Algebarski projekat „Rješavanje trigonometrijskih nejednačina“ Izvršila učenica 10. razreda „B“ Kazačkova Julija Rukovodilac: nastavnica matematike Kochakova N.N.
Cilj Objediniti gradivo na temu “Rješavanje trigonometrijskih nejednačina” i stvoriti podsjetnik za učenike da se pripreme za predstojeći ispit.
Ciljevi: Sažeti materijal o ovoj temi. Sistematizirati primljene informacije. Razmotrite ovu temu na Jedinstvenom državnom ispitu.
Relevantnost Relevantnost teme koju sam odabrao leži u činjenici da su zadaci na temu „Rješavanje trigonometrijskih nejednačina“ uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita.
Trigonometrijske nejednakosti Nejednakost je relacija koja povezuje dva broja ili izraza kroz jedan od znakova: (veće od); ≥ (veće ili jednako). Trigonometrijska nejednakost je nejednakost koja uključuje trigonometrijske funkcije.
Trigonometrijske nejednačine Rješenje nejednačina koje sadrže trigonometrijske funkcije svodi se po pravilu na rješenje najjednostavnijih nejednačina oblika: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednačina Na osi koja odgovara datoj trigonometrijska funkcija, obratite pažnju na ovo numerička vrijednost ovu funkciju. Nacrtajte liniju kroz označenu tačku koja siječe jedinični krug. Odaberite točke presjeka prave i kružnice, uzimajući u obzir strogi ili nestrogi znak nejednakosti. Odaberite luk kružnice na kojem se nalaze rješenja nejednačine. Odredite vrijednosti uglova na početnoj i krajnjoj tački kružnog luka. Zapišite rješenje nejednačine uzimajući u obzir periodičnost zadane trigonometrijske funkcije.
Formule za rješavanje trigonometrijskih nejednačina sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arktan + πn). ctgx
Grafičko rješenje osnovne trigonometrijske nejednakosti sinx >a
Grafičko rješenje osnovnih trigonometrijskih nejednačina sinx Grafičko rješenje osnovnih trigonometrijskih nejednačina cosx >a Grafičko rješenje osnovnih trigonometrijskih nejednačina cosx Grafičko rješenje osnovnih trigonometrijskih nejednačina tgx >a Grafičko rješenje osnovnih trigonometrijskih nejednačina tgx Grafičko rješenje osnovnih trigonometrijskih nejednačina ctgx >a
Najjednostavnije trigonometrijske nejednačine oblika sin x>a su osnova za rješavanje složenijih trigonometrijskih nejednačina.
Razmotrimo rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina oblika sin x>a na jediničnom krugu.
1) u 0
Koristeći asocijaciju kosinus-bun (obe počinju sa co-, oba su „okrugla“), sjećamo se da je kosinus x, odnosno sinus y. Odavde gradimo grafik y=a - prava linija paralelna osi vola. Ako je nejednakost striktna, tačke presjeka jedinične kružnice i prave y=a su izbušene, ako nejednakost nije stroga, farbamo preko tačaka (koliko je lako zapamtiti kada je tačka izbušena, a kada zasjenjen je, vidi). Najveću poteškoću u rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti uzrokuje pravilno pronalaženje točaka presjeka jedinične kružnice i prave y=a.
Prvu tačku je lako pronaći - to je arcsin a. Određujemo put kojim idemo od prve tačke do druge. Na pravoj y=a sinx=a, iznad, iznad linije, sin x>a, a ispod, ispod linije, sin x
2) a=0, odnosno sin x>0
U ovom slučaju, prva tačka intervala je 0, druga je n. Na oba kraja intervala, uzimajući u obzir period sinusa, dodajemo 2n.
3) za a=-1, to je sinx>-1
U ovom slučaju, prva tačka je p/2, a da bismo došli do druge, obilazimo cijeli krug u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dolazimo do tačke -p/2+2p=3p/2. Da bismo uzeli u obzir sve intervale koji su rješenja ove nejednakosti, dodajemo 2n na oba kraja.
4) sinx>-a, na 0
Prva tačka je, kao i obično, arcsin(-a)=-arcsin. Da bismo došli do druge tačke, idemo gornjim putem, odnosno u smjeru povećanja ugla.
Ovaj put krećemo dalje od n. Koliko dugo ćemo? Na arcsin x. To znači da je druga tačka n+arcsin x. Zašto nema minusa? Jer minus u zapisu -arcsin a znači kretanje u smjeru kazaljke na satu, ali mi smo išli suprotno od kazaljke na satu. I na kraju, dodajte 2pn na svaki kraj intervala.
5) sinx>a, ako je a>1.
