Da biste izračunali rang matrice, možete koristiti metodu graničnih minora ili Gaussovu metodu. Razmotrimo Gausovu metodu ili metodu elementarne transformacije.
Rang matrice je maksimalni red njenih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.
Rang sistema redova (kolona) je maksimalni broj linearno nezavisnih redova (kolona) ovog sistema.
Algoritam za pronalaženje ranga matrice metodom graničnih minora:
- Minor M k-to poredak nije nula.
- Ako graniči maloljetnici za maloljetnike M (k+1)th poredak, nemoguće je sastaviti (tj. matrica sadrži k linije ili k kolone), tada je rang matrice jednak k. Ako granični minori postoje i svi su nula, tada je rang k. Ako među graničnim minorima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, onda pokušavamo sastaviti novi minor k+2 itd.
Analizirajmo algoritam detaljnije. Prvo, razmotrite minore prvog reda (elementi matrice) matrice A. Ako su svi jednaki nuli, onda rang A = 0. Ako postoje minori prvog reda (matrični elementi) koji nisu jednaki nuli M 1 ≠ 0, zatim čin rang A ≥ 1.
M 1. Ako ima takvih maloljetnika, onda će to biti maloljetnici drugog reda. Ako se svi maloljetnici graniče sa maloljetnikom M 1 tada su jednake nuli rang A = 1. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli M2 ≠ 0, zatim čin rang A ≥ 2.
Da provjerimo ima li graničnih maloljetnika za maloljetnike M 2. Ako ima takvih maloljetnika, onda će to biti maloljetnici trećeg reda. Ako se svi maloljetnici graniče sa maloljetnikom M 2 tada su jednake nuli rang A = 2. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda koji nije jednak nuli M 3 ≠ 0, zatim čin rang A ≥ 3.
Da provjerimo ima li graničnih maloljetnika za maloljetnike M 3. Ako ima takvih maloljetnika, onda će oni biti maloljetni četvrtog reda. Ako se svi maloljetnici graniče sa maloljetnikom M 3 tada su jednake nuli rang A = 3. Ako postoji barem jedan minor četvrtog reda koji nije jednak nuli M4 ≠ 0, zatim čin rang A ≥ 4.
Provjera da li za maloljetnika postoji granični maloljetnik M 4, i tako dalje. Algoritam se zaustavlja ako su u nekoj fazi granični minori jednaki nuli ili se granični minor ne može dobiti (matrica „ponestane“ redova ili kolona). Redoslijed kreiranog malog broja različitog od nule bit će rang matrice.
Primjer
Hajde da razmotrimo ovu metodu Na primjer. Date 4x5 matricu:
Ova matrica ne može imati rang veći od 4. Takođe, ova matrica ima elemente koji nisu nula (minor prvog reda), što znači da je rang matrice ≥ 1.
Hajde da komponujemo maloletnika 2nd red. Počnimo od ugla.
Dakle, determinanta je jednaka nuli, napravimo još jedan minor.
Nađimo determinantu ovog minora.
Definirajte dati minor jednak -2 . Dakle, rang matrice ≥ 2 .
Ako je ovaj minor jednak 0, tada bi se formirali drugi minori. Do kraja bi komponovali sve minore na 1. i 2. redu. Zatim red 1 i 3, red 2 i 3, red 2 i 4, sve dok ne nađete minor koji nije jednak 0, na primjer:
Ako su svi minori drugog reda 0, tada bi rang matrice bio 1. Rješenje se može zaustaviti.
3rd red.
Ispostavilo se da minor nije nula. znači rang matrice ≥ 3 .
Kada bi ovaj minor bio nula, onda bi se drugi minori morali sastaviti. Na primjer:
Ako su svi minori trećeg reda 0, tada bi rang matrice bio 2. Rješenje bi se moglo zaustaviti.
Nastavimo tražiti rang matrice. Hajde da komponujemo maloletnika 4th red.
Nađimo determinantu ovog minora.
Pokazalo se da je determinanta minora jednaka 0 . Hajde da napravimo još jedan minor.
Nađimo determinantu ovog minora.
Ispostavilo se da je manji 0 .
