Posebni slučajevi opće jednačine prave:

i ako C= 0, jednačina (2) će imati oblik

Sjekira + By = 0,

a prava linija definisana ovom jednačinom prolazi kroz ishodište, pošto su koordinate ishodišta x = 0, y= 0 zadovoljava ovu jednačinu.

b) Ako u opštoj jednačini prave (2) B= 0, tada jednačina poprima oblik

Sjekira + WITH= 0, ili .

Jednačina ne sadrži varijablu y, a prava linija definisana ovom jednačinom je paralelna sa osom Oy.

c) Ako u opštoj jednačini prave (2) A= 0, tada će ova jednačina poprimiti oblik

By + WITH= 0, ili ;

jednadžba ne sadrži varijablu x, a prava linija koju definira je paralelna s osi Ox.

Treba imati na umu: ako je ravna linija paralelna nekoj koordinatnoj osi, tada u njenoj jednadžbi nema pojma koji sadrži koordinate istog imena kao i ova os.

d) Kada C= 0 i A= 0 jednačina (2) poprima oblik By= 0, ili y = 0.

Ovo je jednadžba ose Ox.

d) Kada C= 0 i B= 0 jednačina (2) će biti zapisana u obliku Sjekira= 0 ili x = 0.

Ovo je jednadžba ose Oy.

Relativni položaj linija na ravni. Ugao između pravih linija na ravni. Uslov za paralelne prave. Uslov okomitosti pravih.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektori S 1 i S 2 se nazivaju vodiči za svoje linije.

Ugao između pravih l 1 i l 2 određen je uglom između vektora pravca.
Teorema 1: cos ugla između l 1 i l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorema 2: Da bi 2 reda bile jednake potrebno je i dovoljno:

Teorema 3: Da bi 2 prave bile okomite potrebno je i dovoljno:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Jednačina u opštoj ravni i njeni posebni slučajevi. Jednačina ravnine u segmentima.

Opća jednačina u ravnini:

Ax + By + Cz + D = 0

Posebni slučajevi:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – ravan prolazi kroz početak

2. S=0 Ax+By+D = 0 – ravan || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – ravan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – ravan || OX

5. A=0 i D=0 By+Cz = 0 – ravan prolazi kroz OX

6. B=0 i D=0 Ax+Cz = 0 – ravan prolazi kroz OY

7. C=0 i D=0 Ax+By = 0 – ravan prolazi kroz OZ

Relativni položaj ravnina i pravih linija u prostoru:

1. Ugao između pravih linija u prostoru je ugao između njihovih vektora pravca.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Ugao između ravnina je određen kroz ugao između njihovih vektora normale.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Kosinus ugla između prave i ravni se može naći kroz sin ugla između vektora pravca prave i vektora normale ravni.

4. 2 ravno || u svemiru kada njihova || vektorski vodiči

5. 2 aviona || kada || normalni vektori

6. Na sličan način se uvode pojmovi okomitosti pravih i ravni.

Pitanje br. 14

Različite vrste jednačine prave na ravni (jednačina prave u segmentima, sa ugaonim koeficijentom itd.)

Jednačina prave linije u segmentima:
Pretpostavimo da je u opštoj jednačini prave:

1. C = 0 Ah + Vu = 0 – prava prolazi kroz početak.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Vu = 0 u = 0

Jednačina prave linije sa nagibom:

Svaka ravna linija koja nije jednaka osi op-amp (B nije = 0) može se zapisati u sljedećem redu. oblik:

k = tanα α – ugao između prave i pozitivno usmerene linije OX

b – tačka preseka prave linije sa osom op-amp

dokument:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Jednačina prave linije zasnovana na dvije tačke:

Pitanje br. 16

Konačna granica funkcije u tački i za x→∞

Krajnja granica na x0:

Broj A naziva se granica funkcije y = f(x) za x→x 0 ako za bilo koje E > 0 postoji b > 0 tako da za x ≠x 0 zadovoljava nejednakost |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Granica je označena sa: = A

Krajnja granica u tački +∞:

Broj A naziva se granica funkcije y = f(x) na x → + ∞ , ako za bilo koje E > 0 postoji C > 0 takvo da je za x > C nejednakost |f(x) - A|< Е

Granica je označena sa: = A

Krajnja granica u tački -∞:

Broj A naziva se granica funkcije y = f(x) za x→-∞, ako za bilo koju E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednačine koje određuju pravac koji prolazi dati poen kolinearno vektoru pravca.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine ravno.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednaki su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Vjerujući onda u datom sistemu jednačine y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

Prava koja prolazi kroz tačku K(x 0 ; y 0) i paralelna je pravoj y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Gdje je k nagib prave.

Alternativna formula:
Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1 ; y 1) i paralelna je sa pravom Ax+By+C=0 predstavljena je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Primjer br. 1. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku M 0 (-2,1) i istovremeno:
a) paralelno sa pravom 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na pravu 2x+3y -7 = 0.
Rješenje . Zamislimo jednačinu sa nagibom u obliku y = kx + a. Da biste to učinili, prenesite sve vrijednosti osim y na desna strana: 3y = -2x + 7 . Zatim podijelite desnu stranu sa faktorom 3. Dobijamo: y = -2/3x + 7/3
Nađimo jednačinu NK koja prolazi kroz tačku K(-2;1), paralelnu pravoj liniji y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 dobijamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0

Primjer br. 2. Napišite jednačinu prave paralelne pravoj 2x + 5y = 0 i formirajući zajedno sa koordinatnim osa trokut čija je površina 5.
Rješenje . Pošto su prave paralelne, jednačina željene prave je 2x + 5y + C = 0. Površina pravougaonog trougla, gdje su a i b njegove noge. Nađimo točke presjeka željene linije sa koordinatnim osama:
;
.
Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamijenimo ga u formulu za površinu: . Dobijamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y – 10 = 0.

Primjer br. 3. Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku (-2; 5) i paralelna je sa pravom 5x-7y-4=0.
Rješenje. Ova prava linija se može predstaviti jednačinom y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ovdje a = 5 / 7). Jednačina željene linije je y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer br. 4. Nakon što smo riješili primjer 3 (A=5, B=-7) koristeći formulu (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Primjer br. 5. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku (-2;5) i paralelna je sa pravom 7x+10=0.
Rješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primjenjiva, jer zadata jednačina ne može se riješiti u odnosu na y (ova linija je paralelna sa ordinatom).

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama sa nagibom

y = k 1 x + B 1 ,

Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Kako prava prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelna sa ordinatnom osom. Njegova jednačina je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, onda se jednačina prave može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna sa apscisnom osom.

Jednačina prave u segmentima

Neka prava siječe osu Ox u tački M 1 (a;0), a os Oy u tački M 2 (0;b). Jednačina će poprimiti oblik:
one.
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente linija odsijeca na koordinatnim osama.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku Mo (x O; y o) okomito na dati vektor koji nije nula n = (A; B).

Uzmimo proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n= (A; B), okomit na pravu, naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni pojam. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave(vidi sliku 2).

Sl.1 Sl.2

Kanonske jednadžbe prave

Gdje
- koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R centriran u tački
:

Konkretno, ako se središte udjela poklapa s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke I , koji se nazivaju fokusi, je konstantna veličina
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina velike poluose; b – dužina male poluose (sl. 2).