Rješenje linearnih sistema algebarske jednačine(SLAU) je nesumnjivo najvažnija tema kurs linearne algebre. Velika količina problemi iz svih grana matematike svode se na rješavanje sistema linearne jednačine. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednačina pregledom detaljnih rješenja tipični primjeri i zadatke.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme pri čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.

IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje - glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli takođe postaje identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Počeli smo da proučavamo takve SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao . Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih termina, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) :

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Pošto je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnom metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog isključivanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednadžbi. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa:

Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.

Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

IN opšti slučaj broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.

Kronecker–Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).

Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Minor najviši red matrica A, različita od nule, naziva se osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora, jedan osnovni mol uvek postoji.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.

Šta nam govori teorema o rangu matrice?

Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njen red je jednak r) i isključujemo iz sistema sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula

a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:


Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji broj nepoznate varijable n, zatim na lijevoj strani jednadžbi ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnog predznaka.

Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu uzeti proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli jedini način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Nađimo rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom:


Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:


Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu:


Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik


Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu:


Dakle, .

U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.

Ako je redoslijed osnovice minor jednak broju nepoznate varijable, onda SLAE ima jedinstveno rješenje, koje nalazimo bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu, matričnu metodu ili Gaussovu metodu.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.

Pazi Detaljan opis i analizirao primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) su stupasti matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantni koeficijenti C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno, .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), prema formuli ćemo dobiti jedno od rješenja za originalni homogeni SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desnu stranu sistemskih jednačina suprotnih predznaka. Dajmo besplatne nepoznate varijabilne vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunati glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednačina na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti ​​0,0,…,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Fundamentalni sistem rješenja ove SLAE se sastoje od dva rješenja, budući da originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina
.

Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:

– Sistem je nekonzistentan (nema rješenja);
– Sistem je konzistentan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : Termin „dosljednost“ podrazumijeva da sistem ima barem neko rješenje. U nizu problema potrebno je prvo ispitati kompatibilnost sistema; kako to učiniti, pogledajte članak na rang matrica.

Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, „školska“ metoda će također dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sekvencijalnog eliminacije nepoznanica. Oni koji nisu upoznati sa algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrice su potpuno iste, razlika će biti u završetku rješenja. Prvo, pogledajmo nekoliko primjera kada sistem nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Šta vam odmah upada u oči kod ovog sistema? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekonzistentan ili da ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da se sazna.

Početak rješenja je sasvim običan - pišemo proširenu matricu sistema i koristimo elementarne transformacije Dovedemo to u postupni oblik:

(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili –1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, tako da preuređivanje redova neće dati ništa. Jedinica će se morati sama organizirati, a to se može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: prvom redu dodamo treći red, pomnožen sa –1.

(2) Sada dobijamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 5.

(3) Nakon što je transformacija završena, uvijek je preporučljivo vidjeti da li je moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Može. Drugi red dijelimo sa 2, istovremeno dobijajući traženo –1 na drugom koraku. Treći red podijelite sa –3.

(4) Dodajte drugi red u treći red.

Vjerovatno su svi primijetili lošu liniju koja je nastala kao rezultat elementarnih transformacija: . Jasno je da to ne može biti tako. Zaista, prepišimo rezultujuću matricu nazad na sistem linearnih jednačina:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja).

Kako zapisati završetak zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija, dobije se niz oblika , gdje " i damo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uslovu potrebno ISTRAŽIVATI sistem radi kompatibilnosti, onda je potrebno formalizirati rješenje u solidnijem stilu koristeći koncept rang matrice i Kronecker-Capelli teorem.

Imajte na umu da ovdje nema preokreta Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema šta pronaći.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ponovo vas podsjećam da se vaše rješenje može razlikovati od mog rješenja; Gausov algoritam nema jaku “rigidnost”.

Drugi tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim red kao , gdje . Razmotrimo uvjetni primjer: pretpostavimo da je nakon prve transformacije matrica dobijena . Matrica još nije svedena na ešalonski oblik, ali nema potrebe za daljnjim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija forme, gdje je . Odmah treba dati odgovor da je sistem nekompatibilan.

