Trapezoidna metoda je jedna od metoda numeričke integracije. Omogućava vam da izračunate određene integrale sa unapred određenim stepenom tačnosti.

Postavimo sebi sljedeći zadatak: trebamo približno izračunati određeni integral , gdje je integrand y=f(x) kontinuirano uključeno

segment .

Podijelimo segment on n intervali jednake dužine h tačke U ovom slučaju nalazimo korak particije i određujemo koji čvorovi iz jednakosti.

Razmotrimo integrand na elementarnim segmentima .

Moguća su četiri slučaja (slika prikazuje najjednostavniji od njih, na koji se sve svodi uz beskonačno povećanje n):

Na svakom segmentu zamijenite funkciju y=f(x) segment prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama i. Opišimo ih na slici plavim linijama:

Kao približnu vrijednost integrala uzimamo izraz , odnosno prihvatimo .

Hajde da saznamo šta napisana približna jednakost znači u geometrijskom smislu. Ovo će omogućiti razumijevanje zašto se razmatrana metoda numeričke integracije naziva trapezoidna metoda.

Znamo da je površina trapeza proizvod polovine zbira osnovica i visine. Dakle, u prvom slučaju područje zakrivljeni trapez približno jednaka površini trapeza sa bazama i visina h, u potonjem slučaju definitivni integral je približno jednak površini trapeza sa bazama i visina h, snimljeno sa znakom minus. U drugom i trećem slučaju, približna vrijednost određenog integrala jednaka je razlici u površinama crvenog i plavog područja prikazanih na donjoj slici.

Tako dolazimo do toga suština metode trapeza, koji se sastoji u predstavljanju određenog integrala u obliku zbira integrala koji se vidi na svakom elementarnom segmentu i u naknadnoj približnoj zamjeni .

Formula metode trapeza.

Na osnovu petog svojstva određenog integrala .

Ako umjesto integrala zamijenimo njihove približne vrijednosti, dobićemo formula trapezoidne metode:

Procjena apsolutne greške trapezoidne metode.

Apsolutna greška trapezoidne metode se ocenjuje kao.

Grafička ilustracija metode trapeza.

3. Simpsonova metoda (parabole)

Ovo je naprednija metoda - graf integranda se aproksimira ne isprekidanom linijom, već malim parabolama. Malih parabola ima onoliko koliko i srednjih segmenata. Ako uzmemo ista tri segmenta, onda će Simpsonova metoda dati još precizniju aproksimaciju od metode pravokutnika ili metode trapeza.

Neka funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu i moramo izračunati definitivni integral.

Podijelimo segment on n elementarne segmente dužine po tačkama. Neka su tačke sredine segmenata, respektivno. U ovom slučaju, svi "čvorovi" su određeni iz jednakosti.

Suština metode parabole.

U svakom intervalu, integrand se aproksimira kvadratnom parabolom , prolazeći kroz tačke. Otuda i naziv metode - parabola metoda.

Ovo se radi kako bi se kao približna vrijednost uzeo određeni integral , koje možemo izračunati koristeći Newton-Leibniz formulu. To je ono o čemu se radi suštinu metode parabole.

Geometrijski to izgleda ovako:

Grafička ilustracija metode parabole (Simpson).

Crvena linija prikazuje graf funkcije y=f(x), plava linija prikazuje aproksimaciju grafa funkcije y=f(x) kvadratne parabole na svakom elementarnom segmentu particije.

Izvođenje formule za Simpsonovu metodu (parabole).

Na osnovu petog svojstva definitivnog integrala, imamo .

Da bismo dobili formulu za metodu parabole (Simpson), samo trebamo izračunati .

Neka (do ovoga uvijek možemo doći izvođenjem odgovarajuće transformacije geometrijskog pomaka za bilo koji i = 1, 2, ..., n).

Hajde da napravimo crtež.

Pokažimo da samo jedna kvadratna parabola prolazi kroz tačke . Drugim riječima, dokazujemo da su koeficijenti određeni na jedinstven način.

5.3 Trapezoidna metoda

Izvedemo formulu za trapeze na isti način kao i formulu za pravokutnike, iz geometrijskih razmatranja. Zamenimo grafik funkcije y = f(x) (slika 5.1) isprekidanom linijom (slika 5.7), dobijenu na sledeći način. Iz tačaka a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b crtamo ordinate dok se ne seku sa krivom y = f(x). Krajevi ordinata će biti povezani ravnim segmentima.

Tada se može približno razmotriti površina krivolinijskog trapeza jednaka površina figura sastavljena od trapeza. Pošto je površina trapeza konstruisanog na segmentu dužine h = jednaka h , zatim, koristeći ovu formulu za i = 0, 2, …, n – 1, dobijamo formulu kvadrature trapeza:

I=»I tr =h= (5.7)

Procjena greške. Za procjenu greške trapezoidne formule koristimo sljedeću teoremu.

Teorema 5.2. Neka je funkcija f dvaput kontinuirano diferencibilna na intervalu. Tada je sljedeća procjena greške važeća za trapezoidnu formulu:

| I – I tr | £ h 2 , (5.8)

gdje je M 2 = |f "(x)|.

Primjer 5.2.

Izračunajmo vrijednost integrala po trapezoidnoj formuli (5.7) i uporedimo dobijeni rezultat sa rezultatom primjera 5.1.

Koristeći tablicu vrijednosti funkcije e iz primjera 5.1 i izvodeći proračune po trapezoidnoj formuli (5.7), dobijamo: I tr = 0,74621079.

Procijenimo grešku dobijene vrijednosti. U primjeru (5.1) dobili smo procjenu: | f "(x)| £ M 2 = 2. Prema tome, prema formuli (5.8)

I – I tr | £ (0,1) 2 » 1,7× 10 -3 .

Upoređujući rezultate primjera 5.1 i 5.2, vidimo da metoda prosječnog pravokutnika ima manju grešku, tj. tačnije je.

5.4 Simpsonova metoda (parabola metoda)

Zamenimo grafik funkcije y = f(x) na segmentu , i = 0, 2, … , n – 1, parabolom povučenom kroz tačke (x i , f(x i)), (x,f (x)), (x i+ 1, f(x i+ 1)), gdje je x sredina segmenta. Ova parabola je interpolacijski polinom drugog stepena L 2 (x) sa čvorovima x i, x, x i+ 1. Lako je vidjeti da jednačina ove parabole ima oblik:

f(x) + (x – x) + (x - x) 2 , (5.9)

Integrirajući funkciju (5.9) na segmentu , dobijamo

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

Zbrajanjem izraza (5.10) preko i = 0, 1, 2, …, n – 1, dobijamo Simpsonovu kvadraturnu formulu (ili formulu parabole):

I =» I C = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

Procjena greške. Za procjenu greške Simpsonove formule koristimo sljedeću teoremu.

Teorema 5.2. Neka funkcija f ima kontinuirani izvod na intervalu četvrtog reda f (4) (x). Tada sljedeća procjena greške vrijedi za Simpsonovu formulu (5.9):

| I – I C | £ h 4 , (5.12)

gdje je M 4 = | f (4) (x)|.

Komentar. Ako je broj elementarnih segmenata na koje je segment podijeljen paran, tj. n = 2m, tada se parabole mogu povući kroz čvorove sa cijelim indeksima, a umjesto elementarnog segmenta dužine h, uzeti u obzir segment dužine 2h. Tada će Simpsonova formula poprimiti oblik:

I » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

a umjesto procjene (5.10), vrijedit će sljedeća procjena greške:

| I – I C | £ h 4 , (5.14)

Primjer 5.3.

Izračunajmo vrijednost integrala koristeći Simpsonovu formulu (5.11) i uporedimo dobijeni rezultat sa rezultatima primjera 5.1 i 5.2.

Koristeći tablicu vrijednosti funkcije e iz primjera 5.1 i proračunavajući pomoću Simpsonove formule (5.11), dobijamo:

I C = 0,74682418.

Procijenimo grešku dobijene vrijednosti. Izračunajmo četvrti izvod f (4) (x).

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x)| £12.

| I – I C | £ (0,1) 4 » 0,42 × 10 -6 .

Upoređujući rezultate primjera 5.1, 5.2 i 5.3, vidimo da Simpsonova metoda ima manju grešku od prosječne metode pravokutnika i metode trapeza.

Izračunavanje integrala se često javlja u modeliranju. Numeričke metode se obično koriste kada se dovoljno uzimaju neintegrabilni integrali složene funkcije, koji su prethodno tabelarni, ili kada se integriraju tabelarno specificirane funkcije, što je mnogo češće u ekonomskim aplikacijama.

Koncept numeričke integracije.

Sve numeričke metode zasnivaju se na činjenici da se integrand približno zamjenjuje jednostavnijim (horizontalna ili nagnuta prava linija, parabola 2., 3. ili višeg reda), iz kojeg se lako preuzima integral. Kao rezultat, integracione formule, koje se nazivaju kvadratura, dobijaju se u obliku ponderisane sume ordinata integranda u pojedinačnim tačkama:

Što su manji intervali u kojima se vrši zamjena, to se tačnije izračunava integral. Stoga se, radi poboljšanja tačnosti, originalni segment [a, b] dijeli na nekoliko jednakih ili nejednakih intervala, na svaki od kojih se primjenjuje formula integracije, a zatim se dodaju rezultati.

U većini slučajeva, greška u numeričkoj integraciji određena je dvostrukom integracijom: sa početnim korakom (korak je određen ravnomjernom podjelom segment b-a po broju segmenata n\h=(b-a)/n)u sa korakom povećanim za 2 puta. Razlika u izračunatim vrijednostima integrala određuje grešku.

Poređenje efikasnosti razne metode vrši se prema stepenu polinoma, koji se ovom metodom integriše tačno, bez greške. Što je veći stepen takvog polinoma, to je veća tačnost metode, to je efikasnija.

Najjednostavnije metode uključuju metode pravougaonici(lijevo i desno) i trapezoid. U prvom slučaju, integrand je zamijenjen horizontalnom pravom linijom (y = c0) sa vrijednošću ordinate, tj. vrijednosti funkcije su lijevo ili desno od presjeka, u drugom slučaju - nagnuta ravna linija (y = c 1 x + c 0). Integracijske formule za podjelu segmenta [a, b] na n dijelova sa uniformnim korakom h imaju oblik:

Za jedan dio integracije:

Za P oblasti integracije:

Lako je vidjeti da se u metodi pravokutnika integral može apsolutno precizno izračunati samo kada f(x) = With(const), au trapezoidnoj metodi - sa f(x) linearni ili komadno linearni.

Na sl. Za poređenje, slika 4 prikazuje primjere pravokutnika s različitim brojem presjeka. Jasno se vidi da se površina svih pravokutnika na desnoj slici manje razlikuje od površine ispod krive f(x), nego na lijevoj strani.

Rice. 4. Ilustracija metode lijevog pravokutnika:

A- sa 3 sekcije particije integracionog segmenta [a, b];

b- sa 6 sekcija particije integracionog segmenta [a, b]

Metoda pravokutnika ne pronalazi praktična primjena zbog značajnih grešaka, što je vidljivo i iz Sl. 4.

Na sl. Na slici 5 prikazan je primjer izračunavanja integrala trapezoidnom metodom. U poređenju s metodom pravokutnika, metoda trapeza je preciznija, jer trapez zamjenjuje odgovarajući zakrivljeni trapez tačnije od pravokutnika. Slika 5.

Greška R izračunavanje integrala trapezoidnom metodom korištenjem dvostrukog proračuna u praksi se može odrediti iz sljedećeg odnosa:

Gdje I n I I p/2- odnosno vrijednost integrala sa brojem particija P I p/2. Postoje i analitički izrazi za određivanje greške, ali oni zahtijevaju poznavanje drugog izvoda integrala, te stoga imaju samo teorijski značaj. Koristeći dvostruki proračun, moguće je organizirati automatski odabir koraka integracije (tj. broja particija n) kako bi se osigurala data greška integracije (sukcesivno udvostručavanje koraka i kontrola greške).

Metodom lijevog pravokutnika dobijamo:

Dobijamo metodom pravougaonika:

Trapezoidnom metodom dobijamo:

Numerička integracija.

Formule za numeričku integraciju.

Prilikom rješavanja mnogih problema u geometriji, tehnologiji i ekonomiji potrebno je izračunati određene integrale.

Ako je za funkciju integranda f(x) pronađen antiderivat F(x) , tada se integral, kao što je poznato, može izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule:

(1)

Međutim, u praksi često nije moguće koristiti formulu (1), na primjer, u sljedećim slučajevima:

ako je antiderivativna funkcija F(x) se ne izražava u konačnom obliku kroz elementarne funkcije. Ovo se, na primjer, odnosi na integrale:

ako je analitički izraz antiderivativne funkcije F(x) je toliko složen da primjena formule (1) postaje teška;

ako je analitički izraz integranda f(x) je nepoznat, a njegove vrijednosti su date tabelom ili grafikonom.

