čak, ako je za sve \(x\) iz njegove domene definicije vrijedi sljedeće: \(f(-x)=f(x)\) .
Graf parne funkcije je simetričan oko ose \(y\):
Primjer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je parna, jer \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). odd, ako je za sve \(x\) iz njegove domene definicije vrijedi sljedeće: \(f(-x)=-f(x)\) .
Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište:
Primjer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je neparna jer \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcije koje nisu ni parne ni neparne nazivaju se funkcijama opšti pogled. Takva funkcija se uvijek može jedinstveno predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.
Na primjer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je zbir parne funkcije \(f_1=x^2\) i neparne \(f_2=-x\) .
\(\crni trougao desno\) Neke nekretnine:
1) Proizvod i količnik dvije funkcije istog pariteta - ravnomjerna funkcija.
2) Proizvod i količnik dvije funkcije različitih pariteta - neparna funkcija.
3) Zbir i razlika parnih funkcija - parna funkcija.
4) Zbir i razlika neparnih funkcija - neparna funkcija.
5) Ako je \(f(x)\) parna funkcija, onda jednadžba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ima jedinstveni korijen ako i samo kada \( x =0\) .
6) Ako je \(f(x)\) parna ili neparna funkcija, a jednačina \(f(x)=0\) ima korijen \(x=b\), tada će ova jednadžba nužno imati drugi korijen \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se naziva periodičnom na \(X\) ako za neki broj \(T\ne 0\) vrijedi sljedeće: \(f(x)=f( x+T) \) , gdje je \(x, x+T\u X\) . Najmanji \(T\) za koji je ova jednakost zadovoljena naziva se glavni (glavni) period funkcije.
Periodična funkcija ima bilo koji broj u obliku \(nT\) , gdje će \(n\in \mathbb(Z)\) također biti tačka.
Primjer: bilo koji trigonometrijska funkcija je periodičan;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) glavni period je jednako \(2\pi\), funkcije \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) imaju glavni period jednak \ (\pi\) .
Da biste konstruisali graf periodične funkcije, možete nacrtati njen graf na bilo kom segmentu dužine \(T\) (glavni period); tada se graf cijele funkcije dovršava pomicanjem izgrađenog dijela za cijeli broj tačaka desno i lijevo:
\(\blacktriangleright\) Domen \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je skup koji se sastoji od svih vrijednosti argumenta \(x\) za koje funkcija ima smisla (definisano).
Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima domenu definicije: \(x\in
Zadatak 1 #6364
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Na kojim vrijednostima parametra \(a\) radi jednačina
Ima jedina odluka?
Imajte na umu da pošto su \(x^2\) i \(\cos x\) parne funkcije, ako jednačina ima korijen \(x_0\) , ona će također imati korijen \(-x_0\) .
Zaista, neka je \(x_0\) korijen, odnosno jednakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) u pravu. Zamijenimo \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Dakle, ako je \(x_0\ne 0\) , tada će jednačina već imati najmanje dva korijena. Prema tome, \(x_0=0\) . onda:
Dobili smo dvije vrijednosti za parametar \(a\). Imajte na umu da smo koristili činjenicu da je \(x=0\) upravo korijen originalne jednadžbe. Ali nikada nismo koristili činjenicu da je on jedini. Stoga, trebate zamijeniti rezultirajuće vrijednosti parametra \(a\) u originalnu jednadžbu i provjeriti za koji će određeni \(a\) korijen \(x=0\) zaista biti jedinstven.
1) Ako je \(a=0\), tada će jednačina imati oblik \(2x^2=0\) . Očigledno, ova jednadžba ima samo jedan korijen \(x=0\) . Dakle, vrijednost \(a=0\) nam odgovara.
2) Ako je \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada će jednadžba poprimiti oblik \ Prepišimo jednačinu u formu \ Jer \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Prema tome, vrijednosti desne strane jednačine (*) pripadaju segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednačine (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Dakle, jednakost (*) može biti istinita samo kada su obje strane jednačine jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to znači to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(case)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).
odgovor:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Zadatak 2 #3923
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je graf funkcije \
simetrično u odnosu na porijeklo.
Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, onda je takva funkcija neparna, to jest, \(f(-x)=-f(x)\) vrijedi za bilo koje \(x\) iz domene definicije funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje je \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(poravnano) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(poravnano)\]
Posljednja jednadžba mora biti zadovoljena za sve \(x\) iz domene \(f(x)\), dakle, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
odgovor:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Zadatak 3 #3069
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednačina \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijeloj brojevnoj pravoj , i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Zadatak od pretplatnika)
Budući da je \(f(x)\) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na ordinatnu os, dakle, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Dakle, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a ovo je segment dužine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .
1) Neka \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako: 
Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi kroz tačku \(A\) : 
dakle, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( okupio)\desno.\] Pošto \(a>0\) , onda je \(a=\dfrac(18)(23)\) pogodan.
2) Neka \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Potrebno je da graf \(g(x)\) prolazi kroz tačku \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end(sakupljeno)\desno.\] Pošto \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Slučaj kada \(a=0\) nije pogodan, pošto je tada \(f(x)=0\) za sve \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i jednačina će imati samo 1 korijen.
odgovor:
\(a\in \lijevo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)
Zadatak 4 #3072
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \
ima barem jedan korijen.
(Zadatak od pretplatnika)
Prepišimo jednačinu u formu \
i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je parna i ima minimalnu tačku \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Zaista, kada će se \(x>0\) drugi modul otvoriti pozitivno (\(|x|=x\) ), dakle, bez obzira na to kako će se prvi modul otvoriti, \(f(x)\) će biti jednak do \( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz za \(a\) i \(k\) je jednako ili \(-9\) ili \(-3\) . Kada je \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Nađimo vrijednost \(f\) na maksimalnoj tački: \ 
Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu presječnu točku. Stoga vam je potrebno: \ \\]
odgovor:
\(a\u \(-7\)\šolja\)
Zadatak 5 #3912
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \
ima šest različitih rješenja.
Napravimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednačina poprimiti oblik \
Postepeno ćemo ispisivati uslove pod kojima će originalna jednačina imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednačina \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Bilo koja kubna jednačina \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) može imati najviše tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, budući da \(t\) mora biti veći od nule) \(t_1\) i \(t_2\) , tada izvođenjem obrnute zamjene , dobijamo: \[\left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(poravnano)\end(sakupljeno)\desno.\] Budući da se bilo koji pozitivan broj može predstaviti kao \(\sqrt2\) u određenoj mjeri, npr. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednačina skupa biti prepisana u obliku \
Kao što smo već rekli, svaka kubična jednadžba nema više od tri rješenja, dakle, svaka jednačina u skupu neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli set neće imati više od šest rješenja.
To znači da da bi originalna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednačina \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubična jednačina (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (a ne jedno rješenje jedna jednačina treba da se poklapa sa bilo kojom - odlukom druge!)
Očigledno, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja izvorne jednačine.
Dakle, plan rješenja postaje jasan. Hajde da zapišemo uslove koji moraju biti ispunjeni tačku po tačku.
1) Da bi jednačina \((*)\) imala dva različita rješenja, njen diskriminanta mora biti pozitivna: \
2) Također je potrebno da oba korijena budu pozitivna (pošto \(t>0\) ). Ako je proizvod dva korijena pozitivan, a njihov zbir pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Dakle, već smo si dali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .
3)
Pogledajmo ovu jednačinu \
Za koji \(t\) će imati tri različita rješenja? Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednačine \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovo stanje? imao četiri različita korijena, različita od nule, što predstavlja, zajedno sa \(x=0\), aritmetičku progresiju. Imajte na umu da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) parna, što znači da ako je \(x_0\) korijen jednačine \( (*)\ ) , tada će \(-x_0\) također biti njegov korijen. Tada je potrebno da korijeni ove jednadžbe budu brojevi poredani uzlaznim redoslijedom: \(-2d, -d, d, 2d\) (onda \(d>0\)). Tada će ovih pet brojeva formirati aritmetičku progresiju (sa razlikom \(d\)). Da bi ovi korijeni bili brojevi \(-2d, -d, d, 2d\), potrebno je da brojevi \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) budu korijeni jednadžba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Zatim, prema Vietinoj teoremi: Prepišimo jednačinu u formu \
i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu presječnu točku. Stoga vam je potrebno: \
Rešavanjem ovog skupa sistema dobijamo odgovor: \\]
