Kako ubaciti matematičke formule na web stranicu?
Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, onda je najlakši način da to učinite kao što je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšanju vidljivosti stranice u pretraživačima. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je već moralno zastario.
Ako redovno koristite matematičke formule na svom sajtu, onda preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML markup.
Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web stranicu, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) preuzmite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Drugi metod - složeniji i dugotrajniji - ubrzaće učitavanje stranica vašeg sajta, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće uticati na vašu veb lokaciju. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi način jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj web stranici.
Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili na stranici dokumentacije:
Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.
Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: na kontrolnoj ploči stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, u njega kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.
Svaki fraktal se konstruiše prema određenom pravilu, koje se dosledno primenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.
Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanja jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo Menger sunđer.
Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak „izračunaj površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine u izradi crteža biti mnogo hitnije pitanje. U tom smislu, korisno je osvježiti svoje pamćenje grafova osnovnih elementarnih funkcija i, u najmanju ruku, moći konstruirati pravu liniju i hiperbolu.
Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-osa:
Tada je površina krivolinijskog trapeza numerički jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.
Sa geometrijske tačke gledišta, definitivni integral je POVRŠINA.
Odnosno, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.
Primjer 1
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija tačka u odluci je crtanje. Štaviše, crtež mora biti konstruisan ISPRAVNO.
Prilikom konstruiranja crteža preporučujem sljedeći redoslijed: prvo je bolje konstruirati sve ravne (ako ih ima) pa tek onda - parabole, hiperbole i grafove drugih funkcija. Isplativije je konstruisati grafove funkcija tačku po tačku.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):
Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle:
odgovor:
Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.
Primjer 3
Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.
Rješenje: Napravimo crtež:
Ako se zakrivljeni trapez nalazi ispod ose (ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:
Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .
Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:
To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Bolje je, ako je moguće, ne koristiti ovu metodu.
Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ipak ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.
Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:
A sada radna formula: Ako je na segmentu neka kontinuirana funkcija veća ili jednaka nekoj kontinuiranoj funkciji, tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i pravih linija može pronaći pomoću formule: 
Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo rečeno, bitno je koji je graf VIŠI (u odnosu na drugi graf), a koji ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od
Završeno rješenje može izgledati ovako:
Željena figura je ograničena parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:
odgovor:
Primjer 4
Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .
Rješenje: Prvo, napravimo crtež:
Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom (pogledajte pažljivo stanje - koliko je figura ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar" da morate pronaći površinu figure koja je zasjenjena zelenom bojom!
Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala.
stvarno :
1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;
2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.
Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
U prethodnom dijelu, posvećenom analizi geometrijskog značenja određenog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .
Ove formule su primjenjive za rješavanje relativno jednostavnih problema. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).
TeoremaNeka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.
U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da
Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.
U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.
Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
dakle,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.
Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.
Pređimo sada na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).
Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da složene oblike predstavimo kao spojeve jednostavnijih oblika. Ako vam je konstruisanje grafova i figura na njima teško, možete proučiti odeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskoj transformaciji grafova funkcija, kao i o konstruisanju grafova tokom proučavanja funkcije.
Primjer 1
Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafu u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S(G) = 13
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 2
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.
Rješenje
U ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju koja je paralelna sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.
Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.
Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.
Skrećemo vam pažnju na činjenicu da se u opštem primeru na crtežu prave y = x + 2, y = x seku u tački (2; 2), pa se ovakvi detaljni proračuni mogu činiti nepotrebnim. Ovdje smo dali ovako detaljno rješenje samo zato što u složenijim slučajevima rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je uvijek bolje analitički izračunati koordinate presjeka linija.
Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primjer 3
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafikonu.
Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše pamćenje algoritma za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.
Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primjer 4
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscise.
Rješenje
Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafa y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.
Označimo tačke preseka pravih.
Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.
x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).
x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.
Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.
Opcija #1
Lik G možemo zamisliti kao zbir dva krivolinijska trapeza koja se nalaze iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednje linije na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opcija br. 2
Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
U ovom slučaju, da biste pronašli površinu morat ćete koristiti formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.
Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobijamo potrebnu površinu:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primjer 5
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Rješenje
Crvenom linijom iscrtavamo liniju definiranu funkcijom y = x. Plavom bojom nacrtamo liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.
Označimo tačke ukrštanja.
Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4
Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine
Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3
Metoda br. 1
Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.
Tada je površina figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda br. 2
Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.
Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Dakle, područje je:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kao što vidite, vrijednosti su iste.
Odgovor: S (G) = 11 3
RezultatiDa bismo pronašli površinu figure koja je ograničena datim linijama, trebamo konstruirati linije na ravni, pronaći njihove točke presjeka i primijeniti formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Figura ograničena grafom neprekidne nenegativne funkcije $f(x)$ na segmentu $$ i linijama $y=0, \ x=a$ i $x=b$ naziva se krivolinijski trapez.
Površina odgovarajućeg krivolinijskog trapeza izračunava se po formuli:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Uvjetno ćemo podijeliti probleme da pronađemo površinu krivolinijskog trapeza na tipove od 4$. Pogledajmo svaku vrstu detaljnije.