U svim ovim slučajevima postoji potreba za razvojem metoda koje bi omogućile izračunavanje približnih vrijednosti integrala bez upotrebe formule (1). Trenutno su poznate mnoge formule za približnu integraciju, tzv kvadraturne formule (formule za izračunavanje površina).

Formula pravougaonika. Izvođenje ove formule zasniva se na zamjeni određenog integrala integralnim zbirom. Iz analize je poznato da

Gdje
- integralni zbir za funkciju f(x) na segmentu [ a, b].

ξ – unutrašnja tačka segmenta [ a, b].

Ako segment [ a, b] podijeliti na n jednaki dijelovi:

a=x 0 , X 1 , …, X P = b,

∆X i = = h.

Broj h pozvao korak kvadraturne formule. Pod ovim uslovom dobijamo:

Ako uzmemo kao bodove ξ i lijevi krajevi djelomičnih segmenata:

f(ξ i ) = f(x i ) (i = 0, 1, …, n-1),

Označimo f(X i ) = at i. Zamjenom integrala integralnim zbrojem, dobivamo približnu jednakost:

, (2)

pozvao formula pravougaonika (sa levim ordinatama).

Ako uzmemo kao bodove ξ i desni krajevi parcijalnih segmenata:

f(ξ i ) = f(X i ) (i = 1, 2,…, n),

tada dobijamo približnu jednakost:

, (3)

pozvao formula pravougaonika (sa pravim ordinatama).

Geometrijsko značenje formule pravokutnika je da je krivolinijski trapez zamijenjen stepenastom figurom sastavljenom od pravokutnika. Približna vrijednost integrala jednaka je površini stepenaste figure.

Primjer. Izračunajmo integral , dijeleći interval integracije na 10 jednakih dijelova ( n = 10 ). Pronađimo i upišemo u tablicu vrijednosti funkcije integranda

y = u tačkama podjele:

i	X i	at i =	i	X i	at i =

Koristeći formulu za pravokutnike s lijevim ordinatama, dobijamo:

Koristeći formulu za pravokutnike s desnim ordinatama, dobivamo:

Vrijednost dobivena iz formule (1):

Vidimo da formule pravokutnika daju grube aproksimacije.

Od funkcije y = se smanjuje na segmentu , onda nam formula pravokutnika s lijevom ordinatom omogućava da dobijemo približnu vrijednost integrala s viškom, a formula pravokutnika s desnim ordinatama nam omogućava da dobijemo približnu vrijednost integrala sa nedostatkom.

Apsolutna greška r formule pravokutnika (2) i (3) mogu se procijeniti formulom:

(4)

Ideja izvođenja kvadraturnih formula trapeza i Simpsona:

integrand funkcija f ( x ) odgovara funkciji bliskoj njoj g n ( x ) , koji se može integrirati i približno zamijeniti traženi integral I integral ove funkcije.

Trapezna formula. Neka je potrebno izračunati integral

Označimo a = x 0 , b = x 1 .

Kao aproksimirajuća funkcija g ( x ) hajde da izaberemo linearna funkcija i zamijeni integrand funkciju f(x) prema formuli linearne interpolacije

f(x) ≈at 0 +tat 0 ,

at 0 =f(x 0 ) ,at 1 =f(x 1 ) , at 0 =at 1 - y 0 .

U ovom slučaju

, (5)

To je poznato t =

Odavde x=x 0 + th I dx =hdt.

At X = X 0 t = 0;

at X =X 1 t = 1 .

Prelazak na novu varijablu t, dobijamo:

(6)

od  at 0 =at 1 –at 0

Formula (6) se zove trapezoidna formula.

E Njegovo geometrijsko značenje je da na segmentu [ X 0 ;X 1 ] krivulja at=f(x) je zamijenjen ravnim segmentom (tetivom), tj. zakrivljeni trapez je zamijenjen pravolinijskim.

Vrijednost integrala izračunata pomoću formule (6) bit će jednaka površini trapeza. Ovo područje je zasjenjeno na slici.

Kako pokazuje računska praksa, ako dužina segmenta integracije nije dovoljno kratka, tačnost rezultata dobijenih upotrebom formule (6) je nedovoljna.

Da biste dobili precizniji rezultat, postupite na sljedeći način:

Segment integracije [A;b] podijeliti na P jednaki dijelovi sa tačkama: X 0 = sjekira 1 , X 2 ,…,X n = b. I aproksimira se linearnom funkcijom po komadima g P (x) . Primjenom formule (6) na svaki od segmenata parcijalne integracije dobijamo:

(7)

Zbrajanjem jednakosti dobijamo formulu tzv generalizovana trapezoidna formula:

(8)

Gdje at i =f(X i ) (i = 0, 1, …, n).

Geometrijsko značenje ove formule je da je kriva graf funkcije at = f(X) - zamijenjen isprekidanom linijom upisanom u krivu AB. Površina zakrivljenog trapeza zamjenjuje se zbrojem površina pravolinijskih trapeza. Kao što pokazuje praksa, formula (8) omogućava da se dobiju dobri rezultati sa velikim brojem tačaka podele.

Primjer 1. Izračunajmo integral koristeći trapezoidnu formulu (8) , dijeleći segment integracije na deset jednakih dijelova.

Koristeći podatke unesene u prethodnu tabelu, dobijamo:

Poređenje dobijenog rezultata sa vrijednošću ln2  0,693147 pokazuje da je greška u vrijednosti integrala izračunatog po generalizovanoj trapezoidnoj formuli znatno manja od greške napravljene pri izračunavanju istog integrala po pravougaonoj formuli.

Može se pokazati da se greška u rezultatima dobivenim korištenjem generalizirane trapezoidne formule izračunava pomoću formule

(9)

Gdje A<  < b,

a apsolutna greška se procjenjuje na sljedeći način:

(10)

(11)

Simpsonova formula (parabola formula)

Za izračunavanje integrala
Podijelimo segment integracije na dva jednaka segmenta:

[X 0 , X 1 ] I [X 1 , X 2 ] (X 0 = a, x 2 =b)

i zamijenite integrand s kvadratnom interpolacijskom formulom

(12)

Gdje t = .

.

Pređimo na novu varijablu integracije, uzimajući to u obzir

x = x 0 + ht, dx= hdt,

at x=x 0 t=0

at x=x 2 t=2

(13)

Formula (13) se zove Simpsonova formula ili formula parabole.

Njegovo geometrijsko značenje je sljedeće: na segmentu [X 0 , X 2 ] krivulja at= f(x) je zamijenjen kvadratnom parabolom - grafom interpolacionog polinoma. Kada se izračuna pomoću formule (13), vrijednost integrala bit će numerički jednaka vrijednosti površine krivolinijskog trapeza ograničenog odozgo lukom parabole koji prolazi kroz tačke: [ X 0 , f(X 0 )], [ X 1 , f(X 1 )], [ X 2 , f (X 2 )]

Na slici puna linija prikazuje grafik funkcije f(x) tačkasti - graf polinoma R 2 (X).

Da biste dobili precizniji rezultat, dovoljno je podijeliti segment integracije [A;b] on čak broj (2n) dijelove i primijeniti formulu (13) za svaki par susjednih segmenata particije:

(14)

Zbrajajući jednakosti (14), dobijamo generalizovana Simpsonova formula (parabole):

Primjer. Izračunajmo približnu vrijednost integrala prema Simpsonovoj formuli. Podijeleći integracijski segment na deset jednakih dijelova i koristeći podatke sadržane u tabeli, dobijamo:

dakle,
.

Iznad toga je pokazano
.

Apsolutna greška pronađene vrijednosti ne prelazi 0,000005.

Poređenje približnih integralnih vrijednosti , izračunato različitim formulama, pokazuje da najviše tačna vrijednost dobijen je korištenjem generalizirane Simpsonove formule i najmanje tačne - pomoću formule pravokutnika.

Greška r Simpsonova generalizovana formula može se izračunati pomoću formule

(16)

Gdje A< ξ< b.

Za apsolutnu grešku generalizovane Simpsonove formule može se dobiti sljedeća procjena:

Gdje
(17)

Poređenje tačnosti kvadraturnih formula.

Iznad su bile procjene apsolutne greške kvadraturnih formula:

za formule pravougaonika: |r|
;

za generalizovanu formulu trapeza: |r|
;

za generalizovanu Simpsonovu formulu: |r|
,

gdje je M i =
|f (i) (x)|.

Poređenje ovih procjena nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke:

Jer derivacija reda n+1 iz polinoma stepena n jednaka je nuli, tada dobijamo tačnu vrijednost integrala: prema formuli trapezoid, ako je integrand linearan,

prema formuli parabole, ako je integrand polinom ne veći od trećeg stepena.

Greška u proračunima koristeći formule pravokutnika obrnuto je proporcionalna n; kada se koristi trapezna formula – n 2; kada koristite Simpsonovu formulu - n 4.

Tako, na primjer, kada se broj parcijalnih segmenata udvostruči, greška u proračunu po formuli pravokutnika smanjuje se otprilike dva puta, prema formuli trapeza 4 puta, a prema Simpsonovoj formuli za 16 puta.

Da bismo ilustrirali izvedene zaključke, okrenimo se poređenju rezultata izračunavanja integrala

koristeći različite kvadraturne formule. Da bismo procijenili greške, izračunavamo izvode funkcije
.

Na intervalu, svi derivati ​​su monotone funkcije. Apsolutna vrijednost svakog od njih dostiže najveću vrijednost pri x=0, dakle M 1 =1, M 2 =2, M 4 =24.

Ovo nam omogućava da dobijemo odgovarajuće procjene greške prilikom izračunavanja:

koristeći formulu pravokutnika r≤0,05;

prema trapezoidnoj formuli r≤ 0,0017;

prema Simpsonovoj formuli r≤ 0,000033.

Uporedimo rezultate dobivene korištenjem različitih kvadraturnih formula sa vrijednošću ln2 0,6931472:

prema formuli pravougaonika 0,71877;

prema trapezoidnoj formuli 0,69377;

prema Simpsonovoj formuli 0,69315

Vidi se da su se procjene greške, kao što se i očekivalo, ispostavile nešto precijenjene.

Dakle, od razmatranih kvadraturnih formula, najveću točnost daje Simpsonova formula, a najmanju tačnost pravokutna formula.

Praktične tehnike za procjenu grešaka proračuna pomoću kvadraturnih formula.

Praktična primjena procjena greške za kvadraturne formule dobivene iznad je povezana s pronalaženjem derivacija drugog ili čak četvrtog reda, što dovodi do radno intenzivnih proračuna u slučajevima kada je funkcija integranda f(X) dat je složenim analitičkim izrazom. Ako je funkcija f(X) dat tabelom i njen analitički izraz je nepoznat, onda je direktna upotreba ovih procjena nemoguća. Takvi slučajevi se obično susreću pri rješavanju praktičnih računskih problema.

Ako je tablica kojoj je specificiran integrand f(x), sadrži praktično prvo trajno razlike, tj. f(x) ponaša se otprilike kao polinom prvog stupnja, tada možete koristiti trapezoidnu formulu.

Ako je tablica funkcija f(X) sadrži praktično konstantne druge ili treće razlike, tj f(x) ponaša otprilike kao polinom drugog ili trećeg stepena, tada je preporučljivo koristiti Simpsonovu formulu. To je, kao što je već napomenuto, zbog činjenice da izračunavanje pomoću trapezoidne formule omogućava da se dobije tačna vrijednost integrala pod uvjetom da je integral linearan, a Simpsonova formula u slučaju kada je integrand polinom ne više nego treći stepen.

Prilikom navođenja funkcije u tablici f(X) približnu vrijednost greške, dobiven izračunavanjem integrala pomoću jedne ili druge kvadraturne formule, nalazi se na sljedeći način:

1. Izračunavanje integrala
izvedeno dva puta u koracima h i 2 h. Dobijene vrijednosti integrala se označavaju u skladu s tim S h i S 2 h.

2. Ako pretpostavimo da je na razmatranom segmentu [a; b] drugi derivat f"(x) mijenja se polako, a zatim pri izračunavanju integrala pomoću formule trapezoid Za grešku možete koristiti sljedeći približni izraz:

(18)

3. Kao ispravljena (približna) vrijednost integrala može se uzeti sljedeća vrijednost:

(19)

Ako pretpostavimo da je na razmatranom segmentu [a; b] četvrti derivat f (4) (X) mijenja se polako, a zatim pri izračunavanju integrala pomoću formule Simpson možemo pretpostaviti da je greška približno jednaka

(20)

U ovom slučaju možemo uzeti kao ispravljenu (približnu) vrijednost integrala:

(21)

U računarskoj praksi također često koriste sljedeće pravilo za brojanje ispravnih predznaka u rezultirajućem rezultatu: sve podudarne znamenke vrijednosti S h i S 2 h smatraju se praktično ispravnim.

Približno izračunavanje površina ravnih figura

P Neka je ravna figura P ograničena zatvorenom konturom C. Odaberimo koordinatni sistem na način da dotična figura leži u prvom kvadrantu. Pretpostavićemo da je bilo koja prava paralelna sa osom OU, siječe konturu C u najviše dvije tačke. Projektujmo figuru P na osu Oh; projekcija će proizvesti segment [ a; b] .

Neka je A tačka figure sa apscisom x = a, B – tačka figure sa apscisom x =b. Tačke A i B dijele konturu C na dvije krive, gornju i donju, sa jednadžbama, respektivno y = f(x) I y = g(x), Gdje f(x), g(x) – kontinuirano na segmentu [ a; b] funkcije. Označimo sa R površina figure R. Površina R bit će jednaka razlici površina dva krivolinijska trapeza:

aAtBb I aAhBb,

one. numerički jednak razlici dvaju integrala:

Približne vrijednosti ovih integrala mogu se izračunati korištenjem bilo koje kvadraturne formule.

Podijelimo segment [A;b] on n jednaki dijelovi

[X 0 , X 1 ] , [X 1 , X 2 ], …,[ X n-1 ; X P ]

(a=x 0 , X 1 , …, X P = b).

Vrijednosti integranda y= f(x) - g(x) izračunat će se u čvorovima kvadraturne formule prema relacijama:

y i = f(x i ) - g(x i ) (i = 0, 1, …,P) .

Očigledno je da

y 0 = f(x 0 ) - g(x 0 ) = 0 I y n = f(x n ) - g(x n ) = 0

Vrijednosti y i– dužine ordinatnih segmenata u čvornim tačkama zatvorenih unutar slike P. Ako su analitički izrazi funkcija f(x) I g(x) nepoznato, dakle y i može se izmjeriti pomoću crteža.

Opšte Newton-Cotes formule

Pretpostavimo da trebamo izračunati određeni integral

I =
,

ako je na segmentu [A;b] funkcija je data tablicom sa trajno korak h:

x i	x 0	x 1	x 2		x n
y i	y 0	y 1	y 2		y n

Integrand zamjenjujemo s Newtonovim prvim interpolacijskim polinomom i dobivamo:

f(x) = P n (x) + R n (x) (22)

Gdje R n (x) – preostali termin interpolacije. Integracijom jednakosti (22) dobijamo:

odbacivši drugi član na desnoj strani, dobijamo približnu jednakost

, (23)

čija je greška određena formulom:

. (24)

Jednakost (23) se zove Newton-Cotesove kvadraturne formule. Iz formule (23) at n=1 dobije se trapezoidna formula, i sa P=2 – Simpsonova formula.

Izračunavanje integrala najjednostavnijom Monte Carlo metodom

Kako izmjeriti površinu ribnjaka pomoću gomile kamenja? Pretpostavimo da se ribnjak nalazi u centru polja poznatog područja A. Bacajte kamenje u ribnjak nasumično tako da padne na nasumične tačke unutar polja i izbrojite broj prskanja kada kamenje udari u ribnjak. Ova jednostavna procedura je primjer Monte Carlo metode.

IN Objasnimo detaljnije suštinu ove metode. Neka je zadan pravougaonik visine N i dužina b- a tako da je funkcija f(x) leži u njemu. Mi generišemo P parovi slučajnih brojeva x i I y i , zadovoljavanje uslova a<= x i <= b I 0 <= y i <= H. Razlomak bodova (x i , y i ) , koji zadovoljavaju uslov y i <=f(x i ) , je procjena omjera integrala funkcije f(x) na površinu pravougaonika. Otuda i procjena F n u metodi "pokušaja i greške" određuje se izrazom

, (4)

Gdje n s – broj "šiljaka" ili tačaka koje leže ispod krive, P je ukupan broj tačaka, a A je površina pravougaonika.

Druga varijacija Monte Carlo metode zasniva se na teoremi matematičke analize, prema kojoj je definitivni integral

određena prosječnom vrijednošću integranda f(x) na segmentu [ a; b]. Za izračunavanje ovog prosjeka uzimamo x i ne sa konstantnim korakom, već nasumično i proizvodi uzorak vrijednosti f(x) . Ocjena F n jednodimenzionalni integral

Kako izračunati definitivni integral koristeći trapezoidnu metodu?

Prvo, opća formula. Možda neće svima odmah biti jasno... da, Karlsson je s vama - praktični primjeri će sve razjasniti! Miran. Samo mir.

Razmotrimo definitivni integral , gdje je funkcija kontinuirana na intervalu . Podijelimo segment na jednaka segmenti:
. U ovom slučaju je očigledno: (donja granica integracije) i (gornja granica integracije). Poeni takođe pozvan čvorovi.

Tada se definitivni integral može približno izračunati prema trapezoidnoj formuli:
, Gdje:
– dužina svakog od malih segmenata ili korak;
– vrijednosti integrala u tačkama .

Primjer 1

Izračunajte približno određeni integral koristeći trapezoidnu formulu. Zaokružite rezultate na tri decimale.

a) Podjela segmenta integracije na 3 dijela.
b) Podjela segmenta integracije na 5 dijelova.

Rješenje:
a) Posebno za lutke, povezao sam prvu tačku sa crtežom koji je jasno pokazao princip metode. Ako vam je teško, pogledajte crtež dok komentarišete, evo njegovog dijela:

Prema uslovu, segment integracije se mora podijeliti na 3 dijela, tj.
Izračunajmo dužinu svakog segmenta particije: . Parametar se, podsjećam, također zove korak.

Koliko će tačaka (particijskih čvorova) biti? Tamo će biti još jedan od broja segmenata:

Dakle, opća formula trapeza svedena je na ugodnu veličinu:

Za izračune možete koristiti običan mikrokalkulator:

Zapiši to, u skladu sa uslovima zadatka, sve proračune treba zaokružiti na 3. decimalu.

konačno:

Dozvolite mi da vas podsjetim da je rezultirajuća vrijednost približna vrijednost površine (vidi sliku iznad).

b) Podijelimo segment integracije na 5 jednakih dijelova, tj. Zašto je to potrebno? Kako bismo spriječili da Phobos-Grunt padne u okean, povećanjem broja segmenata povećavamo tačnost proračuna.

Ako je , tada trapezoidna formula poprima sljedeći oblik:

Pronađimo korak particije:
, odnosno dužina svakog međusegmenta je 0,6.

Prilikom finaliziranja zadatka, prikladno je formalizirati sve proračune pomoću tablice proračuna:

U prvom redu pišemo "counter"

Mislim da svi mogu vidjeti kako se formira drugi red - prvo zapisujemo donju granicu integracije, preostale vrijednosti se dobijaju uzastopnim dodavanjem koraka.

Mislim da su skoro svi razumjeli princip po kojem se popunjava krajnji red. Na primjer, ako , onda . Kako kažu, broji, ne budi lijen.

Kao rezultat:

Pa, zaista postoji pojašnjenje, i to ozbiljno!
Ako za 3 segmenta particije, onda za 5 segmenata. Dakle, s visokim stepenom samopouzdanja možemo to barem reći.

Primjer 2

Izračunajte približno određen integral koristeći trapezoidnu formulu sa preciznošću od dvije decimale (do 0,01).

Rješenje: Gotovo isti zadatak, ali u malo drugačijoj formulaciji. Osnovna razlika u odnosu na primjer 1 je u tome što mi ne znamo, NA KOLIKO segmenata trebamo podijeliti segment integracije da dobijemo dva tačna decimalna mjesta? Drugim riječima, ne znamo značenje .

Postoji posebna formula koja vam omogućava da odredite broj segmenata particije kako bi se garantirala potrebna točnost, ali u praksi je često teško primijeniti. Stoga je korisno koristiti pojednostavljeni pristup.

Prvo, segment integracije je podijeljen na nekoliko velikih segmenata, obično 2-3-4-5. Podijelimo, na primjer, segment integracije na istih 5 dijelova. Formula je već poznata:

A korak je, naravno, takođe poznat:

Ali postavlja se još jedno pitanje: na koju cifru treba zaokružiti rezultate? Uslov ništa ne govori o tome koliko decimalnih mjesta treba ostaviti. Opšta preporuka je: potrebno je da dodate 2-3 cifre na potrebnu tačnost. U ovom slučaju, potrebna tačnost je 0,01. Prema preporuci, nakon decimalnog zareza ostavićemo pet znakova nakon decimalnog zareza (moguća su četiri):

Kao rezultat:

Nakon primarnog rezultata, broj segmenata duplo. U tom slučaju potrebno je podijeliti na 10 segmenata. A kada broj segmenata raste, na pamet mi pada blistava misao da sam nekako umoran od guranja prstima u mikrokalkulator. Stoga još jednom predlažem preuzimanje i korištenje mog poluautomatskog kalkulatora (link na početku lekcije).

Formula trapeza ima sljedeći oblik:

U papirnoj verziji, unos se može sigurno premjestiti u sljedeći red.

Izračunajmo korak particije:

Sumiramo rezultate proračuna u tabeli:


Kada završite u svesci, korisno je dugačak sto pretvoriti u dvospratni.

Povratak