Kada sistem linearnih jednačina nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobiva kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu izbalansirano, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina

Postoje 4 jednačine i 4 nepoznanice, tako da sistem može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Kako god bilo, Gausova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. To je njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

To je sve, a ti si se uplašio.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2, tako da je 2 u redu na gornjem lijevom koraku. Drugom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –4. Trećem redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –2. Četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –1.

Pažnja! Mnogi mogu biti u iskušenju četvrtim redom oduzimati prva linija. To se može učiniti, ali nije neophodno; iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajte: U četvrti red dodajte prvi red pomnožen sa –1 – upravo!

(2) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva se mogu brisati.

Ovdje opet moramo pokazati povećana pažnja, ali jesu li linije zaista proporcionalne? Da biste bili sigurni (posebno za čajnik), bilo bi dobro da drugi red pomnožite sa –1, a četvrti red podijelite sa 2, što će rezultirati tri identične linije. I tek nakon toga uklonite dva od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik:

Prilikom pisanja zadatka u svesci, preporučljivo je da iste bilješke napravite olovkom radi preglednosti.

Prepišimo odgovarajući sistem jednačina:

Ovdje nema mirisa na „obično“ jedinstveno rješenje sistema. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, prema uslovu, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem pasusu članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada idemo na osnove:

Beskonačan skup rješenja sistema je ukratko zapisan u obliku tzv opšte rešenje sistema .

Opće rješenje sistema pronalazimo korištenjem inverzne Gausove metode.

Prvo moramo definirati koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno. Ne morate se zamarati terminima linearne algebre, samo zapamtite da ih ima osnovne varijable I slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
U ovom primjeru, osnovne varijable su i

Slobodne varijable su sve preostali varijable koje nisu primile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable.

Sada ti treba Sve osnovne varijable express samo kroz slobodne varijable.

Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednačine sistema izražavamo osnovnu varijablu:

Sada pogledajte prvu jednačinu: . Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje da izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli:

Na kraju smo dobili ono što nam je trebalo - Sve osnovne varijable ( i ) su izražene samo kroz slobodne varijable:

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako pravilno napisati opšte rješenje?
Slobodne varijable se upisuju u opšte rješenje „sama po sebi“ i striktno na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable treba napisati na drugoj i četvrtoj poziciji:
.

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očigledno treba da bude napisano na prvoj i trećoj poziciji:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, možete pronaći beskonačno mnogo privatna rješenja. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamenimo u opšte rešenje:

– privatno rješenje.

Drugi slatki par su jedinice, zamjenjujemo ih u opće rješenje:

– još jedno privatno rješenje.

Lako je vidjeti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(pošto možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednačina sistema. Ovo je osnova za “brzu” provjeru ispravnosti rješenja. Uzmite, na primjer, određeno rješenje i zamijenite ga u lijevu stranu svake jednadžbe originalnog sistema:

Sve se mora spojiti. I sa bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo slagati.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad je varljiva, tj. neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednačinu sistema, ali samo opće rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje ?

Nije teško, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sistema.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema:

Na lijevoj strani druge jednačine sistema:


Primljeno desni deo originalna jednadžba.

Primjer 4

Riješite sistem Gausovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva posebna rješenja. Provjerite opće rješenje.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje je, inače, opet broj jednačina manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem ili biti nekonzistentan ili će imati beskonačan broj rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja i opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I još par primjera za učvršćivanje materijala

Primjer 5

Riješiti sistem linearnih jednačina. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Rješenje: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. U četvrti red dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –5. Četvrtom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Ovo je takva lepotica:

Osnovne varijable sjede na stepenicama, dakle - osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:

Revers:
Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:
Iz treće jednačine:

Razmotrimo drugu jednačinu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:

Razmotrimo prvu jednačinu i zamijenimo pronađene izraze i u nju:

Da, kalkulator koji izračunava obične razlomke je i dalje zgodan.

Dakle, generalno rješenje je:

Još jednom, kako je ispalo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable također su zauzeli svoja redna mjesta.

Hajde da odmah proverimo opšte rešenje. Posao je za crnce, ali ja sam ga vec uradio, pa uhvati ga =)

Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sistema:

Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje pronađeno ispravno.

Sada iz pronađenog opšteg rješenja dobijamo dva konkretna rješenja. Jedina besplatna varijabla ovdje je kuhar. Nema potrebe da se razbijate.

Neka bude onda – privatno rješenje.
Neka bude onda – još jedno privatno rješenje.

Odgovori: Zajednička odluka: , privatna rješenja: , .

Nisam trebao da se setim crnaca... ...jer su mi u glavi dolazili razni sadistički motivi i setio sam se čuvenog fotošopa u kojem ljudi iz Kju Kluks klana u belim haljinama trče po terenu za crnim fudbalerom. Sjedim i tiho se smijem. Znate kako ometa...

Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za samostalno rješavanje.

Primjer 6

Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina.

Već sam provjerio generalno rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, glavna stvar je da se opća rješenja poklapaju.

Mnogi ljudi su vjerovatno primijetili neugodan momenat u rješenjima: vrlo često, kada smo mijenjali Gaussovu metodu, morali smo petljati sa obične frakcije. U praksi je to zaista slučaj; slučajevi u kojima nema razlomaka su mnogo rjeđi. Budite spremni psihički i, što je najvažnije, tehnički.

Zadržat ću se na nekim karakteristikama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opće rješenje sistema ponekad može uključivati ​​konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ničeg egzotičnog u ovome, dešava se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli. Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima, potrebno je smireno svesti proširenu matricu sistema u postupni oblik koristeći standardni algoritam. Takav sistem može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedno rješenje.

Sistemi jednačina su se široko koristili u ekonomskoj industriji sa matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta ( transportni problem) ili postavljanje opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u matematici, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rješavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina su dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenja polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavnijim primjerima smatraju se sistemi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješiti sistem jednačina - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost ili utvrđivanje da odgovarajuće vrijednosti x i y ne postoje.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem je heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijabli.

Kada se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opšta analitička metoda za rešavanje ovakvih sistema, na njoj se zasnivaju sve metode numerička rješenja. IN školski kurs Matematika detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješenja Gaussovom metodom.

Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode

Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina u nastavnom planu i programu opšteg obrazovanja 7. razreda je prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi Gauss-ovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava u prvim godinama visokog obrazovanja.

Rješavanje sistema metodom zamjene

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable u terminima druge. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na oblik s jednom promjenljivom. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo rješenje za primjer sistema linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Dobijeni izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovaj primjer ne izaziva poteškoće i omogućava vam da dobijete vrednost Y. Poslednji korak je provera dobijenih vrednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izražavanje varijable u terminima druge nepoznate biće previše glomazno za dalje proračune. Kada u sistemu ima više od 3 nepoznate, rješavanje zamjenom također nije prikladno.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema korištenjem metode sabiranja, jednačine se sabiraju pojam po član i množe različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina u jednoj varijabli.

Za aplikacije ovu metodu potrebna je praksa i posmatranje. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja kada postoje 3 ili više varijabli nije lako. Algebarsko zbrajanje je pogodno za korištenje kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.

Algoritam rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine određenim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable trebao bi postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednačinu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem zahtijeva pronalaženje rješenja za ne više od dvije jednačine; broj nepoznatih također ne bi trebao biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava za uvedenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su faktori polinoma. IN dati primjer a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminanta veća od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji jedno rješenje: x = -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za 3 sistema jednačina. Metoda se sastoji u konstruisanju grafova svake jednačine uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate presečnih tačaka krivih biće opšte rešenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednačina na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, a proizvoljno su odabrane vrijednosti varijable x: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne; uvijek je potrebno konstruirati graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za koncizno pisanje sistema linearnih jednačina. Matrica je posebna vrsta tabele ispunjene brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica od jednog stupca sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je matrica kada se pomnoži s kojom se originalna matrica pretvara u jediničnu matricu; takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu matricu.

Pravila za pretvaranje sistema jednačina u matricu

U odnosu na sisteme jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Za red matrice se kaže da nije nula ako barem jedan element reda nije nula. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznate y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica, a |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva; potrebno je samo pomnožiti dijagonalne elemente jedan s drugim. Za opciju “tri po tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u radu.

Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava vam da smanjite glomazne unose pri rješavanju sistema s velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni termini.

Rješavanje sistema Gausovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja sistema naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabilni sistemi sa velikim brojem linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima zamjenom i algebarskim sabiranjem, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi rješenje Gaussove metode za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem svede na oblik obrnutog trapeza. Pomoću algebarskih transformacija i supstitucija, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, dok su 3 i 4, respektivno, sa 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu učenicima je teško razumjeti srednja škola, ali je jedan od najjačih zanimljive načine razvijati domišljatost djece upisanih na napredne studijske programe na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja, proračuni se obično rade na sljedeći način:

Koeficijenti jednačina i slobodnih termina zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo, zapišite matricu s kojom ćete raditi, a zatim sve radnje izvedene s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i potrebne algebarske operacije se nastavljaju dok se ne postigne rezultat.

Rezultat bi trebao biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na pojedinačne vrste. Ne smijemo zaboraviti izvršiti proračune sa brojevima na obje strane jednačine.

Ova metoda snimanja je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometaju nabrajanje brojnih nepoznanica.

Besplatna upotreba bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske djelatnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.

Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti sistem od dvije linearne jednačine sa dva varijabilna metoda metoda zamjene i dodavanja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i daje detaljno rješenje sa objašnjenjima koraka rješenja na dva načina: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Ovaj program može biti korisno za srednjoškolce u srednjim školama u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Pravila za unos jednačina

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Prilikom unosa jednačina možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, jednačine se prvo pojednostavljuju. Jednačine nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax+by+c=0 sa tačnošću reda elemenata.
Na primjer: 6x+1 = 5(x+y)+2

U jednadžbama možete koristiti ne samo cijele brojeve, već i razlomke u obliku decimalnih i običnih razlomaka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomci u decimale može se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer: 2.1n + 3.5m = 55

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Prilikom ulaska numerički razlomak Brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &

Primjeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Riješiti sistem jednačina

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sistema linearnih jednačina. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednačine sistema u terminima druge;
2) zameniti dobijeni izraz drugom jednačinom sistema umesto ove varijable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Izrazimo y u terminima x iz prve jednačine: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-3x u drugu jednačinu umjesto y, dobijamo sistem:
$$ \left\( \begin(niz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(niz) \desno. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sistem imaju ista rješenja. U drugom sistemu, druga jednačina sadrži samo jednu varijablu. Hajde da riješimo ovu jednačinu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Zamijenivši broj 1 umjesto x u jednakost y=7-3x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rješenje sistema

Zovu se sistemi jednačina u dvije varijable koje imaju ista rješenja ekvivalentan. Sistemi koji nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnim.

Rješavanje sistema linearnih jednačina sabiranjem

Razmotrimo još jedan način rješavanja sistema linearnih jednačina - metod sabiranja. Prilikom rješavanja sistema na ovaj način, kao i kod rješavanja zamjenom, prelazimo sa ovog sistema na drugi, ekvivalentni sistem, u kojem jedna od jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja:
1) pomnožiti jednačine sistemskog člana po članu, birajući faktore tako da koeficijenti jedne od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) sabirati levu i desnu stranu jednačine sistema pojam po član;
3) rešiti dobijenu jednačinu sa jednom promenljivom;
4) pronaći odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Rešimo sistem jednačina:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

U jednačinama ovog sistema, koeficijenti za y su suprotni brojevi. Sabiranjem leve i desne strane jednačine član po član dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom 3x=33. Zamenimo jednu od jednačina sistema, na primer prvu, jednačinom 3x=33. Idemo po sistem
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Iz jednačine 3x=33 nalazimo da je x=11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednačinu \(x-3y=38\) dobijamo jednačinu sa varijablom y: \(11-3y=38\). Hajde da riješimo ovu jednačinu:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Tako smo pronašli rješenje sistema jednadžbi sabiranjem: \(x=11; y=-9\) ili \((11;-9)\)

Koristeći činjenicu da su u jednačinama sistema koeficijenti za y suprotni brojevi, mi smo njegovo rješenje sveli na rješenje ekvivalentnog sistema (sabiranjem obje strane svake od jednadžbi originalnog sistema), u kojem je jedna jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka

§1. Sistemi linearnih jednačina.

Sistem pogleda

zove sistem m linearne jednačine sa n nepoznato.

Evo
- nepoznato, - koeficijenti za nepoznate,
- slobodni termini jednadžbi.

Ako su svi slobodni članovi jednadžbe jednaki nuli, sistem se zove homogena.Odlukom sistem se zove zbirka brojeva
, kada se zamijene u sistem umjesto nepoznatih, sve jednačine se pretvaraju u identitete. Sistem se zove joint, ako ima barem jedno rješenje. Kompatibilan sistem koji ima jedinstveno rješenje naziva se siguran. Dva sistema se nazivaju ekvivalentan, ako se skupovi njihovih rješenja poklapaju.

Sistem (1) se može predstaviti u matričnom obliku pomoću jednačine

(2)

.

§2. Kompatibilnost sistema linearnih jednačina.

Nazovimo proširenu matricu sistema (1) matricom

Kronecker-Capelli teorem. Sistem (1) je konzistentan ako i samo ako je rang sistemske matrice jednak rangu proširene matrice:

.

§3. Sistemsko rješenjen linearne jednačine san nepoznato.

Razmotrite nehomogen sistem n linearne jednačine sa n nepoznato:

(3)

Cramerova teorema.Ako je glavna determinanta sistema (3)
, tada sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama:

one.
,

Gdje - determinanta dobijena iz determinante zamjena kolonu slobodnih članova.

Ako
, i barem jedan od ≠0, tada sistem nema rješenja.

Ako
, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

Sistem (3) se može riješiti korištenjem njegovog matričnog oblika (2). Ako je rang matrice A jednaki n, tj.
, zatim matrica A ima inverzno
. Množenje matrične jednačine
na matricu
na lijevoj strani dobijamo:

.

Posljednja jednakost izražava metodu rješavanja sistema linearnih jednačina korištenjem inverzne matrice.

Primjer. Riješite sistem jednačina koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Matrix
nedegenerisan, pošto
, što znači da postoji inverzna matrica. Izračunajmo inverznu matricu:
.

,

Vježbajte. Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu.

§4. Rješavanje proizvoljnih sistema linearnih jednačina.

Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina oblika (1).

Pretpostavimo da je sistem konzistentan, tj. uslov Kronecker-Capellijeve teoreme je zadovoljen:
. Ako je rang matrice
(broj nepoznatih), onda sistem ima jedinstveno rješenje. Ako
, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Dopusti mi da objasnim.

Neka je rang matrice r(A)= r< n. Zbog
, onda postoji neki manji od nule reda r. Nazovimo ga osnovnim molom. Nepoznate čiji koeficijenti čine bazni minor nazvat ćemo osnovne varijable. Preostale nepoznanice nazivamo slobodnim varijablama. Preuredimo jednadžbe i prenumerirajmo varijable tako da se ovaj minor nalazi u gornjem lijevom uglu sistemske matrice:

.

Prvo r linije su linearno nezavisne, ostalo se izražava kroz njih. Stoga se ove linije (jednačine) mogu odbaciti. Dobijamo:

Dajmo slobodnim varijablama proizvoljne numeričke vrijednosti: . Ostavimo samo osnovne varijable na lijevoj strani, a slobodne pomjerimo na desnu stranu.

Imam sistem r linearne jednačine sa r nepoznato, čija je determinanta različita od 0. Ima jedinstveno rješenje.

Ovaj sistem se naziva opšte rešenje sistema linearnih jednačina (1). Inače: poziva se izraz osnovnih varijabli kroz slobodne opšta odluka sistemima. Iz njega možete dobiti beskonačan broj privatna rješenja, dajući slobodnim varijablama proizvoljne vrijednosti. Poziva se određeno rješenje dobiveno iz općeg za nulte vrijednosti slobodnih varijabli osnovno rešenje. Broj različitih osnovnih rješenja ne prelazi
. Osnovno rješenje s nenegativnim komponentama naziva se podržavajući sistemsko rešenje.

Primjer.

,r=2.

Varijable
- osnovni,
- besplatno.

Hajde da saberemo jednačine; izrazimo se
kroz
:

- zajednička odluka.

- privatno rješenje za
.

- osnovno rješenje, referenca.

§5. Gaussova metoda.

Gaussova metoda je univerzalna metoda za proučavanje i rješavanje proizvoljnih sistema linearnih jednačina. Sastoji se od svođenja sistema na dijagonalni (ili trouglasti) oblik uzastopnim eliminisanjem nepoznatih pomoću elementarnih transformacija koje ne narušavaju ekvivalenciju sistema. Varijabla se smatra isključenom ako je sadržana u samo jednoj jednadžbi sistema sa koeficijentom 1.

Elementarne transformacije sistemi su:

Množenje jednačine brojem koji nije nula;

Dodavanje jednačine pomnožene bilo kojim brojem sa drugom jednačinom;

Preuređenje jednadžbi;

Odbacivanje jednačine 0 = 0.

Elementarne transformacije se ne mogu izvesti na jednačinama, već na proširenim matricama rezultirajućih ekvivalentnih sistema.

Primjer.

Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema:

.

Provodeći elementarne transformacije, lijevu stranu matrice ćemo svesti na jedinični oblik: kreirat ćemo jedinice na glavnoj dijagonali, a nule izvan nje.

Komentar. Ako se pri izvođenju elementarnih transformacija dobije jednačina oblika 0 = k(Gdje To0), onda je sistem nekonzistentan.

Rješenje sistema linearnih jednadžbi metodom sekvencijalne eliminacije nepoznatih može se zapisati u obliku stolovi.

Lijeva kolona tabele sadrži informacije o isključenim (osnovnim) varijablama. Preostale kolone sadrže koeficijente nepoznanica i slobodne članove jednačina.

Proširena matrica sistema se snima u izvornoj tabeli. Zatim počinjemo izvoditi Jordanove transformacije:

1. Odaberite varijablu , koji će postati osnova. Odgovarajuća kolona se zove ključna kolona. Odaberite jednačinu u kojoj će ova varijabla ostati, isključena iz drugih jednačina. Odgovarajući red tabele naziva se ključnim redom. Koeficijent , koji stoji na raskrsnici ključnog reda i ključnog stupca, naziva se ključ.

2. Elementi niza ključeva podijeljeni su na ključni element.

3. Ključna kolona je ispunjena nulama.

4. Preostali elementi se izračunavaju pomoću pravila pravokutnika. Napravite pravougaonik, na čijim suprotnim vrhovima se nalazi ključni element i ponovo izračunati element; od proizvoda elemenata koji se nalaze na dijagonali pravougaonika sa ključnim elementom oduzima se proizvod elemenata druge dijagonale, a rezultujuća razlika se deli sa ključnim elementom.

Primjer. Pronađite opšte rešenje i osnovno rešenje sistema jednačina:

Rješenje.

Opšte rješenje sistema:

Osnovno rješenje:
.

Jedna transformacija zamjene omogućava vam da pređete s jedne baze sistema na drugu: umjesto jedne od glavnih varijabli, jedna od slobodnih varijabli se uvodi u bazu. Da biste to učinili, odaberite ključni element u stupcu slobodne varijable i izvršite transformacije prema gore navedenom algoritmu.

§6. Pronalaženje rješenja za podršku

Referentno rješenje sistema linearnih jednačina je osnovno rješenje koje ne sadrži negativne komponente.

Referentna rješenja sistema se pronalaze Gaussovom metodom kada su ispunjeni sljedeći uvjeti.

1. U originalnom sistemu, svi slobodni termini moraju biti nenegativni:
.

2. Ključni element se bira između pozitivnih koeficijenata.

3. Ako varijabla uvedena u bazu ima nekoliko pozitivnih koeficijenata, tada je ključna linija ona u kojoj je omjer slobodnog člana i pozitivnog koeficijenta najmanji.

Napomena 1. Ako se u procesu eliminacije nepoznanica pojavi jednadžba u kojoj su svi koeficijenti nepozitivni i slobodni član
, tada sistem nema nenegativnih rješenja.

Napomena 2. Ako u kolonama koeficijenata za slobodne varijable nema niti jednog pozitivnog elementa, tada je nemoguć prijelaz na drugo referentno rješenje.

Primjer.

Povratak