On moderna pozornica razvoj obrazovanja, jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako su sistematski uključeni u osnove istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne moći, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. S tim u vezi, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školski kurs matematika je od velike važnosti. U isto vrijeme, moraju biti punopravne vještine didaktičke svrhe ne pojedinačni zadaci, već pažljivo osmišljen sistem istih. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

Razmotrimo tehniku za podučavanje učenika kako da napišu jednačinu za tangentu na graf funkcije. U suštini, svi problemi nalaženja tangentne jednačine svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) linija izaberu one koje zadovoljavaju određeni zahtjev – one su tangente na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se specificirati na dva načina:

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop pravih linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme „Tangenta na graf funkcije“ kako bismo izolovali elemente sistema, identifikovali smo dve vrste problema:

1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) problemi na tangenti koju daje njen nagib.

Obuka u rješavanju tangentnih problema obavljena je korištenjem algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegovo fundamentalna razlika od već poznatih je da je apscisa tačke tangente označena slovom a (umjesto x0), te stoga jednačina tangente ima oblik

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(uporedi sa y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i lako shvate gdje su upisane koordinate trenutne tačke. opšta jednačina tangente i gde su tačke dodira.

Algoritam za sastavljanje tangentne jednadžbe na graf funkcije y = f(x)

1. Označite apscisu tačke tangente slovom a.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f "(a). opšta jednačina tangenta y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog identifikacije operacija od strane učenika i redosleda njihove implementacije.

Praksa je pokazala da uzastopno rješavanje svakog od ključnih problema pomoću algoritma omogućava da razvijete vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referentne točke za radnje. . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Napišite jednačinu za tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je tačka tangente, pošto

1. a = 3 – apscisa tangentne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednačina tangente.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koja prolazi kroz tačku M(– 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednačina tangente.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, onda tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci će biti sljedeći:

tangenta je paralelna nekoj pravoj (problem 3);
tangenta prolazi pod određenim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

1. a – apscisa tačke tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f"(a) = 9 (uslov paralelizma). To znači da trebamo riješiti jednačinu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednačina tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednačina tangente.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangentne tačke.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – jednačina tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente sijeku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa tačke tangente, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa tačke tangente jedne od stranica pravi ugao.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednačina prve tangente.

Neka je a ugao nagiba prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Dalje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) tačka dodira druge linije

1. – apscisa druge tačke dodira.
2.
3.
4.
– jednačina druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednačine svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Rješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscise tačaka dodira zajedničkih tangenti, odnosno rješavanje ključnog problema 1 u opštem obliku, sastavljanje sistema jednačina i njegovo rješavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente opšte, onda

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je pripremiti učenike da samostalno prepoznaju vrstu ključnog problema pri rješavanju više složeni zadaci, koje zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, poređenja, generalizacije, postavljanja hipoteze, itd.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan zadatku 1) nalaženja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c prave y = x i y = – 2x tangente na grafik funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa tačke dodira prave linije y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa tačke dodira prave linije y = – 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednačina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c – t 2 , a jednačina tangente y = – 2x će imati oblik y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastavimo i riješimo sistem jednačina

odgovor:

Tangenta je prava linija , koji dodiruje graf funkcije u jednoj tački i čije su sve tačke na najkraćoj udaljenosti od grafa funkcije. Prema tome, tangenta prelazi tangentu na graf funkcije pod određeni ugao a nekoliko tangenti pod različitim uglovima ne može proći kroz tačku dodira. Tangentne jednadžbe i normalne jednadžbe na graf funkcije konstruiraju se pomoću izvoda.

Jednačina tangente je izvedena iz jednačine linije .

Izvedemo jednadžbu tangente, a zatim i jednadžbu normale na graf funkcije.

y = kx + b .

U njemu k- ugaoni koeficijent.

Odavde dobijamo sledeći unos:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vrijednost derivata f "(x 0 ) funkcije y = f(x) u tački x0 jednak nagibu k= tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz tačku M0 (x 0 , y 0 ) , Gdje y0 = f(x 0 ) . Ovo je geometrijsko značenje derivacije .

Dakle, možemo zamijeniti k on f "(x 0 ) i dobijete sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U problemima koji uključuju sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije (a uskoro ćemo prijeći na njih), potrebno je jednadžbu dobivenu iz gornje formule svesti na jednačina prave linije u opštem obliku. Da biste to učinili, trebate premjestiti sva slova i brojeve na lijevu stranu jednačine, a ostaviti nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalno - ovo je prava linija koja prolazi kroz tačku tangente na graf funkcije okomite na tangentu. Normalna jednačina :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Da biste se zagrijali, od vas se traži da sami riješite prvi primjer, a zatim pogledate rješenje. S razlogom se nadamo da ovaj zadatak neće biti „hladan tuš“ za naše čitatelje.

Primjer 0. Napravite tangentnu jednačinu i normalnu jednačinu za graf funkcije u tački M (1, 1) .

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente i normalnu jednačinu za graf funkcije , ako je apscisa tangenta .

Nađimo derivaciju funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unosu datom u teorijskoj pomoći da se dobije jednačina tangente. Dobijamo

U ovom primjeru imali smo sreće: ispostavilo se da je nagib nula, pa smo odvojeno reducirali jednadžbu na opšti izgled nije bilo potrebno. Sada možemo kreirati normalnu jednačinu:

Na slici ispod: graf funkcije u bordo boji, tangenta Zelena boja, narandžasta normalna.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali nagib neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednačine u opći oblik.

Primjer 2.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Sve dobijene podatke zamenimo u „praznu formulu“ i dobijemo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednadžbu u njen opći oblik (sakupljamo sva slova i brojeve osim nule na lijevoj strani, a ostavljamo nulu na desnoj):

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Primjer 3. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Pronalazimo tangentnu jednačinu:

Prije nego što dovedete jednadžbu u njen opći oblik, trebate je malo "pročešljati": pomnožite član po član sa 4. Ovo radimo i dovedemo jednačinu u njen opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Primjer 4. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Dobijamo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednačinu u njen opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Uobičajena greška pri pisanju tangentnih i normalnih jednačina je da se ne primijeti da je funkcija data u primjeru složena i da se njen izvod izračuna kao izvod jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već iz složene funkcije(odgovarajuća lekcija će se otvoriti u novom prozoru).

Primjer 5. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Pažnja! Ova funkcija- kompleksno, budući da argument tangente (2 x) je sama po sebi funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju kompleksne funkcije.

Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk region

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz podršku Hotelskog kompleksa ITAKA+. Kada boravite u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete naići na problem pronalaska privremenog smještaja. , Online hotelski kompleks“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, za bilo koji vremenski period, uz dnevnu uplatu.

U sadašnjoj fazi razvoja obrazovanja, jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako su sistematski uključeni u osnove istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne moći, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike je od velikog značaja. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već pažljivo osmišljenog sistema istih. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop pravih linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme „Tangenta na graf funkcije“ kako bismo izolovali elemente sistema, identifikovali smo dve vrste problema:

1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) problemi na tangenti koju daje njen nagib.

Obuka u rješavanju tangentnih problema obavljena je korištenjem algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova fundamentalna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne tačke označena slovom a (umjesto x0), te stoga jednačina tangente ima oblik

y = f(a) + f "(a)(x – a)

Algoritam za sastavljanje tangentne jednadžbe na graf funkcije y = f(x)

1. Označite apscisu tačke tangente slovom a.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f"(a) u opštu tangentnu jednačinu y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog identifikacije operacija od strane učenika i redosleda njihove implementacije.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Napišite jednačinu za tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je tačka tangente, pošto

1. a = 3 – apscisa tangentne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednačina tangente.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koja prolazi kroz tačku M(– 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer f(– 3) 6 (sl. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednačina tangente.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, onda tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci će biti sljedeći:

tangenta je paralelna nekoj pravoj (problem 3);
tangenta prolazi pod određenim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

Rješenje.

1. a – apscisa tačke tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f"(a) = 9 (uslov paralelizma). To znači da trebamo riješiti jednačinu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednačina tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednačina tangente.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f"(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangentne tačke.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – jednačina tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente sijeku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa tačke tangente, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa tačke tangente jedne od stranica pravog ugla.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednačina prve tangente.

Neka a – ugao nagiba prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Dalje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) tačka dodira druge linije

1. – apscisa druge tačke dodira.
2.
3.
4.
– jednačina druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednačine svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

1. Neka je a apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente opšte, onda

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je pripremiti studente za samostalno prepoznavanje vrste ključnog problema pri rješavanju složenijih problema koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan zadatku 1) nalaženja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c prave y = x i y = – 2x tangente na grafik funkcije y = x 2 + bx + c?

Rješenje.

Sastavimo i riješimo sistem jednačina

odgovor:

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Napišite jednačine tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 – 4x + 3 u tačkama preseka grafika sa pravom y = x + 3.

Odgovor: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Za koje vrijednosti a tangenta povučena na graf funkcije y = x 2 – ax u tački grafika sa apscisom x 0 = 1 prolazi kroz tačku M(2; 3)?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p prava linija y = px – 5 dodiruje krivu y = 3x 2 – 4x – 2?

Odgovor: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Pronađite sve zajedničke tačke grafa funkcije y = 3x – x 3 i tangentu povučenu na ovaj graf kroz tačku P(0; 16).

Odgovor: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Pronađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i prave

odgovor:

6. Na krivoj y = x 2 – x + 1 pronađite tačku u kojoj je tangenta grafika paralelna pravoj liniji y – 3x + 1 = 0.

Odgovor: M(2; 3).

7. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x – | 4x |, koji ga dodiruje u dvije tačke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x – 4.

8. Dokazati da prava y = 2x – 1 ne siječe krivu y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih tačaka.

odgovor:

9. Na paraboli y = x 2 uzete su dvije tačke sa apscisama x 1 = 1, x 2 = 3. Kroz ove tačke je povučena sekansa. U kojoj tački parabole će tangenta na nju biti paralelna sa sekantom? Napišite jednadžbe sekansa i tangente.

Odgovor: y = 4x – 3 – sekantna jednačina; y = 4x – 4 – jednačina tangente.

10. Pronađite ugao q između tangenti na graf funkcije y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, povučen u tačkama sa apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45°.

11. U kojim tačkama tangenta na graf funkcije formira ugao od 135° sa Ox osom?

Odgovor: A(0; – 1), B(4; 3).

12. U tački A(1; 8) do krive povučena je tangenta. Odredite dužinu tangentnog segmenta između koordinatnih osa.

odgovor:

13. Napišite jednačinu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y = x 2 – x + 1 i y = 2x 2 – x + 0,5.

Odgovor: y = – 3x i y = x.

14. Naći udaljenost između tangenti na graf funkcije paralelno sa x-osom.

odgovor:

15. Odredite pod kojim uglom parabola y = x 2 + 2x – 8 seče x-osu.

Odgovor: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funkcijski graf pronaći sve tačke, od kojih tangenta u svakoj na ovaj graf siječe pozitivne poluose koordinata, odsijecajući od njih jednake segmente.

Odgovor: A(– 3; 11).

17. Prava y = 2x + 7 i parabola y = x 2 – 1 seku se u tačkama M i N. Pronađite tačku K preseka pravih tangentnih na parabolu u tačkama M i N.

Odgovor: K(1; – 9).

18. Za koje vrijednosti b je prava y = 9x + b tangenta na grafik funkcije y = x 3 – 3x + 15?

Odgovor: – 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k prava y = kx – 10 ima samo jednu zajednička tačka sa grafikom funkcije y = 2x 2 + 3x – 2? Za pronađene vrijednosti k, odredite koordinate tačke.

Odgovor: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Za koje vrijednosti b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 u tački sa apscisom x 0 = 2 prolazi kroz tačku M(1; 8)?

Odgovor: b = – 3.

21. Parabola sa vrhom na osi Ox dodiruje pravu koja prolazi kroz tačke A(1; 2) i B(2; 4) u tački B. Pronađite jednačinu parabole.

odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y = x 2 + kx + 1 dodiruje osu Ox?

Odgovor: k = d 2.

23. Pronađite uglove između prave y = x + 2 i krive y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Odrediti udaljenost između tangenti na graf funkcije i generatora sa pozitivnim smjerom ose Ox pod kutom od 45°.

odgovor:

30. Odrediti geometrijsko mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b tangenta na pravu y = 4x – 1.

Odgovor: prava y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i počeci analize: 3600 zadataka za školarce i studente. – M., Drfa, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar četiri za mlade nastavnike. Tema: Derivatne aplikacije. – M., „Matematika“, br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina zasnovanih na teoriji postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskovski državni univerzitet, 1968.

Video lekcija "Jednačina tangente na graf funkcije" demonstrira edukativni materijal da savladaju temu. Tokom prikazane video lekcije teorijski materijal, neophodnog za formiranje koncepta jednadžbe tangente na graf funkcije u datoj tački, opisani su algoritam za pronalaženje takve tangente, opisani su primjeri rješavanja problema korištenjem proučavanog teorijskog materijala.

Video tutorijal koristi metode koje poboljšavaju jasnoću materijala. Prezentacija sadrži crteže, dijagrame, važne glasovne komentare, animacije, isticanje i druge alate.

Video lekcija počinje prezentacijom teme lekcije i slikom tangente na graf neke funkcije y=f(x) u tački M(a;f(a)). Poznato je da je ugaoni koeficijent tangente ucrtane na graf u datoj tački jednak izvodu funkcije f΄(a) u ovoj tački. Takođe iz kursa algebre znamo jednačinu prave y=kx+m. Šematski je prikazano rješenje problema nalaženja tangentne jednačine u tački, što se svodi na nalaženje koeficijenata k, m. Poznavajući koordinate tačke koja pripada grafu funkcije, možemo pronaći m zamjenom vrijednosti koordinata u tangentnu jednačinu f(a)=ka+m. Iz njega nalazimo m=f(a)-ka. Dakle, znajući vrijednost derivacije u datoj tački i koordinate tačke, tangentnu jednačinu možemo predstaviti na ovaj način y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Sljedeći je primjer sastavljanja tangentne jednadžbe prema dijagramu. Zadata funkcija y=x 2 , x=-2. Uzimajući a=-2, nalazimo vrijednost funkcije u datoj tački f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Određujemo derivaciju funkcije f΄(x)=2x. U ovoj tački derivacija je jednaka f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Za sastavljanje jednačine pronađeni su svi koeficijenti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, tako da je tangentna jednačina y=4+(-4)(x+2). Pojednostavljujući jednačinu, dobijamo y = -4-4x.

Sljedeći primjer sugerira konstruiranje jednadžbe za tangentu u početku na graf funkcije y=tgx. U datoj tački a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Dakle, jednačina tangente izgleda kao y=x.

Kao generalizaciju, proces sastavljanja jednadžbe tangente na graf funkcije u određenoj tački je formaliziran u obliku algoritma koji se sastoji od 4 koraka:

Unesite oznaku a za apscisu tačke tangente;
f(a) se izračunava;
Određuje se f΄(x) i izračunava se f΄(a). Pronađene vrijednosti a, f(a), f΄(a) se supstituiraju u formulu tangentne jednačine y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Primjer 1 razmatra sastavljanje tangentne jednadžbe na graf funkcije y=1/x u tački x=1. Za rješavanje problema koristimo algoritam. Za datu funkciju u tački a=1, vrijednost funkcije f(a)=-1. Derivat funkcije f΄(x)=1/x 2. U tački a=1 derivacija f΄(a)= f΄(1)=1. Koristeći dobijene podatke, sastavlja se tangentna jednačina y=-1+(x-1), odnosno y=x-2.

U primjeru 2 potrebno je pronaći jednadžbu tangente na graf funkcije y=x 3 +3x 2 -2x-2. Glavni uslov je paralelnost tangente i prave linije y=-2x+1. Prvo, nalazimo ugaoni koeficijent tangente, jednak ugaonom koeficijentu prave linije y=-2x+1. Pošto je f΄(a)=-2 za datu pravu, onda je k=-2 za željenu tangentu. Nalazimo derivaciju funkcije (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Znajući da je f΄(a)=-2, nalazimo koordinate tačke 3a 2 +6a-2=-2. Nakon što smo riješili jednačinu, dobijamo a 1 =0, a 2 =-2. Koristeći pronađene koordinate, možete pronaći jednadžbu tangente pomoću dobro poznatog algoritma. Nalazimo vrijednost funkcije u tačkama f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Vrijednost derivacije u tački f΄(a 1)= f΄(a 2)=-2. Zamjenom pronađenih vrijednosti u tangentnu jednačinu dobijamo za prvu tačku a 1 =0 y=-2x-2, a za drugu tačku a 2 =-2 tangentnu jednačinu y=-2x-22.

Primjer 3 opisuje sastav jednadžbe tangente za njeno crtanje u tački (0;3) na grafiku funkcije y=√x. Rješenje je napravljeno pomoću dobro poznatog algoritma. Tačka tangente ima koordinate x=a, gdje je a>0. Vrijednost funkcije u tački f(a)=√x. Derivat funkcije f΄(h)=1/2√h, dakle u datoj tački f΄(a)=1/2√a. Zamjenom svih dobijenih vrijednosti u tangentnu jednačinu, dobijamo y = √a + (x-a)/2√a. Transformisanjem jednačine dobijamo y=x/2√a+√a/2. Znajući da tangenta prolazi kroz tačku (0;3), nalazimo vrijednost a. Nalazimo a iz 3=√a/2. Dakle, √a=6, a=36. Pronalazimo tangentnu jednačinu y=x/12+3. Na slici je prikazan graf razmatrane funkcije i konstruisana željena tangenta.

Učenici se podsjećaju na približne jednakosti Δy=≈f΄(x)Δx i f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Uzimajući x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dobijamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), dakle f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

U primjeru 4 potrebno je pronaći približnu vrijednost izraza 2,003 6. Pošto je potrebno pronaći vrijednost funkcije f(x)=x 6 u tački x=2.003, možemo koristiti dobro poznatu formulu, uzimajući f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivat u tački f΄(2)=192. Dakle, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Kada smo izračunali izraz, dobijamo 2,003 6 ≈64,576.

Video lekcija “Jednačina tangente na graf funkcije” preporučuje se za korištenje u tradicionalnoj lekciji matematike u školi. Za nastavnika koji predaje na daljinu, video materijal će pomoći da se jasnije objasni tema. Video se može preporučiti učenicima da samostalno pregledaju ako je potrebno kako bi produbili svoje razumijevanje predmeta.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Znamo da ako tačka M (a; f(a)) (em sa koordinatama a i ef iz a) pripada grafu funkcije y = f (x) i ako je u ovoj tački moguće povući tangentu na graf funkcije koji nije okomit na apscisu ose, tada je ugaoni koeficijent tangente jednak f"(a) (eff prost iz a).

Neka su data funkcija y = f(x) i tačka M (a; f(a)), a poznato je i da f´(a) postoji. Napravimo jednačinu za tangentu na graf datu funkciju u datoj tački. Ova jednadžba, kao i jednadžba bilo koje prave linije koja nije paralelna s ordinatnom osi, ima oblik y = kx+m (y je jednako ka x plus em), tako da je zadatak pronaći vrijednosti koeficijenti k i m (ka i em)

Koeficijent ugla k= f"(a). Za izračunavanje vrijednosti m koristimo činjenicu da željena prava linija prolazi kroz tačku M(a; f (a)). To znači da ako zamijenimo koordinate tačke M u jednačinu prave, dobijamo tačnu jednakost: f(a) = ka+m, odakle nalazimo da je m = f(a) - ka.

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata ki i m u jednadžbu prave linije:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y je jednako ef iz plus ef prostog broja iz a, pomnoženo sa x minus a).

Dobili smo jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački x=a.

