Krug - geometrijska figura, koji se sastoji od svih tačaka ravnine koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke.
Ova tačka (O) se zove centar kruga.
Radijus kruga- ovo je segment koji povezuje centar sa bilo kojom tačkom na kružnici. Svi radijusi imaju istu dužinu (po definiciji).
Akord- segment koji spaja dvije tačke na kružnici. Zove se tetiva koja prolazi središtem kružnice prečnika. Središte kružnice je središte bilo kojeg prečnika.
Bilo koje dvije tačke na kružnici dijele ga na dva dijela. Svaki od ovih dijelova se zove luk kružnice. Luk se zove polukrug, ako je segment koji povezuje njegove krajeve promjer.
Dužina jediničnog polukruga je označena sa π
.
Zbir stepena mjera dvaju luka kružnice sa zajedničkim krajevima jednak je 360º.
Zove se dio ravni omeđen kružnicom Svuda okolo.
Kružni sektor- dio kružnice omeđen lukom i dva radijusa koji povezuju krajeve luka sa središtem kruga. Zove se luk koji ograničava sektor luk sektora.
Zovu se dva kruga koji imaju zajednički centar koncentrično.
Zovu se dva kruga koji se sijeku pod pravim uglom ortogonalno.
Relativni položaj prave linije i kružnice
- Ako je udaljenost od središta kruga do prave linije manja od polumjera kružnice ( d), tada prava linija i kružnica imaju dva zajedničke tačke. U ovom slučaju se poziva linija secant u odnosu na krug.
- Ako je udaljenost od središta kruga do ravne linije jednaka polumjeru kružnice, tada prava i kružnica imaju samo jednu zajedničku tačku. Ova linija se zove tangenta na kružnicu, a njihova zajednička tačka se zove tačka dodira između prave i kružnice.
- Ako je udaljenost od središta kruga do ravne linije veća od polumjera kružnice, tada će ravna i kružnica nemaju zajedničkih tačaka .
Centralni i upisani uglovi
Centralni ugao je ugao sa svojim vrhom u centru kružnice.
Upisani ugao- ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku kružnicu.
Teorema upisanog ugla
Upisani ugao mjeri se polovinom luka na koji se naginje.
- Zaključak 1.
Upisani uglovi koji savijaju isti luk su jednaki. - Zaključak 2.
Upisani ugao sastavljen polukrugom je pravi ugao.
Teorema o proizvodu segmenata tetiva koje se seku.
Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge tetive.
Osnovne formule
- Obim:
- Dužina kružnog luka:
- Prečnik:
- Dužina kružnog luka:
Gdje α - stepen mera dužina luka kružnice)
- Površina kruga:
- Područje kružnog sektora:
Jednačina kružnice
- U pravougaonom koordinatnom sistemu jednačina kružnice sa poluprečnikom je r centriran u tački C(x o;y o) ima oblik:
- Jednačina kružnice poluprečnika r sa centrom u početku ima oblik:
I krug- geometrijski oblici međusobno povezani. postoji granica slomljena linija(kriva) krug,
Definicija. Krug je zatvorena kriva, čija je svaka tačka jednako udaljena od tačke koja se naziva središte kružnice.
Za konstruiranje kruga odabire se proizvoljna tačka O, uzima se kao središte kruga, a šestarom se crta zatvorena linija.
Ako je tačka O središta kruga povezana sa proizvoljnim tačkama na kružnici, tada će svi rezultujući segmenti biti jednaki jedni drugima, a takvi se segmenti nazivaju radijusi, skraćeno latiničnim malim ili velikim slovom "er" ( r ili R). U krug možete nacrtati onoliko polumjera koliko ima tačaka u dužini kruga.
Segment koji spaja dvije tačke na kružnici i prolazi kroz njeno središte naziva se prečnik. Prečnik sastoji se od dva radijusi, koji leži na istoj pravoj liniji. Prečnik je označen latiničnim malim ili velikim slovom "de" ( d ili D).
Pravilo. Prečnik krug je jednak dvama svojim radijusi.
d = 2r
D=2R
Obim kruga se izračunava po formuli i zavisi od poluprečnika (prečnika) kruga. Formula sadrži broj ¶, koji pokazuje koliko je puta obim veći od njegovog prečnika. Broj ¶ ima beskonačan broj decimalnih mjesta. Za proračune je uzeto ¶ = 3,14.
