Brojilac, a ono što je podijeljeno je imenilac.
Da biste napisali razlomak, prvo napišite brojilac, zatim povucite vodoravnu liniju ispod broja i upišite nazivnik ispod linije. Horizontalna linija koja razdvaja brojnik i imenilac naziva se razlomka. Ponekad se prikazuje kao kosi "/" ili "∕". U ovom slučaju, brojilac se piše lijevo od reda, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojilac se obično piše na vrhu reda, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.
Da biste izračunali proizvod razlomaka, prvo pomnožite brojnik jedan razlomci u brojiocu je drugačija. Rezultat upišite u brojnik novog razlomci. Nakon toga pomnožite nazivnike. Unesite ukupnu vrijednost u novi razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, prvo pomnožite brojnik prvog sa nazivnikom drugog. Uradite isto sa drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije nego što izvršite sve radnje, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je zgodnije: nazivnik bi se trebao pojaviti na mjestu brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende sa novim imeniocem djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Izvori:
- Osnovni problemi s razlomcima
Razlomci vam omogućavaju da izrazite tačnu vrijednost količine u različitim oblicima. Možete raditi iste matematičke operacije sa razlomcima kao i sa cijelim brojevima: oduzimanje, sabiranje, množenje i dijeljenje. Da naučim odlučivati razlomci, moramo zapamtiti neke njihove karakteristike. Zavise od vrste razlomci, prisustvo cijelog broja, zajednički nazivnik. Neke aritmetičke operacije zahtijevaju da se razlomak rezultata smanji nakon izvršenja.
Trebaće ti
- - kalkulator
Instrukcije
Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima postoje decimale i nepravilne, ponekad je prikladnije prvo izvršiti operacije s decimalima, a zatim ih pretvoriti u nepravilan oblik. Možete li prevesti? razlomci u ovom obliku na početku, upisujući vrijednost nakon decimalne točke u brojiocu i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako što ćete brojeve iznad i ispod podijeliti jednim djeliteljem. Razlomci u kojima je izolovan cijeli dio moraju se pretvoriti u pogrešan oblik množenjem sa nazivnikom i rezultatom dodati brojilac. Ova vrijednost će postati novi brojilac razlomci. Za odabir cijelog dijela od inicijalno pogrešnog razlomci, potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Napišite cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja će postati novi brojnik, nazivnik razlomci ne menja se. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je izvršiti radnje odvojeno, prvo za cijeli broj, a zatim za razlomke. Na primjer, zbir 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno celobrojnih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Prepišite ih koristeći separator “:” i nastavite s normalnim dijeljenjem.
Da biste dobili konačni rezultat, smanjite rezultujući razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovom slučaju. U ovom slučaju, moraju postojati cijeli brojevi iznad i ispod linije.
Bilješka
Ne izvodite aritmetiku sa razlomcima čiji su imenioci različiti. Odaberite broj tako da kada pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka s njim, rezultat je da su nazivnici oba razlomka jednaki.
Koristan savjet
Prilikom pisanja razlomaka, dividenda se piše iznad linije. Ova količina je označena kao brojnik razlomka. Delitelj, ili imenilac, razlomka je napisan ispod linije. Na primjer, jedan i po kilogram riže kao frakcija bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, razlomak se naziva decimalni. U ovom slučaju, brojilac (dividenda) se piše desno od cijelog dijela, odvojenog zarezom: 1,5 kg riže. Radi lakšeg izračuna, takav razlomak se uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krompira. Da biste pojednostavili, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako što ćete ih podijeliti s jednim cijelim brojem. U ovom primjeru možete podijeliti sa 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krompira. Uvjerite se da su brojevi s kojima ćete izvoditi aritmetiku prikazani u istom obliku.
Radnje sa razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, šta su razlomci, vrste razlomaka, transformacije - sjetili smo se. Hajdemo na glavno pitanje.
Šta možete učiniti sa razlomcima? Da, sve je isto kao i sa običnim brojevima. Dodajte, oduzmite, množite, podijelite.
Sve ove radnje sa decimalni rad sa razlomcima se ne razlikuje od rada sa celim brojevima. Zapravo, to je ono što je dobro kod njih, decimalnih. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.
Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.
Ali akcije sa obične frakcije biće lukaviji. I mnogo važnije! da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznatima i tako dalje i tako dalje se ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima! Operacije sa običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka.
Svako može sabirati (oduzeti) razlomke sa istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da podsjetim one koji su potpuno zaboravni: pri sabiranju (oduzimanju) imenilac se ne mijenja. Brojioci se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojilac rezultata. Vrsta:
Ukratko, generalno:
Šta ako su imenioci različiti? Zatim, koristeći osnovnu osobinu razlomka (ovdje nam opet dobro dođe!), činimo nazivnike istim! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Jedinu svrhu da imenioci budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neprijatno, a 4/10 je zaista u redu.
Inače, ovo je suština rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kada smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali pogodnija za rješavanje.
Drugi primjer:
Situacija je slična. Ovdje pravimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem sa 3. Ovo je sve jasno. Ali naišli smo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Hajde da se transformišemo svaki razlomak tako da su imenioci isti. Ovo se zove "svedi na zajednički imenilac":
Vau! Kako sam znao za 63? Veoma jednostavno! 63 je broj koji je istovremeno djeljiv sa 7 i 9. Takav broj se uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako pomnožimo broj sa 7, na primjer, onda će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!
Ako trebate sabrati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik zajednički za sve razlomke i svesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:
A šta će biti zajednički imenitelj? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv sa 2, 4 i 8. Stoga je od ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički imenitelj, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...
Upotpunite primjer sami. Ne neka vrsta logaritma... Trebalo bi da bude 29/16.
Dakle, sabiranje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne množitelje. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne sa razlomcima, već sa frakcioni izrazi. Novi rake će biti otkriven ovdje, da...
Dakle, moramo dodati dva frakciona izraza:
Moramo da imenioci budu isti. I to samo uz pomoć množenje! To nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga, ne mogu dodati jedan na X u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo proizvod nazivnika ispod, da ne zaboravimo:
I, naravno, ne množimo ništa na desnoj strani, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički imenilac na desnoj strani, shvatamo: da biste dobili imenilac x(x+1) u prvom razlomku, morate pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka sa (x+1) . A u drugom razlomku - na x. Ovo dobijate:
Bilješka! Evo zagrada! Ovo su grablje na koje mnogi ljudi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihovo odsustvo. Zagrade se pojavljuju jer se množimo sve brojilac i sve imenilac! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojiocu desne strane upisujemo zbir brojilaca, sve je kao u brojevnim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojiocu desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo šta množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobijamo:
Tako da smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Kada riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojevremeno savladali razlomke sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!
I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zaglave na primjerima cijeli brojevi. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne morate ga nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali veoma jednostavno! 2=2/1. Volim ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojilac je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa, osvježeno je znanje o sabiranju i oduzimanju razlomaka. Ponavljalo se pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Također se možete provjeriti. Hoćemo li to malo riješiti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve operacije sa razlomcima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, pogledajte možete li skratiti razlomak koji ste dobili.
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima, primjeri:
,
,
Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.
Ako je potrebno oduzeti razlomak od jedinice koja je pravilna, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka, njen nazivnik je jednak nazivniku oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:
Imenilac razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. predstavljamo jedan kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.
Pravila za oduzimanje razlomaka - tačno od celog broja (prirodni broj):
- Zadane razlomke koji sadrže cijeli broj pretvaramo u nepravilne. Dobijamo normalne članove (nije bitno da li imaju različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
- Zatim izračunavamo razliku između frakcija koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
- Izvodimo obrnutu transformaciju, odnosno oslobađamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.
Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: predstavite prirodni broj kao mješoviti broj. One. Uzimamo jedinicu prirodnog broja i pretvaramo je u oblik nepravilnog razlomka, pri čemu je imenilac isti kao i kod oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja razlomaka:
U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i oduzeli razlomak od razlomka.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke prvo svesti na najmanji zajednički imenilac (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka sa istim nazivnicima.
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su imenioci ovih razlomaka.
Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore, onda se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak je najbolje predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!
Postupak za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
- pronaći LCM za sve nazivnike;
- staviti dodatne faktore za sve razlomke;
- pomnožiti sve brojioce dodatnim faktorom;
- Dobivene proizvode upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički imenilac pod svim razlomcima;
- oduzmi brojioce razlomaka, potpisujući zajednički imenilac ispod razlike.
Na isti način se vrši sabiranje i oduzimanje razlomaka ako u brojniku postoje slova.
Oduzimanje razlomaka, primjeri:
Oduzimanje mješovitih razlomaka.
At oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog dijela, a razlomak se oduzima od razlomka.
Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Ako su razlomci isto imenioci i brojilac razlomnog dela minusa (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomnog dela oduzetog (oduzimamo ga).
Na primjer:
Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Kada su razlomci drugačije imenioci. Za početak, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, a nakon toga cijeli dio oduzimamo od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Na primjer:
Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.
primjer:
Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, prvo obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.