Tip I: zakrivljeni trapez je eksplicitno specificiran. Zatim odmah primijenite formulu (*).
Na primjer, pronađite površinu krivolinijskog trapeza ograničenu grafikom funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ i linijama $y=0, \ x=1$ i $x =3$.
Nacrtajmo ovaj zakrivljeni trapez.
Koristeći formulu (*), nalazimo površinu ovog krivolinijskog trapeza.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\levo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Tip II: zakrivljeni trapez je specificiran implicitno. U ovom slučaju, prave linije $x=a, \ x=b$ obično nisu specificirane ili su djelimično navedene. U ovom slučaju, morate pronaći točke presjeka funkcija $y=f(x)$ i $y=0$. Ove tačke će biti tačke $a$ i $b$.
Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=1-x^(2)$ i $y=0$.
Hajde da pronađemo tačke preseka. Da bismo to učinili, izjednačavamo desnu stranu funkcija.
Dakle, $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo ovaj zakrivljeni trapez.
Nađimo površinu ovog zakrivljenog trapeza.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \levo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Tip III: površina figure ograničena presjekom dvije neprekidne nenegativne funkcije. Ova brojka neće biti zakrivljeni trapez, što znači da ne možete izračunati njegovu površinu pomoću formule (*). Kako biti? Ispada da se površina ove figure može naći kao razlika između površina krivolinijskih trapeza ograničenih gornjom funkcijom i $y=0$ ($S_(uf)$), i donjom funkcijom i $y =0$ ($S_(lf)$), pri čemu ulogu $x=a, \ x=b$ imaju $x$ koordinate tačaka preseka ovih funkcija, tj.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Najvažnija stvar pri izračunavanju takvih površina je da ne “promašite” sa izborom gornje i donje funkcije.
Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu funkcijama $y=x^(2)$ i $y=x+6$.
Nađimo tačke preseka ovih grafova:
Prema Vietovoj teoremi,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
To jest, $a=-2,\b=3$. Nacrtajmo figuru:
Dakle, gornja funkcija je $y=x+6$, a donja funkcija je $y=x^(2)$. Zatim pronalazimo $S_(uf)$ i $S_(lf)$ koristeći formulu (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\levo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (jedinice$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Zamijenimo ono što smo pronašli u (**) i dobićemo:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jedinice$^(2)$).
Tip IV: površina figure ograničena funkcijom(ama) koja ne zadovoljava uvjet nenegativnosti. Da biste pronašli površinu takve figure, morate biti simetrični oko ose $Ox$ ( drugim riječima, stavite "minuse" ispred funkcija) prikažite područje i, koristeći metode navedene u tipovima I – III, pronađite površinu prikazane oblasti. Ovo područje će biti potrebno područje. Prvo, možda ćete morati pronaći točke presjeka grafova funkcija.
Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=x^(2)-1$ i $y=0$.
Nađimo točke presjeka grafova funkcija:
one. $a=-1$, i $b=1$. Nacrtajmo područje.
Prikažimo područje simetrično:
$y=0 \ \Strelica desno \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Strelica desno \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Rezultat je krivolinijski trapez omeđen grafom funkcije $y=1-x^(2)$ i $y=0$. Ovo je problem pronaći zakrivljeni trapez drugog tipa. Već smo to riješili. Odgovor je bio: $S= 1\frac(1)(3)$ (jedinice $^(2)$). To znači da je površina potrebnog krivolinijskog trapeza jednaka:
$S=1\frac(1)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Neka je funkcija nenegativna i kontinuirana na intervalu. Zatim, prema geometrijskom značenju određenog integrala, površina krivolinijskog trapeza ograničenog odozgo grafikom ove funkcije, dolje osom, lijevo i desno pravim linijama i (vidi sliku 2) je izračunato po formuli
Primjer 9. Nađite površinu figure ograničene linijom 
i osovina.
Rješenje. Funkcijski graf 
je parabola čije su grane usmjerene prema dolje. Hajde da ga izgradimo (slika 3). Da bismo odredili granice integracije, nalazimo tačke preseka prave (parabole) sa osom (pravom). Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina
Dobijamo: 
, gdje , ; dakle, , .
Rice. 3
Površinu figure pronalazimo pomoću formule (5):
Ako je funkcija nepozitivna i kontinuirana na segmentu , tada se površina krivolinijskog trapeza ograničenog odozdo grafom ove funkcije, iznad osi, lijevo i desno pravim linijama i , izračunava po formula
. (6)
Ako je funkcija kontinuirana na segmentu i mijenja predznak u konačnom broju tačaka, tada je površina osenčene figure (slika 4) jednaka algebarskom zbroju odgovarajućih definitivnih integrala:
Rice. 4
Primjer 10. Izračunajte površinu figure ograničenu osom i grafikom funkcije na .
Rice. 5
Rješenje. Napravimo crtež (slika 5). Tražena površina je zbroj površina i . Hajde da pronađemo svako od ovih područja. Prvo određujemo granice integracije rješavanjem sistema 
Dobijamo , . dakle:
;
.
Dakle, površina zasjenjene figure je
(kv. jedinice).
Rice. 6
Konačno, neka krivolinijski trapez bude ograničen iznad i odozdo grafovima funkcija kontinuiranih na segmentu i ,
a lijevo i desno - prave linije i (slika 6). Tada se njegova površina izračunava po formuli
. (8)
Primjer 11. Nađite površinu figure ograničenu linijama i.
Rješenje. Ova slika je prikazana na sl. 7. Izračunajmo njegovu površinu koristeći formulu (8). Rješavajući sistem jednačina nalazimo, ; dakle, , . Na segmentu imamo: . To znači da u formuli (8) uzimamo kao x, a kao kvalitet – . Dobijamo:
(kv. jedinice).
Složeniji problemi izračunavanja površina rješavaju se dijeljenjem figure na dijelove koji se ne preklapaju i izračunavanjem površine cijele figure kao zbroja površina ovih dijelova.
Rice. 7
Primjer 12. Nađite površinu figure ograničenu linijama , , .
Rješenje. Napravimo crtež (slika 8). Ova figura se može smatrati krivolinijskim trapezom, omeđenom odozdo osom, lijevo i desno - pravim linijama i, odozgo - grafovima funkcija i. Budući da je figura odozgo ograničena grafovima dvije funkcije, da bismo izračunali njenu površinu, podijelimo ovu pravu liniju na dva dijela (1 je apscisa točke presjeka pravih i ). Površina svakog od ovih dijelova nalazi se pomoću formule (4):
(kv. jedinice); 
(kv. jedinice). dakle:
(kv. jedinice).
Rice. 8
|
Rice. 9
U zaključku, napominjemo da ako je krivolinijski trapez ograničen pravim linijama i , osi i kontinuiran na krivulji (slika 9), tada se njegova površina nalazi po formuli
Volumen tijela revolucije
Neka krivolinijski trapez, ograničen grafikom funkcije kontinuirane na segmentu, osom, pravim linijama i , rotira oko ose (slika 10). Tada se volumen rezultirajućeg tijela rotacije izračunava po formuli
. (9)
Primer 13. Izračunajte zapreminu tela dobijenog rotacijom oko ose krivolinijskog trapeza ograničenog hiperbolom, pravim linijama i osom.
Rješenje. Napravimo crtež (slika 11).
Iz uslova problema slijedi da je , . Iz formule (9) dobijamo
.
Rice. 10
Rice. jedanaest
Zapremina tijela dobijena rotacijom oko ose OU krivolinijski trapez omeđen pravim linijama y = c I y = d, osa OU i graf funkcije kontinuirane na segmentu (slika 12), određene formulom
. (10)
|
Rice. 12
Primjer 14. Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom oko ose OU krivolinijski trapez omeđen linijama X 2 = 4at, y = 4, x = 0 (Sl. 13).
Rješenje. U skladu sa uslovima problema nalazimo granice integracije: , . Koristeći formulu (10) dobijamo:
Rice. 13
Dužina luka ravne krive
Neka kriva data jednadžbom , gdje , leži u ravni (slika 14).
Rice. 14
Definicija. Pod dužinom luka se podrazumijeva granica do koje teži dužina izlomljene linije upisane u ovaj luk, kada broj karika izlomljene linije teži beskonačnosti, a dužina najveće karike teži nuli.
Ako su funkcija i njen izvod kontinuirani na segmentu, tada se dužina luka krive izračunava po formuli
. (11)
Primjer 15. Izračunajte dužinu luka krive zatvorene između tačaka za koje 
.
Rješenje. Iz problematičnih uslova koje imamo 
. Koristeći formulu (11) dobijamo:
.
4. Nepravilni integrali
sa beskonačnim granicama integracije
Prilikom uvođenja koncepta određenog integrala, pretpostavljalo se da su ispunjena sljedeća dva uvjeta:
a) granice integracije A i konačni su;
b) integrand je ograničen na interval.
Ako barem jedan od ovih uslova nije zadovoljen, tada se naziva integral ne svoju.
Razmotrimo prvo nepravilne integrale sa beskonačnim granicama integracije.
Definicija. Neka je funkcija tada definirana i kontinuirana na intervalu i neograničeno na desnoj strani (slika 15).
Ako nepravilni integral konvergira, onda je ovo područje konačno; ako nepravilni integral divergira, onda je ovo područje beskonačno.
Rice. 15
Nepravilan integral s beskonačnom donjom granicom integracije definira se na sličan način:
. (13)
Ovaj integral konvergira ako granica na desnoj strani jednakosti (13) postoji i konačna je; inače se kaže da je integral divergentan.
Nepravilan integral sa dve beskonačne granice integracije je definisan na sledeći način:
, (14)
gdje je s bilo koja tačka intervala. Integral konvergira samo ako se oba integrala na desnoj strani jednakosti (14) konvergiraju.
;G) 
= [odaberite ceo kvadrat u nazivniku: ] = 
[zamjena:
] = 
To znači da nepravilni integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .