U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure, ograničena linijama, koristeći proračune pomoću integrala. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili proučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
Vještine rješavanja definitivni integral koristeći čuvenu Newton-Leibniz formulu;
Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Ovako rješavamo problem grafička metoda. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Hajde da razmotrimo različiti primjeri o pronalaženju površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN u ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što datu funkciju nije pozitivan, i dalje je kontinuiran u intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Počinjemo razmatrati stvarni proces izračunavanja dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral numerički jednaka površini ravna figura(regije integracije). Ovo najjednostavniji oblik dvostruki integral, kada je funkcija dvije varijable jednaka jednoj: .

Hajde da prvo razmotrimo problem u opšti pogled. Sada ćete biti prilično iznenađeni koliko je sve zaista jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure ograničene linijama. Radi određenosti, pretpostavljamo da je na segmentu . Površina ove figure je brojčano jednaka:

Opišimo područje na crtežu:

Odaberimo prvi način da pređemo područje:

ovako:

I odmah važna tehnička tehnika: iterirani integrali se mogu posebno izračunati. Prvo unutrašnji integral, pa spoljni integral. Toplo preporučujem ovu metodu početnicima u ovoj temi.

1) Izračunajmo unutrašnji integral, a integracija se vrši preko varijable “y”:

Neodređeni integral je ovdje najjednostavniji, a zatim se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s jedinom razlikom da granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo su ga stavili u "Y" ( antiderivativna funkcija) gornja granica, zatim donja granica

2) Rezultat dobijen u prvom paragrafu mora se zamijeniti eksternim integralom:

Kompaktniji prikaz cjelokupnog rješenja izgleda ovako:

Rezultirajuća formula - to je tačno radna formula izračunati površinu ravne figure koristeći "običan" definitivni integral! Gledajte lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, tu je na svakom koraku!

To je, problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala nije mnogo drugačije iz problema pronalaženja površine pomoću određenog integrala! U stvari, to je ista stvar!

Shodno tome, ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća! Neću se osvrtati na mnogo primjera, jer ste se vi, zapravo, više puta susreli s ovim zadatkom.

Primjer 9

Rješenje: Opišimo područje na crtežu:

Hajde da izaberemo sledeća narudžba zaobilazeći područje:

Ovdje i dalje neću se zadržavati na tome kako preći područje, jer su u prvom pasusu data vrlo detaljna objašnjenja.

ovako:

Kao što sam već napomenuo, za početnike je bolje da izračunaju iterirane integrale odvojeno, a ja ću se držati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibniz formulu, bavimo se unutrašnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se u eksterni integral:

Tačka 2 je zapravo pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

odgovor:

Ovo je tako glup i naivan zadatak.

Zanimljiv primjer za samostalno rješenje:

Primjer 10

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama , ,

Približan uzorak finalizacija rješenja na kraju lekcije.

U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvu metodu prelaska područja; radoznali čitatelji, inače, mogu promijeniti redoslijed obilaska i izračunati površine pomoću druge metode. Ako ne pogriješite, tada ćete, naravno, dobiti iste vrijednosti površine.

Ali u nekim slučajevima, drugi način prelaska područja je učinkovitiji, a na kraju tečaja za mlade štrebere, pogledajmo još nekoliko primjera na ovu temu:

Primjer 11

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama,

Rješenje: Radujemo se dvije parabole s quirk koje leže na njihovim stranama. Nema potrebe da se smiješite, slične stvari se često dešavaju u više integrala.

Kako je najlakše napraviti crtež?

Zamislimo parabolu u obliku dvije funkcije:
– gornja grana i – donja grana.

Slično, zamislite parabolu u obliku gornjeg i donjeg grane.

Zatim, crtanje pravila grafova po tačkama, što rezultira tako bizarnom figurom:

Izračunavamo površinu figure pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Šta će se dogoditi ako odaberemo prvi način prelaska područja? Prvo, ovo područje će se morati podijeliti na dva dijela. I drugo, posmatraćemo ovu tužnu sliku: . Integrali, naravno, nisu na nekom superkomplikovanom nivou, ali... postoji stara matematička izreka: onima koji su blizu korena nije potreban test.

Stoga, iz nesporazuma datog u uvjetu, izražavamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije u ovom primjeru imaju prednost što određuju cijelu parabolu odjednom bez ikakvih listova, žira, grana i korijena.

Prema drugoj metodi, obilazak područja će biti sljedeći:

ovako:

Kako kažu, osjetite razliku.

1) Bavimo se unutrašnjim integralom:

Zamjenjujemo rezultat u vanjski integral:

Integracija preko varijable “y” ne bi trebala biti zbunjujuća; da postoji slovo “zy”, bilo bi sjajno integrirati preko njega. Mada ko je pročitao drugi pasus lekcije Kako izračunati zapreminu tela rotacije, on više ne doživljava ni najmanju nespretnost sa integracijom po "Y" metodi.

Obratite pažnju i na prvi korak: integrand je paran, a interval integracije je simetričan oko nule. Dakle, segment se može prepoloviti, a rezultat se može udvostručiti. Ova tehnika je detaljno komentarisana u lekciji. Efikasne metode izračunavanje određenog integrala.

Šta dodati…. Sve!

odgovor:

Da biste testirali svoju tehniku integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.

Primjer 12

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zanimljivo je primijetiti da ako pokušate koristiti prvi način prelaska područja, figura više neće morati biti podijeljena na dva, već na tri dijela! I, shodno tome, dobijamo tri para ponovljenih integrala. Ponekad se to desi.

Majstorska klasa je privedena kraju i vrijeme je da pređemo na velemajstorski nivo - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušaću da ne budem toliko manijalan u drugom članku =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Rješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Odaberemo sljedeći redoslijed obilaženja područja:

ovako:
Pređimo na inverzne funkcije:

ovako:
odgovor:

Primjer 4:Rješenje: Pređimo na direktne funkcije:

Napravimo crtež:

Promijenimo redoslijed prelaska područja:

odgovor:

U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili proučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibnizovu formulu;
Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Rješenje.

Prvo i najvažniji trenutak rješenja - crtež crtež.

Napravimo crtež:

Jednačina y=0 postavlja “x” os;

- x=-2 I x=1 - ravno, paralelno sa osom OU;

- y=x 2 +2 - parabola, čije su grane usmjerene prema gore, sa vrhom u tački (0;2).

Komentar. Za konstruisanje parabole dovoljno je pronaći tačke njenog preseka sa koordinatnim osama, tj. stavljanje x=0 pronađite presek sa osom OU i odlučivanje u skladu s tim kvadratna jednačina, pronađite sjecište s osom Oh .

Vrh parabole se može pronaći pomoću formula:

Također možete graditi linije tačku po tačku.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nalazi iznad ose Ox , Zbog toga:

odgovor: S =9 sq. jedinica

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine Oh?

b) Izračunajte površinu figure ograničene linijama y=-e x , x=1 i koordinatne ose.

Rješenje.

Hajde da napravimo crtež.

Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose Oh , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:

odgovor: S=(e-1) kv. jedinica" 1,72 kv

Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijsko značenje, onda može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni.

sa) Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y=2x-x 2, y=-x.

Rješenje.

Prvo morate dovršiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i ravno Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička.

Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije a=0 , gornja granica integracije b=3 .

Zadate prave gradimo: 1. Parabola - vrh u tački (1;1); presek osovine Oh - bodova (0;0) i (0;2). 2. Prava - simetrala 2. i 4. koordinatnog ugla. A sada Pažnja! Ako na segmentu [ a;b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako nekom kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule: .

I nije bitno gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već je bitno koji je graf VIŠI (u odnosu na drugi graf), a koji ISPOD. U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Možete konstruisati linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne).

Željena figura ograničena je parabolom iznad i pravom linijom ispod.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor: S =4,5 sq. jedinica

Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure

Idemo dalje na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak – kako koristiti određeni integral za izračunavanje površine ravne figure. Konačno, oni koji traže smisao u višoj matematici – neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu, morat ćete aproksimirati dacha parcelu pomoću elementarnih funkcija i pronaći njeno područje pomoću određenog integrala.

Da biste uspješno savladali gradivo, morate:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na prosječnom nivou. Stoga, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.

2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose sa određenim integralima Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, mnogo više aktuelno pitanje biće vaše znanje i veštine u crtanju. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnog elementarne funkcije, i, u najmanju ruku, biti u stanju konstruirati pravu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (za mnoge je neophodno) korištenjem metodološki materijal i članci o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svima je još od škole poznat zadatak pronalaženja površine pomoću određenog integrala i nećemo ići mnogo dalje od školski program. Ovaj članak možda uopće nije postojao, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada učenik pati od omražene škole i sa entuzijazmom savlada predmet više matematike.

Materijali ove radionice predstavljeni su jednostavno, detaljno i sa minimumom teorije.

Počnimo sa zakrivljenim trapezom.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom funkcije kontinuirane na intervalu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-osa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisna činjenica. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija tačka u odluci je izrada crteža. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija tačku po tačku, tehnika gradnje točka po tačku može se naći u referentni materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Zakrivljeni trapez neću šrafirati, ovdje se vidi kolika je površina mi pričamo o tome. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:

odgovor:

Koji ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničene linijama, , i osi

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:

Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate završiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Tehnika građenja tačku po tačku za različite grafove detaljno je razmotrena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se pri konstruisanju po tačkama granice integracije najčešće otkrivaju „automatski“.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veće ili jednako neke kontinuirane funkcije , tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završeno rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom iznad i pravom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Budući da je os specificirana jednadžbom, a graf funkcije je lociran ne viši sjekire, dakle

A sada par primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure ograničenu linijama , .

Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... pronađena je površina pogrešne figure, upravo ovako je nekoliko puta zeznuo tvoj ponizni sluga. Evo pravi slučaj iz života:

Primjer 7

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Prvo, napravimo crtež:

...Eh, crtež je ispao sranje, ali sve izgleda čitljivo.

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar" da morate pronaći područje figure koja je zasjenjena zeleno!

Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;

2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Pređimo na još jedan značajan zadatak.

Primjer 8

Izračunajte površinu figure ograničene linijama,
Hajde da predstavimo jednačine u "školskom" obliku i napravimo crtež tačku po tačku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica „dobra“: .
Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to? Možda ? Ali gde je garancija da je crtež napravljen sa savršenom tačnošću, može se ispostaviti da... Ili korijen. Šta ako smo pogrešno napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo tačke preseka prave i parabole.
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

,

Zaista, .

Dalje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima; proračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , ,

Rješenje: Hajde da prikažemo ovu cifru na crtežu.

Prokletstvo, zaboravio sam da potpišem raspored i, izvini, nisam htio da ponavljam sliku. Nije dan za crtanje, ukratko, danas je dan =)

Za konstrukciju točka po tačku morate znati izgled sinusoidi (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se naći u trigonometrijska tabela. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati šematski crtež na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede direktno iz uslova: “x” se mijenja od nule do “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle:

Područje figure ograničeno linijama na mreži. Online kalkulator. Izračunajte definitivni integral (površinu zakrivljenog trapeza)

Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure