Krugovi zahtijevaju pažljiviji pristup i mnogo su rjeđi u zadacima B5. Istovremeno, opća shema rješenja je još jednostavnija nego u slučaju poligona (vidi lekciju „Površine poligona na koordinatnoj mreži“).

Sve što je potrebno u takvim zadacima je pronaći polumjer kružnice R. Tada možete izračunati površinu kruga pomoću formule S = πR 2. Iz ove formule također slijedi da je za njeno rješavanje dovoljno pronaći R 2.

Da biste pronašli naznačene vrijednosti, dovoljno je naznačiti tačku na kružnici koja leži na sjecištu linija mreže. I onda upotrijebite Pitagorinu teoremu. Pogledajmo konkretne primjere izračunavanja radijusa:

Zadatak. Pronađite poluprečnike tri kružnice prikazane na slici:

Izradimo dodatne konstrukcije u svakom krugu:

U svakom slučaju, tačka B je izabrana na kružnici da leži na preseku linija mreže. Tačka C u krugovima 1 i 3 dovršite figuru do pravokutnog trokuta. Ostaje pronaći poluprečnike:

Razmotrimo trougao ABC u prvom krugu. Prema Pitagorinoj teoremi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Za drugi krug sve je očigledno: R = AB = 2.

Treći slučaj je sličan prvom. Iz trougla ABC koristeći Pitagorinu teoremu: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Sada znamo kako pronaći polumjer kružnice (ili barem njenog kvadrata). Stoga možemo pronaći područje. Postoje problemi u kojima morate pronaći područje sektora, a ne cijeli krug. U takvim slučajevima lako je saznati koji je dio kruga ovaj sektor, a samim tim i područje.

Zadatak. Pronađite područje S zasjenjenog sektora. Molimo navedite S/π u svom odgovoru.

Očigledno, sektor je jedna četvrtina kruga. Dakle, S = 0,25 S krug.

Ostaje pronaći S kruga - područje kruga. Da bismo to učinili, izvodimo dodatnu konstrukciju:

Trougao ABC je pravougli trougao. Prema Pitagorinoj teoremi imamo: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Sada nalazimo površinu kruga i sektora: S krug = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krug = 2π.

Konačno, željena vrijednost je S /π = 2.

Sektorska oblast sa nepoznatim radijusom

Ovo je potpuno nova vrsta zadatka, ništa slično nije bilo 2010-2011. Prema uslovu, dat nam je krug određene površine (naime površina, a ne poluprečnik!). Zatim se unutar ovog kruga odabire sektor, čije područje treba pronaći.

Dobra vijest je da su takvi problemi najlakši od svih problema iz oblasti koji se pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Osim toga, krug i sektor se uvijek postavljaju na koordinatnu mrežu. Stoga, da biste naučili kako riješiti takve probleme, samo pogledajte sliku:

Neka prvobitni krug ima površinu S = 80. Tada se može podijeliti na dva sektora sa površinom S = 40 svaki (vidi korak 2). Slično tome, svaki od ovih „polovina“ sektora može se ponovo podijeliti na pola - dobijamo četiri sektora površine S = 20 svaki (pogledajte korak 3). Konačno, svaki od ovih sektora možemo podijeliti na još dva - dobićemo 8 „otpakovanih“ sektora. Površina svakog od ovih "otpada" bit će S = 10.

Imajte na umu: nema finije podjele ni u jednom USE matematičkom problemu! Dakle, algoritam za rješavanje problema B-3 je sljedeći:

1. Izrežite originalni krug na 8 "otrezaka" sektora. Površina svakog od njih je tačno 1/8 površine cijelog kruga. Na primjer, ako u skladu sa uslovom krug ima površinu S kruga = 240, tada "otpadci" imaju površinu S = 240: 8 = 30;
2. Saznajte koliko "otpada" stane u originalni sektor, čiju površinu treba pronaći. Na primjer, ako naš sektor sadrži 3 „otcjepa“ s površinom od 30, tada je površina željenog sektora S = 3 · 30 = 90. Ovo će biti odgovor.

To je sve! Problem se rješava praktično usmeno. Ako nešto i dalje nije jasno, kupite pizzu i isecite je na 8 delova. Svaki takav komad će biti isti sektor-„otrezci“ koji se mogu kombinirati u veće komade.

Pogledajmo sada primjere sa probnog Jedinstvenog državnog ispita:

Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug površine 40. Pronađite površinu osjenčane figure.

Dakle, površina kruga je 40. Podijelite ga na 8 sektora - svaki s površinom S = 40: 5 = 8. Dobijamo:

Očigledno, zasjenjeni sektor se sastoji od tačno dva sektora "otpada". Dakle, njegova površina je 2 · 5 = 10. To je cijelo rješenje!

Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug površine 64. Pronađite površinu osjenčane figure.

Ponovo podijelite cijeli krug na 8 jednakih sektora. Očigledno, područje jednog od njih je upravo ono što treba pronaći. Dakle, njegova površina je S = 64: 8 = 8.

Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug površine 48. Pronađite površinu osjenčane figure.

Ponovo podijelite krug na 8 jednakih sektora. Površina svakog od njih jednaka je S = 48: 8 = 6. Traženi sektor sadrži tačno tri "otpadna" sektora (vidi sliku). Dakle, površina traženog sektora je 3 6 = 18.

Instrukcije

Koristite Pi da biste pronašli polumjer poznate površine kruga. Ova konstanta postavlja proporciju između prečnika kruga i dužine njegove granice (kružnice). Dužina kruga je maksimalna površina ravni koja se može prekriti uz njegovu pomoć, a prečnik je jednak dva poluprečnika, pa se površina i poluprečnik takođe odnose jedni na druge sa proporcijom koja se može izraziti kroz broj Pi. Ova konstanta (π) je definirana kao površina (S) i kvadrat polumjera (r) kružnice. Iz ovoga slijedi da se radijus može izraziti kao kvadratni korijen kvocijenta površine podijeljene sa Pi: r=√(S/π).

Erastoten je dugo bio na čelu Aleksandrijske biblioteke, najpoznatije biblioteke antičkog sveta. Osim što je izračunao veličinu naše planete, napravio je niz važnih izuma i otkrića. Izmislio je jednostavnu metodu za određivanje prostih brojeva, koja se sada zove "Erasstofenovo sito".

Nacrtao je “kartu svijeta” u kojoj je pokazao sve dijelove svijeta koje su u to vrijeme poznavali stari Grci. Karta se smatrala jednom od najboljih za svoje vrijeme. Razvio je sistem geografske dužine i širine i kalendar koji je uključivao prestupne godine. Izumio je armilarnu sferu, mehanički uređaj koji su rani astronomi koristili za demonstriranje i predviđanje prividnog kretanja zvijezda na nebu. Takođe je sastavio zvjezdani katalog koji je uključivao 675 zvijezda.

Izvori:

• Grčki naučnik Eratosten iz Kirene prvi je na svijetu izračunao poluprečnik Zemlje
• Eratosten "Izračunavanje Zemljinog obima".
• Eratosten

Kako pronaći površinu kruga? Prvo pronađite radijus. Naučite rješavati jednostavne i složene probleme.

Krug je zatvorena kriva. Bilo koja tačka na liniji kružnice bit će na istoj udaljenosti od središnje točke. Krug je ravna figura, pa je rješavanje problema koji uključuju pronalaženje područja lako. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći površinu kružnice upisane u trokut, trapez, kvadrat i opisanu oko ovih figura.

Da biste pronašli površinu date figure, morate znati koliki su polumjer, promjer i broj π.

Radijus R je udaljenost ograničena središtem kruga. Dužine svih R-radijusa jedne kružnice bit će jednake.

Prečnik D je linija između bilo koje dvije tačke na kružnici koja prolazi kroz središnju tačku. Dužina ovog segmenta jednaka je dužini R-radijusa pomnoženog sa 2.

Broj π je konstantna vrijednost koja je jednaka 3,1415926. U matematici se ovaj broj obično zaokružuje na 3,14.

Formula za pronalaženje površine kruga pomoću radijusa:

Primjeri rješavanja problema za pronalaženje S-površine kruga pomoću R-radijusa:

zadatak: Nađite površinu kruga ako je njegov polumjer 7 cm.

Rješenje: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

odgovor: Površina kruga je 153,86 cm².

Formula za pronalaženje S-površine kruga kroz D-prečnik:

Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje S ako je D poznato:

————————————————————————————————————————-

zadatak: Pronađite S kruga ako je njegov D 10 cm.

Rješenje: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

odgovor: Površina ravne kružne figure je 78,5 cm².

Nalaženje S kruga ako je poznat obim:

Prvo nađemo čemu je jednak polumjer. Obim kruga se izračunava po formuli: L=2πR, odnosno radijus R će biti jednak L/2π. Sada nalazimo površinu kruga koristeći formulu kroz R.

Pogledajmo rješenje koristeći primjer problema:

———————————————————————————————————————-

zadatak: Nađite površinu kruga ako je poznat obim L - 12 cm.

Rješenje: Prvo nalazimo poluprečnik: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Sada nalazimo površinu kroz poluprečnik: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

odgovor: Površina kruga je 11,46 cm².

Lako je pronaći površinu kruga upisanog u kvadrat. Strana kvadrata je prečnik kruga. Da biste pronašli radijus, trebate podijeliti stranu sa 2.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat:

Primjeri rješavanja problema pronalaženja površine kruga upisanog u kvadrat:

———————————————————————————————————————

Zadatak #1: Poznata je stranica kvadratne figure, koja je 6 centimetara. Pronađite S-područje upisane kružnice.

Rješenje: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

odgovor: Površina ravne kružne figure je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Zadatak br. 2: Pronađite S kružnice upisane u kvadratnu figuru i njen polumjer ako je jedna strana a=4 cm.

Odlučite se na ovaj način: Prvo nalazimo R=a/2=4/2=2 cm.

Sada pronađimo površinu kruga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

odgovor: Površina ravne kružne figure je 12,56 cm².

Malo je teže pronaći područje kružne figure opisane oko kvadrata. Ali, znajući formulu, možete brzo izračunati ovu vrijednost.

Formula za pronalaženje S kruga opisanog oko kvadratne figure:

Primjeri rješavanja zadataka o pronalaženju površine kruga opisanog oko kvadratne figure:

Zadatak

Krug koji je upisan u trouglastu figuru je krug koji dodiruje sve tri strane trougla. Možete uklopiti krug u bilo koju trouglastu figuru, ali samo jednu. Središte kružnice će biti presjek simetrala uglova trougla.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u jednakokraki trokut:

Kada je poluprečnik poznat, površina se može izračunati pomoću formule: S=πR².

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trokut:

Primjeri rješavanja problema:

Zadatak br. 1

Ako u ovom problemu također trebate pronaći površinu kruga polumjera 4 cm, to se može učiniti pomoću formule: S=πR²

Zadatak br. 2

Rješenje:

Sada kada je polumjer poznat, možemo pronaći površinu kruga pomoću radijusa. Pogledajte formulu iznad u tekstu.

Zadatak br. 3

Površina kružnice opisane oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta: formula, primjeri rješavanja problema

Sve formule za pronalaženje površine kruga svode se na činjenicu da prvo morate pronaći njegov polumjer. Kada je poluprečnik poznat, pronalaženje površine je jednostavno, kao što je gore opisano.

Površina kružnice opisane oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta nalazi se po sljedećoj formuli:

Primjeri rješavanja problema:

Evo još jednog primjera rješavanja problema pomoću Heronove formule.

Rješavanje takvih problema je teško, ali ih je moguće savladati ako znate sve formule. Takve zadatke učenici rješavaju u 9. razredu.

Područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokraki trapez: formula, primjeri rješavanja problema

Jednakokraki trapez ima dvije jednake stranice. Pravougaoni trapez ima jedan ugao jednak 90º. Pogledajmo kako pronaći površinu kružnice upisane u pravokutni i jednakokraki trapez na primjeru rješavanja problema.

Na primjer, kružnica je upisana u jednakokraki trapez, koji u tački dodira dijeli jednu stranu na segmente m i n.

Da biste riješili ovaj problem, trebate koristiti sljedeće formule:

Pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trapez vrši se pomoću sljedeće formule:

Ako je bočna strana poznata, tada se radijus može pronaći pomoću ove vrijednosti. Visina stranice trapeza jednaka je prečniku kruga, a poluprečnik je pola prečnika. Prema tome, radijus je R=d/2.

Primjeri rješavanja problema:

Trapez se može upisati u krug kada je zbir njegovih suprotnih uglova 180º. Stoga možete upisati samo jednakokraki trapez. Polumjer za izračunavanje površine kružnice opisane oko pravokutnog ili jednakokračnog trapeza izračunava se pomoću sljedećih formula:

Primjeri rješavanja problema:

Rješenje: Velika baza u ovom slučaju prolazi kroz centar, jer je u krug upisan jednakokraki trapez. Centar dijeli ovu bazu tačno na pola. Ako je baza AB 12, onda se radijus R može naći na sljedeći način: R=12/2=6.

odgovor: Radijus je 6.

U geometriji je važno znati formule. Ali nemoguće ih je zapamtiti sve, pa je čak i na mnogim ispitima dozvoljeno koristiti poseban obrazac. Međutim, važno je pronaći pravu formulu za rješavanje određenog problema. Vježbajte rješavanje različitih zadataka kako biste pronašli polumjer i površinu kruga tako da možete ispravno zamijeniti formule i dobiti točne odgovore.

Video: Matematika | Izračunavanje površina kruga i njegovih dijelova

Kao što znamo iz školskog programa, krug se obično naziva ravna geometrijska figura, koja se sastoji od više tačaka jednako udaljenih od centra figure. Pošto su svi na istoj udaljenosti, formiraju krug.

Pogodna navigacija kroz članak:

Kalkulator površine kruga

Segment koji povezuje centar kruga i tačke na njegovom obimu naziva se radijus. Štaviše, u svakom krugu svi polumjeri su međusobno jednaki. Prečnik kružnice je prava linija koja spaja dvije tačke na krugu i prolazi kroz njegovo središte. Sve ovo će nam trebati da pravilno izračunamo površinu kruga. Osim toga, ova vrijednost se izračunava pomoću broja Pi.

Kako izračunati površinu kruga

Na primjer, imamo krug sa radijusom od četiri centimetra. Izračunajmo njegovu površinu: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Dakle, površina kruga je 50,24 kvadratnih centimetara.

Također, postoji posebna formula za izračunavanje površine kruga kroz njegov prečnik: S=(pi/4) d^2.

Pogledajmo primjer takvog izračuna kruga kroz njegov promjer, znajući polumjer figure. Na primjer, imamo krug sa radijusom od četiri centimetra. Prvo morate pronaći prečnik koji je dvostruko veći od samog poluprečnika: d=2R, d=2*4=8.

Sada biste trebali koristiti dobivene podatke da izračunate površinu kruga koristeći gore opisanu formulu: S=((3,14)/4 )*8^2=0,785*64=50,24.

Kao što vidite, na kraju dobijamo isti odgovor kao u prvom slučaju.

Poznavanje gore opisanih standardnih formula za ispravno izračunavanje površine kruga pomoći će vam da lako pronađete vrijednosti koje nedostaju i odredite površinu sektora.

Dakle, znamo da se formula za izračunavanje površine kruga izračunava množenjem konstantne vrijednosti Pi s kvadratom polumjera samog kruga. Sam radijus se može izraziti u terminima stvarnog obima zamjenom izraza u terminima obima u formulu. To je: R=l/2pi.

Sada trebamo zamijeniti ovu jednakost u formulu za izračunavanje površine kruga i kao rezultat dobijamo formulu za pronalaženje površine ove geometrijske figure kroz obim: S=pi((l/2pi) )^2=l^2/(4pi).

Na primjer, dat nam je krug čiji je obim osam centimetara. Vrijednost zamjenjujemo u razmatranu formulu: S=(8^2)/(4*3.14)=64/(12.56)=5. I dobijamo površinu kruga jednaku pet kvadratnih centimetara.

Krug je vidljiva zbirka mnogih tačaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od centra. Da biste pronašli njegovu površinu, morate znati koji su polumjer, prečnik, π broj i obim.

Količine uključene u izračunavanje površine kruga

Udaljenost ograničena središnjom točkom kruga i bilo kojom točkom kružnice naziva se radijus ove geometrijske figure. Dužine svih poluprečnika jedne kružnice su iste. Segment između bilo koje 2 tačke kruga koji prolazi kroz centralnu tačku naziva se prečnik. Dužina prečnika jednaka je dužini poluprečnika pomnoženoj sa 2.

Za izračunavanje površine kruga koristi se vrijednost broja π. Ova vrijednost je jednaka omjeru obima i dužine prečnika kruga i ima konstantnu vrijednost. Π = 3,1415926. Obim se izračunava pomoću formule L=2πR.

Nađite površinu kruga koristeći radijus

Dakle, površina kružnice jednaka je proizvodu broja π i polumjera kruga podignutog na 2. stepen. Kao primjer, uzmimo da je dužina polumjera kruga 5 cm. Tada će površina kruga S biti jednaka 3,14*5^2=78,5 kvadratnih metara. cm.

Površina prečnika kruga

Površina kruga se može izračunati i poznavanjem prečnika kruga. U ovom slučaju, S = (π/4)*d^2, gdje je d prečnik kruga. Uzmimo isti primjer, gdje je polumjer 5 cm. Tada će njegov prečnik biti 5*2=10 cm. Površina kruga je S = 3,14/4*10^2=78,5 sq.cm. Rezultat, jednak zbroju proračuna u prvom primjeru, potvrđuje ispravnost proračuna u oba slučaja.

Površina kruga kroz obim

Ako je polumjer kružnice predstavljen kroz obim, onda će formula imati sljedeći oblik: R=(L/2)π. Zamijenimo ovaj izraz u formulu za površinu kruga i kao rezultat dobijemo S=(L^2)/4π. Razmotrimo primjer u kojem je obim 10 cm. Tada je površina kruga S = (10^2)/4*3,14=7,96 kvadratnih metara. cm.

Površina kruga kroz dužinu stranice upisanog kvadrata

Ako je kvadrat upisan u krug, tada je dužina prečnika kruga jednaka dužini dijagonale kvadrata. Znajući veličinu stranice kvadrata, lako možete saznati prečnik kruga koristeći formulu: d^2=2a^2. Drugim riječima, prečnik na 2. stepen jednak je strani kvadrata na 2. stepen pomnoženoj sa 2.

Nakon što izračunate dužinu promjera kruga, možete saznati njegov polumjer, a zatim koristiti jednu od formula za određivanje površine kruga.

Površina sektora kruga

Sektor je dio kruga ograničen sa 2 radijusa i luk između njih. Da biste saznali njegovu površinu, morate izmjeriti ugao sektora. Nakon toga morate kreirati razlomak čiji će brojilac biti vrijednost ugla sektora, a nazivnik će biti 360. Da biste izračunali površinu sektora, vrijednost dobijena dijeljenjem razlomka mora pomnožiti s površinom kruga, izračunato pomoću jedne od gornjih formula.

Povratak