Nulto rješenje sistema linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina

Rješenje. A= . Nađimo r(A). Jer matrica I ima red 3x4, tada je najviši red minora 3. Štaviše, svi minori trećeg reda su jednaki nuli (provjerite sami). Sredstva, r(A)< 3. Возьмем главный osnovni mol = -5-4 = -9 ≠ 0. Stoga je r(A) =2.

Hajde da razmotrimo matrica WITH = .

Minor treći red ≠ 0. Dakle, r(C) = 3.

Pošto je r(A) ≠ r(C) , onda je sistem nekonzistentan.

Primjer 2. Odrediti kompatibilnost sistema jednačina

Riješite ovaj sistem ako se ispostavi da je konzistentan.

Rješenje.

A = , C = . Očigledno je da je r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Pošto je detC = 0, onda je r(C)< 4. Hajde da razmotrimo minor treće red, koji se nalazi na lijevoj strani gornji ugao matrice A i C: = -23 ≠ 0. Dakle, r(A) = r(C) = 3.

Broj nepoznato u sistemu n=3. To znači da sistem ima jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, četvrta jednačina predstavlja zbir prve tri i može se zanemariti.

Prema Cramerovim formulama dobijamo x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matrična metoda. Gaussova metoda

sistem n linearne jednačine With n nepoznanice se mogu riješiti matrična metoda prema formuli X = A -1 B (na Δ ≠ 0), koji se dobija iz (2) množenjem oba dela sa A -1.

Primjer 1. Riješite sistem jednačina

matrična metoda (u odjeljku 2.2 ovaj sistem je riješen korištenjem Cramerovih formula)

Rješenje. Δ = 10 ≠ 0 A = - nedegenerisana matrica.

= (provjerite ovo sami tako što ćete napraviti potrebne proračune).

A -1 = (1/Δ)h= .

X = A -1 V = x= .

Odgovori: .

Sa praktične tačke gledišta matrične metode i formule Kramer povezani su s velikom količinom proračuna, pa se daje prednost Gaussova metoda, koji se sastoji u sekvencijalnom eliminisanju nepoznatih. Da bi se to postiglo, sistem jednačina se svodi na ekvivalentni sistem sa trouglastom proširenom matricom (svi elementi ispod glavne dijagonale su jednaki nuli). Ove radnje se nazivaju kretanje naprijed. Iz rezultirajućeg trouglastog sistema, varijable se pronalaze korištenjem uzastopnih supstitucija (obrnuto).

Primjer 2. Rešite sistem Gaussovom metodom

(Iznad, ovaj sistem je riješen korištenjem Cramerove formule i matrične metode).

Rješenje.

Direktan potez. Napišimo proširenu matricu i koristeći elementarne transformacije Dovedemo ga u trouglasti oblik:

~ ~ ~ ~ .

Dobijamo sistem

Obrnuti potez. Iz posljednje jednačine nalazimo X 3 = -6 i zamijenite ovu vrijednost u drugu jednačinu:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Odgovori: .

2.5. Opšte rješenje sistema linearnih jednačina

Neka je zadan sistem linearnih jednačina = b i(i=). Neka je r(A) = r(C) = r, tj. sistem je kolaborativni. Bilo koji minor reda r osim nule je osnovni mol. Bez gubitka općenitosti, pretpostavit ćemo da se bazni minor nalazi u prvim r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) redovima i stupcima matrice A. Odbacivanje posljednjeg m-r jednačine sistema, pišemo skraćeni sistem:

što je ekvivalentno originalnom. Nazovimo nepoznate x 1 ,….x r osnovni, i x r +1 ,…, x r osloboditi i pomjeriti članove koji sadrže slobodne nepoznanice na desnu stranu jednadžbi skraćenog sistema. Dobijamo sistem u odnosu na osnovne nepoznanice:

koji za svaki skup vrijednosti slobodnih nepoznanica x r +1 = S 1 ,…, x n = S n-r ima samo jedno rešenje x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), pronađen po Cramerovom pravilu.

Odgovarajuće rešenje skraćeni, pa stoga originalni sistem ima oblik:

X(C 1 ,…, C n-r) = - opšte rešenje sistema.

Ako u općem rješenju damo neke slobodne nepoznanice numeričke vrijednosti, tada dobijamo rješenje linearni sistem, nazvan privatnim.

Primjer. Uspostaviti kompatibilnost i pronaći opšte rješenje sistema

Rješenje. A = , C = .

Dakle Kako r(A)= r(C) = 2 (pogledajte ovo sami), tada je originalni sistem konzistentan i ima beskonačan broj rješenja (pošto r< 4).

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kurs linearne algebre. Velika količina problemi iz svih grana matematike svode se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
proučavati teoriju odabrane metode,
riješite svoj sistem linearnih jednačina pregledom detaljnih rješenja tipični primjeri i zadatke.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept osnovni mol matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme pri čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.

IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje - glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli takođe postaje identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, iu slučaju homogeni sistem sve nepoznate varijable su nula.

Počeli smo proučavati takve SLAE u srednja škola. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao . Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih termina, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) :

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Pošto je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnom metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Korišćenjem inverzna matrica rješenje za ovaj sistem se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok ne ostane samo nepoznata varijabla x n u poslednjoj jednačini. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa:

Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.

Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Općenito, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.

Kronecker–Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).

Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Minor najviši red matrica A, različita od nule, naziva se osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora; uvijek postoji jedan bazni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.

Šta nam govori teorema o rangu matrice?

Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njen red je jednak r) i isključujemo iz sistema sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula

a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:

Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:

Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:

odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji broj nepoznate varijable n, zatim na lijevoj strani jednadžbi ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnog predznaka.

Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu uzeti proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli jedini način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Nađimo rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom:

Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:

Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:

Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu:

Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik

Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu:

Dakle, .

U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.

Ako je redoslijed osnovice minor jednak broju nepoznate varijable, onda SLAE ima jedinstveno rješenje, koje nalazimo bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu, matričnu metodu ili Gaussovu metodu.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.

Pazi Detaljan opis i analizirao primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupaste matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantni koeficijenti C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno, .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), prema formuli ćemo dobiti jedno od rješenja za originalni homogeni SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desnu stranu sistemskih jednačina suprotnih predznaka. Dajmo besplatne nepoznate varijabilne vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunati glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednačina na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti 0,0,...,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina
.

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put susreću s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to se obično dešava, ali za višu algebru to generalno nije tačno.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1, k 2, ..., k n), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1, x 2, ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, rješavanje sistema jednačina znači pronalaženje skupa svih njegovih rješenja ili dokazivanje da je ovaj skup prazan. Budući da se broj jednačina i broj nepoznatih možda ne poklapaju, moguća su tri slučaja:

Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojim se metodom rješava sistem.
Sistem je konzistentan i određen, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznato još iz školskih dana.
Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno naznačiti da “sistem ima beskonačan skup rješenja” – potrebno je opisati kako je ovaj skup strukturiran.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u drugim jednačinama koeficijent varijable x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati razriješenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti izvorni sistem može se svesti na različite dozvoljene, ali nas to za sada ne brine. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema se rješavaju u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem razriješen u odnosu na x 1, x 3 i x 5. Dovoljno je prepisati poslednju jednačinu u obliku x 5 = x 4.

Sada pogledajmo više opšti slučaj. Neka imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je zajednički i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
Broj dozvoljenih varijabli r je manji ukupan broj varijable k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2, x 5, x 6 (za prvi sistem) i x 2, x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je vrlo važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete rezultujući sistem, ista varijabla može biti dozvoljena ili slobodna. Većina nastavnika više matematike preporučuje ispisivanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, niste u obavezi da slijedite ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina dozvoljene varijable x 1, x 2, ..., x r, a x r + 1, x r + 2, ..., x k su slobodne, tada:

Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), a zatim pronađemo vrijednosti x 1, x 2, ..., x r, dobijamo jednu od odluka.

Ako se u dva rješenja poklapaju vrijednosti slobodnih varijabli, onda se poklapaju i vrijednosti dozvoljenih varijabli, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja riješenog sistema jednačina, dovoljno je izolovati slobodne varijable. Zatim, dodjeljivanje slobodnim varijablama različita značenja, dobićemo gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: riješeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u razriješenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, bit će neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako dobiti riješeno iz originalnog sistema jednačina? Za ovo postoji

Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:

– Sistem je nekonzistentan (nema rješenja);
– Sistem je konzistentan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : Termin „dosljednost“ podrazumijeva da sistem ima barem neko rješenje. U nizu problema potrebno je prvo ispitati kompatibilnost sistema; kako to učiniti, pogledajte članak na rang matrica.

Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, „školska“ metoda će također dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sekvencijalnog eliminacije nepoznanica. Oni koji nisu upoznati sa algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrice su potpuno iste, razlika će biti u završetku rješenja. Prvo, pogledajmo nekoliko primjera kada sistem nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Šta vam odmah upada u oči kod ovog sistema? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekonzistentan ili da ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da se sazna.

Početak rješenja je potpuno običan - zapisujemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u postupni oblik:

(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili –1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, tako da preuređivanje redova neće dati ništa. Jedinica će se morati sama organizirati, a to se može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: prvom redu dodamo treći red, pomnožen sa -1.

(2) Sada dobijamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 5.

(3) Nakon što je transformacija završena, uvijek je preporučljivo vidjeti da li je moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Može. Drugi red dijelimo sa 2, istovremeno dobijajući traženo –1 na drugom koraku. Treći red podijelite sa –3.

(4) Dodajte drugi red u treći red.

Vjerovatno su svi primijetili lošu liniju koja je nastala kao rezultat elementarnih transformacija: . Jasno je da to ne može biti tako. Zaista, prepišimo rezultujuću matricu nazad na sistem linearnih jednačina:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja).

Kako zapisati završetak zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija, dobije se niz oblika , gdje " i damo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uslovu potrebno ISTRAŽIVATI sistem radi kompatibilnosti, onda je potrebno formalizirati rješenje u solidnijem stilu koristeći koncept rang matrice i Kronecker-Capelli teorem.

Imajte na umu da ovdje nema preokreta Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema šta pronaći.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ponovo vas podsjećam da se vaše rješenje može razlikovati od mog rješenja; Gausov algoritam nema jaku “rigidnost”.

Drugi tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim red kao , gdje . Razmotrimo uvjetni primjer: pretpostavimo da je nakon prve transformacije matrica dobijena . Matrica još nije svedena na ešalonski oblik, ali nema potrebe za daljnjim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija forme, gdje je . Odmah treba dati odgovor da je sistem nekompatibilan.

Kada sistem linearnih jednačina nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobiva kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu izbalansirano, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina

Postoje 4 jednačine i 4 nepoznanice, tako da sistem može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Kako god bilo, Gausova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. To je njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

To je sve, a ti si se uplašio.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2, tako da je 2 u redu na gornjem lijevom koraku. Drugom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –4. Trećem redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –2. Četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –1.

Pažnja! Mnogi mogu biti u iskušenju četvrtim redom oduzimati prva linija. To se može učiniti, ali nije neophodno; iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajte: U četvrti red dodajte prvi red pomnožen sa –1 – upravo!

(2) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva se mogu brisati.

Ovdje opet moramo pokazati povećana pažnja, ali jesu li linije zaista proporcionalne? Da biste bili sigurni (posebno za čajnik), bilo bi dobro da drugi red pomnožite sa –1, a četvrti red podijelite sa 2, što će rezultirati tri identične linije. I tek nakon toga uklonite dva od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik:

Prilikom pisanja zadatka u svesci, preporučljivo je da iste bilješke napravite olovkom radi preglednosti.

Prepišimo odgovarajući sistem jednačina:

Ovdje nema mirisa na „obično“ jedinstveno rješenje sistema. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, prema uslovu, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem pasusu članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada idemo na osnove:

Beskonačan skup rješenja sistema je ukratko zapisan u obliku tzv opšte rešenje sistema .

Opće rješenje sistema pronalazimo korištenjem inverzne Gausove metode.

Prvo moramo definirati koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno. Ne morate se zamarati terminima linearne algebre, samo zapamtite da ih ima osnovne varijable I slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
IN u ovom primjeru osnovne varijable su i

Slobodne varijable su sve preostali varijable koje nisu primile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable.

Sada ti treba Sve osnovne varijable express samo kroz slobodne varijable.

Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednačine sistema izražavamo osnovnu varijablu:

Sada pogledajte prvu jednačinu: . Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje da izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli:

Na kraju smo dobili ono što nam je trebalo - Sve osnovne varijable ( i ) su izražene samo kroz slobodne varijable:

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako pravilno napisati opšte rješenje?
Slobodne varijable se upisuju u opšte rješenje „sama po sebi“ i striktno na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable treba napisati na drugoj i četvrtoj poziciji:
.

