Neka sistem linearnog algebarske jednačine, koji treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica xi koje pretvaraju svaku jednačinu sistema u jednakost).
Znamo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi može:
1) Nemati rješenja (biti non-joint).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imati jedina odluka.
Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda nisu prikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i univerzalni alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearne jednačine , koji u svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! Sam algoritam metode radi isto u sva tri slučaja. Ako je za Cramerovu i matričnu metodu potrebno poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno samo poznavanje aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom čak i učenicima osnovne škole.
Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovom metodu:
1) With troki matrice Može preurediti na nekim mjestima.
2) ako su se proporcionalne pojavile (ili postoje) u matrici (kao poseban slučaj– identične) linije, onda slijedi izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog.
3) ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati.
4) red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.
5) na red matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.
U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina.
Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:
- “Direktan potez” - koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi u oblik “trouglastog” koraka: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje). Na primjer, na ovu vrstu:
Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:
1) Razmotrimo prvu jednačinu sistema linearnih algebarskih jednačina i koeficijent za x 1 je jednak K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednačinu (koeficijente nepoznatih, uključujući slobodne članove) podijelimo s koeficijentom nepoznatog x 1, koji se nalazi u svakoj jednadžbi, i pomnožimo sa K. Nakon toga, prvu oduzmemo od druga jednačina (koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova). Za x 1 u drugoj jednačini dobijamo koeficijent 0. Od treće transformisane jednačine oduzimamo prvu jednačinu sve dok sve jednačine osim prve, za nepoznato x 1, ne budu imale koeficijent 0.
2) Pređimo na sljedeću jednačinu. Neka je ovo druga jednačina i koeficijent za x 2 jednak M. Nastavljamo sa svim „nižim“ jednadžbama kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 će biti nule u svim jednačinama.
3) Prijeđite na sljedeću jednačinu i tako dalje dok ne ostane posljednja nepoznanica i transformirani slobodni član.
- „Obrnuti potez” Gaussove metode je da se dobije rešenje sistema linearnih algebarskih jednačina (pomeranje „odozdo prema gore”). Iz posljednje “niže” jednačine dobijamo jedno prvo rješenje - nepoznato x n. Da bismo to uradili, rešavamo elementarnu jednačinu A * x n = B. U gore datom primeru, x 3 = 4. Pronađenu vrednost zamenjujemo u „gornju“ sledeću jednačinu i rešavamo je u odnosu na sledeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tako sve dok ne nađemo sve nepoznate.
Primjer.
Rešimo sistem linearnih jednačina Gaussovom metodom, kako savetuju neki autori:
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Gledamo gornju lijevu “stepenicu”. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradimo ovo:
1 korak
. Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.
Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: pomnožiti prvi red sa –1 (promijeniti njegov predznak).
Korak 2 . Prvi red, pomnožen sa 5, dodat je drugom redu, a prvi red, pomnožen sa 3, dodat je trećem redu.
Korak 3 . Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za lepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.
Korak 4 . Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa 2.
Korak 5 . Treći red je podijeljen sa 3.
Znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. To jest, ako imamo nešto poput (0 0 11 |23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa veliki udio vjerovatnoće, može se tvrditi da je učinjena greška tokom elementarnih transformacija.
Učinimo obrnuto; u dizajnu primjera, sam sistem se često ne prepisuje, već se jednačine „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. IN u ovom primjeru ispostavilo se da je poklon:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dakle x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Rešimo isti sistem koristeći predloženi algoritam. Dobijamo
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Drugu jednačinu podijelimo sa 5, a treću sa 3. Dobijamo:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Pomnoživši drugu i treću jednačinu sa 4, dobijamo:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Oduzmimo prvu jednačinu od druge i treće jednačine, imamo:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Podijelite treću jednačinu sa 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Pomnožite treću jednačinu sa 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Oduzimanjem druge od treće jednačine dobijamo „stepenastu“ proširenu matricu:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Dakle, pošto se greška nakupila tokom izračunavanja, dobijamo x 3 = 0,96 ili približno 1.
x 2 = 3 i x 1 = –1.
Ovakvim rješavanjem nikada se nećete zbuniti u proračunima i, uprkos greškama u proračunu, dobit ćete rezultat.
Ova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi je laka za programiranje i ne uzima u obzir specifične karakteristike koeficijenti za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora nositi sa necjelobrojnim koeficijentima.
Želim ti uspjeh! Vidimo se na času! Tutor Dmitry Aystrakhanov.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak “Kralj matematike”. A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, novac ne dobijaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret je bio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.
Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku.
Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:
1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti non-joint).
Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! On ovu lekciju Ponovo ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sistema), članak je posvećen situacijama tačaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.
Vratimo se na najjednostavniji sistem iz razreda Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješiti ga Gaussovom metodom.
Prvi korak je zapisivanje proširena sistemska matrica:
. Mislim da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.
Referenca :Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru matrica sistema: . Proširena sistemska matrica– ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju: . Radi kratkoće, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom.
Nakon što je proširena sistemska matrica napisana, potrebno je izvršiti neke radnje s njom, koje se još nazivaju elementarne transformacije.
Postoje sljedeće elementarne transformacije:
1) Strings matrice Može preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red: 
2) Ako postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda biste trebali izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu 
. U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: 
.
3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi također trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.
4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: 
. Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.
5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Razmotrite našu matricu od praktični primjer: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa –2: 
, And drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa –2: 
. Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa –2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.
U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko: 
Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:
“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: 
»
“Prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga pomnožim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: 
»
“Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: 
»
“I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: 
»
Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji.
Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina
! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane „sama po sebi“. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni u kom slučaju ne smijete ništa preuređivati unutar matrica!
Vratimo se našem sistemu. Praktično je rasparčano.
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. I opet: zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.
(2) Drugi red podijelite sa 3.
Svrha elementarnih transformacija –
svesti matricu na postupni oblik: 
. U obrascu zadatka to je jasno navedeno jednostavnom olovkom"stepenice", a zaokružite i brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam termin „stepeni pogled“ nije sasvim teorijski, u naučnom i edukativna literaturačesto se zove trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:
Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode.
U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .
Hajde da razmotrimo prvu jednačinu sistema i da je već zamenimo poznata vrijednost"Y":
Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.
Primjer 1
Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom: 
Napišimo proširenu matricu sistema: 
Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja: 
I ponavljam, naš cilj je da dovedemo matricu u postupni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?
Prvo gledamo lijevo gornji broj: 
Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tamo obično stavlja jedan. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red: 
Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.
Jedinica lijevo gornji ugao organizovano. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima: 
Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:
Rezultat pišemo u drugom redu: 
Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3:
Rezultat pišemo u trećem redu:
U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku: 
Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „upisivanje“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:
I već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih proračuna.
U ovom primjeru to je lako učiniti; drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer šta manji broj, one jednostavnije rešenje:
On završna faza elementarne transformacije koje trebate da dobijete još jednu nulu ovdje: 
Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2:
Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i izvršite sabiranje.
Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentni sistem linearnih jednačina: 
Cool.
Sada na scenu stupa obrnuto od Gaussove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore.
U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat:
Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle:
I na kraju, prva jednadžba: . "Igrek" i "zet" su poznati, samo su male stvari:
Odgovori: 
Kao što je već nekoliko puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to je lako i brzo.
Primjer 2
Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.
Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se ne poklapa sa mojim procesom odlučivanja, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!
Primjer 3
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Gledamo gornju lijevu “stepenicu”. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.
Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).
(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodaje se drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodaje se trećem redu.
(3) Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.
(4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2.
(5) Treći red je podijeljen sa 3.
Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (ređe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput , ispod, i, shodno tome, 
, onda sa velikim stepenom verovatnoće možemo reći da je učinjena greška tokom elementarnih transformacija.
Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti hod, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:
Odgovori: 
.
Primjer 4
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja.
U posljednjem dijelu ćemo pogledati neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u sistemskim jednačinama, na primjer: 
Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam pričao o ovome na času. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: 
Usput, to je lijepo lak primjer, budući da već postoji jedna nula u prvoj koloni, a potrebno je izvesti manje elementarnih konverzija.
Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li tamo biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: 
.
Ovdje na gornjoj lijevoj “stepenici” imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - a drugi je dva i šest. A dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Na ovaj način ćemo dobiti tražene nule u prvoj koloni.
Ili još jedan konvencionalni primjer: 
. Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “korak” jer je 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećem redu dodati drugi red, pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.
Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti rješavati sisteme koristeći druge metode (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - oni imaju vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, morate se dobro snaći u njoj i riješiti barem 5-10 sistema. Stoga u početku može doći do zabune i grešaka u proračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.
Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve koji žele više složen primjer za samostalno rješenje:
Primjer 5
Riješite Gaussovom metodom sistem od četiri linearne jednadžbe sa četiri nepoznate. 
Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljno proučio ovu stranicu razumjeti algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi, sve je isto - samo ima više akcija.
Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa općim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gausove metode.
Želim ti uspjeh!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Rješenje
:
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik.
Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1. Pažnja! Ovdje ćete možda biti u iskušenju da oduzmete prvi od trećeg reda; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od greške se uvelike povećava. Samo ga savijte!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka, da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podeljen sa 14.
Revers:
Odgovori: 
.
Primjer 4: Rješenje
:
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Izvršene konverzije:
(1) Drugi red je dodat prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.
Sa drugim “korak” sve postaje gore , “kandidati” za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
(4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 4. Drugi red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –1.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen na mjesto trećeg reda.
(5) Treći red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –5.
Revers:
Ovdje možete besplatno riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda online velike veličine u kompleksnim brojevima sa vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator može online rješavati i uobičajene definitivne i neodređene sisteme linearnih jednačina koristeći Gaussovu metodu, koja ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti zavisnost nekih varijabli preko drugih, slobodnih. Također možete provjeriti konzistentnost sistema jednačina na mreži koristeći Gaussovo rješenje.
O metodi
Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina online metoda Gauss se izvode sljedeći koraci.
- Pišemo proširenu matricu.
- Zapravo, rješenje je podijeljeno na korake naprijed i nazad Gaussove metode. Direktan pristup Gaussove metode je redukcija matrice na stepenasti oblik. Obrnuto Gaussove metode je redukcija matrice na poseban stepenasti oblik. Ali u praksi je zgodnije odmah nulirati ono što se nalazi i iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
- Važno je napomenuti da prilikom rješavanja Gaussovom metodom, prisustvo u matrici najmanje jednog nultog reda sa NOT nula desna strana(kolona slobodnih članova) ukazuje na nekompatibilnost sistema. Rješenje linearni sistem u ovom slučaju ne postoji.
Da biste najbolje razumjeli kako Gaussov algoritam funkcionira na mreži, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje“ i potražite njegovo rješenje na internetu.
U ovom članku metoda se razmatra kao metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućava vam da upišete algoritam rješenja opšti pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode možete raditi i sa onima koje imaju beskonačan broj rješenja. Ili ga uopšte nemaju.
Šta znači riješiti Gaussovom metodom?
Prvo, treba da zapišemo naš sistem jednačina u To izgleda ovako. Uzmi sistem:
Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a slobodni pojmovi su upisani u posebnu kolonu sa desne strane. Kolona sa slobodnim terminima je odvojena radi pogodnosti.Matrica koja uključuje ovu kolonu naziva se proširena.
Zatim se glavna matrica sa koeficijentima mora svesti na gornji trouglasti oblik. Ovo je glavna poenta rješavanja sistema korištenjem Gausove metode. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati tako da njen donji lijevi dio sadrži samo nule:
Zatim, ako novu matricu ponovo napišete kao sistem jednačina, primijetit ćete da posljednji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednačinu, pronalazi se drugi korijen i tako dalje.
Ovo je opis rješenja Gaussovom metodom u većini generalni nacrt. Šta se dešava ako sistem odjednom nema rešenje? Ili ih ima beskonačno mnogo? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente koji se koriste u rješavanju Gausove metode.
Matrice, njihova svojstva
Nema skriveno značenje nije u matrici. Ovo je jednostavno zgodan način za snimanje podataka za naredne operacije s njim. Čak ih se i školarci ne moraju bojati.
Matrica je uvijek pravokutna, jer je pogodnija. Čak i kod Gaussove metode, gde se sve svodi na konstruisanje matrice trouglastog oblika, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mestu gde nema brojeva. Nule možda nisu napisane, ali se podrazumijevaju.
Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redova (m), "dužina" je broj kolona (n). Zatim veličina matrice A (za njihovo označavanje obično se koriste velika slova) pisma) će biti označeno kao A m×n. Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. U skladu s tim, bilo koji element matrice A može se označiti njegovim brojevima reda i stupaca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.
B nije glavna tačka odluke. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednadžbama, ali će notacija biti mnogo glomaznija i bit će mnogo lakše zabuniti se u njoj.
Odrednica
Matrica takođe ima determinantu. Ovo je veoma važna karakteristika. Nema potrebe da sada saznate njegovo značenje; možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom plus, s nagibom ulijevo - sa znakom minus.
Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumično označiti k kolona i k redova u matrici. Elementi na sjecištu odabranih stupaca i redova formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, naziva se bazni minor originalne pravokutne matrice.
Prije nego počnete rješavati sistem jednadžbi Gaussovom metodom, ne škodi izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, onda možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja ili nijedno. U ovako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.
Klasifikacija sistema
Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njegove determinante koja nije nula (ako se sjetimo o osnovni mol, možemo reći da je rang matrice red baznog malog).
Na osnovu situacije sa rangom, SLAE se može podijeliti na:
- Joint. U U zajedničkim sistemima, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom proširene matrice (sa kolonom slobodnih članova). Takvi sistemi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, pa se dodatno spojni sistemi dijele na:
- - siguran- imati jedinstveno rješenje. U određenim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, što je ista stvar) su jednaki;
- - nedefinirano - sa beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica u takvim sistemima je manji od broja nepoznatih.
- Nekompatibilno. U U takvim sistemima, rangovi glavne i proširene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rješenja.
Gaussova metoda je dobra jer tokom rješavanja omogućava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izračunavanja determinanti velikih matrica), ili rješenje u opštem obliku za sistem sa beskonačnim brojem rješenja.
Elementarne transformacije
Prije nego što pređete direktno na rješavanje sistema, možete ga učiniti manje glomaznim i pogodnijim za proračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od datih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor bio SLAE. Evo liste ovih transformacija:
- Preuređenje linija. Očigledno, ako promijenite redoslijed jednačina u zapisu sistema, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Shodno tome, redovi u matrici ovog sistema takođe se mogu zameniti, ne zaboravljajući, naravno, kolonu slobodnih termina.
- Množenje svih elemenata niza određenim koeficijentom. Vrlo korisno! Može se koristiti za smanjenje velikih brojeva u matrici ili uklanjanje nula. Mnoge odluke, kao i obično, neće se promijeniti, ali daljnje operacije će postati praktičnije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
- Uklanjanje redova s proporcionalnim faktorima. Ovo djelimično proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili više reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, onda kada se jedan od redova pomnoži/podijeli s koeficijentom proporcionalnosti, dobiju se dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a dodatni se mogu ukloniti, ostavljajući samo jedan.
- Uklanjanje nulte linije. Ako se tokom transformacije negdje dobije red u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, nula, onda se takav red može nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
- Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovarajućim kolonama), pomnoženo određenim koeficijentom. Najneočiglednija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.
Dodavanje niza pomnoženog faktorom
Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Recimo da morate prvo dodati drugom, pomnoženo sa koeficijentom "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Zatim se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Treba napomenuti da se koeficijent množenja može odabrati na način da, kao rezultat sabiranja dva reda, jedan od elemenata novog reda bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednačinu u sistemu u kojem će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednačinu koja će sadržavati dvije nepoznate manje. A ako svaki put okrenete jedan koeficijent svih redova koji su ispod originalnog na nulu, onda se možete, poput stepenica, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. Ovo se zove rješavanje sistema korištenjem Gausove metode.
Uglavnom
Neka postoji sistem. Ima m jednačina i n nepoznatih korijena. Možete to napisati na sljedeći način:
Glavna matrica je sastavljena od sistemskih koeficijenata. Stupac slobodnih pojmova se dodaje proširenoj matrici i, radi praktičnosti, razdvaja linijom.
- prvi red matrice se množi sa koeficijentom k = (-a 21 /a 11);
- prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
- umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
- sada prvi koeficijent u nova sekunda linija je 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i treći red su uključeni. Shodno tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31. Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima nula. Sada morate zaboraviti na red broj jedan i izvesti isti algoritam, počevši od reda dva:
- koeficijent k = (-a 32 /a 22);
- drugi modifikovani red se dodaje u „trenutni“ red;
- rezultat sabiranja se zamjenjuje u treći, četvrti i tako dalje red, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
- u redovima matrice prva dva elementa su već jednaka nuli.
Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da u zadnji put algoritam je izveden samo za nižu jednačinu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. U donjem redu nalazi se jednakost a mn × x n = b m. Koeficijent i slobodni član su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem redu nalazi se novi korijen, a kada ste dosegnuli "vrh" sistema, možete pronaći mnoga rješenja. To će biti jedini.
Kad nema rješenja
Ako su u jednom od redova matrice svi elementi osim slobodnog člana jednaki nuli, tada jednačina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A pošto je takva jednačina uključena u sistem, onda je skup rješenja cijelog sistema prazan, odnosno degeneriran.
Kada postoji beskonačan broj rješenja
Može se desiti da u datoj trokutastoj matrici nema redova sa jednim elementom koeficijenta jednačine i jednim slobodnim članom. Postoje samo linije koje bi, kada se ponovo napišu, izgledale kao jednadžba sa dvije ili više varijabli. To znači da sistem ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku generalnog rješenja. Kako uraditi?
Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji stoje “na rubu” redova u matrici koraka. Ostalo je besplatno. U opštem rješenju osnovne varijable se zapisuju kroz slobodne.
Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jednačina. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jednačinu sa jednom osnovnom promenljivom. Zatim se u preostalim jednačinama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable zamjenjuje dobijeni izraz. Ako je rezultat opet izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, ponovo se izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne napiše kao izraz sa slobodnim varijablama. To je ono što je zajednička odluka SLAU.
Možete pronaći i osnovno rješenje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačan broj konkretnih rješenja koja se mogu dati.
Rješenje sa konkretnim primjerima
Ovdje je sistem jednačina.
Radi praktičnosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu
Poznato je da kada se riješi Gaussovom metodom, jednačina koja odgovara prvom redu ostaje nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To znači da će u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi red na mjesto prvog.
drugi red: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
treći red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sada, da se ne biste zbunili, morate zapisati matricu sa međurezultatima transformacija.
Očigledno je da se takva matrica može učiniti pogodnijom za percepciju korištenjem određenih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda množenjem svakog elementa sa "-1".
Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Zatim možete skratiti niz za ovaj broj, množeći svaki element sa "-1/3" (minus - u isto vrijeme, da uklonite negativne vrijednosti).
Izgleda mnogo lepše. Sada moramo ostaviti prvu liniju na miru i raditi s drugom i trećom. Zadatak je da se treći red doda drugi red, pomnožen sa takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ako se tokom neke transformacije odgovor ne pokaže kao ceo broj, preporučuje se da se zadrži tačnost proračuna da se ostavi to je „kao što jeste“, u obliku običan razlomak, pa tek onda, kada dobijete odgovore, odlučite da li ćete zaokružiti i pretvoriti u drugi oblik snimanja)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kao što vidite, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne daljnje transformacije sistema primjenom Gausove metode. Ono što ovdje možete učiniti je da uklonite ukupni koeficijent "-1/7" iz trećeg reda.
Sada je sve prelepo. Sve što je preostalo je ponovo napisati matricu u obliku sistema jednačina i izračunati korijene
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritam pomoću kojeg će se sada pronaći korijeni naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jednačina (3) sadrži z vrijednost:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
I prva jednadžba nam omogućava da pronađemo x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rješenje. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Primjer nesigurnog sistema
Analizirana je varijanta rješavanja određenog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sistem neizvjestan, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Sam izgled sistema je već alarmantan, jer je broj nepoznatih n = 5, a rang sistemske matrice je već tačno manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najveći red determinante-kvadrata je 4. To znači da postoji beskonačan broj rješenja i potrebno je tražiti njegov opći izgled. Gaussova metoda za linearne jednačine vam to omogućava.
Prvo, kao i obično, sastavlja se proširena matrica.
Drugi red: koeficijent k = (-a 21 /a 11) = -3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ga ostaviti kako jeste. Četvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Množenjem elemenata prvog reda sa svakim od njihovih koeficijenata redom i dodavanjem traženim redovima, dobijamo matricu sledeći tip:
Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red se sastoje od elemenata proporcionalnih jedan drugom. Drugi i četvrti su uglavnom identični, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a preostali pomnožiti sa koeficijentom “-1” i dobiti red broj 3. I opet, od dva identična reda, ostaviti jedan.
Rezultat je ovakva matrica. Dok sistem još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - one koje stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, te slobodne - sve ostale.
U drugoj jednačini postoji samo jedna osnovna varijabla - x 2. To znači da se odatle može izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.
Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jednačinu.
Rezultat je jednačina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1 . Uradimo s njim isto kao i sa x 2.
Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne varijable, sada možemo napisati odgovor u opštem obliku.
Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sistema. U takvim slučajevima, nule se obično biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:
16, 23, 0, 0, 0.
Primjer nekooperativnog sistema
Najbrže je rješavanje nekompatibilnih sistema jednačina Gaussovom metodom. Završava se odmah čim se u jednoj od faza dobije jednačina koja nema rješenja. Odnosno, faza izračunavanja korijena, koja je prilično duga i zamorna, je eliminirana. Razmatra se sledeći sistem:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Kao i obično, matrica se sastavlja:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
I svodi se na postupni oblik:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Nakon prve transformacije, treći red sadrži jednačinu oblika
bez rješenja. Shodno tome, sistem je nekonzistentan, a odgovor će biti prazan skup.
Prednosti i nedostaci metode
Ako odaberete metodu za rješavanje SLAE-a na papiru olovkom, onda metoda o kojoj se govori u ovom članku izgleda najatraktivnije. Mnogo je teže zabuniti se u elementarnim transformacijama nego ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, onda se ispostavlja da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i tako dalje. A ako ste sigurni da će mašina sama izračunati ove vrijednosti i da neće pogriješiti, preporučljivije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava se računanjem determinanti i inverzne matrice.
Aplikacija
Budući da je Gaussovo rješenje algoritam, a matrica je zapravo dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič „za lutke“, treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrica (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponovane matrice i, što je najvažnije, izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, moguće je mnogo brže odrediti rang matrice i samim tim utvrditi njenu kompatibilnost ili nekompatibilnost.
Dva sistema linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalentnima ako se skup svih njihovih rješenja poklapa.
Elementarne transformacije sistema jednačina su:
- Brisanje trivijalnih jednačina iz sistema, tj. oni za koje su svi koeficijenti jednaki nuli;
- Množenje bilo koje jednačine brojem koji nije nula;
- Dodavanje bilo kojoj i-toj jednačini bilo koje j-te jednačine pomnožene bilo kojim brojem.
Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dozvoljena, ali je ceo sistem jednačina dozvoljen.
Teorema. Elementarne transformacije transformišu sistem jednačina u ekvivalentan.
Smisao Gaussove metode je transformacija originalnog sistema jednačina i dobijanje ekvivalentnog razriješenog ili ekvivalentnog nekonzistentnog sistema.
Dakle, Gaussova metoda se sastoji od sljedećih koraka:
- Pogledajmo prvu jednačinu. Odaberimo prvi koeficijent različit od nule i s njim podijelimo cijelu jednačinu. Dobijamo jednačinu u koju neka varijabla x i ulazi sa koeficijentom 1;
- Oduzmimo ovu jednačinu od svih ostalih, množimo je sa takvim brojevima da se koeficijenti varijable x i u preostalim jednačinama nule. Dobijamo sistem riješen u odnosu na varijablu x i i ekvivalentan originalnom;
- Ako se pojave trivijalne jednadžbe (rijetko, ali se dešava; na primjer, 0 = 0), precrtavamo ih iz sistema. Kao rezultat toga, jedna je jednačina manje;
- Prethodne korake ponavljamo ne više od n puta, gdje je n broj jednačina u sistemu. Svaki put biramo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave nekonzistentne jednačine (na primjer, 0 = 8), sistem je nekonzistentan.
Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobićemo ili riješen sistem (moguće sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dozvoljeni sistemi spadaju u dva slučaja:
- Broj varijabli jednak je broju jednačina. To znači da je sistem definisan;
- Broj varijabli više broja jednačine. Sakupljamo sve slobodne varijable na desnoj strani - dobijamo formule za dozvoljene varijable. Ove formule su zapisane u odgovoru.
To je sve! Sistem linearnih jednačina riješen! Ovo je prilično jednostavan algoritam i da biste ga savladali ne morate kontaktirati višeg nastavnika matematike. Pogledajmo primjer:
Zadatak. Riješite sistem jednačina:
Opis koraka:
- Oduzmite prvu jednačinu od druge i treće - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
- Drugu jednačinu pomnožimo sa (−1), a treću podelimo sa (−3) - dobićemo dve jednačine u koje promenljiva x 2 ulazi sa koeficijentom 1;
- Prvoj dodajemo drugu jednačinu, a trećoj oduzimamo. Dobijamo dozvoljenu varijablu x 2 ;
- Konačno, oduzimamo treću jednačinu od prve - dobijamo dozvoljenu varijablu x 3;
- Dobili smo odobreni sistem, zapišite odgovor.
Opšte rješenje za simultani sistem linearnih jednačina je novi sistem, ekvivalentna originalnoj, u kojoj su sve dozvoljene varijable izražene u terminima slobodnih.
Kada bi moglo biti potrebno opšte rješenje? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jednačina ima). Međutim, razlozi zašto se proces završava u nekom koraku l< k , может быть две:
- Nakon l. koraka dobili smo sistem koji ne sadrži jednačinu sa brojem (l + 1). U stvari, ovo je dobro, jer... autorizovani sistem se i dalje dobija - čak i nekoliko koraka ranije.
- Nakon l-tog koraka dobili smo jednačinu u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent različit od nule. Ovo je kontradiktorna jednačina, pa je sistem nedosljedan.
Važno je shvatiti da je pojava nekonzistentne jednačine pomoću Gaussove metode dovoljna osnova za nekonzistentnost. Istovremeno, napominjemo da kao rezultat l. koraka ne mogu ostati trivijalne jednadžbe - sve se precrtavaju upravo u procesu.
Opis koraka:
- Oduzmite prvu jednačinu, pomnoženu sa 4, od druge. Prvu jednačinu dodajemo i trećoj - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
- Oduzmite treću jednačinu, pomnoženu sa 2, od druge - dobijamo kontradiktornu jednačinu 0 = −5.
Dakle, sistem je nekonzistentan jer je otkrivena nekonzistentna jednačina.
Zadatak. Istražite kompatibilnost i pronađite opće rješenje za sistem:
Opis koraka:
- Prvu jednačinu oduzimamo od druge (nakon množenja sa dva) i treće - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
- Oduzmite drugu jednačinu od treće. Pošto su svi koeficijenti u ovim jednačinama isti, treća jednačina će postati trivijalna. Istovremeno, pomnožite drugu jednačinu sa (−1);
- Oduzmite drugu od prve jednačine - dobijamo dozvoljenu varijablu x 2. Čitav sistem jednačina je sada također riješen;
- Pošto su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomeramo ih udesno da izrazimo dozvoljene varijable. Ovo je odgovor.
Dakle, sistem je konzistentan i neodređen, jer postoje dvije dozvoljene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).