Kako pronaći x u kvadratnoj jednadžbi. Rješavanje kvadratnih jednadžbi: formula korijena, primjeri

Više na jednostavan način. Da biste to učinili, stavite z iz zagrada. Dobićete: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, pošto oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugu pomičemo udesno s drugačijim predznakom. Odavde dobijamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako ima nepotpuna jednačina oblika az² + s = 0, u ovom slučaju se nalaze jednostavnim prenošenjem slobodnog člana na desna strana jednačine Takođe promenite njen znak. Rezultat će biti az² = -s. Izraziti z² = -c/a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivan i negativan kvadratni korijen.

Bilješka

Ako u jednačini postoje razlomci, pomnožite cijelu jednačinu odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Znanje o rješavanju kvadratnih jednadžbi potrebno je i školarcima i studentima; ponekad to može pomoći i odrasloj osobi u običan život. Ima ih nekoliko određene metode odluke.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c su numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak “+” može promijeniti u znak “-”.

Da bi se odlučila zadata jednačina, trebate koristiti Vietin teorem ili pronaći diskriminant. Najčešća metoda je pronalaženje diskriminanta, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietin teorem.

Da biste pronašli diskriminanta (D), potrebno je da napišete formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će postojati dva korijena; ako je D = 0, onda ostaje samo jedan korijen; preciznije, možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminanta, koristite formule da pronađete x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, gdje je sqrt funkcija koja znači uzimanje kvadratnog korijena datog broja. Nakon izračunavanja ovih izraza, naći ćete dva korijena vaše jednadžbe, nakon čega se jednačina smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, onda i dalje ima korijene. Ovaj dio se praktično ne uči u školi. Studenti bi trebali biti svjesni onoga što se pojavljuje negativan broj ispod korena. Oslobode ga se isticanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i", koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije dobijamo D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješavanje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena kao što je gore opisano.

Vietin teorem se sastoji od odabira vrijednosti x(1) i x(2). Koriste se dvije identične jednačine: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. I veoma važna tačka je znak ispred koeficijenta b, zapamtite da je ovaj znak suprotan onom u jednačini. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, ali pri rješavanju ćete se suočiti s činjenicom da ćete morati odabrati brojeve.

Elementi rješavanja kvadratnih jednačina

Prema pravilima matematike, neki se mogu faktorizirati: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ako ste uspjeli transformirati date podatke na sličan način koristeći matematičke formule kvadratna jednačina, a zatim slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) će biti jednaki susednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od pojmova; ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako nema ništa ispred x^2 ili x, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

U ovom članku ćemo se osvrnuti na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, hajde da ponovimo koje se jednačine nazivaju kvadratnim. Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent za x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti za x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u kom slučaju dobijamo nepotpunu kvadratnu jednačinu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;

2) Ako je b ≠ 0, c = 0, tada je ax 2 + bx = 0;

3) Ako je b = 0, c = 0, onda je ax 2 = 0.

Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + c = 0.

Da bismo rešili jednačinu, pomerimo slobodni član c na desnu stranu jednačine, dobijamo

ax 2 = ‒s. Pošto je a ≠ 0, obje strane jednačine dijelimo sa a, tada je x 2 = ‒c/a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednačina ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako je ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo na primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Primjer 2. Riješite jednačinu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: jednačina nema rješenja.

Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednačinu ax 2 + bx = 0, faktorizirajmo je, odnosno izvadimo x iz zagrada, dobićemo x(ax + b) = 0. Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak na nulu. Tada je ili x = 0, ili ax + b = 0. Rješavanjem jednačine ax + b = 0, dobijamo ax = - b, odakle je x = - b/a. Jednačina oblika ax 2 + bx = 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Pogledajte kako izgleda rješenje ovakvih jednačina na dijagramu.

Konsolidirajmo svoje znanje konkretnim primjerom.

Primjer 3. Riješite jednačinu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ili 3x – 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

Jednačine trećeg tipa ax 2 = 0 rješavaju se vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 = 0, onda je x 2 = 0. Jednačina ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, pogledajmo dijagram.

Uvjerimo se prilikom rješavanja primjera 4 da se jednadžbe ovog tipa mogu riješiti vrlo jednostavno.

Primjer 4. Riješite jednačinu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno koju vrstu nepotpune kvadratne jednačine moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješite jednačinu

Pomnožimo obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom, odnosno sa 30

Hajde da ga smanjimo

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Hajde da otvorimo zagrade

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmo slično

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednačine na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Pogledali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća sa ovakvim zadacima. Budite oprezni kada određujete vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja na ovu temu, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo rješavati probleme koji se pojave.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

Nemaju korijene;
Imati tačno jedan korijen;
Imaju dva različita korijena.

Ovo je bitna razlika između kvadratnih jednačina i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

Ako je D< 0, корней нет;
Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednačinu i pronađemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Analiziramo drugu jednačinu na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Zadnja preostala jednačina je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanta je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednačinu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati šanse i praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada pređimo na samo rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju prilikom zamjene u formulu negativni koeficijenti. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: pogledajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da se kvadratna jednačina malo razlikuje od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Lako je primijetiti da ovim jednačinama nedostaje jedan od pojmova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne zahtijevaju čak ni izračunavanje diskriminanta. Dakle, hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednačina ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, onda ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednačinu oblika ax 2 + c = 0. Transformirajmo je malo:

Od aritmetike Kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, zadnja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 nejednakost (−c /a) ≥ 0 zadovoljena, postojaće dva korena. Formula je data gore;
Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban – u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopšte nema složenih proračuna. U stvari, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Pogledajmo sada jednačine oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorisati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

Proizvod je nula kada je barem jedan od faktora nula. Odatle potiču korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Kvadratne jednadžbe se često pojavljuju prilikom rješavanja različitih problema iz fizike i matematike. U ovom članku ćemo pogledati kako riješiti ove jednakosti na univerzalan način „preko diskriminanta“. U članku su dati i primjeri korištenja stečenog znanja.

O kojim jednačinama ćemo govoriti?

Na slici ispod prikazana je formula u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski simboli a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" se pojavljuje ispred varijable x na kvadrat. Ovo je maksimalna snaga predstavljenog izraza, zbog čega se naziva kvadratna jednačina. Često se koristi i njen drugi naziv: jednačina drugog reda. Sama vrijednost a je kvadratni koeficijent (stoji kada se varijabla kvadrira), b je linearni koeficijent(nalazi se pored varijable podignute na prvi stepen), konačno, broj c je slobodni pojam.

Imajte na umu da je tip jednadžbe prikazan na gornjoj slici opći klasični kvadratni izraz. Pored nje, postoje i druge jednačine drugog reda u kojima koeficijenti b i c mogu biti nula.

Kada se postavi zadatak za rješavanje predmetne jednakosti, to znači da je potrebno pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje prva stvar koju trebate zapamtiti je sljedeća stvar: pošto je maksimalni stepen X 2, onda ova vrsta izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako se prilikom rješavanja jednadžbe nađu 2 vrijednosti x koje ga zadovoljavaju, onda možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamjenjujući ga za x, jednakost bi također bila istinita. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se njezinim korijenima.

Metode rješavanja jednačina drugog reda

Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. IN školski kurs algebre smatraju 4 razne metode rješenja. Nabrojimo ih:

korištenje faktorizacije;
korištenje formule za savršen kvadrat;
primjenom grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
koristeći diskriminantnu jednačinu.

Prednost prve metode je njena jednostavnost, međutim, ne može se koristiti za sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda se odlikuje jasnoćom, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I konačno, korištenje diskriminantne jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednačine drugog reda. Stoga ćemo u ovom članku razmotriti samo to.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Hajde da se okrenemo opšti izgled kvadratna jednačina. Zapišimo to: a*x²+ b*x + c =0. Prije korištenja metode rješavanja „preko diskriminanta“, uvijek treba jednakost dovesti u njenu pisanu formu. To jest, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tada biste prvo trebali premjestiti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati članove koji sadrže varijablu x u iste ovlasti.

U ovom slučaju, ova operacija će dovesti do sljedećeg izraza: -6*x²-4*x+8=0, što je ekvivalentno jednačini 6*x²+4*x-8=0 (ovdje smo pomnožili lijevo i desne strane jednakosti sa -1) .

U gornjem primjeru, a = 6, b=4, c=-8. Imajte na umu da se svi članovi razmatrane jednakosti uvijek zbrajaju, pa ako se pojavi znak “-”, to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju broj c.

Nakon što smo ispitali ovu tačku, prijeđimo sada na samu formulu, koja omogućava dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao na slici ispod.

Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, on vam omogućava da dobijete dva korijena (obratite pažnju na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je u njega zamijeniti koeficijente b, c i a.

Koncept diskriminatora

U prethodnom pasusu data je formula koja vam omogućava brzo rješavanje bilo koje jednačine drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminantom, odnosno D = b²-4*a*c.

Zašto je ovaj dio formule naglašen, a čak i jeste vlastito ime? Činjenica je da diskriminanta povezuje sva tri koeficijenta jednačine u jedan izraz. Poslednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, koje se mogu izraziti u sljedećoj listi:

D>0: Jednakost ima 2 različita rješenja, od kojih su oba realni brojevi.
D=0: Jednačina ima samo jedan korijen, i to je realan broj.

Zadatak diskriminantnog određivanja

Dajemo jednostavan primjer kako pronaći diskriminant. Neka je data sljedeća jednakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Dovedemo to u standardni oblik, dobijamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iz čega dolazimo do jednakosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Ovdje je a=-2, b=2, c=-11.

Sada možete koristiti gornju formulu za diskriminanta: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da je diskriminant u primjeru manji od nule, možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen. Njegovo rješenje će biti samo brojevi složenog tipa.

Primjer nejednakosti kroz diskriminant

Hajde da riješimo probleme malo drugačijeg tipa: dat je jednakost -3*x²-6*x+c = 0. Potrebno je pronaći vrijednosti c za koje je D>0.

U ovom slučaju su poznata samo 2 od 3 koeficijenta, tako da nije moguće izračunati tačnu vrijednost diskriminanta, ali se zna da je ona pozitivna. Zadnju činjenicu koristimo pri sastavljanju nejednakosti: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rješavanje rezultirajuće nejednakosti dovodi do rezultata: c>-3.

Provjerimo rezultirajući broj. Da bismo to učinili, izračunavamo D za 2 slučaja: c=-2 i c=-4. Broj -2 zadovoljava dobijeni rezultat (-2>-3), odgovarajući diskriminant će imati vrijednost: D = 12>0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4. Dakle, svi brojevi c koji su veći od -3 će zadovoljiti uslov.

Primjer rješavanja jednadžbe

Predstavimo problem koji uključuje ne samo pronalaženje diskriminanta, već i rješavanje jednačine. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2*x²+7-9*x = 0.

U ovom primjeru diskriminanta je jednaka sljedećoj vrijednosti: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada se korijeni jednačine određuju na sljedeći način: x = (9±√137)/(- 4). Ovo tačne vrijednosti korijena, ako približno izračunate korijen, onda ćete dobiti brojeve: x = -5,176 i x = 0,676.

Geometrijski problem

Hajde da riješimo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminanta, već i korištenje vještina apstraktnog razmišljanja i znanja o tome kako napisati kvadratne jednačine.

Bob je imao jorgan 5 x 4 metra. Dječak je želio da na njega prišije neprekidnu traku lijepe tkanine po cijelom perimetru. Koliko će ova traka biti debela ako znamo da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu od x m, tada će površina tkanine duž dugačke strane ćebeta biti (5+2*x)*x, a pošto postoje 2 dugačke strane, imamo: 2*x *(5+2*x). Na kratkoj strani, površina ušivenog platna će biti 4*x, pošto postoje 2 ove strane, dobijamo vrijednost 8*x. Imajte na umu da je vrijednost 2*x dodana dugoj strani jer se dužina pokrivača povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine ušivene na ćebe je 10 m². Dakle, dobijamo jednakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Za ovaj primjer, diskriminanta je jednaka: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov korijen je 22. Koristeći formulu, nalazimo tražene korijene: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Očigledno je da je od dva korijena samo broj 0,5 prikladan prema uslovima problema.

Tako će traka tkanine koju Bob prišije na svoje ćebe biti široka 50 cm.

Hajde da razmotrimo problem. Pravokutna baza više visine za 10 cm, a njegova površina je 24 cm². Pronađite visinu pravougaonika. Neka X cm je visina pravougaonika, tada je njegova osnova jednaka ( X+10) cm Površina ovog pravougaonika je X(X+ 10) cm². Prema uslovima problema X(X+ 10) = 24. Otvarajući zagrade i pomerajući broj 24 sa suprotnim predznakom na lijevu stranu jednačine, dobijamo: X² + 10 X-24 = 0. Prilikom rješavanja ovog zadatka dobijena je jednačina koja se zove kvadratna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika

sjekira ²+ bx+c= 0

Gdje a, b, c- dati brojevi, i A≠ 0, i X- nepoznato.

Odds a, b, c Kvadratna jednačina se obično naziva: a- prvi ili najviši koeficijent, b- drugi koeficijent, c- besplatan član. Na primjer, u našem zadatku, vodeći koeficijent je 1, drugi koeficijent je 10, a slobodni član je -24. Rješavanje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje kvadratnih jednačina.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Potpune kvadratne jednadžbe. Prva stvar koju treba da uradite je zadata jednačina dovesti u standardni oblik sjekira²+ bx+ c = 0. Vratimo se našem problemu u kojem se jednačina može zapisati kao X(X+ 10) = 24 dovedemo ga u standardni oblik, otvorimo zagrade X² + 10 X- 24 = 0, ovu jednačinu rješavamo koristeći formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe.

Izraz pod predznakom korijena u ovoj formuli naziva se diskriminant D = b² - 4 ac

Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, koji se mogu pronaći pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe.

Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen.

Ako je D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Zamijenimo vrijednosti u našu formulu A= 1, b= 10, c= -24.

dobijamo D>0, dakle dobijamo dva korena.

Razmotrimo primjer gdje je D=0, pod ovim uvjetom bi trebao postojati jedan korijen.

25x² — 30 x+ 9 = 0

Razmotrimo primjer gdje je D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Broj pod predznakom korijena (diskriminant) je negativan, odgovor pišemo na sljedeći način: jednačina nema pravi korijen.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba sjekira² + bx+ c= 0 se naziva nepotpunim ako je barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli. Nepotpuna kvadratna jednadžba je jednadžba jednog od sljedećih tipova:

sjekira² = 0,

sjekira² + c= 0, c≠ 0,

sjekira² + bx= 0, b≠ 0.

Pogledajmo nekoliko primjera i riješimo jednačinu

Dijeljenje obje strane jednačine sa 5 daje jednačinu X² = 0, odgovor će imati jedan korijen X= 0.

Razmotrimo jednačinu oblika

3X² - 27 = 0

Podijelivši obje strane sa 3, dobijamo jednačinu X² - 9 = 0, ili se može napisati X² = 9, odgovor će imati dva korijena X= 3 i X= -3.

Razmotrimo jednačinu oblika

2X² + 7 = 0

Deljenjem obe strane sa 2 dobijamo jednačinu X² = -7/2. Ova jednadžba nema prave korijene, budući da X² ≥ 0 za bilo koji realan broj X.

Razmotrimo jednačinu oblika

3X² + 5 X= 0

Faktoringom lijeve strane jednačine dobijamo X(3X+ 5) = 0, odgovor će imati dva korijena X= 0, X=-5/3.

Najvažnije kod rješavanja kvadratnih jednadžbi je dovesti kvadratnu jednačinu u standardni oblik, zapamtiti formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe i ne zbuniti se u predznacima.