odgovor: \(a\u \(-2\)\šolja\) Parnost i neparnost funkcije su jedno od njenih glavnih svojstava, a parnost zauzima impresivan dio školskog predmeta matematike. U velikoj mjeri određuje ponašanje funkcije i uvelike olakšava konstrukciju odgovarajućeg grafa. Odredimo parnost funkcije. Općenito govoreći, proučavana funkcija se smatra čak i ako se za suprotne vrijednosti nezavisne varijable (x) koja se nalazi u njenoj domeni definicije, odgovarajuće vrijednosti y (funkcija) pokažu jednake. Hajde da damo strožiju definiciju. Razmotrimo neku funkciju f (x), koja je definirana u domeni D. To će biti čak i ako za bilo koju tačku x koja se nalazi u domeni definicije: Iz gornje definicije slijedi uslov neophodan za domenu definicije takve funkcije, naime, simetrija u odnosu na tačku O, koja je ishodište koordinata, jer ako je neka tačka b sadržana u domeni definicije parnog funkcija, tada odgovarajuća tačka b takođe leži u ovom domenu. Iz navedenog, dakle, slijedi zaključak: parna funkcija ima oblik simetričan u odnosu na ordinatnu os (Oy). Kako odrediti paritet funkcije u praksi? Neka se specificira pomoću formule h(x)=11^x+11^(-x). Prateći algoritam koji slijedi direktno iz definicije, prvo ispitujemo njen domen definicije. Očigledno je definiran za sve vrijednosti argumenta, odnosno, prvi uvjet je zadovoljen. Sljedeći korak je zamjena suprotne vrijednosti (-x) za argument (x). Provjerimo parnost funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Prateći isti algoritam, dobijamo da je h(-x) = 11^(-x) -11^x. Uzimajući minus, na kraju imamo Usput, treba podsjetiti da postoje funkcije koje se ne mogu klasificirati prema ovim kriterijima, ne nazivaju se ni parnim ni neparnim. Čak i funkcije imaju niz zanimljivih svojstava: Parnost funkcije može se koristiti za rješavanje jednačina. Za rješavanje jednadžbe kao što je g(x) = 0, gdje je lijeva strana jednadžbe parna funkcija, bit će sasvim dovoljno pronaći njena rješenja za nenegativne vrijednosti varijable. Dobiveni korijeni jednadžbe moraju se kombinirati sa suprotnim brojevima. Jedan od njih podliježe verifikaciji. Ovo se također uspješno koristi za rješavanje nestandardnih problema s parametrom. Na primjer, postoji li neka vrijednost parametra a za koju će jednačina 2x^6-x^4-ax^2=1 imati tri korijena? Ako uzmemo u obzir da promenljiva ulazi u jednačinu u parnim stepenima, onda je jasno da zamena x sa - x neće promeniti datu jednačinu. Iz toga slijedi da ako je određeni broj njegov korijen, onda je i suprotni broj korijen. Zaključak je očigledan: korijeni jednadžbe koji se razlikuju od nule uključeni su u skup njenih rješenja u „parovima“. Jasno je da sam broj nije 0, odnosno da broj korijena takve jednadžbe može biti samo paran i, prirodno, za bilo koju vrijednost parametra ne može imati tri korijena. Ali broj korijena jednačine 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 može biti neparan i za bilo koju vrijednost parametra. Zaista, lako je provjeriti da skup korijena ove jednadžbe sadrži rješenja “u parovima”. Provjerimo da li je 0 korijen. Kada ga zamenimo u jednačinu, dobijamo 2=2. Dakle, pored „sparenih“ 0 je i koren, što dokazuje njihov neparni broj. Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova. Funkcija - varijabla zavisnost at iz varijable x, ako je svaka vrijednost X odgovara jednoj vrijednosti at. Varijabilna X naziva nezavisna varijabla ili argument. Varijabilna at nazvana zavisna varijabla. Sve vrijednosti nezavisne varijable (varijable x) formiraju domenu definicije funkcije. Sve vrijednosti koje zavisna varijabla uzima (varijabla y), formira raspon vrijednosti funkcije. Funkcijski graf nazvati skup svih tačaka koordinatne ravni, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije, odnosno vrijednostima varijable su iscrtane duž ose apscise x, a vrijednosti varijable su iscrtane duž ordinatne ose y. Da biste grafički prikazali funkciju, morate znati svojstva funkcije. Glavna svojstva funkcije bit će razmotrena u nastavku! Za izradu grafa funkcije preporučujemo korištenje našeg programa - Grafičke funkcije na mreži. Ako imate bilo kakvih pitanja dok proučavate materijal na ovoj stranici, uvijek ih možete postaviti na našem forumu. Također na forumu će vam pomoći u rješavanju zadataka iz matematike, hemije, geometrije, teorije vjerovatnoće i mnogih drugih predmeta! Osnovna svojstva funkcija. 1) Domen funkcije i opseg funkcije. Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan. U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva. 2) Nule funkcije. Vrijednosti X, pri čemu y=0, zvao nule funkcije. Ovo su apscise tačaka preseka grafa funkcije sa Ox osom. 3) Intervali konstantnog predznaka funkcije. Intervali konstantnog predznaka funkcije su takvi intervali vrijednosti x, na kojem se vrijednost funkcije y nazivaju se samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnog predznaka funkcije. 4) Monotonost funkcije. Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije. Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije. 5) Parna (neparna) funkcija. Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu. Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ravnomjerna funkcija Neparna funkcija ima sljedeća svojstva: Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opšti pogled nisu ni parni ni neparni. 6) Ograničene i neograničene funkcije. Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena. 7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da za bilo koji x iz domena definicije funkcije vrijedi sljedeće: f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule). Funkcija f se naziva periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domena definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije. Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period. Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog periodu. Ovo se koristi prilikom konstruisanja grafova. Zavisnost varijable y od varijable x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristite oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, parnost, periodičnost i druga. Pogledajte bliže svojstvo pariteta. Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uslova: 2. Vrijednost funkcije u tački x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u tački -x. To jest, za bilo koju tačku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domena definicije funkcije: f(x) = f(-x). Ako nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na Oy os. Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O. Uzmimo proizvoljan x=3. f(x)=3^2=9. f(-x)=(-3)^2=9. Stoga je f(x) = f(-x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija parna. Ispod je graf funkcije y=x^2. Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na Oy os. Funkcija y=f(x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uslova: 1. Područje definicije date funkcije mora biti simetrično u odnosu na tačku O. To jest, ako neka tačka a pripada domeni definicije funkcije, tada odgovarajuća tačka -a također mora pripadati domeni definicije date funkcije. 2. Za bilo koju tačku x, iz domena definicije funkcije mora biti zadovoljena sljedeća jednakost: f(x) = -f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na tačku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O. Uzmimo proizvoljan x=2. f(x)=2^3=8. f(-x)=(-2)^3=-8. Stoga je f(x) = -f(x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je graf funkcije y=x^3. Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište. Ravnomjerna funkcija.
Čak je funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni x. x jednakost važi f(–x) = f(x). Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1). Primjeri parne funkcije: y=cos x y = x 2 y = –x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 2 + x Objašnjenje: Neparna funkcija.
Odd je funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni x. Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost važi f(–x) = –f(x). Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2). Primjeri neparnih funkcija: y= grijeh x y = x 3 y = –x 3 Objašnjenje: Uzmimo funkciju y = – x 3 . Svojstva parnih i neparnih funkcija:
BILJEŠKA:
Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne povinuju takvoj gradaciji. Na primjer, root funkcija at = √X ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni neparan. Periodične funkcije.
Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Pozivaju se funkcije koje opisuju ove procese periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se faktorizirati: \
Prema tome, njegove nule su: \(x=-1;2\) .
Ako nađemo derivaciju \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije tačke ekstrema \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Stoga graf izgleda ovako: 
Vidimo da je bilo koja horizontalna linija \(y=k\) , gdje je \(0
Dakle, potrebno vam je: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Također odmah primijetimo da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, tada će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različite, što znači jednačine \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imaće različite korene.
Sistem \((**)\) se može prepisati na sljedeći način: \[\početak(slučajevi) 1
Nećemo eksplicitno ispisivati korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola sa granama nagore, koja ima dve tačke preseka sa x-osom (ovaj uslov smo zapisali u paragrafu 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf tako da su tačke presjeka sa x-osom u intervalu \((1;4)\)? dakle: 
Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u tačkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabola \(t_0\ ) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Stoga možemo napisati sistem: \[\begin(slučajevi) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funkcija \(g(x)\) ima maksimalnu tačku \(x=0\) (i \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Izvod nule: \(x=0\) . Kada je \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , za \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) raste, a za \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Zaista, kada će se \(x>0\) prvi modul otvoriti pozitivno (\(|x|=x\)), dakle, bez obzira na to kako će se drugi modul otvoriti, \(f(x)\) će biti jednak na \( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz \(a\) , a \(k\) je jednako ili \(13-10=3\) ili \(13+10 =23\) . Kada je \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Nađimo vrijednost \(f\) u minimalnoj tački: \
Dobijamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Pošto sabiranje zadovoljava komutativni (komutativni) zakon, očigledno je da je h(-x) = h(x) i data funkcionalna zavisnost je parna.
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Dakle, h(x) je neparan.
Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.
1) Domen definicije je simetričan u odnosu na tačku (0; 0), odnosno ako je tačka a pripada domenu definicije, zatim tačka -a takođe pripada domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Grafikon parne funkcije je simetričan oko ose Oy.
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na tačku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).
Grafikon parne funkcije
Grafikon neparne funkcije
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.
Sva značenja at imaće znak minus. To je znak x utiče na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.