Brojilac razlomnog dijela minusa manji je od brojnika razlomnog dijela oduzetog.3 < 14. To znači da od cijelog dijela uzimamo jedinicu i ovu jedinicu svedemo na oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.
U brojiocu na desnoj strani upisujemo zbir brojilaca, zatim otvaramo zagrade u brojniku na desnoj strani, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. Dobijamo:
Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa sličnim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke sa sličnim nazivnicima. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. Učenje rada sa razlomcima sa sličnim nazivnicima jedan je od kamena temeljaca učenja rada s algebarskim razlomcima. Konkretno, razumijevanje ove teme će olakšati savladavanje složenije teme - sabiranja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa sličnim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera
Pravilo za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa sličnim nazivnicima
Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih razlomaka od jedan-na-ti-mi know-me-na-te-la-mi (poklapa se sa analognim pravilom za obične udarce): To je za sabiranje ili izračunavanje al-geb-ra-i-che-skih razlomaka sa jedan-na-tima know-me-on-the-la-mi neophodno je -ho-di-mo-sastaviti odgovarajući al-geb-ra-i-che-zbroj brojeva, a znak-me-na-tel ostaviti bez ikakvih.
Ovo pravilo razumijemo i za primjer običnih ven-draw-a i za primjer al-geb-ra-i-che-draw-a.
Primjeri primjene pravila za obične razlomke
Primjer 1. Dodajte razlomke: .
Rješenje
Dodajmo broj razlomaka, a znak ostavimo istim. Nakon toga, razlažemo broj i potpisujemo se u jednostavne množevine i kombinacije. Hajde da ga shvatimo: 
.
Napomena: standardna greška koja je dozvoljena pri rješavanju sličnih tipova primjera, za -klu-cha-et-sya u sljedećem mogućem rješenju: 
. Ovo je velika greška, jer je znak ostao isti kao što je bio u originalnim razlomcima.
Primjer 2. Dodajte razlomke: .
Rješenje
Ovaj se ni po čemu ne razlikuje od prethodnog: .
Primjeri primjene pravila za algebarske razlomke
Od običnih dro-beats-a prelazimo na al-geb-ra-i-che-skim.
Primjer 3. Dodajte razlomke: .
Rješenje: kao što je već spomenuto, sastav al-geb-ra-i-che-frakcija se ni na koji način ne razlikuje od riječi iste kao i uobičajene borbe. Stoga je metoda rješenja ista: .
Primjer 4. Vi ste razlomak: .
Rješenje
You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih razlomaka od sabiranja samo zbog činjenice da je u broju pi-sy-va-et-sya razlika u broju korištenih razlomaka. Zbog toga .
Primjer 5. Vi ste razlomak: .
Rješenje: .
Primjer 6. Pojednostavite: .
Rješenje: .
Primjeri primjene pravila praćenog redukcijom
U razlomku koji ima isto značenje kao rezultat slaganja ili izračunavanja, kombinacije su moguće nia. Osim toga, ne treba zaboraviti na ODZ al-geb-ra-i-che-skih frakcija.
Primjer 7. Pojednostavite: .
Rješenje: .
Gdje . Općenito, ako se ODZ početnih razlomaka poklapa sa ODZ ukupnog iznosa, onda se može izostaviti (na kraju krajeva, razlomak koji je u odgovoru, također neće postojati s odgovarajućim značajnim promjenama). Ali ako se ODZ korištenih razlomaka i odgovor ne podudaraju, tada je potrebno navesti ODZ.
Primjer 8. Pojednostavite: .
Rješenje: . Istovremeno, y (ODZ početnih razlomaka se ne poklapa sa ODZ rezultata).
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Da bismo dodali i pročitali al-geb-ra-i-che-razlomke sa različitim know-me-on-the-la-mi, radimo ana-lo-giyu sa običnim-ven-ny razlomcima i prenosimo ga u al-geb -ra-i-che-razlomci.
Pogledajmo najjednostavniji primjer za obične razlomke.
Primjer 1. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak s razlomkom, potrebno ga je dovesti do zajedničkog znaka. U ulozi opšteg znaka za obične razlomke nastupate najmanji zajednički višekratnik(NOK) početni znakovi.
Definicija
Najmanji broj, koji je istovremeno podijeljen na brojeve i.
Da biste pronašli NOC, morate rastaviti znanje na jednostavne skupove, a zatim odabrati sve što ima mnogo, koji su uključeni u podelu oba znaka.
; . Tada LCM brojeva mora uključivati dvije dvojke i dvije trojke: .
Nakon pronalaženja opšteg znanja, potrebno je da svaki od razlomaka pronađe potpuni rezident višestrukosti (zapravo, da se zajednički znak prelije na znak odgovarajućeg razlomka).
Zatim se svaki razlomak množi sa polovičnim faktorom. Uzmimo neke razlomke od istih koje poznajete, saberite ih i pročitajte.-učeno u prethodnim lekcijama.
Idemo jesti: 
.
odgovor:.
Pogledajmo sada sastav al-geb-ra-i-che-razlomaka s različitim predznacima. Pogledajmo sada razlomke i vidimo postoje li brojevi.
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima
Primjer 2. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Al-go-ritam odluke ab-so-lyut-ali ana-lo-gi-chen na prethodni primjer. Lako je uzeti zajednički znak datih razlomaka: i dodatne množitelje za svaki od njih.
.
odgovor:.
Dakle, formirajmo se al-go-ritam sabiranja i računanja al-geb-ra-i-che-skih razlomaka sa različitim predznacima:
1. Pronađite najmanji zajednički znak razlomka.
2. Naći dodatne množitelje za svaki od razlomaka (zaista, zajednički znak znaka je dat -ti razlomak).
3. Do-više brojeva na odgovarajućim do-punim višestrukostima.
4. Sabirajte ili izračunajte razlomke, koristeći sabiranje pravog malog i računajući razlomke sa istim znanjem -me-na-te-la-mi.
Pogledajmo sada primjer s razlomcima, u čijem znaku se nalaze slova vi -nia.
Možete izvoditi razne operacije s razlomcima, na primjer, zbrajanje razlomaka. Sabiranje razlomaka može se podijeliti na nekoliko tipova. Svaka vrsta sabiranja razlomaka ima svoja pravila i algoritam radnji. Pogledajmo svaku vrstu dodatka detaljno.
Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Pogledajmo primjer kako sabirati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Turisti su išli na pješačenje od tačke A do tačke E. Prvog dana hodali su od tačke A do B ili \(\frac(1)(5)\) cijele staze. Drugog dana hodali su od tačke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliko su putovali od početka putovanja do tačke D?
Da biste pronašli udaljenost od tačke A do tačke D, potrebno je da saberete razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Zbrajanje razlomaka sa sličnim nazivnicima znači da morate sabrati brojioce ovih razlomaka, ali nazivnik će ostati isti.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
U doslovnom obliku, zbir razlomaka sa istim nazivnicima će izgledati ovako:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti su cijelim putem hodali \(\frac(3)(5)\).
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Pogledajmo primjer:
Trebate dodati dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Da biste sabrali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim koristite pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički imenilac će biti broj 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) se mora pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\ ) mora se pomnožiti sa 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \puta \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
U doslovnom obliku dobijamo sljedeću formulu:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Do sabiranja dolazi po zakonu sabiranja.
Za miješane frakcije dodajemo cijele dijelove s cijelim dijelovima i razlomke s razlomcima.
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste imenioce, tada zbrajamo brojioce, ali imenilac ostaje isti.
Dodajmo mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(crvena) (1) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( plava) (\frac(6)(11)) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički imenilac.
Izvršimo sabiranje mješovitih brojeva \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Imenilac je drugačiji, pa moramo pronaći zajednički imenilac, jednak je 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) sa 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \puta \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\puta \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana pitanja:
Kako sabirati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti o kakvoj se vrsti izraza radi: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički imenilac, a zatim slijediti pravilo sabiranja razlomaka sa istim nazivnicima.
Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: zbrajamo cijele dijelove sa cijelim brojevima i razlomke s razlomcima.
Primjer #1:
Može li zbir dva rezultirati pravim razlomkom? Nepravilan razlomak? Navedite primjere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, on je rezultat zbira dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravilan razlomak, on je rezultat zbira pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na oba pitanja je da.
Primjer #2:
Dodajte razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \puta \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primjer #3:
Zapišite mješoviti razlomak kao zbir prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primjer #4:
Izračunajte zbir: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\puts 3)(5\puts 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadatak #1:
Za ručkom smo jeli \(\frac(8)(11)\) od kolača, a navečer za večerom \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je torta u potpunosti pojedena ili nije?
Rješenje:
Imenitelj razlomka je 11, on označava na koliko je dijelova podijeljen kolač. Za ručkom smo pojeli 8 komada torte od 11. Na večeri smo pojeli 3 komada torte od 11. Dodajmo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade torte od 11, odnosno cijelu tortu.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: cijela torta je pojedena.