Obrazovna ustanova „Beloruska država
poljoprivredna akademija"
Katedra za višu matematiku
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA
Bilješke sa predavanja za studente računovodstva
dopisni oblik obrazovanja (NISPO)
Gorki, 2013
Diferencijalne jednadžbe prvog reda
Koncept diferencijalne jednadžbe. Opća i posebna rješenja
Prilikom proučavanja različitih pojava često nije moguće pronaći zakon koji direktno povezuje nezavisnu varijablu i željenu funkciju, ali je moguće uspostaviti vezu između željene funkcije i njenih derivata.
Poziva se odnos koji povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju i njene derivate diferencijalna jednačina :
Evo x- nezavisna varijabla, y– traženu funkciju, 
- derivati željene funkcije. U ovom slučaju, relacija (1) mora imati barem jedan izvod.
Red diferencijalne jednadžbe naziva se red najveće derivacije uključene u jednačinu.
Razmotrimo diferencijalnu jednačinu
.
(2)
Budući da ova jednadžba uključuje samo izvod prvog reda, naziva se je diferencijalna jednadžba prvog reda.
Ako se jednačina (2) može riješiti u odnosu na izvod i napisati u obliku
,
(3)
onda se takva jednadžba naziva diferencijalna jednadžba prvog reda u normalnom obliku.
U mnogim slučajevima preporučljivo je razmotriti jednačinu oblika
koji se zove diferencijalna jednadžba prvog reda napisana u diferencijalnom obliku.
Jer 
, tada se jednačina (3) može zapisati u obliku 
ili 
, gdje možemo računati 
I 
. To znači da se jednačina (3) pretvara u jednačinu (4).
Zapišimo jednačinu (4) u obliku 
. Onda 
,
,
, gdje možemo računati 
, tj. dobija se jednadžba oblika (3). Dakle, jednačine (3) i (4) su ekvivalentne.
Rješavanje diferencijalne jednadžbe
(2) ili (3) naziva se bilo koja funkcija 
, što ga, kada ga zameni u jednačinu (2) ili (3), pretvara u identitet:
ili 
.
Proces nalaženja svih rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njegov integracija
, i graf rješenja 
diferencijalna jednadžba se zove integralna kriva
ovu jednačinu.
Ako se rješenje diferencijalne jednadžbe dobije u implicitnom obliku 
, onda se zove integral
zadata diferencijalna jednačina.
Opšte rješenje
diferencijalne jednadžbe prvog reda je porodica funkcija oblika 
, u zavisnosti od proizvoljne konstante WITH, od kojih je svaki rješenje date diferencijalne jednadžbe za bilo koji prihvatljivu vrijednost proizvoljna konstanta WITH. Dakle, diferencijalna jednadžba ima beskonačan broj rješenja.
Privatna odluka
diferencijalna jednadžba je rješenje dobiveno iz opće formule rješenja za određenu vrijednost proizvoljne konstante WITH, uključujući 
.
Cauchyjev problem i njegova geometrijska interpretacija
Jednačina (2) ima beskonačan broj rješenja. Da biste odabrali jedno rješenje iz ovog skupa, koje se zove privatno, potrebno je postaviti neke dodatne uslove.
Zove se problem nalaženja određenog rješenja jednačine (2) pod datim uslovima Cauchy problem . Ovaj problem je jedan od najvažnijih u teoriji diferencijalnih jednadžbi.
Cauchyjev problem je formuliran na sljedeći način: među svim rješenjima jednačine (2) pronaći takvo rješenje
, u kojem je funkcija 
uzima zadatu brojčanu vrijednost 
, ako je nezavisna varijabla
x
uzima zadatu brojčanu vrijednost 
, tj.
,
,
(5)
Gdje D– domen definicije funkcije 
.
Značenje 
pozvao početna vrijednost funkcije
, A
– početna vrijednost nezavisne varijable
. Poziva se uslov (5). početno stanje
ili Cauchy stanje
.
Sa geometrijske tačke gledišta, Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu (2) može se formulirati na sljedeći način: iz skupa integralnih krivulja jednadžbe (2) izabrati onu koja prolazi kroz datu tačku 
.
Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama
Jedna od najjednostavnijih vrsta diferencijalnih jednadžbi je diferencijalna jednadžba prvog reda koja ne sadrži željenu funkciju:
.
(6)
S obzirom na to 
, zapisujemo jednačinu u obliku 
ili 
. Integracijom obe strane poslednje jednačine dobijamo: 
ili
.
(7)
Dakle, (7) je opšte rješenje jednačine (6).
Primjer 1
. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
.
Rješenje
. Zapišimo jednačinu u formu 
ili 
. Integrirajmo obje strane rezultirajuće jednačine: 
,
. Konačno ćemo to zapisati 
.
Primjer 2
. Pronađite rješenje jednačine 
s obzirom na to 
.
Rješenje
. Hajde da nađemo opšte rešenje jednačine: 
,
,
,
. Po stanju 
,
. Zamenimo u opšte rešenje: 
ili 
. Pronađenu vrijednost proizvoljne konstante zamjenjujemo u formulu za opće rješenje: 
. Ovo je posebno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava zadati uvjet.
Jednačina
(8)
Called diferencijalna jednadžba prvog reda koja ne sadrži nezavisnu varijablu
. Zapišimo to u formu 
ili 
. Integrirajmo obje strane posljednje jednačine: 
ili 
- opšte rješenje jednačine (8).
Primjer
. Pronađite opšte rješenje jednačine 
.
Rješenje
. Zapišimo ovu jednačinu u obliku: 
ili 
. Onda 
,
,
,
. dakle, 
- zajednička odluka zadata jednačina.
Jednačina oblika
(9)
integrira korištenjem razdvajanja varijabli. Da bismo to učinili, zapisujemo jednačinu u formu 
, a zatim ga pomoću operacija množenja i dijeljenja dovodimo do takvog oblika da jedan dio uključuje samo funkciju X i diferencijal dx, au drugom dijelu – funkcija at i diferencijal dy. Da biste to učinili, obje strane jednačine treba pomnožiti sa dx i podijeli sa 
. Kao rezultat, dobijamo jednačinu
,
(10)
u kojoj su varijable X I at odvojeno. Integrirajmo obje strane jednačine (10): 
. Rezultirajuća relacija je opći integral jednačine (9).
Primjer 3
. Integrirajte jednačinu 
.
Rješenje
. Transformirajmo jednačinu i odvojimo varijable: 
,
. Hajde da integrišemo: 
,
ili je opšti integral ove jednačine. 
.
Neka je jednačina data u obliku
Ova jednačina se zove diferencijalna jednadžba prvog reda sa odvojivim varijablama u simetričnom obliku.
Da biste razdvojili varijable, morate podijeliti obje strane jednačine sa 
:
.
(12)
Rezultirajuća jednačina se zove odvojena diferencijalna jednadžba . Integrirajmo jednačinu (12):
.
(13)
Relacija (13) je opći integral diferencijalne jednadžbe (11).
Primjer 4 . Integrirati diferencijalnu jednačinu.
Rješenje . Zapišimo jednačinu u formu
i podijelite oba dijela sa 
,
. Rezultirajuća jednačina: 
je jednačina odvojene varijable. Hajde da ga integrišemo:
,
,
,
. Posljednja jednakost je opći integral ove diferencijalne jednadžbe.
Primjer 5
. Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe 
, zadovoljavajući uslov 
.
Rješenje
. S obzirom na to 
, zapisujemo jednačinu u obliku 
ili 
. Odvojimo varijable: 
. Integrirajmo ovu jednačinu: 
,
,
. Rezultirajuća relacija je opći integral ove jednačine. Po stanju 
. Zamenimo ga u opšti integral i nađemo WITH:
,WITH=1. Zatim izraz 
je parcijalno rješenje date diferencijalne jednadžbe, napisano kao parcijalni integral.
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Jednačina
(14)
pozvao linearna diferencijalna jednadžba prvog reda
. Nepoznata funkcija 
i njegov izvod linearno ulaze u ovu jednačinu, a funkcije 
I 
kontinuirano.
Ako 
, zatim jednačina
(15)
pozvao linearno homogeno
. Ako 
, tada se zove jednačina (14). linearno nehomogeno
.
Za pronalaženje rješenja jednadžbe (14) obično se koristi metoda zamjene (Bernoulli) , čija je suština sljedeća.
Rješenje jednačine (14) tražit ćemo u obliku proizvoda dvije funkcije
,
(16)
Gdje 
I 
- neke kontinuirane funkcije. Zamenimo 
i derivat 
u jednačinu (14):
Funkcija v izabraćemo na način da uslov bude zadovoljen 
. Onda 
. Dakle, da bi se pronašlo rješenje jednačine (14), potrebno je riješiti sistem diferencijalnih jednačina
Prva jednačina sistema je linearna homogena jednačina i može se riješiti metodom razdvajanja varijabli: 
,
,
,
,
. Kao funkcija 
možete uzeti jedno od parcijalnih rješenja homogene jednadžbe, tj. at WITH=1:
. Zamenimo drugu jednačinu sistema: 
ili 
.Onda 
. Dakle, opšte rješenje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda ima oblik 
.
Primjer 6
. Riješite jednačinu 
.
Rješenje
. Tražit ćemo rješenje jednačine u obliku 
. Onda 
. Zamenimo u jednačinu:
ili 
. Funkcija v izabrati na takav način da vrijedi jednakost 
. Onda 
. Rešimo prvu od ovih jednačina metodom razdvajanja varijabli: 
,
,
,
,
. Funkcija v Zamenimo drugu jednačinu: 
,
,
,
. Opšte rješenje ove jednačine je 
.
Pitanja za samokontrolu znanja
Šta je diferencijalna jednačina?
Koji je red diferencijalne jednadžbe?
Koja se diferencijalna jednačina naziva diferencijalna jednačina prvog reda?
Kako se piše diferencijalna jednadžba prvog reda u diferencijalnom obliku?
Koje je rješenje diferencijalne jednadžbe?
Šta je integralna kriva?
Koje je opšte rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda?
Šta se naziva parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe?
Kako je Cauchyjev problem formuliran za diferencijalnu jednačinu prvog reda?
Koja je geometrijska interpretacija Cauchyjevog problema?
Kako napisati diferencijalnu jednačinu sa odvojivim varijablama u simetričnom obliku?
Koja se jednačina naziva linearna diferencijalna jednačina prvog reda?
Koja metoda se može koristiti za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda i koja je suština ove metode?
Zadaci za samostalan rad
Riješite diferencijalne jednadžbe s odvojivim varijablama:
A) 
; b) 
;
V) 
; G) 
.
2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda:
A) 
; b) 
; V) 
;
G) 
; d) 
.
Danas je jedna od najvažnijih vještina svakog stručnjaka sposobnost rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi - ni jedan primijenjeni zadatak ne može bez njega, bilo da se radi o proračunu bilo kojeg fizički parametar ili modeliranje promjena kao rezultat usvojenih makroekonomskih politika. Ove jednačine su važne i za brojne druge nauke, kao što su hemija, biologija, medicina itd. U nastavku ćemo dati primjer upotrebe diferencijalnih jednadžbi u ekonomiji, ali prije toga ćemo ukratko govoriti o glavnim vrstama jednadžbi.
Diferencijalne jednadžbe - najjednostavniji tipovi
Mudraci su rekli da su zakoni našeg univerzuma napisani matematičkim jezikom. Naravno, u algebri postoji mnogo primjera raznih jednačina, ali to su uglavnom edukativni primjeri koji nisu primjenjivi u praksi. Zaista zanimljiva matematika počinje kada želimo da opišemo procese koji se dešavaju pravi zivot. Ali kako možemo odražavati faktor vremena koji upravlja stvarnim procesima – inflacijom, proizvodnjom ili demografskim pokazateljima?
Prisjetimo se jedne važne definicije iz kursa matematike koja se odnosi na derivaciju funkcije. Izvod je brzina promjene funkcije, stoga nam može pomoći da odrazimo faktor vremena u jednačini.
Odnosno, kreiramo jednačinu sa funkcijom koja opisuje indikator koji nas zanima i dodajemo izvod ove funkcije u jednadžbu. Ovo je diferencijalna jednadžba. Pređimo sada na one najjednostavnije vrste diferencijalnih jednadžbi za lutke.
Najjednostavnija diferencijalna jednadžba ima oblik $y'(x)=f(x)$, gdje je $f(x)$ određena funkcija, a $y'(x)$ je izvod ili stopa promjene željenog funkcija. Može se riješiti običnom integracijom: $$y(x)=\int f(x)dx.$$
Sekunda najjednostavniji tip naziva se diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama. Takva jednadžba izgleda ovako: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Može se vidjeti da je zavisna varijabla $y$ također dio konstruirane funkcije. Jednačina se može riješiti vrlo jednostavno - potrebno je "razdvojiti varijable", odnosno dovesti je u oblik $y'(x)/g(y)=f(x)$ ili $dy/g(y) =f(x)dx$. Ostaje integrirati obje strane $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ovo je rješenje diferencijalne jednadžbe odvojivog tipa.
Posljednji jednostavan tip je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Ima oblik $y’+p(x)y=q(x)$. Ovdje su $p(x)$ i $q(x)$ neke funkcije, a $y=y(x)$ je tražena funkcija. Za rješavanje takve jednadžbe koriste se posebne metode (Lagrangeova metoda varijacije proizvoljne konstante, Bernoullijeva metoda zamjene).
Ima ih još složene vrste jednačine - jednačine druge, treće i općenito slučajnim redosledom, homogena i nehomogene jednačine, kao i sistemi diferencijalnih jednačina. Za njihovo rješavanje potrebna je preliminarna priprema i iskustvo u rješavanju jednostavnijih problema.
Takozvane parcijalne diferencijalne jednadžbe su od velikog značaja za fiziku i, neočekivano, finansije. To znači da željena funkcija ovisi o nekoliko varijabli u isto vrijeme. Na primjer, Black-Scholesova jednadžba iz oblasti finansijskog inženjeringa opisuje vrijednost opcije (tip vrijednosne papire) u zavisnosti od njegove isplativosti, veličine plaćanja, kao i datuma početka i završetka plaćanja. Rješavanje parcijalne diferencijalne jednadžbe je prilično složeno i obično zahtijeva korištenje posebnih programa kao što su Matlab ili Maple.
Primjer primjene diferencijalne jednadžbe u ekonomiji
Dajemo, kao što smo obećali, jednostavan primjer rješavanja diferencijalne jednadžbe. Prvo, postavimo zadatak.
Za neke kompanije, funkcija graničnog prihoda od prodaje svojih proizvoda ima oblik $MR=10-0,2q$. Ovdje je $MR$ granični prihod firme, a $q$ je obim proizvodnje. Moramo pronaći ukupan prihod.
Kao što vidite iz problema, ovo je primijenjen primjer iz mikroekonomije. Mnoge firme i preduzeća se stalno suočavaju sa ovakvim proračunima u toku svojih aktivnosti.
Počnimo s rješenjem. Kao što je poznato iz mikroekonomije, granični prihod je derivat ukupnog prihoda, a prihod je nula kod nulte prodaje.
Sa matematičke tačke gledišta, problem je sveden na rješavanje diferencijalne jednadžbe $R’=10-0.2q$ pod uslovom $R(0)=0$.
Integrirajmo jednačinu uzimajući antiderivativna funkcija iz oba dela dobijamo opšte rešenje: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$
Da biste pronašli konstantu $C$, prisjetite se uvjeta $R(0)=0$. Zamijenimo: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Dakle, C=0 i naša ukupna funkcija prihoda ima oblik $R(q)=10q-0.1q^2$. Problem je riješen.