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očigledno treba da bude napisano na prvoj i trećoj poziciji:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, možete pronaći beskonačno mnogo privatna rješenja. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamenimo u opšte rešenje:

– privatno rješenje.

Drugi slatki par su jedinice, zamjenjujemo ih u opće rješenje:

– još jedno privatno rješenje.

Lako je vidjeti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(pošto možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednačina sistema. Ovo je osnova za “brzu” provjeru ispravnosti rješenja. Uzmite, na primjer, određeno rješenje i zamijenite ga u lijevu stranu svake jednadžbe originalnog sistema:

Sve se mora spojiti. I sa bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo slagati.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad je varljiva, tj. neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednačinu sistema, ali samo opće rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje ?

Nije teško, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sistema.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema:

Na lijevoj strani druge jednačine sistema:

Primljeno desni deo originalna jednadžba.

Primjer 4

Riješite sistem Gausovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva posebna rješenja. Provjerite opće rješenje.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje je, inače, opet broj jednačina manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem ili biti nekonzistentan ili će imati beskonačan broj rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja i opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I još par primjera za učvršćivanje materijala

Primjer 5

Riješiti sistem linearnih jednačina. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Rješenje: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. U četvrti red dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –5. Četvrtom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Ovo je takva lepotica:

Osnovne varijable sjede na stepenicama, dakle - osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:

Revers:
Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:
Iz treće jednačine:

Razmotrimo drugu jednačinu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:

Razmotrimo prvu jednačinu i zamijenimo pronađene izraze i u nju:

Da, kalkulator koji izračunava obične razlomke je i dalje zgodan.

Dakle, generalno rješenje je:

Još jednom, kako je ispalo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable također su zauzeli svoja redna mjesta.

Hajde da odmah proverimo opšte rešenje. Posao je za crnce, ali ja sam ga vec uradio, pa uhvati ga =)

Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sistema:

Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje pronađeno ispravno.

Sada iz pronađenog opšteg rješenja dobijamo dva konkretna rješenja. Jedina besplatna varijabla ovdje je kuhar. Nema potrebe da se razbijate.

Neka bude onda – privatno rješenje.
Neka bude onda – još jedno privatno rješenje.

Odgovori: Zajednička odluka: , privatna rješenja: , .

Nisam trebao da se setim crnaca... ...jer su mi u glavi dolazili razni sadistički motivi i setio sam se čuvenog fotošopa u kojem ljudi iz Kju Kluks klana u belim haljinama trče po terenu za crnim fudbalerom. Sjedim i tiho se smijem. Znate kako ometa...

Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za samostalno rješavanje.

Primjer 6

Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina.

Već sam provjerio generalno rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, glavna stvar je da se opća rješenja poklapaju.

Mnogi ljudi su vjerovatno primijetili neugodan momenat u rješenjima: vrlo često, kada smo mijenjali Gaussovu metodu, morali smo petljati sa obične frakcije. U praksi je to zaista slučaj; slučajevi u kojima nema razlomaka su mnogo rjeđi. Budite spremni psihički i, što je najvažnije, tehnički.

Zadržat ću se na nekim karakteristikama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opće rješenje sistema ponekad može uključivati konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ničeg egzotičnog u ovome, dešava se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli. Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima, potrebno je smireno svesti proširenu matricu sistema u postupni oblik koristeći standardni algoritam. Takav sistem može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedno rješenje.

On ovu lekciju razmotrićemo metode za rešavanje sistema linearnih jednačina. U predmetu više matematike, sisteme linearnih jednadžbi potrebno je rješavati kako u obliku zasebnih zadataka, na primjer, "Rješiti sistem pomoću Cramerovih formula", tako i u toku rješavanja drugih zadataka. Sistemi linearnih jednačina moraju se baviti gotovo svim granama više matematike.

Prvo, malo teorije. Šta u ovom slučaju znači matematička riječ “linearno”? To znači da su jednačine sistema Sve uključene varijable na prvom stepenu: bez ikakvih fensi stvari poput itd., čime su oduševljeni samo učesnici matematičkih olimpijada.

