Antiderivativ i neodređeni integral - Hipermarket znanja. Predavanje „Iskonski

Antiderivativ.

Antiderivat je lako razumjeti na primjeru.

Uzmimo funkciju y = x 3. Kao što znamo iz prethodnih poglavlja, derivat od X 3 je 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Dakle, iz funkcije y = x 3 dobijamo novu funkciju: at = 3X 2 .
Slikovito rečeno, funkcija at = X 3 proizvedena funkcija at = 3X 2 i njegov je “roditelj”. U matematici ne postoji riječ "roditelj", ali postoji srodni koncept: antiderivativ.

To je: funkcija y = x 3 je antiderivat funkcije at = 3X 2 .

Definicija antiderivata:

U našem primjeru ( X 3)" = 3X 2 dakle y = x 3 – antiderivat za at = 3X 2 .

Integracija.

Kao što znate, proces pronalaženja derivacije date funkcije naziva se diferencijacija. A inverzna operacija se zove integracija.

Primjer-objašnjenje:

at = 3X 2 + sin x.

Rješenje:

Znamo da je antiderivat za 3 X 2 je X 3 .

Antideritiv za greh x je –cos x.

Dodajemo dva antiderivata i dobijemo antiderivat za datu funkciju:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

Odgovor :
za funkciju at = 3X 2 + sin x y = x 3 – cos x.

Primjer-objašnjenje:

Nađimo antiderivat za funkciju at= 2 sin x.

Rješenje:

Napominjemo da je k = 2. Antiderivat za sin x je –cos x.

Dakle, za funkciju at= 2 sin x antiderivat je funkcija at= –2cos x.
Koeficijent 2 u funkciji y = 2 sin x odgovara koeficijentu antiderivata od kojeg je ova funkcija formirana.

Primjer-objašnjenje:

Nađimo antiderivat za funkciju y= greh 2 x.

Rješenje:

Primećujemo to k= 2. Antiderivat za sin x je –cos x.

Primjenjujemo našu formulu da pronađemo antiderivat funkcije y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Odgovor: za funkciju y= greh 2 x antiderivat je funkcija y = – ----
2

(4)

Primjer-objašnjenje.

Uzmimo funkciju iz prethodnog primjera: y= greh 2 x.

Za ovu funkciju svi antiderivati ​​imaju oblik:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Objašnjenje.

Uzmimo prvi red. Ona glasi ovako: ako je funkcija y = f( x) je 0, onda je njegov antiderivat 1. Zašto? Zato što je derivacija jedinice nula: 1" = 0.

Preostali redovi se čitaju istim redoslijedom.

Kako napisati podatke iz tabele? Uzmimo red osam:

(-cos x)" = grijeh x

Drugi dio pišemo sa predznakom izvodnice, zatim znakom jednakosti i izvodom.

Čitamo: antiderivat za funkciju sin x je -cos funkcija x.

Ili: funkcija -cos x je antiderivativ za funkciju sin x.

Dokument

Neki interval X. Ako Za bilo koji xH F"(x) = f(x), tada funkcija F pozvaoantiderivativZafunkcije f na intervalu X. AntiderivativZafunkcije možete pokušati pronaći...

Antiderivat za funkciju

Dokument

... . Funkcija F(x) pozvaoantiderivativZafunkcije f(x) na intervalu (a;b), ako Za za sve x(a;b) važi jednakost F(x) = f(x). Na primjer, Zafunkcije x2 antiderivativće funkcija x3...

Vodič za učenje o osnovama integralnog računa

Tutorial

... ; 5. Pronađite integral. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funkcijapozvaoantiderivativ To funkcije na setu ako: Za svima; u nekom trenutku; Za svima; u nekom... intervalu. Definicija 1. FunkcijapozvaoantiderivativZafunkcije na mnogim...

Antiderivacija Neodređeni integral

Dokument

Integracija. Antiderivativ. Kontinuirano funkcija F(x) pozvaoantiderivativZafunkcije f (x) na intervalu X ako Za svaki F’ (x) = f (x). PRIMJER Funkcija F(x) = x 3 je antiderivativZafunkcije f(x) = 3x...

SPECIJALNO OBRAZOVANJE SSSR-a Odobreno od strane Nastavno-metodičke uprave za visoko obrazovanje VISOKA MATEMATIKA METODIČKA UPUTSTVA I KONTROLNI ZADACI (UZ PROGRAM) za vanredne studente inženjerskih i tehničkih specijalnosti

Smjernice

Pitanja Za samotestiranje Definiši antiderivativfunkcije. Navedite geometrijsko značenje agregata primitivnofunkcije. Šta pozvao neizvjesno...

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, a ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina upotreba za koju znate za integral korištenje hekla u obliku ikone integrala kako biste izvukli nešto korisno sa teško dostupnih mjesta, onda dobrodošli! Saznajte kako riješiti integrale i zašto ne možete bez toga.

Proučavamo koncept "integralnog"

Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u svom modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnoge knjige na ovu temu. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali suština stvari se nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. To su ove osnovne informacije koje ćete pronaći na našem blogu.

Neodređeni integral

Hajde da imamo neku funkciju f(x) .

Neodređena integralna funkcija f(x) ova funkcija se poziva F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je izvod u obrnutom ili antiderivatu. Usput, o tome pročitajte u našem članku.

Antiderivat postoji za sve kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces nalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne biste stalno izračunavali antiderivate elementarnih funkcija, prikladno ih je staviti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti:

Definitivni integral

Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će vam pomoći da izračunate površinu figure, masu neujednačenog tijela, udaljenost prijeđenu tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbir beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije?

Koristeći integral! Podijelimo krivolinijski trapez, ograničen koordinatnim osama i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na ovaj način figura će biti podijeljena u tanke kolone. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral, koji se piše ovako:

Tačke a i b nazivaju se granice integracije.

Bari Alibasov i grupa "Integral"

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo pogledati svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna pri rješavanju primjera.

• Izvod integrala je jednak integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:

• Integral zbira jednak je zbiru integrala. Ovo važi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• At bilo koji bodova a, b I With:

Već smo saznali da je određeni integral granica sume. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Pozivamo vas da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Da biste pojačali gradivo, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Pitajte i oni će vam reći sve što znaju o izračunavanju integrala. Uz našu pomoć, svaki trostruki ili zakrivljeni integral na zatvorenoj površini bit će u vašoj moći.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka potraje t od početka kretanja tačka je prešla udaljenost s(t). Zatim trenutna brzina v(t) jednak derivatu funkcije s(t), to je v(t) = s"(t).

U praksi se susrećemo s inverznim problemom: s obzirom na brzinu kretanja tačke v(t) pronađi put kojim je krenula s(t), odnosno pronaći takvu funkciju s(t),čiji je izvod jednak v(t). Funkcija s(t), takav da s"(t) = v(t), naziva se antiderivatom funkcije v(t).

Na primjer, ako v(t) = at, Gdje A je dati broj, a zatim funkcija
s(t) = (kod 2) / 2v(t), jer
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Funkcija F(x) naziva se antiderivatom funkcije f(x) u nekom intervalu, ako je za sve X iz ovog jaza F"(x) = f(x).

Na primjer, funkcija F(x) = sin x je antiderivat funkcije f(x) = cos x, jer (sin x)" = cos x; funkcija F(x) = x 4 /4 je antiderivat funkcije f(x) = x 3, jer (x 4 /4)" = x 3.

Hajde da razmotrimo problem.

Zadatak.

Dokažite da su funkcije x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 antiderivati ​​iste funkcije f(x) = x 2.

Rješenje.

1) Označimo F 1 (x) = x 3 /3, zatim F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Općenito, bilo koja funkcija x 3 /3 + C, gdje je C konstanta, je antiderivat funkcije x 2. Ovo proizilazi iz činjenice da je derivacija konstante nula. Ovaj primjer pokazuje da je za datu funkciju njen antiderivat određen dvosmisleno.

Neka su F 1 (x) i F 2 (x) dva antiderivata iste funkcije f(x).

Tada je F 1 "(x) = f(x) i F" 2 (x) = f(x).

Derivat njihove razlike g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) jednak je nuli, jer je g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Ako je g"(x) = 0 na određenom intervalu, tada je tangenta na graf funkcije y = g(x) u svakoj tački ovog intervala paralelna s osi Ox. Prema tome, graf funkcije y = g(x) je prava paralelna sa Ox osom, tj. g(x) = C, gdje je C neka konstanta. Iz jednakosti g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) slijedi da je F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Dakle, ako je funkcija F(x) antiderivat funkcije f(x) na određenom intervalu, tada su svi antiderivati ​​funkcije f(x) zapisani u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Razmotrimo grafove svih antiderivata date funkcije f(x). Ako je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), tada se bilo koji antiderivat ove funkcije dobija dodavanjem neke konstante F(x): F(x) + C. Grafovi funkcija y = F( x) + C se dobijaju iz grafika y = F(x) pomeranjem duž ose Oy. Odabirom C, možete osigurati da graf antiderivata prolazi kroz datu tačku.