Ostali primjeri različitih vrsta daljinskog upravljača prikupljeni su na stranici:
Instrukcije
Ako je jednadžba predstavljena u obliku: dy/dx = q(x)/n(y), klasificirajte ih kao diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Mogu se riješiti tako da se uvjet zapiše u diferencijalima na sljedeći način: n(y)dy = q(x)dx. Zatim integrirajte obje strane. U nekim slučajevima rješenje se zapisuje u obliku integrala preuzetih iz poznatih funkcija. Na primjer, u slučaju dy/dx = x/y, dobijamo q(x) = x, n(y) = y. Napišite ga u obliku ydy = xdx i integrirajte. Trebalo bi da bude y^2 = x^2 + c.
Do linearnog jednačine povežite jednačine sa "prvim". Nepoznata funkcija sa svojim derivatima ulazi u takvu jednačinu samo do prvog stepena. Linearni ima oblik dy/dx + f(x) = j(x), gdje su f(x) i g(x) funkcije koje zavise od x. Rješenje je napisano korištenjem integrala preuzetih iz poznatih funkcija.
Imajte na umu da su mnoge diferencijalne jednačine jednadžbe drugog reda (koje sadrže druge izvode, na primjer, jednadžba jednostavnog harmonijskog kretanja je napisana u opštem obliku: md 2x/dt 2 = –kx). Takve jednačine imaju, u , posebna rješenja. Jednadžba jednostavnog harmonijskog kretanja primjer je prilično važne: linearne diferencijalne jednadžbe koje imaju konstantni koeficijent.
Ako u uslovima zadatka postoji samo jedan linearna jednačina, što znači da ste dobili dodatne uslove kroz koje možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.
Izvori:
- kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom
Zadaci diferencijalnog i integralnog računa važni su elementi za konsolidaciju teorije matematička analiza, grana visoke matematike koja se studira na univerzitetima. Diferencijal jednačina rješava se metodom integracije.
Instrukcije
Diferencijalni račun istražuje svojstva . I obrnuto, integracija funkcije omogućava date osobine, tj. izvode ili diferencijale funkcije da bi je sam pronašao. Ovo je rješenje diferencijalne jednadžbe.
Sve je odnos između nepoznate količine i poznatih podataka. U slučaju diferencijalne jednadžbe ulogu nepoznate ima funkcija, a ulogu poznatih veličina njeni derivati. Osim toga, relacija može sadržavati nezavisnu varijablu: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, gdje je x nepoznata varijabla, y (x) je funkcija koju treba odrediti, red jednadžbe je maksimalni red izvoda (n).
Takva jednačina se naziva obična diferencijalna jednačina. Ako odnos sadrži nekoliko nezavisnih varijabli i parcijalnih izvoda (diferencijala) funkcije u odnosu na ove varijable, tada se jednačina naziva parcijalna diferencijalna jednadžba i ima oblik: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , gdje je z(x, y) tražena funkcija.
Dakle, da biste naučili rješavati diferencijalne jednadžbe, morate znati pronaći antiderivate, tj. riješiti problem obrnuto od diferencijacije. Na primjer: Riješite jednačinu prvog reda y’ = -y/x.
Rješenje Zamijenite y’ sa dy/dx: dy/dx = -y/x.
Svesti jednadžbu na oblik pogodan za integraciju. Da biste to učinili, pomnožite obje strane sa dx i podijelite sa y:dy/y = -dx/x.
Integriraj: ∫dy/y = - ∫dx/x + Sln |y| = - ln |x| + C.
Ovo rješenje se naziva opća diferencijalna jednačina. C je konstanta čiji skup vrijednosti određuje skup rješenja jednadžbe. Za bilo koju specifičnu vrijednost C, rješenje će biti jedinstveno. Ovo rješenje je parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe.
Rješavanje većine jednačina višeg reda stepeni nema jasnu formulu za pronalaženje kvadratnih korijena jednačine. Međutim, postoji nekoliko metoda redukcije koje vam omogućavaju da transformišete jednadžbu višeg stepena u vizuelniji oblik.
Instrukcije
Najčešća metoda za rješavanje jednačina višeg stepena je ekspanzija. Ovaj pristup je kombinacija odabira cjelobrojnih korijena, djelitelja slobodnog člana i naknadne podjele općeg polinoma u oblik (x – x0).