Ako je, recimo, y = x 2 i x = -2 (tj. a = -2), onda je f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, što znači f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (tada je ef od a jednak četiri, ef od prostog broja x je jednako dva x, što znači da je ef prosto iz a jednako minus četiri)

Zamjenom pronađenih vrijednosti a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 u jednačinu dobijamo: y = 4+(-4)(x+2), tj. y = -4x -4.

(E je jednako minus četiri x minus četiri)

Napravimo jednačinu za tangentu na graf funkcije y = tanx (y je jednako tangenti x) u početku. Imamo: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , što znači f"(0) = l. Zamjenom pronađenih vrijednosti a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 u jednačinu dobijamo: y=x.

Hajde da sumiramo naše korake u pronalaženju jednadžbe tangente na graf funkcije u tački x koristeći algoritam.

ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNAČINE ZA TANGENTU NA GRAFIK FUNKCIJE y = f(x):

1) Označite apscisu tačke tangente slovom a.

2) Izračunajte f(a).

3) Pronađite f´(x) i izračunajte f´(a).

4) Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f´(a) u formulu y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Primjer 1. Napraviti jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = - in

tačka x = 1.

Rješenje. Koristimo algoritam, uzimajući u obzir da u u ovom primjeru

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Pronađena tri broja: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 zamijenimo u formulu. Dobijamo: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Odgovor: y = x-2.

Primjer 2. Zadata je funkcija y = x 3 +3x 2 -2x-2. Zapišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = f(x), paralelnu pravoj liniji y = -2x +1.

Koristeći algoritam za sastavljanje tangentne jednadžbe, uzimamo u obzir da je u ovom primjeru f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ali apscisa tačke tangente ovdje nije naznačena.

Hajde da počnemo da razmišljamo ovako. Željena tangenta mora biti paralelna pravoj liniji y = -2x+1. I paralelne prave imaju jednake ugaone koeficijente. To znači da je ugaoni koeficijent tangente jednak ugaonom koeficijentu date prave linije: k tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednačine f´(a) = -2.

Nađimo derivaciju funkcije y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Iz jednačine f"(a) = -2, tj. 3a 2 +6a-2=-2 nalazimo a 1 =0, a 2 =-2. To znači da postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uslove problema: jedna u tački sa apscisom 0, druga u tački sa apscisom -2.

Sada možete pratiti algoritam.

1) a 1 =0, i 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Zamjenom vrijednosti a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 u formulu, dobijamo:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Zamjenom vrijednosti a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 u formulu, dobijamo:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odgovor: y=-2x-2, y=-2x+2.

Primjer 3. Iz tačke (0; 3) povući tangentu na graf funkcije y = . Rješenje. Koristimo algoritam za sastavljanje tangentne jednačine, uzimajući u obzir da je u ovom primjeru f(x) = . Imajte na umu da ovdje, kao u primjeru 2, apscisa tačke tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, slijedimo algoritam.

1) Neka je x = a apscisa tačke dodira; jasno je da je a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Zamjena vrijednosti a, f(a) = , f"(a) = u formulu

y=f (a) +f "(a) (x-a), dobijamo:

Po uslovu, tangenta prolazi kroz tačku (0; 3). Zamjenom vrijednosti x = 0, y = 3 u jednadžbu dobijamo: 3 = , a zatim =6, a =36.

Kao što vidite, u ovom primjeru, tek u četvrtom koraku algoritma uspjeli smo pronaći apscisu tačke tangente. Zamjenom vrijednosti a =36 u jednačinu dobijamo: y=+3

Na sl. Na slici 1 prikazana je geometrijska ilustracija razmatranog primjera: konstruiran je grafik funkcije y =, nacrtana je prava linija y = +3.

Odgovor: y = +3.

Znamo da za funkciju y = f(x), koja ima derivaciju u tački x, vrijedi približna jednakost: Δyf´(x)Δx (delta y je približno jednak eff prostom broju x pomnoženom sa delta x)

ili, detaljnije, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff od x plus delta x minus ef od x je približno jednako eff proste od x sa delta x).

Radi pogodnosti dalje rasprave, promijenimo notaciju:

umjesto x pisaćemo A,

umjesto x+Δx pisaćemo x

Umjesto Δx pisaćemo x-a.

Tada će približna jednakost koja je gore napisana poprimiti oblik:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff iz x je približno jednak ef iz plus ef proste iz a, pomnoženo sa razlikom između x i a).

Primjer 4: Pronađite približnu vrijednost numerički izraz 2,003 6 .

Rješenje. Radi se o o pronalaženju vrijednosti funkcije y = x 6 u tački x = 2,003. Koristimo formulu f(x)f(a)+f´(a)(x-a), uzimajući u obzir da je u ovom primjeru f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 i, prema tome, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Kao rezultat dobijamo:

2,003 6 64+192· 0,003, tj. 2.003 6 =64.576.

Ako koristimo kalkulator, dobijamo:

2,003 6 = 64,5781643...

Kao što vidite, tačnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.

Članak daje detaljno objašnjenje definicija, geometrijsko značenje izvedenice sa grafičkim oznakama. Jednadžba tangente će se razmatrati na primjerima, naći će se jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Ugao nagiba prave linije y = k x + b naziva se ugao α, koji se meri od pozitivnog smjera x-osa na pravu liniju y = k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer x označen zelenom strelicom i zelenim lukom, a ugao nagiba crvenim lukom. Plava linija se odnosi na pravu liniju.

Definicija 2

Nagib prave linije y = k x + b naziva se numerički koeficijent k.

Ugaoni koeficijent jednak je tangenti prave, drugim riječima k = t g α.

Ugao nagiba prave linije jednak je 0 samo ako je paralelna oko x, a nagib jednak nuli, jer je tangenta nule jednaka 0. To znači da će oblik jednačine biti y = b.
Ako je ugao nagiba prave linije y = k x + b oštar, tada su ispunjeni uslovi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, a na grafu se povećava.
Ako je α = π 2, tada je lokacija prave okomita na x. Jednakost je specificirana sa x = c pri čemu je vrijednost c realan broj.
Ako je ugao nagiba prave linije y = k x + b tup, onda odgovara uslovima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definicija 3

Sekansa je prava koja prolazi kroz 2 tačke funkcije f (x). Drugim riječima, sekansa je prava linija koja se povlači kroz bilo koje dvije točke na grafu date funkcije.

Slika pokazuje da je A B sekansa, a f (x) je crna kriva, α je crveni luk, koji označava ugao nagiba sekansa.

Kada je ugaoni koeficijent prave linije jednak tangenti ugla nagiba, jasno je da se tangenta iz pravouglog trokuta A B C može naći iz relacije Suprotna strana na susednu.

Definicija 4

Dobijamo formulu za pronalaženje sekante oblika:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, gdje su apscise tačaka A i B vrijednosti x A, x B i f (x A), f (x B) su funkcije vrijednosti u ovim tačkama.

Očigledno, kutni koeficijent sekante se određuje pomoću jednakosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B , a jednačina se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanta vizualno dijeli graf na 3 dijela: lijevo od tačke A, od A do B, desno od B. Slika ispod pokazuje da postoje tri sekante koje se smatraju podudarnim, odnosno postavljene su pomoću slična jednačina.

Po definiciji je jasno da se prava linija i njena sekansa u ovom slučaju poklapaju.

Sekansa može više puta preseći graf date funkcije. Ako postoji jednadžba oblika y = 0 za sekantu, tada je broj točaka presjeka sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u tački x 0 ; f (x 0) je prava linija koja prolazi kroz datu tačku x 0; f (x 0), uz prisustvo segmenta koji ima mnogo x vrijednosti blizu x 0.

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada je jasno da se prava definirana funkcijom y = x + 1 smatra tangentnom na y = 2 x u tački s koordinatama (1; 2). Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafove sa vrijednostima bliskim (1; 2). Funkcija y = 2 x je prikazana crnom bojom, plava linija je tangentna linija, a crvena tačka je tačka preseka.

Očigledno, y = 2 x spaja se s pravom y = x + 1.

Da bismo odredili tangentu, treba razmotriti ponašanje tangente A B dok se tačka B beskonačno približava tački A. Radi jasnoće, predstavljamo crtež.

Sekansa A B, označena plavom linijom, teži položaju same tangente, a ugao nagiba sekansa α počeće da teži uglu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A smatra se graničnim položajem sekante A B dok B teži ka A, odnosno B → A.

Sada idemo dalje na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u tački.

Prijeđimo na razmatranje sekante A B za funkciju f (x), gdje je A i B sa koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), a ∆ x označen kao prirast argumenta . Sada će funkcija imati oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Radi jasnoće, dajmo primjer crteža.

Razmotrimo rezultat pravougaonog trougla A B C. Za rješavanje koristimo definiciju tangente, odnosno dobijamo relaciju ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente slijedi da je lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Prema pravilu derivacije u tački, imamo da se derivacija f (x) u tački x 0 naziva granicom omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta, gdje je ∆ x → 0 , onda ga označavamo kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Iz toga slijedi da je f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

To jest, dobijamo da f’ (x) može postojati u tački x 0 i kao tangenta na datom rasporedu funkcija u tački tangente jednaka x 0, f 0 (x 0), pri čemu je vrijednost nagiba tangente u tački jednaka izvodu u tački x 0. Tada dobijamo da je k x = f " (x 0) .

Geometrijsko značenje Izvod funkcije u tački je da je dat koncept postojanja tangente na graf u istoj tački.

Za pisanje jednačine bilo koje prave linije na ravni potrebno je imati ugaoni koeficijent sa tačkom kroz koju ona prolazi. Njegova notacija se uzima kao x 0 na raskrsnici.

Tangentna jednadžba na graf funkcije y = f (x) u tački x 0, f 0 (x 0) ima oblik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

To znači da konačna vrijednost derivacije f"(x 0) može odrediti položaj tangente, odnosno vertikalno, pod uslovom da je lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ili odsustvo uopšte pod uslovom lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Položaj tangente zavisi od vrednosti njenog ugaonog koeficijenta k x = f "(x 0). Kada je paralelna sa o x osom, dobijamo da je k k = 0, kada je paralelna sa o y - k x = ∞, a oblik tangentna jednačina x = x 0 raste sa k x > 0, opada kao k x< 0 .

Primjer 2

Sastaviti jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u tački sa koordinatama (1; 3) i odrediti ugao nagiba.

Rješenje

Po uslovu imamo da je funkcija definirana za sve realne brojeve. Nalazimo da je tačka sa koordinatama određenim uslovom, (1; 3) tačka tangentnosti, tada je x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Potrebno je pronaći izvod u tački sa vrijednošću - 1. Shvatili smo to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f' (x) u tački tangente je nagib tangente, koji je jednak tangenti nagiba.

Tada je k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Iz toga slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

odgovor: tangentna jednačina poprima oblik

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće dajemo primjer na grafičkoj ilustraciji.

Crna boja se koristi za graf originalne funkcije, Plava boja– slika tangente, crvena tačka – tačka tangente. Slika desno prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Odrediti postojanje tangente na graf date funkcije
y = 3 · x - 1 5 + 1 u tački sa koordinatama (1 ; 1) . Napišite jednačinu i odredite ugao nagiba.

Rješenje

Pod uslovom imamo da se domenom definicije date funkcije smatra skup svih realnih brojeva.

Idemo dalje na pronalaženje derivata

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1, onda je f' (x) nedefinisan, ali su granice zapisane kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , što znači postojanje vertikalne tangente u tački (1; 1).

odgovor: jednadžba će dobiti oblik x = 1, gdje će ugao nagiba biti jednak π 2.

Radi jasnoće, opišimo to grafički.

Primjer 4

Pronađite tačke na grafu funkcije y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, gdje je

Ne postoji tangenta;
Tangenta je paralelna sa x;
Tangenta je paralelna pravoj y = 8 5 x + 4.

Rješenje

Potrebno je obratiti pažnju na obim definicije. Po uslovu imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširujemo modul i rješavamo sistem s intervalima x ∈ - ∞ ; 2 i [ - 2 ; + ∞) . Shvatili smo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Potrebno je razlikovati funkciju. Imamo to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Kada je x = − 2, onda izvod ne postoji jer jednostrane granice nisu jednake u toj tački:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunavamo vrijednost funkcije u tački x = - 2, odakle to dobijamo

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, odnosno tangenta u tački ( - 2; - 2) neće postojati.
Tangenta je paralelna sa x kada je nagib nula. Tada je k x = t g α x = f "(x 0). Odnosno, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada ga derivacija funkcije okrene na nulu. To jest, vrijednosti f ' (x) će biti tačke tangente, gde je tangenta paralelna sa x.

Kada je x ∈ - ∞ ; - 2, zatim - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, a za x ∈ (- 2; + ∞) dobijamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 se smatraju traženim tačkama grafa funkcije.

Hajde da razmotrimo grafička slika rješenja.

Crna linija je graf funkcije, a crvene tačke su dodirne tačke.

Kada su prave paralelne, ugaoni koeficijenti su jednaki. Zatim je potrebno tražiti tačke na grafu funkcije u kojima će nagib biti jednak vrijednosti 8 5. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu oblika y"(x) = 8 5. Tada, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobijamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2 ; + ∞), onda je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prva jednadžba nema korijen jer je diskriminant manji od nule. Hajde da to zapišemo

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Dakle, druga jednadžba ima dva realna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Idemo dalje na pronalaženje vrijednosti funkcije. Shvatili smo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi sa vrijednostima - 1; 4 15, 5; 8 3 su tačke u kojima su tangente paralelne pravoj y = 8 5 x + 4.

odgovor: crna linija – grafik funkcije, crvena linija – grafik od y = 8 5 x + 4, plava linija – tangente u tačkama - 1; 4 15, 5; 8 3.

Može postojati beskonačan broj tangenata za date funkcije.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih raspoloživih tangenta funkcije y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, koje se nalaze okomito na pravu liniju y = - 2 x + 1 2.

Rješenje

Za sastavljanje jednačine tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate tačke tangente, na osnovu uslova okomitosti pravih. Definicija je sljedeća: proizvod ugaonih koeficijenata koji su okomiti na prave je jednak - 1, odnosno zapisan kao k x · k ⊥ = - 1. Iz uslova imamo da je ugaoni koeficijent lociran okomito na pravu i jednak je k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Sada morate pronaći koordinate dodirnih tačaka. Morate pronaći x, a zatim njegovu vrijednost za datu funkciju. Imajte na umu da iz geometrijskog značenja derivacije u tački
x 0 dobijamo da je k x = y "(x 0). Iz ove jednakosti nalazimo vrijednosti x za tačke dodira.

Shvatili smo to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ovo trigonometrijska jednačinaće se koristiti za izračunavanje ordinata tangentnih tačaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

x je pronađeno kontaktnih tačaka. Sada morate prijeći na traženje vrijednosti y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Iz ovoga dobijamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 su tačke dodira.

odgovor: potrebne jednačine će biti zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz, razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da se funkcija nalazi na intervalu [ - 10 ; 10 ], gdje je crna linija grafik funkcije, plave linije su tangente, koje se nalaze okomito na datu liniju oblika y = - 2 x + 1 2. Crvene tačke su dodirne tačke.