Build minor 5 poredak neće raditi, u ovoj matrici nema reda za ovo. Posljednji minor nije bio jednak nuli 3rd red, što znači da je rang matrice jednak 3 .
Važan je rang matrice numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera kompatibilnosti sistema linearnih algebarske jednačine. U ovom članku ćemo dati koncept ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Da bismo bolje razumjeli gradivo, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.
Navigacija po stranici.
Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.
Prije nego što izgovorite definiciju ranga matrice, trebali biste dobro razumjeti koncept minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga, ako je potrebno, preporučujemo da se prisjetite teorije članka, metoda za pronalaženje determinante matrice i svojstava determinante.
Uzmimo matricu A reda. Neka je k neko prirodni broj, ne prelazeći najmanji od brojeva m i n, tj. 
.
Definicija.
Manji k-ti red matrica A je determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u prethodno odabranih k redova i k kolona, a raspored elemenata matrice A je očuvan.
Drugim riječima, ako u matrici A izbrišemo (p–k) redove i (n–k) stupce, a od preostalih elemenata kreiramo matricu, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuća matrica je minor reda k matrice A.
Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.
Razmotrite matricu 
.
Zapišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, onda naš izbor odgovara umanjem redu prvog reda 
. Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, precrtali smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa napravili determinantu. Ako odaberemo prvi red i treći stupac matrice A, onda ćemo dobiti minor 
.
Ilustrujmo postupak za dobijanje razmatranih maloletnika prvog reda 
I 
.
Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.
Pokažimo nekoliko maloljetnika drugog reda. Odaberite dva reda i dvije kolone. Na primjer, uzmite prvi i drugi red i treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo maloljetnicu drugog reda 
. Ovaj minor se također može sastaviti brisanjem trećeg reda, prvog i drugog stupca iz matrice A.
Drugi minor drugog reda matrice A je .
Ilustrujmo konstrukciju ovih minora drugog reda 
I 
.
Slično, mogu se naći minori trećeg reda matrice A. Pošto u matrici A postoje samo tri reda, biramo ih sve. Ako odaberemo prve tri kolone ovih redova, dobićemo minor trećeg reda 
Također se može konstruirati precrtavanjem posljednje kolone matrice A.
Drugi minor trećeg reda je 
dobijeno brisanjem treće kolone matrice A.
Evo slike koja prikazuje konstrukciju ovih minora trećeg reda 
I 
.
Za datu matricu A nema minora reda većeg od trećeg, budući da .
Koliko ima minora k-tog reda matrice A reda?
Broj minora reda k može se izračunati kao , gdje 
I 
- broj kombinacija od p do k i od n do k, respektivno.
Kako možemo konstruisati sve minore reda k matrice A reda p po n?
Trebat će nam mnogo brojeva redova matrice i mnogo brojeva kolona. Zapisujemo sve kombinacije p elemenata po k(oni će odgovarati odabranim redovima matrice A kada se konstruiše minor reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redova uzastopno dodajemo sve kombinacije od n elemenata od k brojeva kolona. Ovi skupovi kombinacija brojeva redova i brojeva kolona matrice A pomoći će da se sastave svi minori reda k.
Pogledajmo to na primjeru.
Primjer.
Pronađite sve minore drugog reda matrice.
Rješenje.
Budući da je redoslijed originalne matrice 3 puta 3, ukupan broj minora drugog reda će biti 
.
Zapišimo sve kombinacije brojeva 3 do 2 reda matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva od 3 do 2 stupca su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.
Uzmimo prvi i drugi red matrice A. Odabirom prve i druge kolone, prve i treće kolone, druge i treće kolone za ove redove, dobijamo minore, redom 
Za prvi i treći red, sa sličnim izborom kolona, imamo 
Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red: 
Dakle, svih devet minora drugog reda matrice A je pronađeno.
Sada možemo nastaviti sa određivanjem ranga matrice.
Definicija.
Matrični rang je najviši red različitog od nule minor matrice.
Rang matrice A je označen kao Rank(A). Možete pronaći i oznake Rg(A) ili Rang(A).
Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang matrice različite od nule nije manji od jedan.
Pronalaženje ranga matrice po definiciji.
Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda popisivanja maloljetnika. Ova metoda se zasniva na određivanju ranga matrice.
Trebamo pronaći rang matrice A reda .
Hajde da ukratko opišemo algoritam rješavanje ovog problema nabrajanjem maloljetnika.
Ako postoji barem jedan element matrice različit od nule, tada je rang matrice najmanje jednako jedan(pošto postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).
Zatim ćemo pogledati maloljetnike drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje jednak dva.
Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda osim nule, tada je rang matrice najmanje tri, i prelazimo na nabrajanje minora četvrtog reda.
Imajte na umu da rang matrice ne može premašiti najmanji od brojeva p i n.
Primjer.
Pronađite rang matrice 
.
Rješenje.
Pošto je matrica različita od nule, njen rang nije manji od jedan.
Minor drugog reda 
je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na nabrajanje maloljetnika trećeg reda. Ukupno njih 
stvari. 
Svi minori trećeg reda su jednaki nuli. Dakle, rang matrice je dva.
odgovor:
Rang(A) = 2.
Određivanje ranga matrice metodom obrubljivanja minora.
Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućavaju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.
Jedna takva metoda je Edge minor metoda.
Hajde da se pozabavimo koncept ivice minor.
Kaže se da manji M ok (k+1)-tog reda matrice A graniči sa manjim M reda k matrice A ako matrica koja odgovara minoru M ok "sadrži" matricu koja odgovara minoru M .
Drugim riječima, matrica koja odgovara graničnom minoru M dobija se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog reda i jedne kolone.
Na primjer, razmotrite matricu 
i uzeti drugi red minor. Zapišimo sve granične maloljetnike: 
Metoda graničenja minora opravdana je sljedećom teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).
Teorema.
Ako su svi minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A reda p po n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k+1) matrice A jednaki nuli.
Dakle, za pronalaženje ranga matrice nije potrebno proći kroz sve minore koji se dovoljno graniče. Broj minora koji graniči s minorom k-tog reda matrice A reda , nalazi se po formuli 
. Imajte na umu da nema više minora koji graniče s minorom k-tog reda matrice A nego što ima (k + 1) minora reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva isplativije korištenje metode graničenja maloljetnika nego jednostavno popisivanje svih maloljetnika.
Pređimo na pronalaženje ranga matrice metodom graničnih minora. Hajde da ukratko opišemo algoritam ovu metodu.
Ako je matrica A različita od nule, tada kao minor prvog reda uzimamo bilo koji element matrice A koji je različit od nule. Pogledajmo njegove granične maloljetnike. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je dva), onda nastavljamo s razmatranjem njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, onda je rang(A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (redoslijed mu je tri), onda smatramo njegove granične minore. I tako dalje. Kao rezultat, Rank(A) = k ako su svi granični minori (k + 1)-og reda matrice A jednaki nuli, ili Rank(A) = min(p, n) ako postoji ne- nulti minor koji graniči sa minorom reda (min( p, n) – 1) .
Pogledajmo metodu graničanja minora da bismo pronašli rang matrice koristeći primjer.
Primjer.
Pronađite rang matrice 
metodom graničenja maloletnika.
Rješenje.
Pošto je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji se razlikuje od nule: 
Pronađen je ivični minor drugog reda, različit od nule. Pogledajmo njegove granične maloljetnike (njihove 
stvari): 
Svi minori koji se graniče sa minorom drugog reda jednaki su nuli, stoga je rang matrice A jednak dva.
odgovor:
Rang(A) = 2.
Primjer.
Pronađite rang matrice 
korištenje graničnih maloljetnika.
Rješenje.
Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Okolni mol drugog reda 
nije jednako nuli. Ovaj minor omeđen je maloletnikom trećeg reda 
. Pošto nije jednaka nuli i za nju ne postoji niti jedan granični minor, rang matrice A je jednak tri.
odgovor:
Rang(A) = 3.
Pronalaženje ranga pomoću elementarnih matričnih transformacija (Gaussova metoda).
Razmotrimo još jedan način za pronalaženje ranga matrice.
Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:
- preuređivanje redova (ili stupaca) matrice;
- množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice proizvoljnim brojem k, različitim od nule;
- dodajući elementima reda (kolone) odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k.
Matrica B se naziva ekvivalentnom matrici A, ako se B dobije iz A pomoću konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalencija matrica je označena simbolom “~”, odnosno napisano A ~ B.
Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih matričnih transformacija zasniva se na izjavi: ako je matrica B dobijena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank(A) = Rank(B) .
Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:
- Prilikom preuređivanja redova (ili stupaca) matrice, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, onda kada se redovi (kolone) preurede, ostaje jednak nuli.
- Kada se množe svi elementi bilo kojeg reda (stupca) matrice sa proizvoljnim brojem k koji nije nula, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti originalne matrice pomnoženoj s k. Ako je determinanta izvorne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
- Dodavanje elementima određenog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) matrice, pomnoženih određenim brojem k, ne mijenja njenu determinantu.
Suština metode elementarnih transformacija sastoji se u reduciranju matrice čiji rang treba da nađemo na trapezoidnu (u konkretnom slučaju na gornji trokutasti) pomoću elementarnih transformacija.
Zašto se to radi? Rang matrica ovog tipa je vrlo lako pronaći. Jednako je broju linija koje sadrže najmanje jedan element različit od nule. A budući da se rang matrice ne mijenja prilikom izvođenja elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost će biti rang originalne matrice.
Dajemo ilustracije matrica od kojih jednu treba dobiti nakon transformacije. Njihov izgled zavisi od redosleda matrice.
Ove ilustracije su šabloni u koje ćemo transformisati matricu A.
Hajde da opišemo algoritam metoda.
Trebamo pronaći rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).
Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog reda matrice A sa . U ovom slučaju dobijamo ekvivalentnu matricu koja je označava A (1): 
Elementima drugog reda rezultirajuće matrice A (1) dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . Elementima trećeg reda dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . I tako sve do p-tog reda. Hajde da dobijemo ekvivalentnu matricu, označimo je A (2): 
Ako su svi elementi rezultirajuće matrice koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, a samim tim i rang originalne matrice je jednak do jednog.
Ako u linijama od drugog do p-tog postoji barem jedan element koji nije nula, onda nastavljamo s transformacijama. Štaviše, postupamo na potpuno isti način, ali samo sa dijelom matrice A (2) označenim na slici. 
Ako je , tada preuređujemo redove i (ili) stupce matrice A (2) tako da "novi" element postane različit od nule.
Osnovno Zovu se sljedeće matrične transformacije:
1) permutacija bilo koja dva reda (ili stupca),
2) množenje reda (ili kolone) brojem koji nije nula,
3) dodavanje jednog reda (ili kolone) drugog reda (ili kolone), pomnoženog određenim brojem.
Pozivaju se dvije matrice ekvivalentno, ako se jedan od njih dobije od drugog pomoću konačnog skupa elementarnih transformacija.
Ekvivalentne matrice nisu, generalno govoreći, jednake, ali su im rangovi jednaki. Ako su matrice A i B ekvivalentne, onda se piše na sljedeći način: A ~ B.
Canonical Matrica je matrica u kojoj se na početku glavne dijagonale nalazi nekoliko jedinica u nizu (čiji broj može biti nula), a svi ostali elementi su jednaki nuli, na primjer,
Koristeći elementarne transformacije redova i stupaca, svaka matrica se može svesti na kanonsku. Rang kanonske matrice jednak broju jedinice na njegovoj glavnoj dijagonali.
Primjer 2 Pronađite rang matrice
A= 
i dovesti ga u kanonski oblik.
Rješenje. Od drugog retka oduzmite prvi i preuredite ove redove:
.
Sada od drugog i trećeg reda oduzimamo prvi, pomnožen sa 2 i 5, respektivno:
;
oduzmi prvi od trećeg reda; dobijamo matricu
B = 
,
koja je ekvivalentna matrici A, budući da se iz nje dobija korišćenjem konačnog skupa elementarnih transformacija. Očigledno, rang matrice B je 2, pa je stoga r(A)=2. Matrica B se lako može svesti na kanoničku. Oduzimanjem prve kolone, pomnožene odgovarajućim brojevima, od svih sljedećih, sve elemente prvog reda, osim prvog, pretvaramo na nulu, a elementi preostalih redova se ne mijenjaju. Zatim, oduzimanjem drugog stupca, pomnoženog odgovarajućim brojevima, od svih sljedećih, sve elemente drugog reda, osim drugog, okrećemo na nulu i dobivamo kanonsku matricu:
.
Kronecker - Capelli teorem- kriterijum kompatibilnosti za sistem linearnih algebarskih jednadžbi:
Da bi linearni sistem bio kompatibilan, potrebno je i dovoljno da rang proširene matrice ovog sistema bude jednak rangu njegove glavne matrice.
Dokaz (uslovi kompatibilnosti sistema)
Nužnost
Neka sistem joint Onda postoje brojevi su ovakvi, Šta . Dakle, kolona je linearna kombinacija stupaca matrice. Iz činjenice da se rang matrice neće promijeniti ako se red (kolona) izbriše ili doda iz sistema njenih redova (kolona), koji je linearna kombinacija drugih redova (kolona), slijedi da .
Adekvatnost
Neka . Uzmimo neki osnovni mol u matrici. Budući da će to biti i bazni mol matrice. Zatim, prema osnovnoj teoremi minor, posljednja kolona matrice će biti linearna kombinacija osnovnih stupaca, odnosno stupaca matrice. Dakle, kolona slobodnih termina sistema je linearna kombinacija kolona matrice.
Posljedice
Broj glavnih varijabli sistemima jednak rangu sistema.
Joint sistemće se utvrditi (njegova jedino rešenje), ako je rang sistema jednak broju svih njegovih varijabli.
Homogeni sistem jednačina
Ponuda15 . 2 Homogeni sistem jednačina
|
|
je uvek zajedničko.
Dokaz. Za ovaj sistem, skup brojeva , , , je rješenje.
U ovom dijelu ćemo koristiti matričnu notaciju sistema: .
Ponuda15 . 3 Zbir rješenja homogenog sistema linearnih jednačina je rješenje ovog sistema. Rješenje pomnoženo brojem je također rješenje.
Dokaz. Neka služe kao rješenja za sistem. Zatim i. Neka . Onda
Od tada - rešenje.
Neka biti proizvoljan broj, . Onda
Od tada - rešenje.
Posljedica15 . 1 Ako je homogen sistem linearne jednačine Ima različito od nule rješenje, tada ima beskonačno mnogo različitih rješenja.
Zaista, množenjem rješenja različitog od nule različitim brojevima, dobit ćemo različita rješenja.
Definicija15
.
5
Reći ćemo da su rješenja 
sistemski oblik fundamentalni sistem rješenja, ako stupci 
formiraju linearno nezavisan sistem i svako rešenje sistema je linearna kombinacija ovih kolona.
Neka je A matrica veličina m\ puta n i k je prirodan broj koji ne prelazi m i n: k\leqslant\min\(m;n\). Manji k-ti red matrica A je determinanta matrice k-tog reda koju čine elementi na presjeku proizvoljno odabranih k redova i k stupaca matrice A. Prilikom označavanja minora označit ćemo brojeve odabranih redova kao gornje indekse, a brojeve odabranih stupaca kao niže indekse, slažući ih u rastućem redoslijedu.
Primjer 3.4. Napišite minore različitog reda matrice
A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.
Rješenje. Matrica A ima dimenzije 3\x4. Ima: 12 maloljetnika 1. reda, na primjer, maloljetnika M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 maloljetnici 2. reda, npr. M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 maloljetnici 3. reda, npr.
M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.
U matrici A dimenzija m\puta n, minor r-tog reda naziva se osnovni, ako je različit od nule i svi minori (r+1)-ro reda su jednaki nuli ili uopšte ne postoje.
Matrični rang naziva se red baznog mola. U nultoj matrici nema baznog mola. Prema tome, rang nulte matrice je, po definiciji, jednak nuli. Rang matrice A je označen sa \operatorname(rg)A.
Primjer 3.5. Pronađite sve bazne mole i rang matrice
A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.
Rješenje. Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer ove determinante imaju nula treći red. Dakle, samo minor drugog reda koji se nalazi u prva dva reda matrice može biti osnovni. Prolazeći kroz 6 mogućih minora, biramo različitu od nule
M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.
Svaki od ovih pet maloljetnika je osnovni. Dakle, rang matrice je 2.
Napomene 3.2
1. Ako su u matrici svi minori reda k jednaki nuli, onda su minori veći od high order. Zaista, širenjem minora (k+1)-ro reda na bilo koji red, dobijamo zbir proizvoda elemenata ovog reda na minore k-tog reda, a oni su jednaki nuli.
2. Rang matrice je jednak najvišem redu minora različitog od nule ove matrice.
3. Ako kvadratna matrica nije singularna, tada je njen rang jednak njenom redu. Ako je kvadratna matrica singularna, tada je njen rang manji od njenog reda.
4. Oznake se također koriste za rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.
5. Blok matrica rang definira se kao rang regularne (numeričke) matrice, tj. bez obzira na njegovu blok strukturu. U ovom slučaju, rang matrice blokova nije manji od ranga njenih blokova: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A I \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, budući da su svi minori matrice A (ili B ) također i minori blok matrice (A\mid B) .
Teoreme o baznom molu i rangu matrice
Razmotrimo glavne teoreme koje izražavaju svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti kolona (redova) matrice.
Teorema 3.1 o baznom molu. U proizvoljnoj matrici A, svaka kolona (red) je linearna kombinacija kolona (redova) u kojoj se nalazi bazni minor.
Zaista, bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da se u matrici A veličine m\puta n osnovni minor nalazi u prvih r redova i prvih r stupaca. Uzmite u obzir odrednicu
D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),
koji se dobija dodjeljivanjem odgovarajućih elemenata baznom molu matrice A sth row i k-tu kolonu. Imajte na umu da za bilo koje 1\leqslant s\leqslant m a ova determinanta je jednaka nuli. Ako je s\leqslant r ili k\leqslant r , tada determinanta D sadrži dva identična reda ili dva identična stupca. Ako je s>r i k>r, onda je determinanta D jednaka nuli, jer je minor (r+l)-ro reda. Proširujući determinantu duž zadnje linije, dobijamo
a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,
gdje su D_(r+1\,j) algebarski komplementi elemenata posljednjeg reda. Imajte na umu da je D_(r+1\,r+1)\ne0 jer je ovo bazni mol. Zbog toga
a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Gdje \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.
Zapisujući posljednju jednakost za s=1,2,\ldots,m, dobijamo
\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.
one. k-ti stupac (za bilo koju 1\leqslant k\leqslant n) je linearna kombinacija stupaca baznog minora, što smo trebali dokazati.
Osnovna mala teorema služi za dokazivanje sljedećih važnih teorema.
Uslov da determinanta bude nula
Teorema 3.2 (neophodna i dovoljno stanje determinanta je jednaka nuli). Da bi determinanta bila jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da jedna njena kolona (jedan od njenih redova) bude linearna kombinacija preostalih kolona (redova).
Zaista, nužnost slijedi iz teoreme o baznom manjem. Ako je determinanta kvadratne matrice reda n jednaka nuli, tada je njen rang manji od n, tj. najmanje jedan stupac nije uključen u bazni mol. Tada je ovaj odabrani stupac, prema teoremi 3.1, linearna kombinacija stupaca u kojima se nalazi bazni minor. Dodavanjem, ako je potrebno, ovoj kombinaciji drugih kolona sa nultim koeficijentima, dobijamo da je odabrani stupac linearna kombinacija preostalih stupaca matrice. Dovoljnost proizlazi iz svojstava determinante. Ako je, na primjer, posljednji stupac A_n determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linearno izraženo kroz ostalo
A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),
zatim dodavanje u A_n kolonu A_1 pomnoženo sa (-\lambda_1), zatim kolonu A_2 pomnoženo sa (-\lambda_2), itd. stupac A_(n-1) pomnožen sa (-\lambda_(n-1)) dobijamo determinantu \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) sa nultom kolonom koja je jednaka nuli (svojstvo 2 determinante).
Invarijantnost ranga matrice prema elementarnim transformacijama
Teorema 3.3 (o invarijantnosti ranga prema elementarnim transformacijama). Prilikom elementarnih transformacija stupaca (redova) matrice, njen rang se ne mijenja.
Zaista, neka bude. Pretpostavimo da smo kao rezultat jedne elementarne transformacije stupaca matrice A dobili matricu A". Ako je izvršena transformacija tipa I (permutacija dva stupca), onda bilo koji manji (r+l)-ro reda matrice A" ili je jednak odgovarajućem minoru (r+l )-ro reda matrice A, ili se od njega razlikuje po predznaku (svojstvo 3 determinante). Ako je izvršena transformacija tipa II (množenjem stupca brojem \lambda\ne0 ), tada je bilo koji minor (r+l)-ro reda matrice A" ili jednak odgovarajućem minoru (r+l) -ro reda matrice A ili različit od nje faktor \lambda\ne0 (svojstvo 6 determinante) Ako je izvršena transformacija tipa III (dodavanje u jedan stupac drugog stupca pomnoženog brojem \Lambda), onda bilo koji minor (r+1)-tog reda matrice A" ili je jednak odgovarajućem minoru (r+1)-tog reda matrice A (svojstvo 9 determinante), ili je jednak zbroju dva minori (r+l)-ro reda matrice A (svojstvo 8 determinante). Prema tome, pod elementarnom transformacijom bilo koje vrste, svi minori (r+l)-ro reda matrice A" jednaki su nuli, pošto su svi minori (r+l)-ro reda matrice A jednak nuli.Tako je dokazano da se pri elementarnim transformacijama stupaca matrica ranga ne može povećati.Pošto su transformacije inverzne elementarnim elementarnim, rang matrice se ne može smanjiti pod elementarnim transformacijama stupaca,tj.ne mijenja se. Slično, dokazano je da se rang matrice ne mijenja pod elementarnim transformacijama redova.
Zaključak 1. Ako je jedan red (stupac) matrice linearna kombinacija njegovih drugih redova (kolona), tada se ovaj red (kolona) može izbrisati iz matrice bez promjene njegovog ranga.
Zaista, takav niz se može učiniti nula koristeći elementarne transformacije, a nulti niz ne može biti uključen u bazni minor.
Zaključak 2. Ako se matrica svede na najjednostavniji oblik (1.7), onda
\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.
Zaista, matrica najjednostavnijeg oblika (1.7) ima bazni minor r-tog reda.
Zaključak 3. Svaka nesingularna kvadratna matrica je elementarna, drugim riječima, svaka nesingularna kvadratna matrica je ekvivalentna matrici identiteta istog reda.
Zaista, ako je A nesingularna kvadratna matrica n-tog reda, onda \operatorname(rg)A=n(vidi paragraf 3 komentara 3.2). Stoga, dovodeći matricu A u najjednostavniji oblik (1.7) elementarnim transformacijama, dobijamo matricu identiteta \Lambda=E_n , pošto \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vidi Korol 2). Prema tome, matrica A je ekvivalentna matrici identiteta E_n i može se dobiti iz nje kao rezultat konačnog broja elementarnih transformacija. To znači da je matrica A elementarna.
Teorema 3.4 (o rangu matrice). Rang matrice je jednak maksimalnom broju linearno nezavisnih redova ove matrice.
U stvari, neka \operatorname(rg)A=r. Tada matrica A ima r linearno nezavisnih redova. Ovo su redovi u kojima se nalazi bazni mol. Ako bi bili linearno zavisni, onda bi ovaj minor bio jednak nuli prema teoremi 3.2, a rang matrice A ne bi bio jednak r. Pokažimo da je r maksimalni broj linearno nezavisnih redova, tj. bilo koji p redovi su linearno zavisni za p>r. Zaista, mi formiramo matricu B iz ovih p redova. Pošto je matrica B dio matrice A, onda \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r To znači da barem jedan red matrice B nije uključen u bazni minor ove matrice. Tada je, prema teoremi o baznom molu, jednaka linearnoj kombinaciji redova u kojima se nalazi bazni minor. Prema tome, redovi matrice B su linearno zavisni. Dakle, matrica A ima najviše r linearno nezavisnih redova. Zaključak 1. Maksimalni broj linearno nezavisnih redova u matrici jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih stupaca: \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T. Ova tvrdnja slijedi iz teoreme 3.4 ako je primijenimo na redove transponovane matrice i uzmemo u obzir da se minori ne mijenjaju tokom transpozicije (svojstvo 1 determinante). Zaključak 2. Za elementarne transformacije redova matrice linearna zavisnost(ili linearna nezavisnost) bilo kojeg sistema stupaca ove matrice je očuvana. U stvari, izaberemo bilo koje k stupaca date matrice A i sačinimo matricu B od njih. Neka se matrica A" dobije kao rezultat elementarnih transformacija redova matrice A, a matrica B" dobije se kao rezultat istih transformacija redova matrice B. Prema teoremi 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Dakle, ako bi stupci matrice B bili linearno nezavisni, tj. k=\ime operatora(rg)B(vidi Korolar 1), tada su i stupci matrice B" linearno nezavisni, jer k=\ime operatera(rg)B". Kad bi stupci matrice B bili linearno zavisni (k>\operatorname(rg)B), tada su stupci matrice B" također linearno zavisni (k>\operatorname(rg)B"). Posljedično, za bilo koje stupce matrice A, linearna ovisnost ili linearna neovisnost je sačuvana pod elementarnim transformacijama reda. Napomene 3.3 1. Na osnovu posledica 1 teoreme 3.4, svojstvo kolona naznačeno u posledicama 2 važi i za svaki sistem redova matrice ako se elementarne transformacije izvode samo na njegovim kolonama. 2. Korolar 3 teoreme 3.3 može se precizirati na sljedeći način: bilo koja nesingularna kvadratna matrica, koristeći elementarne transformacije samo njenih redova (ili samo njenih kolona), može se svesti na matricu identiteta istog reda. U stvari, koristeći samo elementarne transformacije reda, bilo koja matrica A može se svesti na pojednostavljeni oblik \Lambda (slika 1.5) (vidjeti teoremu 1.1). Pošto je matrica A nesingularna (\det(A)\ne0), njeni stupci su linearno nezavisni. To znači da su stupci matrice \Lambda također linearno neovisni (korolar 2 teoreme 3.4). Prema tome, pojednostavljeni oblik \Lambda nesingularne matrice A koincidira sa njenim najjednostavnijim oblikom (slika 1.6) i predstavlja matrica identiteta \Lambda=E (vidi Korolar 3 teoreme 3.3). Dakle, transformacijom samo redova nesingularne matrice, ona se može svesti na matricu identiteta. Slično razmišljanje vrijedi za elementarne transformacije stupaca nesingularne matrice. Teorema 3.5 (o rangu proizvoda matrica).Rang proizvoda i zbir matrica
\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).
Zaista, neka matrice A i B imaju veličine m\ puta p i p\ puta n. Dodijelimo matrici A matricu C=AB\dvotočka\,(A\sredina C). Naravno da \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), pošto je C dio matrice (A\mid C) (vidi paragraf 5 napomena 3.2). Imajte na umu da je svaki stupac C_j, prema operaciji množenja matrice, linearna kombinacija stupaca A_1,A_2,\ldots,A_p matrice A=(A_1~\cdots~A_p):
C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.
Takav stupac se može obrisati iz matrice (A\mid C) bez promjene njegovog ranga (posledica 1 teoreme 3.3). Precrtanjem svih stupaca matrice C dobijamo: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Odavde, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Slično, možemo dokazati da je uslov istovremeno zadovoljen \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, i izvući zaključak o valjanosti teoreme.
Posljedica. Ako A je dakle nesingularna kvadratna matrica \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B I \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, tj. rang matrice se ne mijenja kada se pomnoži s lijeve ili desne strane nesingularnom kvadratnom matricom.
Teorema 3.6 o rangu zbira matrica. Rang zbira matrica ne prelazi zbir rangova pojmova:
\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.
Zaista, hajde da napravimo matricu (A+B\srednja A\sredina B). Imajte na umu da je svaki stupac matrice A+B linearna kombinacija stupaca matrice A i B. Zbog toga \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Uzimajući u obzir da broj linearno nezavisnih stupaca u matrici (A\mid B) ne prelazi \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vidi odeljak 5 napomene 3.2), dobijamo nejednakost koja se dokazuje.