Cramerova metoda ili takozvano Cramerovo pravilo je metoda traženja nepoznatih veličina iz sistema jednačina. Može se koristiti samo ako je broj traženih vrijednosti jednak broju algebarske jednačine u sistemu, odnosno glavna matrica formirana iz sistema mora biti kvadratna i ne mora sadržavati nula redova, a takođe i ako njena determinanta ne smije biti nula.
Teorema 1
Cramerova teorema Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljena na osnovu koeficijenata jednačina, nije jednaka nuli, onda je sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sistema se izračunava preko takozvanih Cramerovih formula za rješavanje sistema linearne jednačine: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Šta je Cramer metoda?
Suština Cramerove metode je sljedeća:
- Da bismo pronašli rješenje za sistem korištenjem Cramerove metode, prije svega izračunavamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, kada je izračunata Cramerovom metodom, pokaže da je jednaka nuli, tada sistem nema jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje opšteg ili nekog osnovnog odgovora za sistem, preporučuje se upotreba Gausove metode.
- Zatim morate zamijeniti najudaljeniji stupac glavne matrice kolonom slobodnih pojmova i izračunati determinantu $D_1$.
- Ponovite isto za sve kolone, dobijajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnje desne kolone.
- Nakon što su pronađene sve determinante $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable se mogu izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Tehnike za izračunavanje determinante matrice
Da biste izračunali determinantu matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, možete koristiti nekoliko metoda:
- Pravilo trouglova, ili Sarusovo pravilo, podsjeća na isto pravilo. Suština metode trokuta je u tome da se pri izračunavanju determinante proizvodi svih brojeva povezanih na slici crvenom linijom na desnoj strani zapisuju znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici lijevo pišu se sa znakom minus. Oba pravila su pogodna za matrice veličine 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila, prvo se prepisuje sama matrica, a pored nje ponovo se prepisuju njeni prvi i drugi stupac. Dijagonale se povlače kroz matricu i ove dodatne stupce; članovi matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom plus, a elementi koji leže na ili paralelni s sekundarnom dijagonalom pišu se znakom minus.
Slika 1. Pravilo trougla za izračunavanje determinante za Cramerovu metodu
- Koristeći metodu poznatu kao Gausova metoda, ova metoda se ponekad naziva i smanjenjem reda determinante. U ovom slučaju, matrica se transformira i reducira u trokutasti oblik, a zatim se množe svi brojevi na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da kada tražite determinantu na ovaj način, ne možete množiti ili dijeliti redove ili stupce brojevima, a da ih ne izvadite kao množitelj ili djelitelj. U slučaju traženja determinante, moguće je samo oduzimati i sabirati redove i kolone jedni drugima, nakon što ste prethodno pomnožili oduzeti red sa faktorom koji nije nula. Također, kad god preuređujete redove ili stupce matrice, trebali biste zapamtiti potrebu za promjenom konačnog predznaka matrice.
- Prilikom rješavanja SLAE sa 4 nepoznate pomoću Cramerove metode, najbolje je koristiti Gaussovu metodu za pretraživanje i pronalaženje determinanti ili određivanje determinante traženjem minora.
Rješavanje sistema jednačina korištenjem Cramerove metode
Primijenimo Cramerovu metodu za sistem od 2 jednačine i dvije tražene veličine:
$\begin(slučajevi) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(slučajevi)$
Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Nađimo determinantu glavne matrice, koja se još naziva i glavna determinanta sistema:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(niz) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje problema pomoću Cramerove metode potrebno izračunati još par determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim redom slobodnih pojmova:
$D_1 = \begin(niz)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(niz) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(niz)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(niz) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Sada pronađimo nepoznate $x_1$ i $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Primjer 1
Cramerova metoda za rješavanje SLAE sa glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri nepoznate.
Riješite sistem jednačina:
$\begin(slučajevi) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(slučajevi)$
Izračunajmo glavnu determinantu matrice koristeći pravilo gore navedeno pod tačkom broj 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
A sada tri druge odrednice:
$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $
$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD
$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $
Nađimo potrebne količine:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
Razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate
Koristeći determinante 3. reda, rješenje takvog sistema se može napisati u istom obliku kao za sistem od dvije jednačine, tj.
(2.4)
ako je 0. Evo
Tamo je Cramerovo pravilo rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.
Primjer 2.3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovo pravilo:
Rješenje . Pronalaženje determinante glavne matrice sistema
Pošto je 0, da bismo pronašli rješenje za sistem možemo primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunamo još tri determinante:
pregled:
Dakle, rješenje je pronađeno ispravno.
Cramerova pravila izvedena za linearni sistemi 2. i 3. reda, sugeriraju da se ista pravila mogu formulirati za linearne sisteme bilo kojeg reda. Stvarno se dešava
Cramerova teorema. Kvadratni sistem linearnih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice sistema (0) ima jedno i samo jedno rješenje i to rješenje se izračunava pomoću formula
(2.5)
Gdje – determinanta glavne matrice, i – matrična determinanta, dobijen od glavnog, zamjenaikolona slobodnih članova.
Imajte na umu da ako je =0, onda se Cramerovo pravilo ne primjenjuje. To znači da sistem ili nema rješenja uopće ili ima beskonačno mnogo rješenja.
Nakon formulisanja Cramerove teoreme, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.
2.4. Determinante n-tog reda
Dodatni minor M ij element a ij je determinanta dobijena iz datog brisanjem i th linija i j th column. Algebarski komplement A ij element a ij poziva se minor ovog elementa uzet sa predznakom (–1). i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .
Na primjer, pronađimo male i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 kvalifikacija
Dobijamo
Koristeći koncept algebarskog komplementa možemo formulisati teorema ekspanzije determinanten-ti red po redu ili koloni.
Teorema 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju proizvoda svih elemenata određenog reda (ili stupca) njihovim algebarskim komplementama:
(2.6)
Ova teorema leži u osnovi jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja determinante n redom preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Da biste imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati red ili stupac koji ima najviše nula. U praksi, formula ekspanzije za determinantu se obično piše kao:
one. algebarski dodaci su napisani eksplicitno u terminima minora.
Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako što ćete ih prvo sortirati u neki red ili kolonu. Obično u takvim slučajevima odaberite kolonu ili red koji ima najviše nula. Odabrani red ili kolona će biti označeni strelicom.
2.5. Osnovna svojstva determinanti
Proširujući determinantu preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Tada svaka od ovih determinanti ( n–1)-ti red se također može rastaviti na zbir determinanti ( n–2)-ti red. Nastavljajući ovaj proces, dolazi se do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, moraćete da izračunate zbir dva člana, za determinante 3. reda - zbir 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj pojmova će se naglo povećati kako se red determinante povećava. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično radno intenzivan zadatak, izvan mogućnosti čak i kompjutera. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, koristeći svojstva determinanti.
Nekretnina 1 . Odrednica se neće promijeniti ako se redovi i kolone u njoj zamjene, tj. prilikom transponovanja matrice:
.
Ovo svojstvo ukazuje na jednakost redova i stupaca determinante. Drugim riječima, bilo koja izjava o stupcima determinante je tačna i za njene redove i obrnuto.
Nekretnina 2 . Odrednica mijenja predznak kada se zamijene dva reda (kolone).
Posljedica . Ako determinanta ima dva identična reda (kolone), onda je jednaka nuli.
Nekretnina 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem redu (koloni) može se izvaditi iz predznaka determinante.
Na primjer,
Posljedica . Ako su svi elementi određenog reda (stupca) determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.
Nekretnina 4 . Odrednica se neće promijeniti ako se elementi jednog reda (kolone) dodaju elementima drugog reda (kolone), pomnožene bilo kojim brojem.
Na primjer,
Svojstvo 5 . Determinanta proizvoda matrica jednaka je proizvodu determinanti matrica:
Neka sistem linearnih jednačina sadrži onoliko jednačina koliko je nezavisnih varijabli, tj. izgleda kao
Takvi sistemi linearnih jednačina nazivaju se kvadratnim. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nezavisne sistemske varijable(1.5) naziva se glavna determinanta sistema. Označićemo ga grčkim slovom D. Dakle,
. (1.6)
Ako glavna determinanta sadrži proizvoljan ( j th) kolonu, zamijenite kolonom slobodnih termina sistema (1.5), onda možete dobiti n pomoćne kvalifikacije:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sistema (1.5) različita od nule, tada sistem ima i, štaviše, jedina odluka, koji se može pronaći pomoću formula:
(1.8)
Primjer 1.5. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu
.
Izračunajmo glavnu determinantu sistema:
Od D¹0 sistem ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći pomoću formula (1.8):
dakle,
Akcije na matrice
1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.
2. Da biste matricu pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite sve njene elemente ovim brojem. To je
. (1.9)
Primjer 1.6. 
.
Matrično dodavanje.
Ova operacija je uvedena samo za matrice istog reda.
Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:
(1.10)
Operacija sabiranja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.
Primjer 1.7. 
.
Množenje matrice.
Ako je broj kolona matrice A poklapa se sa brojem redova matrice IN, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:
2 
Dakle, prilikom množenja matrice A dimenzije m´ n na matricu IN dimenzije n´ k dobijamo matricu WITH dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice WITH izračunavaju se pomoću sljedećih formula:
Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, proizvod matrica AB I B.A.:
Rješenje. 1) Da biste pronašli posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:
2) Rad B.A. ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redova matrice A.
Inverzna matrica. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom
Matrix A- 1 se naziva inverznom kvadratnom matricom A, ako je jednakost zadovoljena:
gde kroz I označava matricu identiteta istog reda kao i matrica A:
.
Da bi kvadratna matrica imala inverznu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi pomoću formule:
, (1.13)
Gdje A ij- algebarski dodaci elementima a ij matrice A(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice A nalaze se u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih kolona).
Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu
.
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule (1.13), koja je za slučaj n= 3 ima oblik:
.
Hajde da nađemo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Pošto je determinanta originalne matrice različita od nule, inverzna matrica postoji.
1) Pronađite algebarske komplemente A ij:
Radi lakšeg lociranja inverzna matrica, stavili smo algebarske dodatke redovima originalne matrice u odgovarajuće kolone.
Od dobijenih algebarskih sabiraka sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako dobijamo inverznu matricu:
Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi sa glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Da bi se to uradilo, sistem (1.5) je napisan u matričnom obliku:
Gdje 
Množenje obje strane jednakosti (1.14) s lijeve strane sa A- 1, dobijamo rešenje sistema:
, gdje
Dakle, da biste pronašli rješenje za kvadratni sistem, morate pronaći inverznu matricu glavne matrice sistema i pomnožiti je s desne strane matricom stupaca slobodnih članova.
Problem 1.10. Riješiti sistem linearnih jednačina
koristeći inverznu matricu.
Rješenje. Zapišimo sistem u matričnom obliku: ,
Gdje 
- glavna matrica sistema, - kolona nepoznatih i - kolona slobodnih termina. Pošto je glavna determinanta sistema 
, zatim glavna matrica sistema A ima inverznu matricu A-1 . Da pronađemo inverznu matricu A-1, izračunavamo algebarske komplemente svim elementima matrice A:
Od dobijenih brojeva sastavit ćemo matricu (i algebarske dodatke redovima matrice A upišite ga u odgovarajuće kolone) i podijelite determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:
Rješenje sistema pronalazimo pomoću formule (1.15):
dakle,
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi uobičajenom Jordanovom metodom eliminacije
Neka je dat proizvoljan (ne nužno kvadratni) sistem linearnih jednačina:
(1.16)
Potrebno je pronaći rješenje sistema, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sistema (1.16). IN opšti slučaj sistem (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Takođe možda nema nikakvih rješenja.
Prilikom rješavanja ovakvih problema, dobro poznatih školski kurs metoda eliminacije nepoznanica, koja se naziva i metoda obične Jordanove eliminacije. Suština ove metode je da se u jednoj od jednačina sistema (1.16) jedna od varijabli izražava u terminima drugih varijabli. Ova varijabla se zatim zamjenjuje drugim jednadžbama u sistemu. Rezultat je sistem koji sadrži jednu jednačinu i jednu varijablu manje od originalnog sistema. Pamti se jednačina iz koje je varijabla izražena.
Ovaj proces se ponavlja sve dok još jedna posljednja jednačina ne ostane u sistemu. Kroz proces eliminacije nepoznanica, neke jednačine mogu postati pravi identiteti, npr. Takve jednadžbe su isključene iz sistema, jer su zadovoljene za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utiču na rješenje sistema. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer), onda zaključujemo da sistem nema rješenja.
Ako se tokom rješavanja ne pojave kontradiktorne jednačine, tada se jedna od preostalih varijabli u njemu nalazi iz posljednje jednačine. Ako je u posljednjoj jednačini ostala samo jedna varijabla, onda se ona izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, one se smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija ovih parametara. Tada se odvija takozvani „obrnuti pokret“. Pronađena varijabla se zamjenjuje u posljednju zapamćenu jednačinu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorisane jednačine.
Kao rezultat, dobijamo rešenje sistema. Ova odlukaće biti jedinstven ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim i sve ostale, zavise od parametara, tada će sistem imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje vam omogućavaju da pronađete rješenje za sistem ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sistema.
Primjer 1.11.
x
Nakon pamćenja prve jednačine 
i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednačini dolazimo do sistema:
Hajde da se izrazimo y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednačinu:
Prisjetimo se druge jednačine, a iz prve nalazimo z:
Radeći unazad, stalno nalazimo y I z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednačinu, odakle nalazimo y:
.
Zatim ćemo ga zamijeniti u prvu naučenu jednačinu gde ga možemo naći x:
Problem 1.12. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:
. (1.17)
Rješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:
.
Prisjetimo se prve jednadžbe 
U ovom sistemu, prva i druga jednačina su kontradiktorne jedna drugoj. Zaista, izražavanje y 
, dobijamo da je 14 = 17. Ova jednakost ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli x, y, And z. Shodno tome, sistem (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenje.
Pozivamo čitaoce da sami provjere da li je glavna determinanta originalnog sistema (1.17) jednaka nuli.
Razmotrimo sistem koji se od sistema (1.17) razlikuje samo po jednom slobodnom članu.
Problem 1.13. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:
. (1.18)
Rješenje. Kao i ranije, izražavamo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:
.
Prisjetimo se prve jednadžbe i predstavljaju slične članove u drugoj i trećoj jednačini. Dolazimo do sistema:
Izražavanje y iz prve jednačine i zamjenjujući je u drugu jednačinu , dobijamo identitet 14 = 14, koji ne utiče na rešenje sistema, pa se stoga može isključiti iz sistema.
U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatraćemo to parametrom. Mi vjerujemo. Onda
Hajde da zamenimo y I z u prvu zapamćenu jednakost i pronalazak x:
.
Dakle, sistem (1.18) ima beskonačan broj rješenja, a bilo koje rješenje se može pronaći pomoću formule (1.19), odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:
(1.19)
Dakle, rješenja sistema, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju općenito (bilo koje) rješenje sistema (1.18 ).
U slučaju kada originalni sistem (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, naznačena metoda obične Jordanove eliminacije izgleda glomazna. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata sistema u jednom koraku u opšti pogled i formulirati rješenje problema u obliku posebnih Jordanovih tabela.
Neka je dat sistem linearnih oblika (jednačina):
, (1.20)
Gdje x j- nezavisne (tražene) varijable, a ij- konstantne kvote
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni delovi sistema y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti ili varijable (zavisne) ili konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sistem uklanjanjem nepoznanica.
Razmotrimo sljedeću operaciju, od sada nazvanu “jedan korak običnih Jordanovih eliminacija”. Od proizvoljnog ( r th) jednakost izražavamo proizvoljnu varijablu ( xs) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.
Dobićemo sledeći sistem:
. (1.21)
Od s- jednakost sistema (1.21), zatim nalazimo varijablu xs(nakon što su pronađene preostale varijable). S-ti red se pamti i potom isključuje iz sistema. Preostali sistem će sadržavati jednu jednačinu i jednu nezavisnu varijablu manje od originalnog sistema.
Izračunajmo koeficijente rezultujućeg sistema (1.21) kroz koeficijente originalnog sistema (1.20). Počnimo sa r ta jednačina, koja nakon izražavanja varijable xs kroz preostale varijable to će izgledati ovako:
Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju korištenjem sljedećih formula:
(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljne jednačine. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) xs V i jednačina sistema (1.20):
Nakon donošenja sličnih uslova, dobijamo:
(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobijamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sistema (1.21) (sa izuzetkom r ta jednačina):
(1.25)
Transformacija sistema linearnih jednačina metodom obične Jordanove eliminacije prikazana je u obliku tabela (matrica). Ove tabele se nazivaju „jordanski stolovi“.
Dakle, problem (1.20) je povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:
Tabela 1.1
| x 1 | x 2 | … | x j | … | xs | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | a ij | a je | a in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | arn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | a m 1 | a m 2 | a mj | a ms | a mn |
Jordanova tabela 1.1 sadrži lijevu kolonu zaglavlja u kojoj su upisani desni dijelovi sistema (1.20) i gornji red zaglavlja u koji su upisane nezavisne varijable.
Preostali elementi tabele čine glavnu matricu koeficijenata sistema (1.20). Ako pomnožite matricu A na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda naslova, dobijate matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca naslova. To jest, u suštini, Jordanova tabela je matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: . Sistem (1.21) odgovara sljedećoj Jordanovoj tabeli:
Tabela 1.2
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b je | b in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | b r 1 | b r 2 | b rj | b rs | brn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | b mj | bms | b mn |
Permisivni element a rs Istaknut ćemo ih podebljanim slovima. Podsjetimo da za implementaciju jednog koraka Jordanove eliminacije, razlučujući element mora biti različit od nule. Red tabele koji sadrži omogućavajući element naziva se red za omogućavanje. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska sa date na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( xs) iz gornjeg reda zaglavlja tabele se pomera u lijevu kolonu zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sistema ( y r) se pomiče iz lijevog glavnog stupca tabele u gornji glavni red.
Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tabele (1.1) u tabelu (1.2), što sledi iz formula (1.23) i (1.25).
1. Razlučujući element je zamijenjen inverznim brojem:
2. Preostali elementi niza za razrješenje dijele se na razrješavajući element i mijenjaju predznak u suprotan: 
3. Preostali elementi stupca rezolucije podijeljeni su na element rezolucije: 
4. Elementi koji nisu uključeni u redak i kolonu koji dozvoljavaju se ponovo izračunavaju pomoću formula: 
Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak 
, nalaze se na raskrsnici i-oh i r th linije i j th and s th kolone (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i kolona na čijem se presjeku nalazi ponovo izračunati element). Tačnije, prilikom pamćenja formule 
možete koristiti sljedeći dijagram:
Prilikom izvođenja prvog koraka Jordanovih izuzetaka, možete odabrati bilo koji element iz Tabele 1.3 koji se nalazi u kolonama kao element za rješavanje x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu nula). Samo nemojte odabrati element za omogućavanje u posljednjoj koloni, jer morate pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Na primjer, biramo koeficijent 1 sa promenljivom x 3 u trećem redu tabele 1.3 (element omogućavanja je podebljan). Prilikom prelaska na tabelu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). U ovom slučaju, varijabla x 3 se izražava kroz preostale varijable.
String x 3 (Tabela 1.4) može se, nakon pamćenja unaprijed, isključiti iz Tabele 1.4. Treća kolona sa nulom u gornjem redu naslova takođe je isključena iz tabele 1.4. Poenta je da bez obzira na koeficijente date kolone b i 3 svi odgovarajući članovi svake jednačine 0 b i 3 sistema će biti jednaka nuli. Stoga ove koeficijente nije potrebno izračunavati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sećajući se jedne od jednačina, dolazimo do sistema koji odgovara tabeli 1.4 (sa precrtanom linijom x 3). Odabir u tabeli 1.4 kao element za razrješenje b 14 = -5, idite na tabelu 1.5. U tabeli 1.5 zapamtite prvi red i isključite ga iz tabele zajedno sa četvrtom kolonom (sa nulom na vrhu).
Tabela 1.5 Tabela 1.6
Od zadnji sto 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Dosljedno zamjenjujući već pronađene varijable u zapamćene linije, nalazimo preostale varijable:
Dakle, sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Varijabilna x 5, mogu se dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sistema i pronašli ga zajednička odluka:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Parametar davanja t različitih vrijednosti, dobićemo beskonačan broj rješenja originalnog sistema. Tako, na primjer, rješenje sistema je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Da biste savladali ovaj paragraf, morate biti u stanju otkriti determinante “dva po dva” i “tri po tri”. Ako ste loši sa kvalifikacijama, molimo vas da proučite lekciju Kako izračunati determinantu?
Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za što? - Nakon svega najjednostavniji sistem može se riješiti školskom metodom, metodom zbrajanja pojam!
