Integracija po dijelovima- metoda koja se koristi za rješavanje određenih i neodređenih integrala, kada je jedan od integrala lako integrabilan, a drugi diferencibilan. Prilično uobičajena metoda za pronalaženje integrala, kako neodređenih tako i određenih. Glavni znak, kada ga trebate koristiti, to je određena funkcija koja se sastoji od proizvoda dviju funkcija koje se ne mogu direktno integrirati.
Formula
Da biste uspješno koristili ovu metodu, morate razumjeti i naučiti formule.
Formula za integraciju po dijelovima u neodređeni integral:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu:
$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$
Primjeri rješenja
Razmotrimo u praksi primjere rješenja integracije po dijelovima, koja često nude nastavnici na testovi. Imajte na umu da se pod simbolom integrala nalazi proizvod dvije funkcije. To je znak da je ova metoda prikladna za rješenje.
| Primjer 1 |
| Pronađite integral $ \int xe^xdx $ |
| Rješenje |
|
Vidimo da se integrand sastoji od dvije funkcije, od kojih se jedna, nakon diferencijacije, momentalno pretvara u jedinstvo, a druga se lako integrira. Za rješavanje integrala koristimo metodu integracije po dijelovima. Pretpostavimo $ u = x \rightarrow du=dx $ i $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u prvu formulu integracije i dobijamo: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika! |
| Odgovori |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$ |
| Primjer 4 |
| Izračunajte integral $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Rješenje |
|
Analogno prethodnim riješenim primjerima, shvatit ćemo koju funkciju bez problema integrirati, a koju razlikovati. Imajte na umu da ako razlikujemo $ (x+5) $, onda će se ovaj izraz automatski pretvoriti u jedinicu, što će biti u našu korist. Dakle, radimo ovo: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Sada su sve nepoznate funkcije pronađene i mogu se staviti u drugu formulu za integraciju po dijelovima za određeni integral. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
| Odgovori |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
Rješavanje integrala - lak zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, a ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta je definitivno a šta nije definitivni integral s? Ako je jedina upotreba za koju znate za integral korištenje hekla u obliku ikone integrala kako biste izvukli nešto korisno sa teško dostupnih mjesta, onda dobrodošli! Saznajte kako riješiti integrale i zašto ne možete bez toga.
Proučavamo koncept "integralnog"
Integracija je bila poznata još u prošlosti Drevni Egipat. Naravno da ne modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnoge knjige na ovu temu. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali suština stvari se nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Na našem blogu već imamo informacije o , neophodne za razumijevanje integrala.
Neodređeni integral
Hajde da imamo neku funkciju f(x) .
Neodređena integralna funkcija f(x) ova funkcija se poziva F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .
Drugim riječima, integral je izvod u obrnutom ili antiderivatu. Usput, o tome pročitajte u našem članku.
Antideritiv postoji za svakoga kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces nalaženja integrala naziva se integracija.
Jednostavan primjer:
Da ne bi stalno računali antiderivate elementarne funkcije, zgodno ih je sažeti u tabelu i koristiti gotove vrijednosti:
Definitivni integral
Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će pomoći da se izračuna površina figure, masa nehomogenog tijela, pređena udaljenost na neravnomerno kretanje put i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral beskonačan zbir velika količina beskonačno mali pojmovi.
Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije?
Koristeći integral! Hajde da ga razbijemo zakrivljeni trapez, ograničen koordinatnim osama i grafom funkcije, na beskonačno male segmente. Na ovaj način figura će biti podijeljena u tanke kolone. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral, koji se piše ovako:
Tačke a i b nazivaju se granice integracije.
Bari Alibasov i grupa "Integral" Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.
Pravila za izračunavanje integrala za lutke
Svojstva neodređenog integrala
Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo pogledati svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna pri rješavanju primjera.
- Izvod integrala je jednak integrandu:
- Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:
- Integral zbira jednak je zbiru integrala. Ovo važi i za razliku:
Svojstva određenog integrala
- Linearnost:
- Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:
- At bilo koji bodova a, b I With:
Već smo saznali da je određeni integral granica sume. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:
Primjeri rješavanja integrala
U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.
Da biste pojačali gradivo, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral na zatvorenoj površini bit će u vašoj moći.
Ranije smo datu funkciju, vođen raznim formulama i pravilima, pronašao svoj derivat. Izvod ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i inverzni problem - problem vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, njena brzina u trenutku t je data formulom v=gt. Pronađite zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da je za rješavanje problema potrebno odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).U stvari
\(s"(t) = \levo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)
Da bismo problem učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku vremena, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakost s(t) = (gt 2)/2 + C dobijamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
U matematici se dodeljuju recipročne operacije različita imena, smislite posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i izdvajanje kvadratni korijen(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x), itd. Proces nalaženja derivacije date funkcije naziva se diferencijaciju, a inverzna operacija, odnosno proces nalaženja funkcije iz date derivacije, je integracija.
Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnim terminima“: funkcija y = f(x) „rađa“ novu funkciju y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali matematičari je, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač”, već kažu da jeste, u odnosu na funkciju y” = f”( x) , primarna slika ili primitivna.
Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \in X\)
U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).
Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer je za bilo koje x tačna jednakost (sin(x))" = cos(x)
Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.
Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivat za f(x), onda je kF(x) antiderivat za kf(x).
Teorema 1. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X, onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x) + C.
Metode integracije
Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)
Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuirani izvod.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ako je m neparan, m > 0, tada je zgodnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparno, n > 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti zamjenu tg x = t.
Integracija po dijelovima
Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabela neodređenih integrala (antiderivata) nekih funkcija
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Kalkulator rješava integrale sa opisom radnji DETALJNO na ruskom i besplatno!
Rješavanje neodređenih integrala
Ovo je online usluga u jedan korak:
Rješavanje određenih integrala
Ovo je online usluga u jedan korak:
- Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
- Unesite donju granicu za integral
- Unesite gornju granicu za integral
Rješavanje dvostrukih integrala
- Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
Rješavanje nepravih integrala
- Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
- Unesite gornju regiju integracije (ili + beskonačnost)
- Unesite donju regiju integracije (ili - beskonačnost)
Rješavanje trostrukih integrala
- Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
- Unesite donje i gornje granice za prvu regiju integracije
- Unesite donju i gornju granicu za drugu regiju integracije
- Unesite donju i gornju granicu za treću regiju integracije
Ova usluga vam omogućava da provjerite svoje kalkulacije za ispravnost
Mogućnosti
- Podržava sve moguće matematičke funkcije: sinus, kosinus, eksponent, tangenta, kotangens, kvadratni i kubni korijen, potencije, eksponencijale i druge.
- Postoje primjeri za unos, kako za neodređene integrale, tako i za nepravilne i određene.
- Ispravlja greške u izrazima koje unosite i nudi vlastite opcije za unos.
- Numeričko rješenje za određene i nepravilne integrale (uključujući dvostruke i trostruke integrale).
- Podrška za kompleksne brojeve, kao i razne parametre (možete specificirati ne samo integracijsku varijablu, već i druge varijable parametara u izrazu integranda)
Formula integracije po dijelovima izgleda ovako:
.
Metoda integracije po dijelovima sastoji se od primjene ove formule. At praktična primjena Vrijedi napomenuti da su u i v funkcije integracione varijable. Neka integracijska varijabla označeno kao x (simbol iza znaka diferencijala d na kraju integralne notacije). Tada su u i v funkcije od x: u(x) i v(x) .
Onda
, .
A formula za integraciju po dijelovima ima oblik:
.
To jest, funkcija integrand mora se sastojati od proizvoda dvije funkcije:
,
od kojih jedan označavamo sa u: g(x) = u, a za drugi se mora izračunati integral (tačnije, mora se pronaći antiderivat):
, tada je dv = f(x) dx .
U nekim slučajevima f(x) = 1
. Odnosno u integralu
,
možemo staviti g(x) = u, x = v.
Sažetak
Dakle, unutra ovu metodu, formula integracije po dijelovima vrijedi zapamtiti i primijeniti u dva oblika:
;
.
Integrali izračunati integracijom po dijelovima
Integrali koji sadrže logaritme i inverzne trigonometrijske (hiperboličke) funkcije
Integrali koji sadrže logaritme i inverzne trigonometrijske ili hiperboličke funkcije često su integrirani po dijelovima. U ovom slučaju, dio koji sadrži logaritam ili inverzne trigonometrijske (hiperboličke) funkcije označava se sa u, a preostali dio sa dv.
Evo primjera takvih integrala, koji se izračunavaju metodom integracije po dijelovima:
, , , , , , .
Integrali koji sadrže proizvod polinoma i sin x, cos x ili e x
Koristeći formulu integracije po dijelovima, nalaze se integrali oblika:
, , ,
gdje je P(x) polinom u x. Prilikom integracije, polinom P(x) se označava sa u, a e ax dx, cos ax dx ili sin ax dx- preko dv.
Evo primjera takvih integrala:
, , .
Primjeri izračunavanja integrala metodom integracije po dijelovima
Primjeri integrala koji sadrže logaritme i inverzne trigonometrijske funkcije
Primjer
Izračunaj integral:
Detaljno rješenje
Ovdje integrand sadrži logaritam. Pravljenje zamena
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Onda
,
.
Računamo preostali integral:
.
Onda
.
Na kraju proračuna potrebno je dodati konstantu C, jer je neodređeni integral skup svih antiderivata. Moglo bi se dodati iu međuproračunima, ali bi to samo otežalo proračune.
Kraće rješenje
Možete zamisliti rješenje u više kratka verzija. Da biste to učinili, ne morate vršiti zamjene sa u i v, ali možete grupirati faktore i primijeniti formulu integracije po dijelovima u drugom obliku.
.Odgovori
Primjeri integrala koji sadrže proizvod polinoma i sin x, cos x ili ex
Primjer
Izračunaj integral:
.
Rješenje
Uvedemo eksponent pod predznakom diferencijala:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Integrirajmo po dijelovima.
.
Koristimo i metodu integracije po dijelovima.
.
.
.
Konačno imamo.