U višoj matematici za označavanje varijabli ne koriste se samo slova poznata iz djetinjstva.
Prilično popularna opcija su varijable s indeksima: .
Ili početna slova latinica, mali i veliki:
Nije tako rijetko pronaći grčka slova: – mnogima poznata kao “alfa, beta, gama”. I također skup s indeksima, recimo, sa slovom "mu":

Upotreba jednog ili drugog skupa slova ovisi o dijelu više matematike u kojem se suočavamo sa sistemom linearnih jednačina. Tako, na primjer, u sistemima linearnih jednačina koji se susreću pri rješavanju integrala, diferencijalne jednadžbe Tradicionalno je koristiti notaciju

Ali bez obzira na to kako su varijable označene, principi, metode i metode za rješavanje sistema linearnih jednačina se ne mijenjaju. Stoga, ako naiđete na nešto strašno poput , nemojte žuriti da u strahu zatvorite knjigu zadataka, na kraju krajeva, umjesto toga možete nacrtati sunce, pticu i lice (učitelja). I, koliko god smiješno izgledalo, sistem linearnih jednačina sa ovim notacijama također se može riješiti.

Imam osjećaj da će članak ispasti dosta dugačak, dakle mali sadržaj. Dakle, uzastopno "debrifing" će biti ovako:

– Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom zamjene („školska metoda“);
– Rješavanje sistema sabiranjem (oduzimanjem) sistemskih jednačina po članu;
– Rješenje sistema korištenjem Cramerovih formula;
– Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice;
– Rješavanje sistema Gausovom metodom.

Svi su upoznati sa sistemima linearnih jednačina iz školski kurs matematike. U suštini, počinjemo s ponavljanjem.

Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom zamjene

Ova metoda može se nazvati i "školskom metodom" ili metodom eliminacije nepoznanica. Slikovito rečeno, može se nazvati i „nedovršena Gausova metoda“.

Primjer 1

Ovdje nam je dat sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate. Imajte na umu da se slobodni članovi (brojevi 5 i 7) nalaze na lijevoj strani jednačine. Uopšteno govoreći, nije bitno gdje se nalaze, lijevo ili desno, samo se u problemima iz više matematike često nalaze na taj način. I takav snimak ne bi trebao dovesti do zabune, ako je potrebno, sistem se uvijek može napisati "kao i obično": . Ne zaboravite da kada pomičete pojam iz dijela u dio, on mora promijeniti svoj predznak.

Šta znači riješiti sistem linearnih jednačina? Rješavanje sistema jednačina znači pronalaženje mnogih njegovih rješenja. Rješenje sistema je skup vrijednosti svih varijabli uključenih u njega, što SVAKU jednačinu sistema pretvara u pravu jednakost. Osim toga, sistem može biti non-joint (nema rješenja).Ne brini, jeste opšta definicija=) Imaćemo samo jednu vrijednost “x” i jednu vrijednost “y”, koje zadovoljavaju svaku jednačinu c-we.

Postoji grafička metoda rješenje sistema, koje se može naći na času Najjednostavniji problemi sa linijom. Tamo sam pričao geometrijskog smisla sisteme dve linearne jednačine sa dve nepoznate. Ali sada je ovo doba algebre, i brojeva-brojeva, akcija-akcija.

Hajde da odlučimo: iz prve jednačine izražavamo:
Dobijeni izraz zamjenjujemo u drugu jednačinu:

Otvaramo zagrade, dodajemo slične pojmove i pronalazimo vrijednost:

Zatim se prisjećamo za šta smo plesali:
Vrijednost već znamo, preostaje samo pronaći:

Odgovori:

Nakon što je BILO KOJI sistem jednačina riješen na BILO KOJI način, toplo preporučujem provjeru (usmeno, na nacrtu ili na kalkulatoru). Na sreću, to se radi lako i brzo.

1) Zamijenite pronađeni odgovor u prvu jednačinu:

– dobija se tačna jednakost.

2) Zamijenite pronađeni odgovor u drugu jednačinu:

– dobija se tačna jednakost.

Ili, jednostavnije rečeno, "sve se poklopilo"

Razmatrana metoda rješenja nije jedina; iz prve jednačine bilo je moguće izraziti , a ne .
Možete učiniti suprotno - izrazite nešto iz druge jednačine i zamijenite to prvom jednačinom. Usput, imajte na umu da je najnepovoljnija od četiri metode izražavanje iz druge jednačine:

Rezultat su razlomci, ali zašto? Postoji racionalnije rešenje.

