Sistemi linearne jednačine, za koje su svi slobodni termini jednaki nuli se pozivaju homogena :
Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.
Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang glavne matrice manji broj njene nepoznanice.
Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.
Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l na kojima sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:
Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:
Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a I z=b, dobijamo x=b-a, tj.
Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući minor kao osnovu:
dobijamo pojednostavljeni sistem
Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Believing z=4a, dobijamo
Komplet svih rješenja homogeni sistem ima veoma važno linearno svojstvo : ako kolone X 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1 + b X 2 će također biti rješenje za ovaj sistem. Zaista, pošto SJEKIRA 1 = 0 I SJEKIRA 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a SJEKIRA 1 + b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će postojati beskonačan broj ovih rješenja.
Linearno nezavisni stupovi E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, nazivaju se fundamentalni sistem rješenja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako zajednička odluka ovaj sistem se može napisati kao linearna kombinacija ovih stupaca:
Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, To k = n-r.
Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:
Rješenje. Nađimo rang glavne matrice sistema:
Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n-r= 5 - 2 = 3. Odaberimo minor kao bazu
.
Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable pomjeramo udesno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:
Believing x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo
, 
.
Believing a= 1, b = c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; vjerujući b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; vjerujući c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja će poprimiti oblik
Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.
Opšte rješenje heterogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, And Y- opšte rešenje heterogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. dakle, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opšte rešenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo svih linearnih sistema uopšte (algebarskih, diferencijalnih, funkcionalnih, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip superpozicije. Na primjer, u teoriji linearnih električnih kola, struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struja uzrokovanih svakim izvorom energije posebno.
Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!Da razumem šta je to fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom. Sada pređimo na stvarni opis svih potrebnih radova. Ovo će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.
Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?
Uzmimo za primjer sljedeći sistem linearnih jednadžbi:
Hajde da nađemo rešenje za ovo linearni sistem jednačine Za početak, mi potrebno je da napišete matricu koeficijenata sistema.
Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz petog reda i upisati razliku u peti red. 
Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(32)$, trebate oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u treći red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(42)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 2 iz četvrtog reda i upišete razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 3 iz petog reda i upišete razliku u peti red. 
Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, oni će postati nula. 
Prema ovoj matrici zapiši novi sistem jednačine.
Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi treba da pomerimo poslednje dve nepoznate udesno.
Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo rezultirajući rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani. 
Zatim, umjesto $x_4$ i $x_5$, možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.
Nastavit ćemo sa poliranjem naše tehnologije elementarne transformacije
on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih paragrafa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak varljivo. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.
Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?
Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:
To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje 
. Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:
Primjer 1
Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira na to što radite s nulama, one će ostati nule: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.
(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem 
, i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.
Odgovori: 
Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) jednaka količini varijable (u ovom slučaju – 3 kom.).
Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:
Primjer 2
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Da konačno konsolidujemo algoritam, analizirajmo završni zadatak:
Primjer 7
Riješite homogeni sistem, napišite odgovor u vektorskom obliku. 
Rješenje: zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik: 
(1) Predznak prvog reda je promijenjen. Još jednom skrećem pažnju na tehniku koja se već mnogo puta susreće, a koja vam omogućava da značajno pojednostavite sljedeću radnju.
(1) Prvi red je dodat 2. i 3. redu. Prvi red, pomnožen sa 2, dodan je četvrtom redu.
(3) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva su uklonjena.
Kao rezultat, dobija se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:
– osnovne varijable;
– slobodne varijable.
Izrazimo osnovne varijable u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednačine:
– zamijeniti u 1. jednačinu:
Dakle, generalno rješenje je:
Kako u primjeru koji se razmatra postoje tri slobodne varijable, osnovni sistem sadrži tri vektora.
Zamijenimo trostruku vrijednost 
u opšte rešenje i dobijemo vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednačinu homogenog sistema. I opet, ponavljam da je vrlo preporučljivo provjeriti svaki primljeni vektor - neće trebati puno vremena, ali će vas potpuno zaštititi od grešaka.
Za trostruku vrijednost 
pronađite vektor
I na kraju za troje 
dobijamo treći vektor:
Odgovori: , Gdje
Oni koji žele izbjeći razlomke mogu uzeti u obzir trojke 
i dobiti odgovor u ekvivalentnom obliku:
Govoreći o razlomcima. Pogledajmo matricu dobijenu u zadatku 
i zapitajmo se: da li je moguće pojednostaviti dalje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo izrazili osnovnu varijablu kroz razlomke, zatim kroz razlomke osnovnu varijablu i, moram reći, ovaj proces nije bio najjednostavniji i ne najugodniji.
Drugo rješenje:
Ideja je pokušati izaberite druge bazne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dva u trećoj koloni. Pa zašto ne imati nulu na vrhu? Izvršimo još jednu elementarnu transformaciju:
Rešenja homogenog sistema imaju sledeća svojstva. Ako je vektor = (α 1 , α 2 ,... ,α n) je rješenje sistema (15.14), tada za bilo koji broj k vektor k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n) biće rešenje za ovaj sistem. Ako je rješenje sistema (15.14) vektor = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), zatim iznos + će također biti rješenje za ovaj sistem. Iz toga slijedi svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema je također rješenje za ovaj sistem.
Kao što znamo iz odjeljka 12.2, svaki sistem n-dimenzionalni vektori koji se sastoje od više od P vektori su linearno zavisni. Dakle, iz skupa vektora rješenja homogenog sistema (15.14) može se izabrati baza, tj. svako vektorsko rješenje datog sistema bit će linearna kombinacija vektora ove baze. Svaka takva osnova se zove fundamentalni sistem rješenja homogeni sistem linearnih jednačina. Tačna je sljedeća teorema koju iznosimo bez dokaza.
TEOREMA 4. Ako je rang r sistema homogene jednačine (15.14) je manji od broja nepoznanica n, tada svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (15.14) sastoji se od n - r rješenja.
Naznačimo sada metodu za pronalaženje fundamentalnog sistema rješenja (FSS). Neka sistem homogenih jednačina (15.14) ima rang r< п. Zatim, kao što slijedi iz Cramerovih pravila, osnovne nepoznanice ovog sistema x 1 , x 2 , … x r linearno izraženo u terminima slobodnih varijabli x r + 1 , xr + 2 , ..., x p:
Odaberimo pojedina rješenja homogenog sistema (15.14) prema sljedećem principu. Da bismo pronašli prvi vektor rješenja postavili smo x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Tada nalazimo drugo rješenje 2: prihvatamo x r+2 = 1 i ostalo r- Postavite 1 slobodnu varijablu na nulu. Drugim riječima, svakoj slobodnoj varijabli sekvencijalno dodjeljujemo jediničnu vrijednost, postavljajući ostatak na nulu. Dakle, osnovni sistem rješenja u vektorskom obliku, uzimajući u obzir prvo r bazne varijable (15.15) ima oblik
FSR (15.16) je jedan od osnovnih skupova rješenja homogenog sistema (15.14).
Primjer 1. Naći rješenje i FSR sistema homogenih jednačina
Rješenje. Ovaj sistem ćemo riješiti Gausovom metodom. Pošto je broj jednačina sistema manji od broja nepoznanica, razmatramo X 1 , x 2 , X 3 osnovne nepoznanice, i x 4 , X 5 , x 6 - slobodne varijable. Hajde da sastavimo proširenu matricu sistema i izvršimo akcije koje čine direktan tok metode.
Neka M 0 – skup rješenja homogenog sistema (4) linearnih jednačina.
Definicija 6.12. Vektori With 1 ,With 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sistema linearnih jednačina nazivaju se fundamentalni set rješenja(skraćeno FNR), ako
1) vektori With 1 ,With 2 , …, sa str linearno nezavisne (tj. nijedan od njih se ne može izraziti u terminima drugih);
2) bilo koje drugo rješenje homogenog sistema linearnih jednačina može se izraziti kroz rješenja With 1 ,With 2 , …, sa str.
Imajte na umu da ako With 1 ,With 2 , …, sa str– bilo koji f.n.r., zatim izraz k 1× With 1 + k 2× With 2 + … + k p× sa str možete opisati cijeli set M 0 rješenja sistema (4), tako se zove opšti pogled na sistemsko rešenje (4).
Teorema 6.6. Svaki neodređeni homogeni sistem linearnih jednačina ima osnovni skup rješenja.
Način da se pronađe osnovni skup rješenja je sljedeći:
Naći opće rješenje za homogeni sistem linearnih jednačina;
Izgraditi ( n – r) parcijalna rješenja ovog sistema, dok vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju činiti matricu identiteta;
Napisati opšti oblik rješenja uključena u M 0 .
Primjer 6.5. Pronađite osnovni skup rješenja za sljedeći sistem:
Rješenje. Hajde da pronađemo opšte rešenje za ovaj sistem.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
U ovom sistemu postoji pet nepoznatih ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), postoje tri slobodne nepoznate ( n – r), odnosno osnovni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Hajde da ih izgradimo. Imamo x 1 i x 3 – glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 – slobodne nepoznanice
Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 formiraju matricu identiteta E trećeg reda. Imam te vektore With 1 ,With 2 , With 3 obrazac f.n.r. ovog sistema. Tada će skup rješenja ovog homogenog sistema biti M 0 = {k 1× With 1 + k 2× With 2 + k 3× With 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Hajde sada da saznamo uslove za postojanje nenultih rešenja homogenog sistema linearnih jednačina, drugim rečima, uslove za postojanje fundamentalnog skupa rešenja.
Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neizvjesno je da li
1) rang glavne matrice sistema je manji od broja nepoznatih;
2) u homogenom sistemu linearnih jednačina broj jednačina je manji od broja nepoznatih;
3) ako je u homogenom sistemu linearnih jednadžbi broj jednačina jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka nuli (tj. | A| = 0).
Primjer 6.6. Na kojoj vrijednosti parametra a homogeni sistem linearnih jednačina 
ima rješenja različita od nule?
Rješenje. Sastavimo glavnu matricu ovog sistema i pronađemo njenu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinanta ove matrice je jednaka nuli u a = –4.
Odgovori: –4.
7. Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor
Osnovni koncepti
U prethodnim poglavljima smo se već susreli s konceptom skupa realnih brojeva raspoređenih u određenom redoslijedu. Ovo je matrica reda (ili matrica stupaca) i rješenje sistema linearnih jednačina sa n nepoznato. Ove informacije se mogu sažeti.
Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.
Sredstva A= (a 1 , a 2 , …, a n), gdje a i O R, i = 1, 2, …, n– opšti pogled na vektor. Broj n pozvao dimenzija vektori i brojevi a i zovu se njegovim koordinate.
Na primjer: A= (1, –8, 7, 4, ) – petodimenzionalni vektor.
Sve je spremno n-dimenzionalni vektori se obično označavaju kao Rn.
Definicija 7.2. Dva vektora A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednaka ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definicija 7.3.Iznos dva n-dimenzionalni vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) se naziva vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).
Definicija 7.4. Posao pravi broj k na vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) se naziva vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Definicija 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) se poziva nula(ili null vektor).
Lako je provjeriti da akcije (operacije) sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem imaju sljedeća svojstva: " a, b, c Î Rn, " k, l O R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 O R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definicija 7.6. Gomila Rn sa operacijama sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem datim na njemu se zove aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.