Na primjer, riješite jednačinu x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rješenje: Slobodni član ovog polinoma je -3, stoga njegovi djelitelji cijelih brojeva mogu biti brojevi ±1 i ±3. Zamjenjujte ih jednu po jednu u jednadžbu i saznajte da li ste dobili identičnost: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.
Drugi korijen x = -1. Podijelite s izrazom (x + 1). Zapišite rezultirajuću jednačinu (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Stepen je sveden na drugi, dakle, jednačina može imati još dva korijena. Da biste ih pronašli, riješite kvadratnu jednačinu: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11
Diskriminant je negativna vrijednost, što znači da jednačina više nema pravi korijen. Naći kompleksne korijene jednačine: x = (-2 + i·√11)/2 i x = (-2 – i·√11)/2.
Druga metoda za rješavanje jednačine višeg stepena je promjena varijabli da bi se učinila kvadratnom. Ovaj pristup se koristi kada su sve potencije jednačine parne, na primjer: x^4 – 13 x² + 36 = 0
Sada pronađite korijene originalne jednačine: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.
Savjet 10: Kako odrediti redoks jednačine
Hemijska reakcija je proces transformacije supstanci koji se javlja s promjenom njihovog sastava. One tvari koje reagiraju nazivaju se početne tvari, a one koje nastaju kao rezultat ovog procesa nazivaju se produkti. Dešava se da tijekom kemijske reakcije elementi koji čine polazne tvari mijenjaju svoje oksidacijsko stanje. Odnosno, mogu prihvatiti tuđe elektrone i dati svoje. U oba slučaja njihov naboj se mijenja. Takve reakcije se nazivaju redoks reakcije.
Diferencijalna jednadžba (DE)
- ovo je jednačina,
gdje su nezavisne varijable, y je funkcija i parcijalni izvod.
Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima samo jednu nezavisnu varijablu, .
Parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima dvije ili više nezavisnih varijabli.
Riječi “obični” i “parcijalni derivati” mogu se izostaviti ako je jasno koja se jednačina razmatra. U nastavku se razmatraju obične diferencijalne jednadžbe.
Red diferencijalne jednadžbe je red najviše derivacije.
Evo primjera jednačine prvog reda:
Evo primjera jednadžbe četvrtog reda:
Ponekad se diferencijalna jednadžba prvog reda piše u terminima diferencijala:
U ovom slučaju, varijable x i y su jednake. To jest, nezavisna varijabla može biti ili x ili y. U prvom slučaju, y je funkcija od x. U drugom slučaju, x je funkcija od y. Ako je potrebno, ovu jednačinu možemo svesti na oblik koji eksplicitno uključuje izvod y′.
Podijelimo ovu jednačinu sa dx dobijamo:
.
Budući da i , Iz toga slijedi
.
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Derivati elementarnih funkcija se izražavaju kroz elementarne funkcije. Integrali elementarnih funkcija često se ne izražavaju u terminima elementarnih funkcija. Sa diferencijalnim jednadžbama situacija je još gora. Kao rezultat rješenja možete dobiti:
- eksplicitna zavisnost funkcije od varijable;
Rješavanje diferencijalne jednadžbe je funkcija y = u (x), koji je definiran, n puta diferenciran, i .
- implicitna zavisnost u obliku jednačine tipa Φ (x, y) = 0 ili sistemi jednačina;
Integral diferencijalne jednadžbe je rješenje diferencijalne jednadžbe koja ima implicitni oblik.
- zavisnost izražena kroz elementarne funkcije i integrale od njih;
Rješavanje diferencijalne jednadžbe u kvadraturama - ovo je pronalaženje rješenja u obliku kombinacije elementarnih funkcija i njihovih integrala.
- rješenje se ne može izraziti kroz elementarne funkcije.
Kako se rješavanje diferencijalnih jednadžbi svodi na izračunavanje integrala, rješenje uključuje skup konstanti C 1, C 2, C 3, ... C n. Broj konstanti je jednak redu jednačine. Parcijalni integral diferencijalne jednadžbe je opšti integral pri date vrijednosti konstante C 1, C 2, C 3, ..., C n.
Reference:
V.V. Stepanov, Kurs diferencijalnih jednačina, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.