On ovu lekciju sabiranje i oduzimanje će biti pokriveno algebarski razlomci With različiti imenioci. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koje ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.
Hajde da razmotrimo najjednostavniji primjer Za obične frakcije.
Primjer 1. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.
Definicija
Najmanje prirodni broj, koji je istovremeno djeljiv brojevima i .
Da biste pronašli LCM, potrebno je da faktore delite na proste faktore, a zatim da odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.
; . Tada LCM brojeva mora uključivati dvije dvojke i dvije trojke: .
Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).
Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.
Dobijamo: 
.
odgovor:.
Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.
Primjer 2. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički imenitelj ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.
.
odgovor:.
Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:
1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.
2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).
3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.
4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.
Primjer 3. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovaj primjer ima oblik:.
odgovor:.
Primjer 4. Oduzmite razlomke: .
Rješenje:
Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.
odgovor:.
Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 5. Pojednostavite: .
Rješenje:
Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).
U ovom konkretnom slučaju:
Tada je lako odrediti zajednički imenilac: 
.
Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:
odgovor:.
Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Primjer 6. Pojednostavite: .
Rješenje:
odgovor:.
Primjer 7. Pojednostavite: .
Rješenje:
.
odgovor:.
Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).
Primjer 8. Pojednostavite: .
Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, pogledajte možete li skratiti razlomak koji ste dobili.
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima, primjeri:
,
,
Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.
Ako je potrebno oduzeti razlomak od jedinice koja je pravilna, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka, njen nazivnik je jednak nazivniku oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:
Imenilac razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. predstavljamo jedan kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.
Pravila za oduzimanje razlomaka - tačno od celog broja (prirodni broj):
- Zadane razlomke koji sadrže cijeli broj pretvaramo u nepravilne. Dobijamo normalne članove (nije bitno da li imaju različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
- Zatim izračunavamo razliku između frakcija koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
- Izvodimo obrnutu transformaciju, odnosno oslobađamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.
Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: predstavite prirodni broj kao mješoviti broj. One. Uzimamo jedinicu prirodnog broja i pretvaramo je u oblik nepravilnog razlomka, pri čemu je imenilac isti kao i kod oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja razlomaka:
U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i oduzeli razlomak od razlomka.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke prvo svesti na najmanji zajednički imenilac (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka sa istim nazivnicima.
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su imenioci ovih razlomaka.
Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojilac i nazivnik imaju zajedničke faktore, onda se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak je najbolje predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!
Postupak za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
- pronaći LCM za sve nazivnike;
- dodati dodatne faktore za sve razlomke;
- pomnožiti sve brojioce dodatnim faktorom;
- Dobivene proizvode upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički imenilac pod svim razlomcima;
- oduzmi brojioce razlomaka, potpisujući zajednički imenilac ispod razlike.
Na isti način se vrši sabiranje i oduzimanje razlomaka ako u brojiocu postoje slova.
Oduzimanje razlomaka, primjeri:
Oduzimanje mješovitih razlomaka.
At oduzimanje miješane frakcije(brojevi) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog broja, a razlomak se oduzima od razlomka.
Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Ako su razlomci isto imenioci i brojilac razlomnog dela minusa (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomnog dela oduzetog (oduzimamo ga).
Na primjer:
Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Kada su razlomci drugačije imenioci. Za početak, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, a nakon toga cijeli dio oduzimamo od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Na primjer:
Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Razlomački dio minuenda je manji od razlomnog dijela oduzetog.
primjer:
Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, prvo obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.
Brojilac razlomnog dijela minusa manji je od brojnika razlomnog dijela oduzetog.3 < 14. To znači da od cijelog dijela uzimamo jedinicu i ovu jedinicu svedemo na oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.
U brojiocu na desnoj strani upisujemo zbir brojnika, zatim otvaramo zagrade u brojniku na desnoj strani, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. Dobijamo:
Razlomci su obični brojevi i mogu se sabirati i oduzimati. Ali budući da imaju nazivnik, zahtijevaju složenija pravila nego za cijele brojeve.
Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka sa istim nazivnicima. onda:
Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen.
Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostavite nepromijenjen.
Unutar svakog izraza imenioci razlomaka su jednaki. Po definiciji sabiranja i oduzimanja razlomaka dobijamo:
Kao što vidite, nije ništa komplikovano: samo zbrojimo ili oduzmemo brojioce i to je to.
Ali čak i u takvim jednostavnim radnjama ljudi uspijevaju pogriješiti. Ono što se najčešće zaboravlja jeste da se imenilac ne menja. Na primjer, kada ih se dodaju, oni također počinju da se zbrajaju, a to je u osnovi pogrešno.
Riješite se loša navika Sabiranje nazivnika je prilično jednostavno. Pokušajte istu stvar prilikom oduzimanja. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak će (odjednom!) izgubiti svoje značenje.
Zato zapamtite jednom za svagda: pri sabiranju i oduzimanju imenilac se ne menja!
Mnogi ljudi također griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje staviti plus.
I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojilac - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:
- Plus po minus daje minus;
- Dva negativa čine potvrdno.
Pogledajmo sve ovo na konkretnim primjerima:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
U prvom slučaju, sve je jednostavno, ali u drugom, dodajmo minuse brojiocima razlomaka:
Šta učiniti ako su imenioci različiti
Ne možete direktno sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Bar mi je ovaj metod nepoznat. Međutim, originalni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da imenioci postanu isti.
Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. Tri od njih su obrađene u lekciji „Svođenje razlomaka na zajednički imenilac“, tako da se ovde nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
U prvom slučaju razlomke svodimo na zajednički nazivnik metodom “križ-križ”. U drugom ćemo tražiti NOC. Imajte na umu da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Poslednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi su relativno prosti. Dakle, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Šta učiniti ako razlomak ima cijeli broj
Mogu vam ugoditi: različiti imenioci u razlomcima nisu najveće zlo. Mnogo više grešaka javlja se kada je cijeli broj izoliran u razlomcima.
Naravno, postoje vlastiti algoritmi za sabiranje i oduzimanje za takve razlomke, ali oni su prilično složeni i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolje koristiti jednostavan dijagram, dato u nastavku:
- Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobijamo normalne članove (čak i sa različitim nazivnicima), koji su izračunati prema gore navedenim pravilima;
- Zapravo, izračunajte zbir ili razliku rezultujućih razlomaka. Kao rezultat toga, praktično ćemo pronaći odgovor;
- Ako je to sve što je bilo potrebno u zadatku, vršimo inverznu transformaciju, tj. Riješimo se nepravilnog razlomka tako što ćemo istaći cijeli dio.
Pravila za prelazak na nepravilne razlomke i isticanje cijelog dijela detaljno su opisana u lekciji „Šta je brojčani razlomak“. Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Ovdje je sve jednostavno. Imenioci unutar svakog izraza su jednaki, tako da ostaje samo da prevedete sve razlomke u nepravilne i izbrojite. Imamo:
Da bih pojednostavio proračune, preskočio sam neke očigledne korake u posljednjim primjerima.
Mala napomena o posljednja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli dio.
Ponovo pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere - i razmislite o tome. To je ono što početnici priznaju velika količina greške. Oni vole davati takve zadatke testovi. Također ćete ih nekoliko puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.
Sažetak: opća shema proračuna
U zaključku ću dati opšti algoritam, koji će vam pomoći da pronađete zbir ili razliku dva ili više razlomaka:
- Ako jedan ili više razlomaka imaju cijeli broj, pretvorite te razlomke u nepravilne;
- Dovedite sve razlomke u zajednički imenilac na bilo koji način koji vam odgovara (osim, naravno, ako to nisu uradili pisci problema);
- Dobivene brojeve sabirati ili oduzimati prema pravilima za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima;
- Ako je moguće, skratite rezultat. Ako je razlomak netačan, odaberite cijeli dio.
Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije nego što zapišete odgovor.
Vaše dijete je dovelo zadaća iz škole i ne znaš kako to riješiti? Onda je ova mini lekcija za vas!
Kako sabrati decimale
Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu. Za obavljanje sabiranja decimale, morate se pridržavati jednog jednostavnog pravila:
- Mjesto mora biti ispod mjesta, zarez ispod zareza.
Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice se nalaze jedna ispod druge, desetinke i stotinke su smještene jedna ispod druge. Sada dodajemo brojeve, zanemarujući zarez. Šta učiniti sa zarezom? Zarez se pomera na mesto gde je stajao u celobrojnoj kategoriji.
Sabiranje razlomaka sa jednakim nazivnicima
Da biste izvršili sabiranje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati imenilac nepromijenjenim, pronaći zbir brojilaca i dobiti razlomak koji će biti ukupan zbir.
Sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima korištenjem metode zajedničkog višestruka
Prva stvar na koju treba da obratite pažnju su imenioci. Imenioci su različiti, zar nisu djeljivi jedni s drugima, zar ne primarni brojevi. Prvo morate to dovesti do jednog zajedničkog nazivnika, postoji nekoliko načina da to učinite:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv sa 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b – LCM (a;b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjeravamo: 12:3=4; 12:4=3.
- Pomnožimo faktore i dodamo rezultirajuće brojeve, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.
- Da bismo nepravilan razlomak pretvorili u pravi, podijelimo brojilac sa nazivnikom, dobićemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojilac, a 12 je imenilac.
Zbrajanje razlomaka metodom unakrsnog množenja
Za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, postoji još jedna metoda koja koristi formulu „križ na križ“. Ovo je zagarantovan način za izjednačavanje nazivnika, da biste to učinili, morate pomnožiti brojioce sa nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste samo uključeni početna faza proučavajući razlomke, onda je ova metoda najjednostavniji i najprecizniji način da se dobije tačan rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.
Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koje ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.
Pogledajmo najjednostavniji primjer običnih razlomaka.
Primjer 1. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.
Definicija
Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .
Da biste pronašli LCM, potrebno je da faktore delite na proste faktore, a zatim da odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.
; . Tada LCM brojeva mora uključivati dvije dvojke i dvije trojke: .
Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).
Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.
Dobijamo: .
odgovor:.
Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.
Primjer 2. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički imenitelj ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.
.
odgovor:.
Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:
1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.
2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).
3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.
4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.
Primjer 3. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.
odgovor:.
Primjer 4. Oduzmite razlomke: .
Rješenje:
Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.
odgovor:.
Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 5. Pojednostavite: .
Rješenje:
Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).
U ovom konkretnom slučaju:
Tada je lako odrediti zajednički imenilac: .
Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:
odgovor:.
Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Primjer 6. Pojednostavite: .
Rješenje:
odgovor:.
Primjer 7. Pojednostavite: .
Rješenje:
.
odgovor:.
Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).
Primjer 8. Pojednostavite: .