Obratimo pažnju na pravila za pronalaženje antiderivata.

Podsjetimo da se poziva operacija pronalaženja izvoda za datu funkciju diferencijaciju. Poziva se inverzna operacija nalaženja antiderivata za datu funkciju integracija(od latinske reči "vratiti").

Tabela antiderivata za neke funkcije može se kompajlirati korištenjem tablice izvedenica. Na primjer, znajući to (cos x)" = -sin x, dobijamo (-cos x)" = sin x, iz čega slijedi da sve antiderivativne funkcije sin x su napisani u formi -cos x + C, Gdje WITH– konstantno.

Pogledajmo neka od značenja antiderivata.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. antiderivat: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. antiderivat: e x + C.

5) Funkcija: sin x. antiderivat: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, r ≠ -1, k ≠ 0. antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. antiderivat: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (1/k) sin (kx + b).

Pravila integracije može se dobiti korišćenjem pravila diferencijacije. Pogledajmo neka pravila.

Neka F(x) I G(x)– antiderivati ​​funkcija respektivno f(x) I g(x) u nekom intervalu. onda:

1) funkcija F(x) ± G(x) je antiderivat funkcije f(x) ± g(x);

2) funkcija aF(x) je antiderivat funkcije af(x).

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Definicija antiderivata.

Antiderivat funkcije f(x) na intervalu (a; b) je funkcija F(x) takva da jednakost vrijedi za bilo koji x iz datog intervala.

Ako uzmemo u obzir činjenicu da je izvod konstante C jednak nuli, onda je jednakost tačna . Dakle, funkcija f(x) ima skup antiderivata F(x)+C, za proizvoljnu konstantu C, a ti se antiderivati ​​međusobno razlikuju za proizvoljnu konstantnu vrijednost.

Definicija neodređenog integrala.

Cijeli skup antiderivata funkcije f(x) naziva se neodređenim integralom ove funkcije i označava se .

Izraz se zove integrand, i f(x) – integrand funkcija. Integrand predstavlja diferencijal funkcije f(x) .

Akcija pronalaženja nepoznate funkcije s obzirom na njen diferencijal se zove neizvjesno integraciju, jer rezultat integracije nije jedna funkcija F(x), već skup njenih antiderivata F(x)+C.

Na osnovu svojstava izvoda može se formulisati i dokazati svojstva neodređenog integrala(osobine antiderivata).

Za pojašnjenje date su međujednakosti prvog i drugog svojstva neodređenog integrala.

Da bismo dokazali treće i četvrto svojstvo, dovoljno je pronaći izvode desnih strana jednakosti:

Ove derivacije su jednake integrandima, što je dokaz zbog prvog svojstva. Također se koristi u posljednjim prijelazima.

Dakle, problem integracije je inverzan problemu diferencijacije i postoji vrlo bliska veza između ovih problema:

• prvo svojstvo omogućava provjeru integracije. Za provjeru ispravnosti izvršene integracije dovoljno je izračunati derivaciju dobivenog rezultata. Ako se funkcija dobijena kao rezultat diferencijacije pokaže da je jednaka integrandu, to će značiti da je integracija obavljena ispravno;
• drugo svojstvo neodređenog integrala omogućava da se pronađe njegov antiderivat iz poznatog diferencijala funkcije. Direktno izračunavanje neodređenih integrala zasniva se na ovoj osobini.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Naći antiderivat funkcije čija je vrijednost jednaka jedinici pri x = 1.

Rješenje.

To znamo iz diferencijalnog računa (samo pogledajte tabelu izvoda osnovnih elementarnih funkcija). dakle, . Kod druge nekretnine . Odnosno, imamo mnogo antiderivata. Za x = 1 dobijamo vrijednost . Prema uslovu, ova vrijednost mora biti jednaka jedan, dakle, C = 1. Željeni antiderivat će poprimiti oblik .

Primjer.

Pronađite neodređeni integral i provjerite rezultat diferenciranjem.

Rješenje.

Korištenje formule sinusa dvostrukog ugla iz trigonometrije , Zbog toga

Povratak