Obim kruga je označen latiničnim velikim slovom "tse" ( C). Obim kruga je proporcionalan njegovom prečniku. Formule za izračunavanje obima kruga na osnovu njegovog poluprečnika i prečnika:
C = ¶d
C = 2¶r
- Primjeri
- Dato: d = 100 cm.
- Opseg: C=3.14*100cm=314cm
- Dato: d = 25 mm.
- Opseg: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm
Kružni sekans i kružni luk
Svaka sekansa (prava) siječe kružnicu u dvije tačke i dijeli je na dva luka. Veličina luka kružnice ovisi o udaljenosti između centra i sekante i mjeri se duž zatvorene krivulje od prve točke presjeka sekansa sa kružnicom do druge.
Arcs krugovi su podeljeni secant u veliki i mol ako sekans ne poklapa sa prečnikom, i u dva jednaka luka ako sekans prolazi duž prečnika kružnice.
Ako sekansa prolazi kroz središte kruga, tada je njen segment koji se nalazi između točaka presjeka s krugom promjer kruga ili najveća tetiva kruga.
Što se sekansa nalazi dalje od centra kružnice, to je manja mera stepena manjeg luka kružnice i veća je veći luk kružnice, a segment sekanse, tzv. akord, smanjuje se kako se sekansa udaljava od centra kruga.
Definicija. Krug je dio ravni koji leži unutar kruga.
Centar, poluprečnik i prečnik kružnice istovremeno su centar, poluprečnik i prečnik odgovarajućeg kruga.
Budući da je krug dio ravni, jedan od njegovih parametara je površina.
Pravilo. Površina kruga ( S) jednak je proizvodu kvadrata polumjera ( r 2) na broj ¶.
- Primjeri
- Zadato: r = 100 cm
- Površina kruga:
- S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
- Dato: d = 50 mm
- Površina kruga:
- S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm 2 ≈ 20 cm 2
Ako nacrtate dva poluprečnika u krugu do različitih tačaka na kružnici, tada se formiraju dva dijela kruga, koji se nazivaju sektori. Ako nacrtate tetivu u krugu, tada se dio ravnine između luka i tetive naziva kružni segment.
Krug je kriva zatvorena linija na ravni, na kojoj su sve tačke ista udaljenost iz jedne tačke; ova tačka se naziva središte kružnice.
Dio ravnine omeđen kružnicom naziva se kružnica.
Pravi segment koji povezuje tačku na kružnici sa njenim središtem naziva se radijus(Sl. 84).
Pošto su sve tačke kružnice na istoj udaljenosti od centra, onda su svi poluprečniki iste kružnice jednaki jedni drugima. Radijus se obično označava slovom R ili r.
Tačka uzeta unutar kruga nalazi se od njegovog centra na udaljenosti manjoj od radijusa. To je lako provjeriti ako kroz ovu tačku nacrtate polumjer (Sl. 85).
Tačka uzeta izvan kruga nalazi se od njenog središta na udaljenosti većoj od radijusa. To se lako može provjeriti povezivanjem ove tačke sa središtem kruga (Sl. 85).
Pravi segment koji spaja dvije tačke na kružnici naziva se tetiva.
Tetiva koja prolazi kroz centar naziva se prečnik(Sl. 84). Prečnik se obično označava slovom D. Prečnik je jednak dva poluprečnika:
Pošto su svi poluprečnici iste kružnice jednaki jedan drugom, onda su svi prečnici date kružnice jednaki jedan drugom.
Teorema. Tetiva koja ne prolazi kroz centar kružnice manja je od prečnika nacrtanog u istoj kružnici.
Zapravo, ako nacrtamo neku tetivu, na primjer AB, i spojimo njene krajeve sa centrom O (slika 86), vidjet ćemo da je tetiva AB manja od izlomljene linije AO + OB, tj. AB r, i od 2 r= D, zatim AB
Ako je krug savijen po prečniku (Sl. 87), tada će se oba dela kruga i krug poravnati. Prečnik dijeli krug i obim na dva jednaka dijela.
Dva kruga (dva kruga) nazivaju se jednakima ako se mogu postaviti jedan na drugi tako da se poklapaju.
Dakle, dva kruga (dva kruga) jednakih poluprečnika su jednaka.
2. Luk kružnice.
Dio kružnice naziva se luk.
Riječ "luk" se ponekad zamjenjuje znakom \(\breve( )\). Luk se označava sa dva ili tri slova, od kojih su dva postavljena na krajevima luka, a treće u nekoj tački luka. Na crtežu 88 prikazana su dva luka: \(\breve(ACB)\) i \(\breve(ADB)\).
Kada je luk manji od polukruga, obično se označava sa dva slova. Tako se luk ADB može označiti \(\breve(AB)\) (Sl. 88). Kaže se da tetiva koja spaja krajeve luka savija luk.
Ako luk AC (sl. 89, a) pomjerimo tako da klizi duž zadate kružnice, i ako se istovremeno poklopi sa lukom MN, tada je \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).
Na crtežu 89, b, lukovi AC i AB nisu međusobno jednaki. Oba luka počinju u tački A, ali jedan luk \(\breve(AB)\) je samo dio drugog luka \(\breve(AC)\).
Stoga \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)
Konstruisanje kruga pomoću tri tačke
Zadatak. Nacrtaj kružnicu kroz tri tačke koje ne leže na istoj pravoj.
Neka su nam date tri tačke A, B i C koje ne leže na istoj pravoj (Sl. 311).
Povežimo ove tačke sa segmentima AB i BC. Da biste pronašli tačke jednako udaljene od tačaka A i B, podelite segment AB na pola i povucite pravu okomitu na AB kroz sredinu (tačka M). Svaka tačka ove okomice je podjednako udaljena od tačaka A i B.
Da bismo pronašli tačke jednako udaljene od tačaka B i C, delimo segment BC na pola i kroz njegovu sredinu (tačka N) povučemo pravu okomitu na BC. Svaka tačka ove okomice je podjednako udaljena od tačaka B i C.
Tačka O presjeka ovih okomita bit će na istoj udaljenosti od ovih tačaka A, B i C (AO = BO = CO). Ako, uzimajući tačku O kao centar kružnice, poluprečnika jednakog AO, nacrtamo kružnicu, tada će ona proći kroz sve date tačke A, B i C.
Tačka O je jedina tačka koja može poslužiti kao centar kružnice koja prolazi kroz tri tačke A, B i C koje ne leže na istoj pravoj, jer se dvije okomite na segmente AB i BC mogu sjeći samo u jednoj tački. To znači da problem ima jedinstveno rješenje.
Bilješka. Ako tri tačke A, B i C leže na istoj pravoj, onda problem neće imati rješenje, jer će okomite na segmente AB i BC biti paralelne i neće biti tačke jednako udaljene od tačaka A, B, C, tj. ... tačka koja bi mogla poslužiti kao centar željene kružnice.
Ako povežete tačke A i C sa segmentom i povežete sredinu ovog segmenta (tačku K) sa središtem kružnice O, onda će OK biti okomito na AC (Sl. 311), jer u jednakokraki trougao AOC OK je medijana, dakle OK⊥AC.
Posljedica. Tri okomice na stranice trougla povučene kroz njihove sredine seku se u jednoj tački.
To generalni nacrt Da biste zamislili šta je krug, pogledajte prsten ili obruč. Možete uzeti i okruglu čašu i šolju, postaviti je naopako na komad papira i ocrtati olovkom. Uz ponovljeno povećanje, rezultirajuća linija će postati debela i ne sasvim glatka, a rubovi će biti zamućeni. Krug kao geometrijska figura nema takvu karakteristiku kao što je debljina.
Krug: definicija i osnovna sredstva opisa
Krug je zatvorena kriva koja se sastoji od više tačaka koje se nalaze u istoj ravni i jednako udaljene od centra kružnice. U ovom slučaju centar je u istoj ravni. U pravilu se označava slovom O.
Udaljenost od bilo koje tačke na kružnici do centra naziva se radijus i označava se slovom R.
Ako spojite bilo koje dvije tačke na kružnici, rezultujući segment će se zvati tetiva. Tetiva koja prolazi kroz centar kruga je prečnik, označen slovom D. Prečnik deli krug na dva jednaka luka i dvostruko je duži od poluprečnika. Dakle, D = 2R, ili R = D/2.
Svojstva akorda
- Ako se kroz bilo koje dvije točke kruga povuče tetiva, a zatim se polumjer ili promjer povuče okomito na potonju, tada će ovaj segment podijeliti i tetivu i luk odsječen njime na dva jednaka dijela. Obrnuta tvrdnja je također tačna: ako polumjer (prečnik) dijeli tetivu na pola, onda je ona okomita na nju.
- Ako se unutar istog kruga povuku dvije paralelne tetive, tada će lukovi odsječeni njima, kao i oni koji su zatvoreni između njih, biti jednaki.
- Nacrtajmo dvije tetive PR i QS koje se seku unutar kruga u tački T. Proizvod segmenata jedne tetive uvijek će biti jednak proizvodu segmenata druge tetive, odnosno PT x TR = QT x TS.
Obim: opći pojam i osnovne formule
Jedna od osnovnih karakteristika ove geometrijske figure je obim. Formula je izvedena korišćenjem veličina kao što su poluprečnik, prečnik i konstanta "π", što odražava konstantnost odnosa opsega i njegovog prečnika.
Dakle, L = πD, ili L = 2πR, gdje je L obim, D je prečnik, R je poluprečnik.
Formula za obim se može smatrati početnom pri pronalaženju poluprečnika ili prečnika za dati obim: D = L/π, R = L/2π.
Šta je krug: osnovni postulati
- nemaju zajedničkih tačaka;
- imaju jednu zajedničku tačku, a prava se zove tangenta: ako povučete polumjer kroz centar i tačku tangente, onda će ona biti okomita na tangentu;
- imaju dvije zajedničke tačke, a prava se naziva sekansa.
2. Kroz tri proizvoljne tačke koje leže u istoj ravni ne može se nacrtati više od jedne kružnice.
3. Dva kruga se mogu dodirivati samo u jednoj tački, koja se nalazi na segmentu koji povezuje centre ovih kružnica.
4. Za bilo koje rotacije u odnosu na centar, krug se pretvara u sebe.
5. Šta je kružnica u smislu simetrije?
- ista zakrivljenost linije u bilo kojoj tački;
- u odnosu na tačku O;
- simetrija ogledala u odnosu na prečnik.
6. Ako konstruišete dva proizvoljna upisana ugla na osnovu istog luka kružnice, oni će biti jednaki. Ugao zasnovan na luku koji je jednak polovini, odnosno odsečenom prečnikom tetive, uvek je jednak 90°.
7. Ako uporedite zatvorene zakrivljene linije iste dužine, ispada da kružnica graniči dio ravnine s najvećom površinom.
Krug upisan i opisan trouglom
Ideja o tome šta je krug bit će nepotpuna bez opisa karakteristika njegovog odnosa s trokutima.
- Kada se konstruiše kružnica upisana u trokut, njegovo središte će se uvijek poklapati sa presječnom točkom trougla.
- Središte kružnice opisane oko trougla nalazi se na presjeku srednjih okomita na svaku od stranica trougla.
- Ako opišemo krug, tada će njegovo središte biti u sredini hipotenuze, odnosno potonji će biti prečnik.
- Centri upisane i opisane kružnice biće u istoj tački ako je osnova za konstrukciju
Osnovni iskazi o kružnicama i četverokutima
- Krug se može opisati oko konveksnog četvorougla samo kada je zbir njegovih suprotnih unutrašnjih uglova jednak 180°.
- Moguće je konstruisati kružnicu upisanu u konveksni četvorougao ako je zbir dužina njegovih suprotnih strana isti.
- Možete opisati kružnicu oko paralelograma ako su njegovi uglovi pravi.
- Krug se može upisati u paralelogram ako su mu sve stranice jednake, odnosno romb.
- Možete konstruisati kružnicu kroz uglove trapeza samo ako je jednakokračan. U ovom slučaju, središte opisane kružnice nalazit će se na sjecištu četverokuta i središnje okomice povučene u stranu.