Međutim, u nekim slučajevima još uvijek ne možete bez razlomaka. S tim u vezi, skrećem vam pažnju na to KAKO sam zapisao izraz. Ne ovako: i ni u kom slučaju ovako: .

Ako se u višoj matematici bavite razlomcima, pokušajte sve proračune izvesti u običnim nepravilnim razlomcima.

Tačno, a ne ili!

Zarez se može koristiti samo ponekad, posebno ako je to konačan odgovor na neki problem, a s tim brojem nije potrebno izvršiti daljnje radnje.

Mnogi čitaoci su vjerovatno pomislili „zašto to učiniti? detaljno objašnjenje, što se tiče popravnog časa i tako je sve jasno.” Ništa slično, izgleda tako jednostavno školski primjer, i koliko JAKO važnih zaključaka! evo još jednog:

Trebate nastojati da bilo koji zadatak završite na najracionalniji način. Makar samo zato što štedi vrijeme i živce, a također smanjuje vjerovatnoću da napravite grešku.

Ako u zadatku iz više matematike naiđete na sistem od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate, uvijek možete koristiti metodu zamjene (osim ako je naznačeno da sistem treba rješavati drugom metodom).Ni jedan nastavnik neće mislite da ste naivčina i da ćete smanjiti ocjenu za korištenje "školske metode""
Štaviše, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti metodu zamjene sa većim brojem varijabli.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina sa tri nepoznate

Sličan sistem jednadžbi se često javlja kada se koristi tzv. metoda neodređenih koeficijenata, kada se pronađe integral razlomke racionalne funkcije. Odatle sam preuzeo sistem koji je u pitanju.

Kada se pronađe integral, cilj je brzo pronađite vrijednosti koeficijenata, umjesto da koristite Cramerove formule, metodu inverzne matrice itd. Stoga je u ovom slučaju odgovarajuća metoda zamjene.

Kada je dat bilo koji sistem jednadžbi, prije svega je poželjno saznati da li ga je moguće ODMAH nekako pojednostaviti? Analizirajući jednačine sistema, primjećujemo da se druga jednačina sistema može podijeliti sa 2, što i radimo:

referenca: matematički znak znači "iz ovoga slijedi ono" i često se koristi u rješavanju problema.

Sada analizirajmo jednačine; trebamo izraziti neke varijable u terminima ostalih. Koju jednačinu da odaberem? Verovatno ste već pogodili da je najlakši način za ovu svrhu uzeti prvu jednačinu sistema:

Ovdje se, bez obzira koju varijablu izraziti, jednako lako može izraziti ili .

Zatim zamjenjujemo izraz za u drugu i treću jednačinu sistema:

Otvaramo zagrade i predstavljamo slične pojmove:

Podijelite treću jednačinu sa 2:

Iz druge jednačine izražavamo i zamjenjujemo u treću jednačinu:

Gotovo sve je spremno, iz treće jednačine nalazimo:
Iz druge jednačine:
Iz prve jednadžbe:

Provjera: Zamijenite pronađene vrijednosti varijabli u lijevu stranu svake jednačine sistema:

1)
2)
3)

Dobivaju se odgovarajuće desne strane jednadžbi, tako da je rješenje pronađeno ispravno.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina sa 4 nepoznate

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Rješavanje sistema sabiranjem (oduzimanjem) sistemskih jednačina po članu

Kada rješavate sisteme linearnih jednačina, trebali biste pokušati koristiti ne „školsku metodu“, već metodu sabiranja (oduzimanja) jednačina sistema po članu. Zašto? Ovo štedi vrijeme i pojednostavljuje proračune, međutim, sada će sve postati jasnije.

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednačina:

Uzeo sam isti sistem kao u prvom primjeru.
Analizirajući sistem jednačina, uočavamo da su koeficijenti varijable identični po veličini i suprotni po predznaku (–1 i 1). U takvoj situaciji, jednačine se mogu dodavati pojam po član:

Radnje zaokružene crvenom bojom se izvode MENTALNO.
Kao što vidite, kao rezultat sabiranja pojam po član, izgubili smo varijablu. Ovo je, u stvari, šta Suština metode je da se riješi jedne od varijabli.