Kanonske jednadžbe krivulja 2. reda nisu jednovrijedne funkcije. Tangentne jednadžbe za njih se sastavljaju prema poznatim shemama.

Tangenta na kružnicu

Definirati kružnicu sa centrom u tački x c e n t e r ; y c e n t e r i radijus R, primijenimo formulu x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Ova jednakost se može napisati kao unija dvije funkcije:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prva funkcija se nalazi na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u tački x 0; y 0 , koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafika funkcije oblika y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ili y = - R 2 - x - x c e n t + e y c e n t e r na naznačenoj tački.

Kada je u tačkama x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente se mogu dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R , a u tačkama x c e n t e r + R ; y c e n t e r i
x c e n t e r - R ; y c e n t e r će biti paralelan sa o y, tada ćemo dobiti jednačine oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipsu

Kada elipsa ima centar u x c e n t e r ; y c e n t e r sa poluosama a i b, onda se može odrediti pomoću jednačine x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsa i krug se mogu označiti kombinacijom dvije funkcije, odnosno gornje i donje poluelipse. Onda to shvatamo

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, onda su paralelne oko x ili oko y. U nastavku, radi jasnoće, razmotrite sliku.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u tačkama sa vrijednostima x jednakim x = 2.

Rješenje

Potrebno je pronaći tangente koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Zamjenjujemo postojeću jednačinu elipse i nalazimo je

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tada je 2 ; 5 3 2 + 5 i 2; - 5 3 2 + 5 su tangente koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Pređimo na pronalaženje i rješavanje jednadžbe elipse u odnosu na y. Shvatili smo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očigledno je da je gornja poluelipsa određena pomoću funkcije oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, a donja poluelipsa y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Primijenimo standardni algoritam za kreiranje jednadžbe za tangentu na graf funkcije u tački. Zapišimo da je jednačina za prvu tangentu u tački 2; 5 3 2 + 5 će izgledati

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Nalazimo da je jednačina druge tangente sa vrijednošću u tački
2 ; - 5 3 2 + 5 poprima oblik

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički, tangente su označene na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kada hiperbola ima centar u x c e n t e r ; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α ; y c e n t e r i x c e n t e r - α ; y c e n t e r , postoji nejednakost x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ako je sa vrhovima x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r ; y c e n t e r - b , tada se specificira pomoću nejednakosti x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola se može predstaviti kao dvije kombinovane funkcije oblika

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ili y = b a · (x - x n + 2) e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne sa y, au drugom paralelne sa x.

Iz toga slijedi da je za pronalaženje jednačine tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada tačka tangente. Da bi se to utvrdilo, potrebno je izvršiti zamjenu u jednadžbe i provjeriti identitet.

Primjer 7

Napišite jednačinu za tangentu na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u tački 7; - 3 3 - 3 .

Rješenje

Za pronalaženje hiperbole potrebno je transformirati zapis rješenja pomoću 2 funkcije. Shvatili smo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 i y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je utvrditi kojoj funkciji pripada set lopta sa koordinatama 7; - 3 3 - 3 .

Očigledno, za provjeru prve funkcije potrebno je y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tada tačka ne pripada grafu, pošto jednakost ne važi.

Za drugu funkciju imamo da je y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, što znači da tačka pripada datom grafu. Odavde biste trebali pronaći padinu.

Shvatili smo to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odgovor: tangentna jednačina se može predstaviti kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Jasno je prikazano ovako:

Tangenta na parabolu

Da biste kreirali jednadžbu za tangentu na parabolu y = a x 2 + b x + c u tački x 0, y (x 0), morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba imati oblik y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Takva tangenta na vrhu je paralelna sa x.

Trebali biste definirati parabolu x = a y 2 + b y + c kao uniju dvije funkcije. Stoga moramo riješiti jednačinu za y. Shvatili smo to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafički prikazano kao:

Da biste saznali da li tačka x 0, y (x 0) pripada funkciji, postupajte lagano prema standardnom algoritmu. Takva tangenta će biti paralelna sa o y u odnosu na parabolu.

Primjer 8

Napišite jednačinu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 kada imamo ugao tangente od 150°.

Rješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvatili smo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u tački x 0 ove funkcije i jednaka je tangentu ugla nagiba.

Dobijamo:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Odavde određujemo x vrijednost za tačke kontakta.

Prva funkcija će biti napisana kao

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očigledno, nema pravih korijena, jer smo dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta sa uglom od 150°.

Druga funkcija će biti napisana kao

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da su dodirne tačke 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odgovor: tangentna jednačina poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Prikažimo to grafički na ovaj način:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tangenta na graf y x 3. Tangenta na graf funkcije u tački

Jednadžba tangente na graf funkcije

Tangenta na kružnicu

Tangenta na elipsu

Tangenta na hiperbolu

Tangenta na parabolu