Činjenica je da se, iako ponekad, pojavljuje takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako da više koristite Cramerovo pravilo složen slučaj– sistemi od tri jednačine sa tri nepoznate.
Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila!
Razmotrimo sistem jednačina
U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.
Gaussova metoda.
Ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I
U praksi se gore navedeni kvalifikatori također mogu označiti latinično pismo.
Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula:
,
Primjer 7
Riješiti sistem linearnih jednačina 
Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki, na desnoj strani su decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike; ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.
Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.
sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.
;
;
Odgovori: ,
Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.
Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristiti ovu metodu, obavezna Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.
Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se zgodno može izvesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani.
Primjer 8
Odgovor predstaviti u običnom nepravilni razlomci. Proveri.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).
Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice: 
Pronalazimo glavnu odrednicu sistema: 
Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.
Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante: 
, 
, 
I konačno, odgovor se izračunava pomoću formula: 
Kao što vidite, slučaj "tri po tri" se suštinski ne razlikuje od slučaja "dva po dva"; kolona slobodnih pojmova uzastopno "šeta" s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.
Primjer 9
Riješite sistem koristeći Cramerove formule. 
Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule. 
, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Odgovori: 
.
Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.
Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:
1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).
2) Ako se ne identifikuju greške kao rezultat provjere, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čist list nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.
Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja); odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema matrična metoda.
Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer: 
Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu: 
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje proračuna.
Primjer 10
Riješite sistem koristeći Cramerove formule. 
Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).
Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Primjer uživo možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.
Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice
Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).
Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala.
Primjer 11
Riješite sistem matričnim metodom 
Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku:
, Gdje 
Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
Prvo, pogledajmo determinantu:
Ovdje je determinanta proširena na prvi red.
Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).
Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora 
referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi: 
To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca
Prilikom rješavanja bolje je detaljno opisati izračunavanje maloljetnika, iako se uz određeno iskustvo možete naviknuti da ih usmeno računate s greškama.
Metode Kramer I Gauss- jedna od najpopularnijih metoda rješenja SLAU. Osim toga, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti posebne metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas ćemo pogledati rješenje korištenjem Cramerove metode. Na kraju krajeva, rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode je vrlo korisna vještina.
Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi
Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je sistem jednadžbi oblika:
Vrijednost postavljena x , u kojem se jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se rješenjem sistema, a I b su realni koeficijenti. Jednostavan sistem koji se sastoji od dvije jednačine sa dvije nepoznate može se riješiti u vašoj glavi ili izražavanjem jedne varijable u terminima druge. Ali u SLAE može biti mnogo više od dvije varijable (xes), a ovdje jednostavne školske manipulacije nisu dovoljne. sta da radim? Na primjer, riješite SLAE koristeći Cramerovu metodu!
Dakle, neka se sistem sastoji od n jednačine sa n nepoznato.
Takav sistem se može prepisati u matričnom obliku
Evo A – glavna matrica sistema, X I B , odnosno matrice kolona nepoznatih varijabli i slobodnih termina.
Rješavanje SLAE-a korištenjem Cramerove metode
Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica nije singularna), sistem se može riješiti Cramerovom metodom.
Prema Cramerovoj metodi, rješenje se nalazi pomoću formula:
Evo delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-ti – determinanta dobijena iz determinante glavne matrice zamjenom n-te kolone kolonom slobodnih članova.
Ovo je cela suština Cramer metode. Zamjena vrijednosti pronađenih korištenjem gornjih formula x u željeni sistem, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Da bismo vam pomogli da brže shvatite suštinu, dajte primjer u nastavku. detaljno rješenje SLAE po Cramer metodi:
Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete lomiti SLAU kao orahe. Štaviše, sada apsolutno nije neophodno da se bavite notebookom, rešavajući glomazne proračune i zapisujući jezgro. Možete jednostavno riješiti SLAE koristeći Cramerovu metodu na mreži, samo zamjenom koeficijenata u gotov oblik. Probaj online kalkulator Rješenja korištenjem Cramerove metode mogu se naći, na primjer, na ovoj web stranici.
A ako se sistem pokaže tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se možete obratiti našim autorima za pomoć, na primjer. Ako u sistemu ima bar 100 nepoznatih, mi ćemo to sigurno riješiti ispravno i na vrijeme!