Jedinični krug leži u potpunosti ispod prave linije y=a. Ne postoji nijedna tačka iznad prave linije. Dakle, nema rješenja.
6) sinx>-a, gdje je a>1.
U ovom slučaju, cijeli jedinični krug leži u potpunosti iznad prave linije y=a. Prema tome, bilo koja tačka zadovoljava uslov sinx>a. To znači da je x bilo koji broj.
I ovdje je x bilo koji broj, pošto su tačke -n/2+2nn uključene u rješenje, za razliku od stroge nejednakosti sinx>-1. Ne treba ništa isključivati.
Jedina tačka na kružnici koja zadovoljava ovaj uslov je n/2. Uzimajući u obzir period sinusa, rješenje ove nejednakosti je skup tačaka x=n/2+2n.
Na primjer, riješite nejednačinu sinx>-1/2:
Algoritam za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednačina i prepoznavanje metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.
Nastavnici visokog obrazovanja kvalifikacionu kategoriju:
Širko F.M. str Napredak, MOBU-srednja škola br.6
Sankina L.S. Armavir, privatna srednja škola" Novi način»
Ne postoje univerzalne metode za nastavu prirodnih i matematičkih disciplina. Svaki nastavnik pronalazi svoje načine podučavanja koji su samo njemu prihvatljivi.
Naše dugogodišnje nastavno iskustvo pokazuje da učenici lakše usvajaju gradivo koje zahtijeva koncentraciju i zadržavanje velike količine informacija u memoriji ako ih naučimo koristiti algoritme u svojim aktivnostima. početna faza obuku kompleksna tema. Prema našem mišljenju, takva tema je tema rješavanja trigonometrijskih nejednačina.
Dakle, prije nego što počnemo sa studentima da identifikuju tehnike i metode za rješavanje trigonometrijskih nejednačina, uvježbavamo i konsolidujemo algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina.
Algoritam za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednačina
Označite tačke na odgovarajućoj osi ( Za grijeh x– OA osa, zacos x– OX osovina)
Vraćamo okomicu na osu koja će presijecati kružnicu u dvije točke.
Prva tačka na kružnici je tačka koja po definiciji pripada intervalu opsega funkcije luka.
Počevši od označene tačke, obojite luk kruga koji odgovara zasjenjenom dijelu ose.
Imajte na umu Posebna pažnja u smjeru obilaznice. Ako se obilaženje vrši u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), tada će druga tačka na kružnici biti negativna, ako je suprotno od kazaljke na satu pozitivna.
Odgovor pišemo u obliku intervala, uzimajući u obzir periodičnost funkcije.
Pogledajmo rad algoritma na primjerima.
1) grijeh ≥ 1/2;
Rješenje:
Prikazujemo jedinični krug.;
Označavamo tačku ½ na OU osi.
Vraćamo okomicu na osu,
koji siječe kružnicu u dvije tačke.
Po definiciji arcsinusa, prvo napominjemo
tačka π/6.
Zasjeniti dio ose koji odgovara
date nejednakosti, iznad tačke ½.
Obojite luk kruga koji odgovara zasjenjenom dijelu ose.
Prelazak se vrši suprotno od kazaljke na satu, dobijamo tačku 5π/6.
Odgovor pišemo u obliku intervala, uzimajući u obzir periodičnost funkcije;
odgovor:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.
Najjednostavnija nejednakost rješava se istim algoritmom ako zapis odgovora ne sadrži vrijednost tablice.
Učenici, prilikom rješavanja nejednakosti na tabli na prvim časovima, naglas recituju svaki korak algoritma.
2) 5 cos x – 1 ≥ 0;
R 
rješenje:at
5 cos x – 1 ≥ 0;
cos x ≥ 1/5;
Nacrtajte jedinični krug.
Označavamo tačku sa koordinatom 1/5 na osi OX.
Vraćamo okomicu na osu, koja
siječe kružnicu u dvije tačke.
Prva tačka na kružnici je tačka koja po definiciji (0;π) pripada intervalu opsega arc kosinusa.
Osjenčamo dio ose koji odgovara ovoj nejednakosti.
Počevši od potpisane tačke arccos 1/5, zasjeniti luk kruga koji odgovara zasjenjenom dijelu ose.
Prelazak se vrši u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), što znači da će druga tačka na kružnici biti negativna - arccos 1/5.
Odgovor zapisujemo u obliku intervala, uzimajući u obzir periodičnost funkcije, od manje vrijednosti prema većoj.
odgovor: x [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.
Unapređenje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednačina olakšavaju sljedeća pitanja: „Kako ćemo riješiti grupu nejednačina?“; “Kako se jedna nejednakost razlikuje od druge?”; “Po čemu je jedna nejednakost slična drugoj?”; Kako bi se odgovor promijenio ako bi se dala stroga nejednakost?"; Kako bi se promijenio odgovor da umjesto znaka "" stoji znak "
Zadatak analize liste nejednakosti sa stanovišta metoda za njihovo rješavanje omogućava vam da vježbate njihovo prepoznavanje.
Učenicima se daju nejednakosti koje je potrebno riješiti na času.
Pitanje: Istaknite nejednakosti koje zahtijevaju korištenje ekvivalentnih transformacija prilikom svođenja trigonometrijske nejednakosti na njen najjednostavniji oblik?
Odgovori 1, 3, 5.
Pitanje: Koje su nejednakosti u kojima morate smatrati složeni argument jednostavnim?
odgovor: 1, 2, 3, 5, 6.
Pitanje: Navedite nejednakosti gdje se mogu primijeniti trigonometrijske formule?
odgovor: 2, 3, 6.
Pitanje: Navedite nejednakosti kod kojih se može primijeniti metoda uvođenja nove varijable?
odgovor: 6.
Zadatak analize liste nejednakosti sa stanovišta metoda za njihovo rješavanje omogućava vam da vježbate njihovo prepoznavanje. Prilikom razvijanja vještina važno je identificirati faze njegove implementacije i formulirati ih opšti pogled, koji je predstavljen u algoritmu za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina.
Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.
Trigonometrijske nejednakosti su izrazi oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .
Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je da se takvi problemi rješavaju grafički, za to su razvijene dvije metode.
Metoda 1 - Rješavanje nejednačina grafičkim prikazom funkcije
Da biste pronašli interval koji zadovoljava uslove nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate izvršiti sljedeće korake:
- Na koordinatnoj osi konstruisati sinusoidu y = sin x.
- Na istoj osi nacrtajte grafik numeričkog argumenta nejednakosti, tj. pravu liniju koja prolazi kroz tačku ½ ordinate OY.
- Označite tačke preseka dva grafikona.
- Zasenčite segment koji je rješenje za primjer.
Kada su u izrazu prisutni strogi znaci, tačke preseka nisu rešenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, odgovor pišemo na sljedeći način:
Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglaste zagrade - . Odgovor na problem se također može zapisati kao sljedeća nejednakost: 
Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem jediničnog kruga
Slični problemi se lako mogu riješiti korištenjem trigonometrijskog kruga. Algoritam za pronalaženje odgovora je vrlo jednostavan:
- Prvo morate nacrtati jedinični krug.
- Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednakosti na luku kružnice.
- Potrebno je povući pravu liniju koja prolazi kroz vrijednost funkcije luka paralelno sa apscisnom osom (OX).
- Nakon toga, ostaje samo odabrati luk kružnice, koji je skup rješenja trigonometrijske nejednakosti.
- Zapišite odgovor u traženom obliku.
Analizirajmo faze rješenja na primjeru nejednakosti sin x › 1/2. Na kružnici su označene tačke α i β - vrijednosti
Tačke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje date nejednakosti.
Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti lociran simetrično na os OX, a ne na OY. Možete razmotriti razliku između intervala rješenja za sin i cos na dijagramima ispod u tekstu.
Grafička rješenja za tangentne i kotangensne nejednakosti će se razlikovati i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.
Arktangens i arkotangens su tangente na trigonometrijski krug, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i ispravno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.
Tangentna tangenta ide paralelno sa OY osom. Ako vrijednost arktana a unesemo na jedinični krug, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. Uglovi
One su prijelomne tačke za funkciju, budući da graf teži njima, ali ih nikada ne dostiže.
U slučaju kotangensa, tangenta ide paralelno sa OX osom, a funkcija je prekinuta u tačkama π i 2π.
Kompleksne trigonometrijske nejednakosti
Ako je argument funkcije nejednakosti predstavljen ne samo promjenljivom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada već govorimo o kompleksne nejednakosti. Proces i postupak za njegovo rješavanje se donekle razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sljedeću nejednakost:
Grafičko rješenje uključuje konstruiranje obične sinusoide y = sin x koristeći proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tabelu sa koordinatama za kontrolne tačke grafa:
Rezultat bi trebao biti lijepa kriva.
Da bismo olakšali pronalaženje rješenja, zamijenimo argument kompleksne funkcije
Rješavanje nejednačina online na web stranici Math24.biz osigurat će maksimalnu preciznost u proračunima. Nejednakost u matematici je izjava o relativnoj veličini ili redu dva objekta (jedan od objekata je manji ili nije veći od drugog), ili da dva objekta nisu ista (poricanje jednakosti). U elementarnoj matematici proučavaju se numeričke nejednakosti, au opštoj algebri, analizi i geometriji razmatraju se i nejednakosti između objekata nenumeričke prirode. Da bi se riješila nejednakost, oba njena dijela moraju biti određena jednim od znakova nejednakosti između njih. Stroge nejednakosti podrazumijevaju nejednakost između dva objekta. Za razliku od strogih nejednakosti, nestroge nejednakosti dopuštaju jednakost objekata koji su u nju uključeni. Linearne nejednakosti predstavljaju najjednostavnije izraze sa stanovišta početka proučavanja izraza, a da se takve nejednakosti najviše rješavaju jednostavne tehnike. Glavna greška koju učenici prave kada rješavaju nejednakosti online je to što ne razlikuju karakteristike strogih i nestrogih nejednakosti, što određuje da li će granične vrijednosti biti uključene ili ne u konačni odgovor. Nekoliko nejednakosti međusobno povezanih sa nekoliko nepoznanica naziva se sistem nejednakosti. Rješenje nejednačina iz sistema je određena površina na ravni, ili volumetrijska figura u trodimenzionalnom prostoru. Uz to, oni su apstrahovani n-dimenzionalnim prostorima, ali pri rješavanju takvih nejednakosti često je nemoguće bez posebnih kompjutera. Za svaku nejednakost posebno, potrebno je pronaći vrijednosti nepoznate na granicama područja rješenja. Skup svih rješenja nejednakosti je njen odgovor. Zamjena jedne nejednakosti drugom nejednakošću koja joj je ekvivalentna naziva se ekvivalentnim prijelazom iz jedne nejednakosti u drugu. Sličan pristup se nalazi u drugim disciplinama jer pomaže da se izrazi dovedu u standardni oblik. Cijenit ćete sve prednosti rješavanja nejednakosti na mreži na našoj web stranici. Nejednakost je izraz koji sadrži jedan od znakova =>. U suštini ovo logički izraz. Može biti istinito ili netačno - ovisno o tome što je desno i lijevo u ovoj nejednakosti. Objašnjenje značenja nejednačina i osnovne tehnike rješavanja nejednačina izučavaju se na raznim predmetima, kao iu školi. Rješavanje bilo koje nejednakosti online - nejednakosti sa modulima, algebarske, trigonometrijske, transcendentalne nejednakosti online. Identične nejednakosti, poput strogih i nestrogih nejednakosti, pojednostavljuju proces postizanja konačnog rezultata i predstavljaju pomoćno sredstvo za rješavanje problema. Rješavanje svih nejednačina i sistema nejednačina, bilo da su logaritamske, eksponencijalne, trigonometrijske ili kvadratne nejednakosti, pruža se korištenjem inicijalno pravi pristup ovom važnom procesu. Rješavanje nejednakosti online na stranici uvijek je dostupno svim korisnicima i apsolutno besplatno. Rješenja nejednakosti u jednoj varijabli su vrijednosti varijable koje je čine istinitom. numerički izraz. Jednačine i nejednačine sa modulom: modul realnog broja je apsolutna vrijednost tog broja. Standardna metoda za rješavanje ovih nejednakosti je podizanje obje strane nejednakosti na željeni stepen. Nejednačine su izrazi koji označavaju poređenje brojeva, pa se pravilnim rješavanjem nejednačina osigurava tačnost takvih poređenja. Oni mogu biti strogi (veći od, manji od) i nestrogi (veći ili jednaki, manji ili jednaki). Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih onih vrijednosti varijabli koje, kada se zamijene u originalni izraz, pretvaraju ga u ispravan numerički prikaz.Pojam nejednakosti, njena suština i karakteristike, klasifikacija i varijeteti - to je ono što određuje specifičnosti nejednakosti. ovaj matematički dio. Osnovna svojstva numeričkih nejednačina, primjenjiva na sve objekte ovog razreda, moraju proučavati učenici u početna faza upoznavanje sa ovom temom. Nejednakosti i intervali brojevne prave su usko povezani kada mi pričamo o tome o rješavanju nejednakosti na mreži. Grafička oznaka rješenja nejednakosti jasno pokazuje suštinu takvog izraza, postaje jasno čemu treba težiti pri rješavanju bilo kojeg zadatog problema. Koncept nejednakosti uključuje poređenje dva ili više objekata. Nejednačine koje sadrže varijablu rješavaju se kao slično sastavljene jednačine, nakon čega se vrši odabir intervala koji će se uzeti kao odgovor. Možete jednostavno i trenutno riješiti sve algebarske nejednakosti, trigonometrijske nejednakosti ili nejednakosti koje sadrže transcendentalne funkcije koristeći našu besplatnu uslugu. Broj je rješenje nejednakosti ako zamjenom ovog broja umjesto varijable dobijemo ispravan izraz, odnosno znak nejednakosti pokazuje pravi pojam.