Slučajna varijabla Varijabla se naziva varijabla koja, kao rezultat svakog testa, poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim razlozima. Slučajne varijable su označene velikim slovima sa latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Prema svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretno I kontinuirano.

Diskretna slučajna varijabla- ovo je slučajna varijabla čije vrijednosti ne mogu biti više od prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Pod prebrojivosti podrazumijevamo da se vrijednosti slučajne varijable mogu numerisati.

Primjer 1 . Evo primjera diskretnih slučajnih varijabli:

a) broj pogodaka u metu sa $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) broj ispuštenih amblema prilikom bacanja novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) broj brodova koji pristižu na brod (prebrojiv skup vrijednosti).

d) broj poziva koji stižu na PBX (brojivi skup vrijednosti).

1. Zakon distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.

Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ sa vjerovatnoćama $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća naziva se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Po pravilu, ova korespondencija se navodi pomoću tabele, čiji prvi red označava vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$, a drugi red sadrži verovatnoće $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ove vrednosti.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(niz)$

Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bodova ispuštenih tokom bacanja kockice. Takva slučajna varijabla $X$ može imati sljedeće vrijednosti: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerovatnoće svih ovih vrijednosti su jednake $1/6$. Zatim zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(niz)$

Komentar. Budući da u zakonu raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formiraju puna grupa događaja, onda zbir vjerovatnoća mora biti jednak jedan, to jest, $\sum(p_i)=1$.

2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Očekivanje slučajne varijable postavlja njegovo „centralno“ značenje. Za diskretnu slučajnu varijablu očekivanu vrijednost izračunava se kao zbir proizvoda vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ vjerovatnoćama $p_1,\dots ,\ p_n$ koje odgovaraju ovim vrijednostima, odnosno: $M\left(X\right) )=\sum^n_(i=1 )(p_ix_i)$. IN engleska literatura koristite drugačiju notaciju $E\left(X\right)$.

Osobine matematičkog očekivanja$M\lijevo(X\desno)$:

$M\left(X\right)$ se nalazi između najmanjeg i najviše vrijednosti slučajna varijabla $X$.
Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, tj. $M\lijevo(C\desno)=C$.
Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Primjer 3 . Nađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\preko (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\preko (6))+4\cdot ((1)\cdot (6))+5\cdot ((1)\preko (6))+6\cdot ((1 )\preko (6))=3.5.$$

Možemo primijetiti da $M\left(X\right)$ leži između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.

Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.

Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.

Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne varijable.

Moguće vrijednosti slučajnih varijabli sa jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dvije grupe studenata GPA za ispit iz teorije vjerovatnoće ispostavilo se da je jednako 4, ali u jednoj grupi su svi bili dobri učenici, au drugoj grupi bili su samo C učenici i odlični učenici. Stoga postoji potreba za numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.

Varijanca diskretne slučajne varijable$X$ je jednako:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijansa $D\left(X\right)$ izračunava pomoću formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) lijevo(X \desno)\desno))^2$.

Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:

Varijanca je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
Varijanca konstante je nula, tj. $D\lijevo(C\desno)=0$.
Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije pod uslovom da je na kvadrat, tj. $D\left(CX\desno)=C^2D\left(X\right)$.
Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
Varijanca razlike između nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.

Primjer 6 . Izračunajmo varijansu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$D\left(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\preko (6))\cdot (\left(1-3.5\desno))^2+((1)\preko (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\preko (6))\cdot (\lijevo(6-3,5\desno))^2=((35)\preko (12))\cca 2,92.$$

Primjer 7 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijansu slučajne varijable $4X+1$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primjer 8 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijansu slučajne varijable $3-2X$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distributivnog niza nije jedina, i što je najvažnije, nije univerzalna, jer se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distributivnog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.

Funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ naziva se funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla $X$ poprimiti vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, odnosno $F\ lijevo(x\desno)=P\lijevo(X< x\right)$

Svojstva funkcije distribucije:

$0\le F\levo(x\desno)\le 1$.
Vjerovatnoća da će slučajna varijabla $X$ uzeti vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog interval: $P\levo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - neopadajuće.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primjer 9 . Nađimo funkciju raspodjele $F\left(x\right)$ za zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(niz)$

Ako je $x\le 1$, onda je, očigledno, $F\left(x\right)=0$ (uključujući za $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ako $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ako $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ako $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ako $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ako $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ako je $x > 6$, onda je $F\left(x\desno)=P\left(X=1\desno)+P\left(X=2\desno)+P\left(X=3\desno) +P\levo(X=4\desno)+P\levo(X=5\desno)+P\levo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Dakle, $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, na\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, na\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ za\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

U teoriji vjerojatnosti, moramo imati posla sa slučajnim varijablama, čije se sve vrijednosti ne mogu nabrojati. Na primjer, nemoguće je uzeti i "iterirati" sve vrijednosti slučajne varijable $X$ - vrijeme rada sata, jer se vrijeme može mjeriti u satima, minutama, sekundama, milisekundama itd. Možete odrediti samo određeni interval unutar kojeg se nalaze vrijednosti slučajne varijable.

Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla čije vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable

Budući da nije moguće nabrojati sve vrijednosti kontinuirane slučajne varijable, ona se može specificirati pomoću funkcije distribucije.

Svojstva funkcije distribucije:

1 . $0\le F\levo(x\desno)\le 1$.

2 . Vjerovatnoća da će slučajna varijabla $X$ uzeti vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog interval: $P\levo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - neopadajuće.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primjer 1
0,\x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(matrix)\right.$. Vjerovatnoća da slučajna varijabla $X$ padne u interval $\left(0.3;0.7\right)$ može se naći kao razlika između vrijednosti funkcije distribucije $F\left(x\right)$ na krajevi ovog intervala, odnosno:

$$P\lijevo(0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Gustoća raspodjele vjerovatnoće

Funkcija $f\left(x\right)=(F)"(x)$ naziva se gustina distribucije vjerovatnoće, odnosno ona je izvod prvog reda uzet iz funkcije raspodjele $F\left(x\right) )$ sama.

Svojstva funkcije $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . Vjerovatnoća da će slučajna varijabla $X$ uzeti vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ je $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади zakrivljeni trapez, koji će biti ograničen grafikom funkcije $f\left(x\right)$, linijama $x=\alpha ,\ x=\beta $ i osom $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Primjer 2 . Kontinuirana slučajna varijabla $X$ definirana je sljedećom funkcijom distribucije $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(matrix)\right.$. Tada je funkcija gustoće $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\end(matrix)\right.$

Očekivanje kontinuirane slučajne varijable

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable $X$ izračunava se pomoću formule

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Primjer 3 . Nađimo $M\left(X\right)$ za slučajnu varijablu $X$ iz primjera $2$.

$$M\left(X\desno)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\preko (2))\bigg|_0^1=((1)\preko (2)).$$

Varijanca kontinuirane slučajne varijable

Varijanca kontinuirane slučajne varijable $X$ se izračunava po formuli

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Primjer 4 . Nađimo $D\left(X\right)$ za slučajnu varijablu $X$ iz primjera $2$.

$$D\left(X\desno)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\preko (2))\desno))^2=((x^3)\preko (3))\bigg|_0^1-( (1)\preko (4))=((1)\preko (3))-((1)\preko (4))=((1)\preko (12)).$$

Numeričke karakteristike kontinuirane slučajne varijable. Neka je kontinuirana slučajna varijabla X određena funkcijom distribucije f(x)

Neka je kontinuirana slučajna varijabla X specificirana funkcijom distribucije f(x). Pretpostavimo da sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju segmentu [ a,b].

Definicija. Matematičko očekivanje poziva se kontinuirana slučajna varijabla X čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu definitivni integral

Ako se moguće vrijednosti slučajne varijable razmatraju na cijeloj numeričkoj osi, tada se matematičko očekivanje nalazi po formuli:

U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da nepravilni integral konvergira.

Definicija. Varijanca kontinuirane slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja.

Po analogiji s varijansom diskretne slučajne varijable, za praktično izračunavanje varijanse koristi se formula:

Definicija. Standardna devijacija pozvao Kvadratni korijen od disperzije.

Definicija. Moda M 0 diskretne slučajne varijable naziva se njena najvjerovatnija vrijednost. Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mod je vrijednost slučajne varijable na kojoj gustina distribucije ima maksimum.

Ako poligon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu ili krivulja distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu ima dva ili više maksimuma, tada se takva raspodjela naziva bimodal ili multimodalni. Ako distribucija ima minimum, ali nema maksimum, onda se poziva antimodal.

Definicija. Medijan M D slučajne varijable X je njena vrijednost u odnosu na koju je jednako vjerovatno da će se dobiti veća ili manja vrijednost slučajne varijable.

Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom distribucije podijeljeno na pola. Imajte na umu da ako je distribucija unimodalna, tada se mod i medijan poklapaju sa matematičkim očekivanjem.

Definicija. Početni trenutak red k slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti X k.

Za diskretnu slučajnu varijablu: .

Početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju.

Definicija. Centralni trenutak red k slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti

Za diskretnu slučajnu varijablu: .

Za kontinuiranu slučajnu varijablu: .

Centralni moment prvog reda je uvijek nula, a središnji moment drugog reda jednak je disperziji. Centralni momenat trećeg reda karakteriše asimetriju distribucije.

Definicija. Odnos centralnog momenta trećeg reda prema prosjeku kvadratna devijacija na treći stepen se zove koeficijent asimetrije.

Definicija. Za karakterizaciju vršnosti i ravnosti distribucije, veličina tzv višak.

Pored razmatranih veličina, koriste se i takozvani apsolutni momenti:

Apsolutni početni trenutak: . Apsolutna centralna tačka: . Apsolutni centralni moment prvog reda naziva se aritmetička srednja devijacija.

Primjer. Za primjer o kojem se gore govori, odredite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable X.

Primjer. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz nje se pet puta uzastopno vadi loptica i svaki put se uklonjena loptica vraća nazad i loptice se miješaju. Uzimajući broj izvađenih bijelih kuglica kao slučajnu varijablu X, nacrtajte zakon raspodjele za ovu vrijednost, odredite njeno matematičko očekivanje i disperziju.

Jer loptice u svakom eksperimentu se vraćaju nazad i miješaju, tada se testovi mogu smatrati nezavisnim (rezultat prethodnog eksperimenta ne utječe na vjerovatnoću pojave ili nenastupanja događaja u drugom eksperimentu).

Dakle, vjerovatnoća pojave bijele kuglice u svakom eksperimentu je konstantna i jednaka

Dakle, kao rezultat pet uzastopnih pokušaja, bijela lopta se možda neće uopće pojaviti ili se pojaviti jednom, dvaput, tri, četiri ili pet puta. Da biste sastavili zakon raspodjele, morate pronaći vjerovatnoće svakog od ovih događaja.

1) Bijela lopta se uopće nije pojavila:

2) Bijela lopta se pojavila jednom:

3) Bijela kugla će se pojaviti dva puta: .

Poglavlje 6. Kontinuirane slučajne varijable.

§ 1. Gustina i funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable.

Skup vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nebrojiv i obično predstavlja neki konačni ili beskonačni interval.

Slučajna vrijednost x(w), definisan u prostoru verovatnoće (W, S, P), se poziva kontinuirano(apsolutno kontinuirano) W, ako postoji nenegativna funkcija takva da se za bilo koji x funkcija distribucije Fx(x) može predstaviti kao integral

Funkcija se zove funkcija gustine distribucije vjerovatnoće.

Definicija implicira svojstva funkcije gustoće distribucije:

1..gif" width="97" height="51">

3. U tačkama kontinuiteta, gustina distribucije je jednaka izvodu funkcije raspodjele: .

4. Gustina distribucije određuje zakon distribucije slučajne varijable, jer određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval:

5. Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti određenu vrijednost je nula: . Dakle, važe sljedeće jednakosti:

Poziva se graf funkcije gustoće distribucije kriva distribucije, a površina ograničena krivuljom distribucije i x-osom jednaka je jedinici. Tada je, geometrijski, vrijednost funkcije raspodjele Fx(x) u tački x0 površina ograničena krivuljom distribucije i x-osom i koja leži lijevo od tačke x0.

Zadatak 1. Funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable ima oblik:

Odrediti konstantu C, konstruisati funkciju distribucije Fx(x) i izračunati vjerovatnoću.

Rješenje. Konstanta C se nalazi iz uslova Imamo:

odakle C=3/8.

Da biste konstruirali funkciju distribucije Fx(x), imajte na umu da interval dijeli raspon vrijednosti argumenta x (numerička osa) na tri dijela: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

pošto je gustina x na poluosi nula. U drugom slučaju

Konačno, u posljednjem slučaju, kada je x>2,

Pošto gustina nestaje na poluosi. Dakle, dobijena je funkcija distribucije

Vjerovatnoća Izračunajmo koristeći formulu. dakle,

§ 2. Numeričke karakteristike kontinuirane slučajne varijable

Očekivana vrijednost za kontinuirano distribuirane slučajne varijable određuje se formulom https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

ako integral na desnoj strani apsolutno konvergira.

Disperzija x se može izračunati pomoću formule , a također, kao u diskretnom slučaju, prema formuli https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije data u Poglavlju 5 za diskretne slučajne varijable vrijede i za kontinuirane slučajne varijable.

Problem 2. Za slučajnu varijablu x iz Zadatka 1, izračunajte matematičko očekivanje i varijansu .

Rješenje.

A to znači

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Grafikon gustine ujednačena distribucija vidi sl. .

Sl.6.2. Funkcija distribucije i gustina distribucije. jedinstven zakon

Funkcija distribucije Fx(x) jednoliko raspoređene slučajne varijable je jednaka

Fx(x)=

Očekivanja i varijanse; .

Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla x koja uzima ne-negativne vrijednosti ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom l>0 ako je distribucija gustoće vjerovatnoće slučajne varijable jednaka

rx(x)=

Rice. 6.3. Funkcija distribucije i gustina distribucije eksponencijalnog zakona.

Funkcija distribucije eksponencijalne raspodjele ima oblik

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> i ako je njegova gustina raspodjele jednaka

Kroz označava skup svih slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu s parametrima, parametrima i .

Funkcija distribucije normalno raspoređene slučajne varijable je jednaka

Rice. 6.4. Funkcija distribucije i normalna gustina distribucije

Parametri normalne distribucije su matematičko očekivanje https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

U posebnom slučaju kada https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normalna distribucija se zove standard, a klasa takvih distribucija je označena sa https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

i funkcija distribucije

Takav integral se ne može analitički izračunati (ne uzima se u „kvadraturama“), te su stoga za funkciju sastavljene tabele. Funkcija je povezana s Laplaceovom funkcijom predstavljenom u poglavlju 4

sljedećom relacijom . U slučaju proizvoljnih vrijednosti parametara https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funkcija distribucije slučajne varijable povezana je s Laplaceovom funkcijom koristeći relaciju:

Prema tome, vjerovatnoća da normalno raspoređena slučajna varijabla padne u interval može se izračunati korištenjem formule

Nenegativna slučajna varijabla x naziva se lognormalno raspoređena ako njen logaritam h=lnx poštuje normalni zakon. Očekivana vrijednost i varijansa lognormalno raspoređene slučajne varijable su Mx= i Dx=.

Zadatak 3. Neka se zada slučajna varijabla https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Rješenje. Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaceova distribucija je dato funkcijom fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> i eksces je gx=3.

Sl.6.5. Laplaceova funkcija gustoće raspodjele.

Slučajna varijabla x je raspoređena po Weibullov zakon, ako ima funkciju gustoće distribucije jednaku https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Weibullova distribucija upravlja radnim vremenom bez otkaza mnogih tehničkih uređaja. U zadacima ovog profila važna karakteristika je stopa neuspjeha (stopa mortaliteta) l(t) proučavanih elemenata starosti t, određena relacijom l(t)=. Ako je a=1, onda se Weibullova raspodjela pretvara u eksponencijalnu, a ako je a=2 - u tzv. Rayleigh.

Matematičko očekivanje Weibullove distribucije: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, gdje je G(a) Euler funkcija.

U različitim problemima primijenjene statistike često se susreću takozvane „krnje“ distribucije. Na primjer, poreske vlasti su zainteresovane za raspodjelu prihoda onih pojedinaca čiji godišnji prihod prelazi određeni prag c0 utvrđen poreskim zakonima. Ispostavilo se da se ove distribucije približno poklapaju sa Pareto distribucijom. Pareto distribucija dato funkcijama

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> slučajne varijable x i monotone diferencijabilne funkcije ..gif" width="200" height="51">

Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Zadatak 4. Slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Pronađite gustinu slučajne varijable.

Rješenje. Iz uslova problema proizilazi da

Dalje, funkcija je monotona i diferencibilna funkcija na intervalu i ima inverznu funkciju , čija je derivacija jednaka Dakle,

§ 5. Par kontinuiranih slučajnih varijabli

Neka su date dvije neprekidne slučajne varijable x i h. Tada par (x, h) definira “slučajnu” tačku na ravni. Par (x, h) se zove slučajni vektor ili dvodimenzionalna slučajna varijabla.

Funkcija zajedničke distribucije slučajne varijable x i h i funkcija se zove F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. gustina zglobova distribucija vjerovatnoće slučajnih varijabli x i h naziva se funkcija takva da .

Značenje ove definicije gustine zajedničke raspodjele je sljedeće. Verovatnoća da će „slučajna tačka“ (x, h) pasti u oblast na ravni izračunava se kao zapremina trodimenzionalne figure – „krivolinijskog“ cilindra ograničenog površinom https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Najjednostavniji primjer zajedničke distribucije dvije slučajne varijable je dvodimenzionalna ujednačena distribucija na setuA. Neka je ograničeni skup M dat sa površinom. Definisan je kao distribucija para (x, h), definisana sljedećom gustinom spoja:

Zadatak 5. Neka je dvodimenzionalni slučajni vektor (x, h) jednoliko raspoređen unutar trougla. Izračunajte vjerovatnoću nejednakosti x>h.

Rješenje. Površina navedenog trougla je jednaka (vidi sliku br.?). Na osnovu definicije dvodimenzionalne uniformne distribucije, zajednička gustina slučajnih varijabli x, h jednaka je

Događaj odgovara skupu na ravni, odnosno poluravni. Zatim vjerovatnoća

Na poluravni B, gustina spoja je nula izvan skupa https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Dakle, poluravnina B je podijeljena na dva skupa i https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> i , a drugi integral je jednak nula, pošto je gustina spoja jednaka nuli. Zbog toga

Ako je data zajednička gustina raspodjele za par (x, h), tada se gustine obje komponente x i h nazivaju privatne gustine a izračunavaju se pomoću formula:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Za kontinuirano distribuirane slučajne varijable sa gustinama rx(h), rh(u), nezavisnost znači da

Zadatak 6. U uslovima prethodnog zadatka utvrditi da li su komponente slučajnog vektora x i h nezavisne?

Rješenje. Izračunajmo parcijalne gustine i . Imamo:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Očigledno, u našem slučaju https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je zajednička gustina veličina x i h, i j( x, y) je dakle funkcija dva argumenta

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Zadatak 7. U uslovima prethodnog zadatka izračunajte .

Rješenje. Prema gornjoj formuli imamo:

Predstavljanje trougla kao

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Gustina zbira dvije neprekidne slučajne varijable

Neka su x i h nezavisne slučajne varijable sa gustinama https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Gustoća slučajne varijable x + h se izračunava po formuli konvolucija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Izračunajte gustinu sume.

Rješenje. Kako su x i h raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu s parametrom , njihove gustine su jednake

dakle,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Ako je x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negativan, i stoga . Stoga, ako https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Tako smo dobili odgovor:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> je normalno distribuiran sa parametrima 0 i 1. Slučajne varijable x1 i x2 su nezavisne i imaju normalne distribucije sa parametrima a1, odnosno a2. Dokazati da x1 + x2 ima normalnu distribuciju Slučajne varijable x1, x2, ... xn su raspoređene i nezavisne i imaju istu funkciju gustine

Naći funkciju distribucije i gustinu distribucije vrijednosti:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Slučajne varijable x1, x2, ... xn su nezavisne i ravnomerno raspoređene na intervalu [a, b]. Naći funkcije raspodjele i funkcije gustoće distribucija veličina

x(1) = min (x1,x2, ... xn) i x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Dokažite da je Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Slučajna varijabla je distribuirana prema Cauchyjevom zakonu. Nađi: a) koeficijent a; b) funkcija distribucije; c) vjerovatnoća pada u interval (-1, 1). Pokažite da matematičko očekivanje od x ne postoji. Slučajna varijabla je podložna Laplaceovom zakonu sa parametrom l (l>0): Pronađite koeficijent a; konstruirati grafove gustoće distribucije i funkcije raspodjele; pronaći Mx i Dx; naći vjerovatnoće događaja (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napišite formulu za gustinu distribucije, pronađite Mx i Dx.

Računski zadaci.

Slučajna tačka A ima jednoliku distribuciju u krugu poluprečnika R. Naći matematičko očekivanje i varijansu udaljenosti r tačke do centra kružnice. Pokazati da je vrijednost r2 ravnomjerno raspoređena na segmentu.

Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik:

Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerovatnoću Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik:

Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerovatnoću Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik:
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x), , varijansu i vjerovatnoću Slučajna varijabla ima funkciju distribucije

Izračunajte gustinu slučajne varijable, matematičko očekivanje, varijansu i vjerovatnoću Provjerite da li je funkcija =
može biti funkcija distribucije slučajne varijable. Naći numeričke karakteristike ove veličine: Mx i Dx. Slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Zapišite gustinu distribucije. Pronađite funkciju distribucije. Nađite vjerovatnoću da slučajna varijabla padne na segment i na segment. Gustina raspodjele x je jednaka

Naći konstantu c, gustinu distribucije h = i vjerovatnoću

P (0,25

Vrijeme rada računara bez otkaza distribuira se prema eksponencijalnom zakonu s parametrom l = 0,05 (kvarovi po satu), odnosno ima funkciju gustine

p(x) = .

Rešavanje određenog problema zahteva nesmetan rad mašine u trajanju od 15 minuta. Ako dođe do kvara prilikom rješavanja problema, greška se otkriva tek nakon što je rješenje završeno i problem se ponovo rješava. Odrediti: a) vjerovatnoću da se tokom rješavanja problema neće desiti niti jedan kvar; b) prosječno vrijeme u kojem će se problem riješiti.

Štap dužine 24 cm razbije se na dva dijela; Pretpostavit ćemo da je tačka loma raspoređena ravnomjerno duž cijele dužine štapa. Koja je prosječna dužina većine štapa? Komad dužine 12 cm nasumično je izrezan na dva dijela. Tačka reza je ravnomjerno raspoređena duž cijele dužine segmenta. Kolika je prosječna dužina malog dijela segmenta? Slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Naći gustinu distribucije slučajne varijable a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Pokažite da ako x ima kontinuiranu funkciju distribucije

F(x) = P(x

Odrediti funkciju gustine i funkciju raspodjele zbira dvije nezavisne veličine x i h sa uniformnim zakonima raspodjele na segmentima i, respektivno. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene po segmentima i, respektivno. Izračunajte gustinu sume x+h. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene po segmentima i, respektivno. Izračunajte gustinu sume x+h. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene po segmentima i, respektivno. Izračunajte gustinu sume x+h. Slučajne varijable su nezavisne i imaju eksponencijalnu distribuciju sa gustinom . Odrediti gustinu distribucije njihove sume. Pronađite distribuciju zbira nezavisnih slučajnih varijabli x i h, gdje x ima jednoliku distribuciju na intervalu, a h ima eksponencijalnu distribuciju sa parametrom l. Pronađite P , ako x ima: a) normalnu distribuciju sa parametrima a i s2; b) eksponencijalna raspodjela sa parametrom l; c) ravnomjerna raspodjela na segmentu [-1;1]. Zajednička raspodjela x, h je ravnomjerna na kvadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Pronađite vjerovatnoću . Da li su x i h nezavisni? Par slučajnih varijabli x i h ravnomjerno je raspoređen unutar trougla K=. Izračunajte gustine x i h. Da li su ove slučajne varijable nezavisne? Pronađite vjerovatnoću. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene na segmentima i [-1,1]. Pronađite vjerovatnoću. Dvodimenzionalna slučajna varijabla (x, h) je ravnomjerno raspoređena u kvadratu sa vrhovima (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Pronađite vrijednost zajedničke funkcije raspodjele u tački (1, -1). Nasumični vektor (x, h) je ravnomerno raspoređen unutar kruga poluprečnika 3 sa središtem na početku. Napišite izraz za gustinu raspodjele spoja. Odredite da li su ove slučajne varijable zavisne. Izračunajte vjerovatnoću. Par slučajnih varijabli x i h ravnomjerno je raspoređen unutar trapeza sa vrhovima u tačkama (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Pronađite zajedničku gustinu raspodjele za ovaj par slučajnih varijabli i gustinu komponenti. Da li su x i h zavisni? Slučajni par (x, h) je ravnomerno raspoređen unutar polukruga. Naći gustine x i h, istražiti pitanje njihove zavisnosti. Gustoća spoja dvije slučajne varijable x i h jednaka je .
Naći gustine x, h. Istražiti pitanje zavisnosti x i h. Nasumični par (x, h) je ravnomerno raspoređen na skupu. Naći gustine x i h, istražiti pitanje njihove zavisnosti. Pronađite M(xh). Slučajne varijable x i h su nezavisne i raspoređene prema eksponencijalnom zakonu sa parametrom Find

Slučajna varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti u zavisnosti od različitih okolnosti, i slučajna varijabla se naziva kontinuirana , ako može uzeti bilo koju vrijednost iz bilo kojeg ograničenog ili neograničenog intervala. Za kontinuiranu slučajnu varijablu nemoguće je navesti sve moguće vrijednosti, pa označavamo intervale ovih vrijednosti koji su povezani s određenim vjerovatnoćama.

Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli uključuju: prečnik dijela koji se melje na datu veličinu, visinu osobe, domet leta projektila itd.

Budući da je za kontinuirane slučajne varijable funkcija F(x), Za razliku od diskretne slučajne varijable, nema nigdje skokova, tada je vjerovatnoća bilo koje pojedinačne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nula.

To znači da za kontinuiranu slučajnu varijablu nema smisla govoriti o distribuciji vjerovatnoće između njenih vrijednosti: svaka od njih ima nultu vjerovatnoću. Međutim, u određenom smislu, među vrijednostima kontinuirane slučajne varijable postoje „više i manje vjerovatne“. Na primjer, teško da bi itko sumnjao da je vrijednost slučajne varijable - visina nasumično pronađene osobe - 170 cm - vjerojatnija od 220 cm, iako se obje vrijednosti mogu pojaviti u praksi.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable i gustoća vjerovatnoće

Kao zakon raspodjele koji ima smisla samo za kontinuirane slučajne varijable, uvodi se koncept gustine distribucije ili gustine vjerovatnoće. Pristupimo tome upoređujući značenje funkcije distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu i za diskretnu slučajnu varijablu.

Dakle, funkcija distribucije slučajne varijable (i diskretne i kontinuirane) ili integralna funkcija naziva se funkcija koja određuje vjerovatnoću da će vrijednost slučajne varijable X manji ili jednak graničnoj vrijednosti X.

Za diskretnu slučajnu varijablu u tačkama njenih vrijednosti x1 , x 2 , ..., x ja,... mase verovatnoća su koncentrisane str1 , str 2 , ..., str ja,..., a zbir svih masa je jednak 1. Prenesite ovu interpretaciju na slučaj kontinuirane slučajne varijable. Zamislimo da masa jednaka 1 nije koncentrisana u pojedinačnim tačkama, već je kontinuirano "razmazana" duž ose apscise Oh sa nekom neujednačenom gustinom. Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u bilo koju oblast Δ xće se tumačiti kao masa po sekciji, a prosječna gustina na tom dijelu kao omjer mase i dužine. Upravo smo uveli važan koncept u teoriji vjerovatnoće: gustina distribucije.

Gustoća vjerovatnoće f(x) kontinuirane slučajne varijable je izvod njene funkcije distribucije:

Poznavajući funkciju gustoće, možete pronaći vjerovatnoću da vrijednost kontinuirane slučajne varijable pripada zatvorenom intervalu [ a; b]:

vjerovatnoća da je kontinuirana slučajna varijabla Xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala [ a; b], jednak je određenom integralu njegove gustine vjerovatnoće u rasponu od a prije b:

U ovom slučaju, opća formula funkcije F(x) raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja se može koristiti ako je poznata funkcija gustine f(x) :

Graf gustine vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable naziva se njena kriva distribucije (slika ispod).

Područje figure (osenčeno na slici) ograničeno krivom, ravnim linijama povučenim iz tačaka a I b okomito na x-osu, i na os Oh, grafički prikazuje vjerovatnoću da je vrijednost kontinuirane slučajne varijable X je u dometu od a prije b.

Svojstva funkcije gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable

1. Vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost iz intervala (i površinu figure koja je ograničena grafom funkcije f(x) i osi Oh) je jednako jedan:

2. Funkcija gustoće vjerovatnoće ne može imati negativne vrijednosti:

a izvan postojanja distribucije njena vrijednost je nula

Gustina distribucije f(x), kao i funkcija distribucije F(x), je jedan od oblika zakona distribucije, ali za razliku od funkcije raspodjele, nije univerzalan: gustina distribucije postoji samo za kontinuirane slučajne varijable.

Spomenimo dva najvažnija tipa distribucije kontinuirane slučajne varijable u praksi.

Ako je funkcija gustine distribucije f(x) kontinuirana slučajna varijabla u nekom konačnom intervalu [ a; b] uzima konstantnu vrijednost C, a izvan intervala uzima vrijednost jednaku nuli, onda ovo distribucija se naziva uniformna .

Ako je graf funkcije gustoće distribucije simetričan u odnosu na centar, prosječne vrijednosti su koncentrisane blizu centra, a kada se udaljavaju od centra prikupljaju se one koje se više razlikuju od prosjeka (grafik funkcije liči na presjek zvona), zatim ovo distribucija se naziva normalnom .

Primjer 1. Poznata je funkcija raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable:

Find funkciju f(x) gustina vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable. Konstruirajte grafove obje funkcije. Pronađite vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u intervalu od 4 do 8: .

Rješenje. Dobijamo funkciju gustoće vjerovatnoće pronalaženjem derivacije funkcije raspodjele vjerovatnoće:

Grafikon funkcije F(x) - parabola:

Grafikon funkcije f(x) - ravno:

Nađimo vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8:

Primjer 2. Funkcija gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable je data kao:

Izračunajte koeficijent C. Find funkciju F(x) raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable. Konstruirajte grafove obje funkcije. Pronađite vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5: .

Rješenje. Koeficijent C nalazimo, koristeći svojstvo 1 funkcije gustoće vjerovatnoće:

Dakle, funkcija gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable je:

Integracijom nalazimo funkciju F(x) distribucije vjerovatnoće. Ako x < 0 , то F(x) = 0 . Ako je 0< x < 10 , то

x> 10, onda F(x) = 1 .

Dakle, kompletan zapis funkcije distribucije vjerovatnoće je:

Grafikon funkcije f(x) :

Grafikon funkcije F(x) :

Nađimo vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5:

Primjer 3. Gustoća vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je dato jednakošću , i . Pronađite koeficijent A, vjerovatnoća da je kontinuirana slučajna varijabla Xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala ]0, 5[, funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable X.

Rješenje. Pod uslovom dolazimo do jednakosti

Dakle, , odakle . dakle,

Sada nalazimo vjerovatnoću da je kontinuirana slučajna varijabla Xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala ]0, 5[:

Sada dobijamo funkciju distribucije ove slučajne varijable:

Primjer 4. Pronađite gustinu vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, koji uzima samo nenegativne vrijednosti, i njegovu funkciju distribucije .

Kontinuirana slučajna varijabla je određena funkcijom. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable