Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj.
To je zbog činjenice da je velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih i čak pedagoški zadaci mogu se opisati i riješiti korištenjem raznih jednačina i njihovih sistema. IN U poslednje vreme stekao je posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima matematičko modeliranje u gotovo svim predmetnim oblastima, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge poznate i dokazane metode proučavanja objekata različite prirode, posebno tzv. složeni sistemi. Postoji veliki izbor različitih definicija matematičkog modela koje su dali naučnici u različita vremena, ali po našem mišljenju najuspješnija stvar je sljedeću izjavu. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema je sastavna karakteristika savremenog specijaliste.
Za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi najčešće korištene metode su Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.
Metoda matričnog rješenja - korištenje metode rješenja inverzna matrica sistemi linearnih algebarskih jednadžbi sa determinantom različitom od nule.
Ako zapišemo koeficijente za nepoznate veličine xi u matricu A, prikupimo nepoznate količine u vektorskom stupcu X, a slobodne članove u vektorskom stupcu B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u obliku sljedeća matrična jednačina A · X = B, koja ima jedina odluka samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju rješenje sistema jednačina može se naći na sljedeći način X = A-1 · B, Gdje A-1 je inverzna matrica.
Metoda rješenja matrice je sljedeća.
Neka sistem bude dat linearne jednačine With n nepoznato:
Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, Gdje A- glavna matrica sistema, B I X- kolone slobodnih pojmova i rješenja sistema, odnosno:
Pomnožimo ovu matričnu jednačinu slijeva sa A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B
Jer A -1 A = E, dobijamo X= A -1 B. Desna strana ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uslov primenljivosti ovu metodu(kao i postojanje rješenja općenito homogeni sistem linearne jednadžbe sa nizom jednadžbi, jednak broju nepoznate) je nedegeneriranost matrice A. Neophodan i dovoljno stanje To znači da determinanta matrice nije jednaka nuli A:det A≠ 0.
Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0 , zaista obrnuto pravilo: sistem SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa.
Primjer rješenja nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina.
Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljena od koeficijenata nepoznatih sistema linearnih algebarskih jednačina, nije jednaka nuli.
Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koje se sastoje od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.
The online kalkulator rješava sistem linearnih jednačina matrična metoda. Dato je veoma detaljno rješenje. Da biste riješili sistem linearnih jednačina, odaberite broj varijabli. Odaberite metodu za izračunavanje inverzne matrice. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".
×
Upozorenje
Obrisati sve ćelije?
Zatvori Clear
Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.
Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina
Razmotrimo sljedeći sistem linearnih jednačina:
S obzirom na definiciju inverzne matrice, imamo A −1 A=E, Gdje E- matrica identiteta. Stoga (4) se može napisati na sljedeći način:
Dakle, da bi se riješio sistem linearnih jednačina (1) (ili (2)), dovoljno je pomnožiti inverznu vrijednost A matrica po vektoru ograničenja b.
Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina matričnom metodom
Primjer 1. Riješite sljedeći sistem linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu:
Nađimo inverz matrice A koristeći Jordan-Gaussov metod. WITH desna strana matrice A Napišimo matricu identiteta:
Isključimo elemente 1. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa linijom 1, pomnožene sa -1/3, -1/3, respektivno:
Isključimo elemente 2. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 3 sa linijom 2 pomnožen sa -24/51:
Isključimo elemente 2. kolone matrice iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 1 sa linijom 2 pomnožen sa -3/17:
Odvojeno desna strana matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna matrica od A :
Matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: Ax=b, Gdje
Izračunajmo sve algebarske komplemente matrice A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Inverzna matrica se izračunava iz sljedećeg izraza.
Metoda inverzne matrice je poseban slučaj matrična jednačina
Riješite sistem matričnim metodom
Rješenje: Sistem zapisujemo u matričnom obliku Rješenje sistema pronalazimo pomoću formule (vidi posljednju formulu)
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
Prvo, pogledajmo determinantu:
Ovdje je determinanta proširena na prvi red.
Pažnja! Ako, onda inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznatih (Gaussova metoda).
Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora 
referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi: 
To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca
Prilikom rješavanja bolje je detaljno opisati obračun maloljetnika, iako se uz određeno iskustvo možete naviknuti da ih usmeno računate s greškama.
Redoslijed kojim se maloljetnici računaju je potpuno nebitan, ovdje sam ih računao s lijeva na desno red po red. Bilo je moguće izračunati minore po kolonama (ovo je još zgodnije).
ovako:
– matrica minora odgovarajućih elemenata matrice.
– matrica algebarskih sabiranja.
– transponovana matrica algebarskih sabiranja.
Ponavljam, detaljno smo razgovarali o izvedenim koracima u lekciji. Kako pronaći inverz od matrice?
Sada pišemo inverznu matricu:
Ni u kom slučaju ga ne treba unositi u matricu, to će ozbiljno zakomplikovati dalje proračune. Dijeljenje bi trebalo izvršiti ako su svi brojevi u matrici djeljivi sa 60 bez ostatka. Ali u ovom slučaju je vrlo potrebno dodati minus u matricu, naprotiv, to će pojednostaviti daljnje proračune.
Sve što ostaje je izvršiti množenje matrice. Možete naučiti kako se množe matrice u nastavi. Akcije sa matricama. Inače, tamo se analizira potpuno isti primjer.
Imajte na umu da je dijeljenje sa 60 obavljeno najzad.
Ponekad se možda neće potpuno odvojiti, tj. može rezultirati "lošim" razlomcima. Već sam vam rekao šta da radite u takvim slučajevima kada smo ispitivali Cramerovo pravilo.
Odgovori: 
Primjer 12
Riješite sistem koristeći inverznu matricu. 
Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).
Najuniverzalniji način rješavanja sistema je metoda eliminacije nepoznatih (Gaussova metoda). Nije tako lako jasno objasniti algoritam, ali pokušao sam!
Želim ti uspjeh!
odgovori:
Primjer 3:
Primjer 6:
Primjer 8: , . Možete pogledati ili preuzeti primjer rješenja za ovaj primjer (link ispod).
Primjeri 10, 12: 
Nastavljamo da razmatramo sisteme linearnih jednačina. Ova lekcija je treća na ovu temu. Ako imate nejasnu ideju o tome što je sustav linearnih jednadžbi općenito, ako se osjećate kao čajnik, onda preporučujem da počnete s osnovama na stranici Dalje, korisno je proučiti lekciju.
Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak „Kralj matematike“. A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, novac ne dobijaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret bio je na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.
Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku.
Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:
1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti non-joint).
Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! On ovu lekciju Ponovo ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sistema), a članak je posvećen situacijama tačaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.
Vratimo se na najjednostavniji sistem iz razreda Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješiti ga Gaussovom metodom.
Prvi korak je zapisivanje proširena sistemska matrica:
. Mislim da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.
referenca: Preporučujem da zapamtiteuslovi linearna algebra.System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, in u ovom primjeru matrica sistema: . Proširena sistemska matrica – ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih termina, u ovom slučaju: . Radi kratkoće, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom.
Nakon što je prošireni matrični sistem napisan, potrebno je izvršiti neke radnje s njim, koje se također pozivaju elementarne transformacije.
Postoje sljedeće elementarne transformacije:
1) Strings matrice može se preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red: 
2) Ako postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda biste trebali izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu 
. U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: 
.
3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi također trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.
4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: 
. Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.
5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Razmotrite našu matricu od praktični primjer: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa –2: 
, And drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa –2: . Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa –2: . Kao što vidite, linija koja ADD LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.
U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko: 
Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:
“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: “
“Prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga pomnožim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: 
»
“Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: "
“I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »
Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji.
Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina
! PAŽNJA: smatrati manipulacijama ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane „sama po sebi“. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni u kom slučaju ne smijete ništa preuređivati unutar matrica!
Vratimo se našem sistemu. Gotovo je riješeno.
Napišimo proširenu matricu sistema i korištenje elementarne transformacije hajde da to dovedemo do toga stepenasti pogled:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Usput, zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.
(2) Drugi red podijelite sa 3.
Svrha elementarnih transformacija–
svesti matricu na postupni oblik: 
. U obrascu zadatka to je jasno navedeno jednostavnom olovkom"stepenice", a zaokružite i brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam termin „stepeni pogled“ nije sasvim teorijski, u naučnom i edukativna literaturačesto se zove trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:
Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode.
U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .
Hajde da razmotrimo prvu jednačinu sistema i da je već zamenimo poznata vrijednost"Y":
Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.
Primjer 1
Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom:
Napišimo proširenu matricu sistema:
Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja:
I ponavljam, naš cilj je da dovedemo matricu u postupni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?
Prvo gledamo lijevo gornji broj: 
Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tamo obično stavlja jedan. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red: 
Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.
Jedinica lijevo gornji ugao organizovano. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima: 
Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:
Rezultat pišemo u drugom redu: 
Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3:
Rezultat pišemo u trećem redu:
U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku: 
Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „upisivanje“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:
I već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih proračuna.
U ovom primjeru to je lako učiniti; drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer šta manji broj, one jednostavnije rešenje:
On završna faza elementarne transformacije koje trebate da dobijete još jednu nulu ovdje: 
Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2:
Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i izvršite sabiranje.
Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentni sistem linearnih jednačina: 
Cool.
Sada na scenu stupa obrnuto od Gaussove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore.
U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat:
Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle:
I na kraju, prva jednadžba: . "Igrek" i "zet" su poznati, samo su male stvari:
odgovor: 
Kao što je već nekoliko puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to je lako i brzo.
Primjer 2
Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.
Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se ne poklapa sa mojim procesom odlučivanja, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!
Primjer 3
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: (1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.
Sada je gore lijevo -1, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).
(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodaje se drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodaje se trećem redu.
(3) Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.
(4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2.
(5) Treći red je podijeljen sa 3.
Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (ređe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput , ispod, i, shodno tome, 
, zatim sa veliki udio vjerovatnoće, može se tvrditi da je učinjena greška tokom elementarnih transformacija.
Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi, odozdo prema gore:
Da, evo poklona:
odgovor: 
.
Primjer 4
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja.
U posljednjem dijelu ćemo pogledati neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u sistemskim jednačinama, na primjer: 
Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam pričao o ovome na času. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: 
Usput, to je lijepo lak primjer, budući da već postoji jedna nula u prvoj koloni, a potrebno je izvesti manje elementarnih konverzija.
Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li tamo biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .
Ovdje na gornjoj lijevoj “stepenici” imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - a drugi je dva i šest. A dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Na ovaj način ćemo dobiti tražene nule u prvoj koloni.
Ili još jedan konvencionalni primjer: 
. Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “korak” jer je 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećem redu dodati drugi red, pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.
Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti rješavati sisteme koristeći druge metode (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - oni imaju vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste „ubaciti svoje zube u“ i riješiti najmanje 5-10 deset sistema. Stoga u početku može doći do zabune i grešaka u proračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.
Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve koji žele više složen primjer za samostalno rješenje:
Primjer 5
Riješite sistem od 4 linearne jednadžbe sa četiri nepoznate pomoću Gaussove metode. 
Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljno proučio ovu stranicu razumjeti algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi, sve je isto - samo ima više akcija.
Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa opšta odluka . Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gausove metode.
Želim ti uspjeh!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik.
Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.Pažnja!
Ovdje ćete možda biti u iskušenju da oduzmete prvi od trećeg reda; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od greške se uvelike povećava. Samo ga savijte!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni.Bilješka
, da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podeljen sa 14.
Revers:
odgovor: 
.
Primjer 4: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Izvršene konverzije:
(1) Drugi red je dodat prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.
Sa drugim “korak” sve postaje gore , “kandidati” za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
(4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
Potrebna stavka u drugom koraku je primljena.
.
(5) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 6.
(6) Drugi red je pomnožen sa –1, treći red podeljen sa -83. Očigledno je da je ravan jednoznačno definisana sa tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj. Stoga su troslovne oznake ravni prilično popularne - po tačkama koje im pripadaju, na primjer, ; .Ako su slobodni članovi
- izračunava se determinanta matrice A;
- algebarskim sabiranjem nalazi se inverzna matrica A -1;
- kreira se predložak rješenja u Excelu;
Instrukcije. Da biste dobili rješenje korištenjem metode inverzne matrice, potrebno je odrediti dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, popunite matricu A i vektor rezultata B.
Vidi također Rješavanje matričnih jednačina.Algoritam rješenja
- Izračunava se determinanta matrice A. Ako je determinanta nula, onda je rješenje gotovo. Sistem ima beskonačan broj rješenja.
- Kada je determinanta različita od nule, inverzna matrica A -1 se nalazi algebarskim sabiranjem.
- Vektor rješenja X =(x 1, x 2, ..., x n) dobija se množenjem inverzne matrice sa vektorom rezultata B.
Algebarski dodaci.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
pregled:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica - tabela elemenata. O stolu gdje m linije i n kolone, kaže se da ova matrica ima dimenziju m on n.
Opšti izgled matrice:
Za matrična rješenja potrebno je razumjeti šta je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice:
- Glavna dijagonala, koja se sastoji od elemenata a 11, a 22…..a mn.
- Bočna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Glavne vrste matrica:
- Kvadrat je matrica u kojoj je broj redova = broj kolona ( m=n).
- Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
- Transponovana matrica - matrica IN, koji je dobiven iz originalne matrice A zamjenom redova kolonama.
- Jedinstvo - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
- Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s originalnom matricom, rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.
Metode rješavanja matrica.
Gotovo sve matrične metode rješavanja sastoji se u pronalaženju njegove determinante n-. reda i većina njih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje druge, racionalnije metode.
Pronalaženje determinanti 2. reda.
Za izračunavanje determinante matrice A 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:
Metode za pronalaženje determinanti 3. reda.
Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.
Pojednostavljeno pravilo trougla kao jedno od matrične metode rješavanja, može se prikazati na ovaj način:
Drugim riječima, proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani pravim linijama uzima se sa znakom “+”; Također, za 2. odrednicu, odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:
At rješavanje matrica korištenjem Sarrusovog pravila, desno od determinante, dodati prve 2 kolone i proizvode odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne uzeti sa znakom “+”; i produkte odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":
Dekomponovanje determinante u red ili kolonu prilikom rješavanja matrica.
Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično se bira red/kolona koji sadrži nule. Red ili stupac duž kojeg se vrši dekompozicija bit će označen strelicom.
Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.
At rješavanje matrica metodom svođenja determinante na trokutasti oblik, funkcioniraju ovako: korištenjem najjednostavnijih transformacija na redovima ili stupcima, determinanta postaje trokutastog oblika i tada će njena vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka proizvodu elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali.
Laplaceov teorem za rješavanje matrica.
Kada rješavate matrice korištenjem Laplaceove teoreme, morate znati samu teoremu. Laplaceov teorem: Neka Δ - ovo je odrednica n-th red. Odabiremo bilo koju k redovi (ili kolone), predviđeni k≤ n - 1. U ovom slučaju, zbir proizvoda svih maloljetnika k-ti red koji se nalazi u odabranom k redovi (kolone), po svojim algebarskim komplementama biće jednaki determinanti.
Rješavanje inverzne matrice.
Redoslijed radnji za inverzna matrična rješenja:
- Saznajte da li je kvadratna zadata matrica. Ako je odgovor negativan, postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
- Računamo algebarske komplemente.
- Sastavljamo unijsku (međusobnu, adjuint) matricu C.
- Sastavljamo inverznu matricu od algebarskih sabiranja: svi elementi adjuint matrice C podijeliti sa determinantom početne matrice. Konačna matrica će biti tražena inverzna matrica u odnosu na datu.
- Provjeravamo obavljeni posao: pomnožimo početnu matricu i rezultujuću matricu, rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Rešavanje matričnih sistema.
Za rješenja matričnih sistema Najčešće se koristi Gausova metoda.
Gaussova metoda je standardna metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sekvencijalno eliminišu, odnosno da se uz pomoć elementarnih promjena sistem jednačina dovodi do ekvivalentnog sistema trougla formu i iz njega, uzastopno, počevši od potonjeg (po broju), pronađite svaki element sistema.
Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat da nađemo rješenje matrica. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja ili je sistem nekompatibilan, onda se ne može riješiti korištenjem Cramerovog pravila i matrične metode.
Gaussova metoda također podrazumijeva direktne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobijanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) kretanja. Kretanje naprijed je Gaussova metoda, a obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordan metoda se razlikuje od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminiranja varijabli.