentan demonstraciji da će zbir jedne polovine, jedne četvrtine, itd. težiti jedinstvu.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili Naprava lorda Kelvina

Ovo pitanje je ponovo pokrenuto krajem devetnaestog veka, kada su pokušali da koriste Fourierov niz za predviđanje intenziteta plime i oseke. U to vrijeme, Lord Kelvin je izumio instrument, analogni računarski uređaj koji je omogućio vojnim i trgovačkim mornarima da prate ovaj prirodni fenomen. Ovaj mehanizam je određivao skupove faza i amplituda iz tabele visina plime i odgovarajućih vremenskih tačaka, pažljivo mjerenih u datoj luci tokom cijele godine. Svaki parametar bio je sinusoidna komponenta izraza visine plime i jedna od regularnih komponenti. Mjerenja su unesena u računski instrument Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena za narednu godinu. Vrlo brzo su slične krive nacrtane za sve luke svijeta.

Što ako je proces poremećen diskontinuiranom funkcijom?

Tada se činilo očiglednim da prediktor plimnog talasa sa velikim brojem elemenata za brojanje može izračunati veliki broj faze i amplitude i na taj način daju preciznija predviđanja. Međutim, pokazalo se da se ovaj obrazac ne primjećuje u slučajevima kada je ekspresija plime koja bi se trebala sintetizirati sadržavala oštar skok, odnosno bio je diskontinuiran. Ako se u uređaj unesu podaci iz tabele vremenskih momenata, on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Originalna funkcija se vraća zahvaljujući sinusoidnim komponentama (u skladu sa pronađenim koeficijentima). Nesklad između originalnog i rekonstruiranog izraza može se izmjeriti u bilo kojoj tački. Kada se vrše ponovljeni proračuni i poređenja, jasno je da se vrijednost najveće greške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara tački diskontinuiteta, au bilo kojoj drugoj tački teže nuli. Godine 1899., ovaj rezultat je teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Univerziteta Yale.

Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito

Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj skokova u određenom intervalu. Općenito, Fourierovi redovi, ako je originalna funkcija predstavljena rezultatom stvarnog fizičkog mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja konvergencije ovaj proces za specifične klase funkcija dovelo je do pojave novih grana u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Vezana je za imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinski i J. Temple. U okviru ove teorije, jasno i precizno teorijska osnova pod takvim izrazima kao što su Diracova delta funkcija (opisuje područje jedne površine koncentrirane u infinitezimalnom susjedstvu tačke) i Heavisideov “korak”. Zahvaljujući ovom radu, Fourierovi redovi su postali primjenjivi na rješavanje jednačina i problema koji uključuju intuitivne koncepte: tačkasti naboj, tačkasta masa, magnetni dipoli i koncentrisano opterećenje na snopu.

Fourierova metoda

Fourierovi redovi, u skladu sa principima interferencije, počinju ekspanzijom složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena toka topline objašnjava se njegovim prolaskom kroz različite prepreke napravljene od toplinski izolacijskog materijala nepravilnog oblika ili promjena površine zemlje - zemljotres, promjena orbite nebeskog tijela - utjecaj planeta. Po pravilu, takve jednačine koje opisuju jednostavne klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki pojedinačni talas. Furije je to pokazao jednostavna rješenja također se može sabrati da bi se dobilo rješenje više složeni zadaci. U matematičkom smislu, Fourierovi redovi su tehnika za predstavljanje izraza kao sume harmonika - kosinusa i sinusa. Zbog toga ovu analizu poznata i kao harmonijska analiza.

Fourierov niz - idealna tehnika prije "kompjuterskog doba"

Prije stvaranja kompjuterske tehnologije, Fourierova tehnika je bila najbolje oružje u arsenalu naučnika u radu s talasnom prirodom našeg svijeta. Fourierov red u složenom obliku omogućava rješavanje ne samo jednostavni zadaci, koji su podložni direktnoj primjeni Newtonovih zakona mehanike, ali i osnovne jednačine. Većina otkrića Njutnove nauke u devetnaestom veku omogućila je samo Furijeova tehnika.

Fourierova serija danas

Sa razvojem računara, Fourierove transformacije su se podigle na kvalitativni nivo novi nivo. Ova tehnika je čvrsto uspostavljena u gotovo svim oblastima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video. Njegova implementacija je postala moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog veka. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u istraživanju vanjski prostor. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara i seizmologije.

Trigonometrijska Fourierova serija

U matematici, Fourierov niz je način predstavljanja proizvoljnog složene funkcije zbir jednostavnijih. IN opšti slučajevi broj takvih izraza može biti beskonačan. Štaviše, što se njihov broj više uzima u obzir u proračunu, to je konačni rezultat tačniji. Najčešće se koristi kao protozoa trigonometrijske funkcije kosinus ili sinus. U ovom slučaju, Fourierovi redovi se nazivaju trigonometrijskim, a rješenje takvih izraza naziva se harmonijska ekspanzija. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz pruža sredstvo za prikazivanje i proučavanje funkcija; on je glavni aparat teorije. Osim toga, omogućava rješavanje niza problema iz matematičke fizike. Konačno, ova teorija je doprinijela razvoju niza veoma važnih grana matematičke nauke (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužio je kao polazna tačka za razvoj sljedećih funkcija realne varijable, a također je postavio temelj za harmonijsku analizu.

Povratak