Pojam " divna granica„Široko se koristi u udžbenicima i metodološki priručnici za označavanje važnih identiteta koji značajno pomažu pojednostavite svoj posao o pronalaženju granica.
Ali da biti u mogućnosti donijeti vaša granica divnoga, morate to dobro pogledati, jer ih nema u direktni oblik, a često iu obliku posljedica, opremljenih dodatnim pojmovima i faktorima. Međutim, prvo teorija, pa primjeri i uspjet ćete!
Prva divna granica
Sviđa mi se? Dodaj u oznake
Prvo značajno ograničenje je napisano na sljedeći način (neizvjesnost oblika $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Posljedice iz prve izvanredne granice
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$Primjeri rješenja: 1 divno ograničenje
Primjer 1. Izračunajte granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Rješenje. Prvi korak je uvijek isti - zamjenjujemo graničnu vrijednost $x=0$ u funkciju i dobijamo:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$, koju treba otkriti. Ako bolje pogledate, originalno ograničenje je vrlo slično prvom značajnom, ali nije isto. Naš zadatak je da ga dovedemo do sličnosti. Hajde da to transformišemo ovako - pogledajmo izraz ispod sinusa, uradimo isto u nazivniku (relativno rečeno, pomnožimo i podelimo sa $3x$), zatim smanjimo i pojednostavimo:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Iznad je tačno prva izuzetna granica: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin (y) ))(y)=1, \text( napravio uslovnu zamjenu) y=3x. $$ odgovor: $3/8$.
Primjer 2. Izračunajte granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Rješenje. Zamjenjujemo graničnu vrijednost $x=0$ u funkciju i dobijamo:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\desno] =\left[ \frac(1-1)(0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Transformirajmo granicu koristeći prvu divnu granicu (tri puta!) pojednostavljeno:
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
odgovor: $9/16$.
Primjer 3. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Rješenje.Šta ako pod trigonometrijskom funkcijom složen izraz? Nema veze, i ovdje nastavljamo na isti način. Prvo, provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=0$ u funkciju i dobijemo:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Pomnožite i podijelite sa $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$
Opet smo dobili nesigurnost, ali u ovom slučaju to je samo djelić. Smanjimo brojilac i imenilac za $x$:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\desno] =\ frac(3)(5). $$
odgovor: $3/5$.
Druga divna granica
Druga izuzetna granica je napisana na sljedeći način (neizvjesnost oblika $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \levo(1+x\desno)^(1/x)=e. $$
Posljedice druge izvanredne granice
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$Primjeri rješenja: 2 divna limita
Primjer 4. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Rješenje. Provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=\infty$ u funkciju i dobijemo:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Dobili smo nesigurnost oblika $\left$. Granica se može svesti na drugu izvanrednu stvar. transformirajmo:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
Izraz u zagradama je zapravo druga izuzetna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t= - 3x/2$, dakle
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
odgovor:$e^(-2/3)$.
Primjer 5. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
Rješenje. Zamjenjujemo $x=\infty$ u funkciju i dobijamo nesigurnost oblika $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. I trebamo $\left$. Dakle, počnimo sa transformacijom izraza u zagradama:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\desno)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \desno)^(x) = \lim\limits_(x\do \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\desno) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\desno)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
Izraz u zagradama je zapravo druga izuzetna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dakle
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Pronađite divne granice Teško je ne samo mnogim studentima prve i druge godine koji uče teoriju granica, već i nekim nastavnicima.
Formula za prvu izvanrednu granicu
Posljedice prve izvanredne granice
zapišimo to formulama
1. 2. 3. 4. Ali sami opšte formule izuzetna ograničenja nikome ne pomažu na ispitu ili testu. Poenta je da su pravi zadaci konstruisani tako da još uvek treba da dođete do gore napisanih formula. A većina studenata koji izostaju sa nastave, studiraju ovaj predmet u odsustvu ili imaju nastavnike koji ni sami ne razumiju uvijek ono što objašnjavaju, ne može da izračuna najelementarnije primjere do izvanrednih granica. Iz formula prve izvanredne granice vidimo da je uz njihovu pomoć moguće proučavati nesigurnosti tipa nula podijeljena nulom za izraze sa trigonometrijskim funkcijama. Razmotrimo prvo nekoliko primjera prve izvanredne granice, a zatim proučimo drugu izuzetnu granicu.
Primjer 1. Pronađite granicu funkcije sin(7*x)/(5*x)
Rješenje: Kao što vidite, funkcija ispod granice je blizu prve izvanredne granice, ali granica same funkcije definitivno nije jednaka jedinici. U ovakvim zadacima o granicama treba izabrati u nazivniku promenljivu sa istim koeficijentom koji se nalazi u varijabli ispod sinusa. U ovom slučaju, podijelite i pomnožite sa 7 
Nekima će se takav detalj činiti nepotrebnim, ali većini učenika kojima je teško razumjeti ograničenja, pomoći će im da bolje razumiju pravila i nauče teorijski materijal.
Također, ako postoji inverzni oblik funkcije, ovo je ujedno i prva divna granica. A sve zato što je divna granica jednaka jedan
Isto pravilo važi i za posledice 1. izuzetne granice. Stoga, ako vas pitaju: "Koja je prva izuzetna granica?" Trebali biste bez oklijevanja odgovoriti da je to jedinica.
Primjer 2. Pronađite granicu funkcije sin(6x)/tan(11x)
Rješenje: Da bismo razumjeli konačni rezultat, zapišimo funkciju u obrazac 
Da biste primijenili pravila izuzetne granice, pomnožite i podijelite faktorima
Zatim pišemo granicu proizvoda funkcija kroz proizvod granica 
Bez složene formule našli smo granicu caske trigonometrijske funkcije. Za asimilaciju jednostavne formule pokušajte smisliti i pronaći granicu na 2 i 4, formulu za posljedica 1 divne granice. Razmotrićemo složenije probleme.
Primjer 3: Izračunajte granicu (1-cos(x))/x^2
Rješenje: Prilikom provjere zamjenom, dobijamo nesigurnost 0/0. Mnogi ljudi ne znaju kako takav primjer svesti na jednu izuzetnu granicu. Ovdje biste trebali koristiti trigonometrijska formula 
U ovom slučaju, granica će se transformisati u jasan oblik 
Uspjeli smo svesti funkciju na kvadrat izvanredne granice.
Primjer 4. Pronađite granicu
Rješenje: Prilikom zamjene dobijamo poznatu osobinu 0/0. Međutim, varijabla teži pi, a ne nuli. Stoga, da bismo primijenili prvo značajno ograničenje, izvršit ćemo takvu promjenu varijable x tako da nova varijabla ide na nulu. Da bismo to učinili, nazivnik označavamo kao novu varijablu Pi-x=y 
Dakle, koristeći trigonometrijsku formulu datu u prethodnom zadatku, primjer je sveden na 1 izuzetnu granicu.
Primjer 5: Izračunajte ograničenje 
Rješenje: U početku nije jasno kako pojednostaviti ograničenja. Ali pošto postoji primjer, onda mora postojati i odgovor. Činjenica da varijabla ide u jedinicu daje, prilikom zamjene, obilježje oblika nula pomnoženog sa beskonačnošću, pa se tangenta mora zamijeniti pomoću formule 
Nakon toga dobijamo potrebnu nesigurnost 0/0. Zatim vršimo promjenu varijabli u granici i koristimo periodičnost kotangensa 
Posljednje zamjene nam dopuštaju da koristimo Korolar 1 izuzetnog ograničenja.
Druga izuzetna granica jednaka je eksponencijalnoj
Ovo je klasika kojoj stvarni problemi granice nije uvek lako dostići.
U proračunima će vam trebati ograničenja su posljedice druge izuzetne granice:
1. 
2. 
3. 
4.
Zahvaljujući drugoj izuzetnoj granici i njenim posljedicama, moguće je istražiti nesigurnosti kao što su nula podijeljena nulom, jedan na stepen beskonačnosti i beskonačnost podijeljena beskonačnošću, pa čak i u istom stepenu 
Počnimo s jednostavnim primjerima.
Primjer 6. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Direktna primjena 2. izuzetnog ograničenja neće raditi. Prvo, trebate transformirati eksponent tako da izgleda kao inverzno izrazu u zagradama 
Ovo je tehnika svođenja na 2. izuzetnu granicu i, u suštini, izvođenje 2. formule za posledicu granice.
Primjer 7. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Imamo zadatke za formulu 3 posljedice 2 divne granice. Zamjena nule daje singularnost oblika 0/0. Da bismo podigli granicu na pravilo, okrećemo imenilac tako da varijabla ima isti koeficijent kao u logaritmu 
Takođe je lako razumjeti i izvesti na ispitu. Poteškoće učenika u izračunavanju granica počinju sa sljedećim problemima.
Primjer 8. Izračunajte granicu funkcije[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Rješenje: Imamo singularitet tipa 1 na stepen beskonačnosti. Ako mi ne vjerujete, možete svugdje zamijeniti beskonačnost sa "X" i uvjeriti se u to. Da bismo konstruirali pravilo, podijelimo brojilac sa nazivnikom u zagradama; da bismo to učinili, prvo izvodimo manipulacije 
Zamijenimo izraz u granicu i pretvorimo ga u 2 divna granica 
Granica je jednaka eksponencijalnoj snazi 10. Konstante koje su termini sa promjenljivom, kako u zagradama tako iu stepenu, ne uvode nikakvo “vrijeme” - to treba imati na umu. A ako vas nastavnici pitaju: "Zašto ne pretvorite indikator?" (Za ovaj primjer u x-3), zatim recite: “Kada varijabla teži beskonačnosti, onda joj čak dodajte 100 ili oduzmite 1000, a granica će ostati ista kao što je bila!”
Postoji drugi način za izračunavanje ograničenja ovog tipa. O tome ćemo razgovarati u sljedećem zadatku.
Primjer 9. Pronađite granicu 
Rješenje: Hajde da sada izvadimo varijablu u brojniku i nazivniku i pretvorimo jednu osobinu u drugu. Da bismo dobili konačnu vrijednost, koristimo formulu Korolar 2 izvanredne granice 
Primjer 10. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Ne može svako pronaći dato ograničenje. Da biste podigli granicu na 2, zamislite da je sin (3x) varijabla i trebate okrenuti eksponent 
Dalje, zapisujemo indikator kao snagu na stepen 
Intermedijarni argumenti su opisani u zagradama. Kao rezultat korištenja prve i druge izvanredne granice, dobili smo eksponencijal u kocki.
Primjer 11. Izračunajte granicu funkcije sin(2*x)/ln(3*x+1)
Rješenje: Imamo nesigurnost oblika 0/0. Osim toga, vidimo da funkciju treba konvertirati da koristi oba divna ograničenja. Izvršimo prethodne matematičke transformacije 
Dalje, bez poteškoća, granica će uzeti vrijednost 
Ovako ćete se osjećati slobodni na zadacima, testovima, modulima ako naučite brzo ispisivati funkcije i svesti ih na prvu ili drugu divnu granicu. Ako vam je teško zapamtiti date metode za pronalaženje granica, uvijek možete naručiti test do naših granica.
Da biste to učinili, ispunite obrazac, navedite podatke i priložite datoteku s primjerima. Pomogli smo mnogim studentima - možemo pomoći i vama!
Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i sa čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumete šta su determinante i uspešno ih rešavate; možda uopšte ne razumete šta je derivacija i nalazite ih sa „A“. Ali ako ne razumijete što je granica, onda će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije su predstavljene u jednostavnom i pristupačnom obliku.
I za svrhe ovu lekciju Biće nam potrebni sledeći nastavni materijali: Wonderful Limits I Trigonometrijske formule. Mogu se naći na stranici. Najbolje je odštampati priručnike - to je mnogo zgodnije, a osim toga, često ćete morati da ih koristite van mreže.
Šta je tako posebno u izvanrednim granicama? Izvanredna stvar u vezi sa ovim ograničenjima je da su dokazana najveći umovi slavni matematičari, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s gomilom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.
Postoji nekoliko divnih ograničenja, ali u praksi, u 95% slučajeva, vanredni studenti imaju dvije divne granice: Prva divna granica, Druga divna granica. Treba napomenuti da su to istorijski ustaljeni nazivi, a kada se, na primjer, govori o „prvoj izuzetnoj granici“, pod tim se misli na sasvim konkretnu stvar, a ne na neku nasumično uzetu granicu sa plafona.
Prva divna granica
Uzmite u obzir sljedeću granicu: (umjesto izvornog slova “he” koristit ću grčko slovo “alpha”, ovo je pogodnije sa stanovišta predstavljanja materijala).
Prema našem pravilu za pronalaženje granica (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo da zamenimo nulu u funkciju: u brojiocu dobijamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku, očigledno, takođe postoji nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme, koju, na sreću, ne treba otkrivati. Znam matematička analiza, dokazano je da:
Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću davati analitički dokaz ograničenja, ali evo ga: geometrijsko značenje pogledaćemo to na času beskonačno male funkcije.
Često se u praktičnim zadacima funkcije mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:
- ista prva divna granica.
Ali ne možete sami preurediti brojilac i imenilac! Ako je ograničenje dato u obliku , onda se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja bilo čega.
U praksi, ne samo varijabla može djelovati kao parametar, već i elementarna funkcija, složena funkcija. Važno je samo da teži nuli.
primjeri:
, , 
, 
ovdje , , , 
, i sve je dobro - prva divna granica je primjenjiva.
Ali sljedeći unos je hereza:
Zašto? Pošto polinom ne teži nuli, teži petici.
Usput, kratko pitanje: koja je granica? 
? Odgovor možete pronaći na kraju lekcije.
U praksi nije sve tako glatko, gotovo nikada se studentu ne ponudi da riješi besplatni limit i dobije laku prolaz. Hmmm... Pišem ove redove i pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - uostalom, bolje je pamtiti "besplatne" matematičke definicije i formule napamet, to može biti od neprocjenjive pomoći u testu, kada će pitanje bude odlučeno između „dva“ i „tri“, a nastavnik odlučuje da učeniku postavi neko jednostavno pitanje ili ponudi da reši najjednostavniji primjer(„možda on(i) još zna šta?!“).
Idemo dalje na razmatranje praktični primjeri:
Primjer 1
Pronađite granicu
Ako primijetimo sinus u granici, onda bi nas to odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve izvanredne granice.
Prvo, pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (to radimo mentalno ili u nacrtu):
Dakle, imamo nesigurnost forme obavezno naznačite u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice je sličan prvoj divnoj granici, ali to nije baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.
U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu izvanrednu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezonovanje bi moglo biti sljedeće: “ispod sinusa imamo , što znači da i mi trebamo ući u nazivnik.”
A to se radi vrlo jednostavno:
To jest, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli sa istim sedam. Sada je naš snimak poprimio poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu izuzetnu granicu jednostavnom olovkom:
Šta se desilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz se pretvorio u jedinicu i nestao u radu: 
Sada ostaje samo da se riješimo trospratne frakcije: 
Ko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više nivoa, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski kurs matematike .
Spreman. Konačan odgovor:
Ako ne želite koristiti oznake olovkom, rješenje se može napisati ovako:
“
Iskoristimo prvu divnu granicu 
“
Primjer 2
Pronađite granicu
Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:
Zaista, imamo neizvjesnost i stoga moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. Na lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja uzeli smo u obzir pravilo da kada imamo neizvjesnost, moramo faktorizirati brojnik i imenilac. Ovdje je ista stvar, stepene ćemo predstaviti kao proizvod (množitelje):
Slično kao u prethodnom primjeru, crtamo olovkom oko izuzetnih granica (ovdje su dvije) i pokazujemo da teže jedinstvu:
Zapravo, odgovor je spreman:
U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako ispravno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.
Primjer 3
Pronađite granicu
Zamjenjujemo nulu u izraz ispod predznaka granice:
Dobivena je nesigurnost koju treba otkriti. Ako postoji tangenta u granici, onda se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus koristeći dobro poznatu trigonometrijsku formulu (usput, oni rade približno istu stvar s kotangensom, vidi sl. metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule Na stranici Matematičke formule, tabele i referentni materijali).
U ovom slučaju:
Kosinus nule jednak je jedan i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedan):
Dakle, ako je u granici kosinus MNOŽITELJ, onda ga, grubo rečeno, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u proizvodu.
Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez ikakvih množenja i dijeljenja. Prva izuzetna granica se također pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:
Kao rezultat, dobija se beskonačnost i to se dešava.
Primjer 4
Pronađite granicu
Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:
Dobije se nesigurnost (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)
Koristimo trigonometrijsku formulu. Uzeti u obzir! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu su vrlo česta.
Pomaknimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:
Organizirajmo prvu divnu granicu:
Ovdje imamo samo jedno izuzetno ograničenje koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:
Oslobodimo se trospratne strukture:
Granica je zapravo riješena, ukazujemo da preostali sinus teži nuli:
Primjer 5
Pronađite granicu 
Ovaj primjer je komplikovaniji, pokušajte sami shvatiti:
Neka ograničenja se mogu svesti na 1. izuzetnu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.
Druga divna granica
U teoriji matematičke analize dokazano je da:
Ova činjenica se zove druga divna granica.
referenca: 
je iracionalan broj.
Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.
Primjer 6
Pronađite granicu
Kada je izraz ispod graničnog znaka u stepenu, ovo je prvi znak da trebate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.
Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo beskrajno zamijeniti veliki broj u izrazu po kom principu se to radi, o čemu se govori u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.
Lako je primijetiti da kada baza stepena je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:
Ova neizvjesnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često dešava, druga divna granica ne leži na srebrnom tacni, i treba je veštački organizovati. Može se rezonovati na sljedeći način: in u ovom primjeru parametar, što znači da u indikatoru također trebamo organizirati . Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a da se izraz ne promijeni, dižemo je na stepen:
Kada je zadatak završen rukom, olovkom označavamo:
Skoro sve je spremno, strašni stepen se pretvorio u lepo pismo:
U ovom slučaju premjestimo samu ikonu ograničenja na indikator:
Primjer 7
Pronađite granicu
Pažnja! Ova vrsta ograničenja se javlja vrlo često, molimo vas da pažljivo proučite ovaj primjer.
Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod predznaka granice:
Rezultat je neizvjesnost. Ali druga izuzetna granica odnosi se na nesigurnost forme. sta da radim? Moramo da konvertujemo bazu stepena. Mi razmišljamo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .
Ovaj članak: “Druga izuzetna granica” posvećen je otkrivanju u granicama nesigurnosti oblika:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ i $ ^\infty $.
Također, takve nesigurnosti se mogu otkriti pomoću logaritma eksponencijalne funkcije, ali ovo je još jedna metoda rješenja koja će biti obrađena u drugom članku.
Formula i posljedice
Formula druga izuzetna granica je napisana na sljedeći način: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( gdje je ) e \približno 2.718 $$
To proizilazi iz formule posljedice, koje je vrlo zgodno koristiti za rješavanje primjera s ograničenjima: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( gdje je ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Vrijedi napomenuti da se druga izvanredna granica ne može uvijek primijeniti na eksponencijalnu funkciju, već samo u slučajevima kada baza teži jedinstvu. Da biste to učinili, prvo mentalno izračunajte granicu baze, a zatim izvucite zaključke. O svemu ovome će se govoriti u primjerima rješenja.
Primjeri rješenja
Pogledajmo primjere rješenja koristeći direktnu formulu i njene posljedice. Također ćemo analizirati slučajeve u kojima formula nije potrebna. Dovoljno je napisati samo gotov odgovor.
| Primjer 1 |
| Pronađite granicu $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Rješenje |
|
Zamijenimo beskonačnost u granicu i pogledajmo nesigurnost: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Nađimo granicu baze: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Imam razlog jednako jedan, što znači da je već moguće primijeniti drugu izvanrednu granicu. Da bismo to učinili, prilagodimo osnovu funkcije formuli oduzimanjem i dodavanjem jednog: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Pogledajmo drugi zaključak i zapišimo odgovor: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika! |
| Odgovori |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Primjer 4 |
| Riješite granicu $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Rješenje |
|
Pronalazimo granicu baze i vidimo da je $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, što znači da možemo primijeniti drugu izvanrednu granicu. Prema standardnom planu, dodajemo i oduzimamo jedan od osnove stepena: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Razlomak prilagođavamo formuli 2. note. limit: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Sada podesimo stepen. Potencija mora sadržavati razlomak jednak nazivniku baze $ \frac(3x^2-2)(6) $. Da biste to učinili, pomnožite i podijelite stepen s njim i nastavite rješavati: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Granica koja se nalazi u stepenu na $ e $ je jednaka: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Dakle, nastavljajući rješenje imamo: |
| Odgovori |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Hajde da ispitamo slučajeve u kojima je problem sličan drugoj izuzetnoj granici, ali se može rešiti bez nje.
U članku: “Druga izuzetna granica: primjeri rješenja” analizirana je formula, njene posljedice i dati uobičajeni tipovi problema na ovu temu.
Sada, mirne duše, pređimo na razmatranje divne granice.
izgleda kao .
Umjesto varijable x mogu biti prisutne različite funkcije, glavna stvar je da teže 0.
Potrebno je izračunati granicu
Kao što vidite, ova granica je vrlo slična prvoj izuzetnoj, ali to nije sasvim tačno. Općenito, ako primijetite grijeh u granici, onda biste trebali odmah razmisliti o tome da li je moguće koristiti prvu izvanrednu granicu.
Prema našem pravilu br. 1, zamjenjujemo nulu umjesto x:
Dobijamo neizvjesnost.
Pokušajmo sada sami organizirati prvu divnu granicu. Da biste to učinili, napravimo jednostavnu kombinaciju:
Tako organiziramo brojilac i nazivnik da istaknemo 7x. Sada se već pojavila poznata izuzetna granica. Preporučljivo je to istaknuti prilikom odlučivanja:
Zamijenimo rješenje prvog divan primjer i dobijamo:
Pojednostavljivanje razlomka:
Odgovor: 7/3.
Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno.
Izgleda kao 
, gdje je e = 2,718281828... iracionalan broj.
Umjesto varijable x mogu biti prisutne različite funkcije, glavna stvar je da teže .
Potrebno je izračunati granicu
Ovdje vidimo prisustvo stepena pod znakom granice, što znači da je moguće koristiti drugu izuzetnu granicu.
Kao i uvek, koristićemo pravilo br. 1 - zameni x umesto:
Može se vidjeti da je kod x osnova stepena , a eksponent 4x > , tj. dobijamo nesigurnost oblika:
Iskoristimo drugu divnu granicu da otkrijemo svoju neizvjesnost, ali prvo je moramo organizirati. Kao što vidite, potrebno je da postignemo prisustvo u indikatoru, za šta podižemo bazu na stepen 3x, a istovremeno na stepen od 1/3x, kako se izraz ne bi promenio:
Ne zaboravite istaknuti naše divno ograničenje:
To je ono što oni zaista jesu divne granice!
Ako još uvijek imate pitanja o prva i druga divna granica, onda ih slobodno pitajte u komentarima.
Svima ćemo odgovoriti koliko god je to moguće.
Takođe možete raditi sa nastavnikom na ovoj temi.
Sa zadovoljstvom Vam možemo ponuditi usluge odabira kvalifikovanog tutora u Vašem gradu. Naši partneri će brzo izabrati dobrog nastavnika za vas po povoljnim uslovima.
Nemate dovoljno informacija? - Možeš !
Možeš pisati matematičkih proračuna u sveskama. Mnogo je prijatnije pisati pojedinačno u sveske sa logom (http://www.blocnot.ru).