Mislite li da ima još vremena do Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa pripremama, to uspješnije polaže ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni kredit.
Da li već znate šta je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumjeti šta je logaritam je vrlo jednostavno.
Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovaj stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim proračunima.
Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada se stalno susrećete s njima u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali sa konceptima pojedinačno, pređimo na njihovo razmatranje općenito.
Najjednostavnija logaritamska nejednakost.
Protozoa logaritamske nejednakosti Nisu ograničeni na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim znakovima. Zašto je to potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednakosti logaritmima. Sada dajmo primjer koji je još uvijek prilično jednostavan; kompleksne logaritamske nejednakosti ćemo ostaviti za kasnije.
Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Vrijedi znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.
Šta je ODZ? ODZ za logaritamske nejednakosti
Skraćenica označava područje prihvatljive vrijednosti. Ova formulacija se često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.
Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.
Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gore prikazanu nejednakost. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada pređimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.
Odbacujemo same logaritme sa obe strane nejednakosti. Šta nam ostaje kao rezultat? Jednostavna nejednakost.
Nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,
Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.
Zašto nam je uopšte potreban ODZ? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno pamćenja dugo vremena, jer na Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.
Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti
Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dva značenja, o tome smo raspravljali gore. Zatim morate riješiti samu nejednakost. Metode rješenja su sljedeće:
- metoda zamjene množitelja;
- raspadanje;
- metoda racionalizacije.
Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Pređimo direktno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu, koja je pogodna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može vam pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.
Primjeri rješenja :
Nije uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti prilikom pronalaženja raspona prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, morate promijeniti predznak nejednakosti.
Kao rezultat, dobijamo nejednakost:
Sada lijevu stranu svedemo na oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako” i rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da ćemo sa rješenjem za ovo jednostavna jednačina nećete imati nikakvih problema. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, stavljajući “+” i “-”. Šta je potrebno učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".
Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.
Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je mnogo lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.
I tek sada počinjemo da se bavimo samom nejednakošću.
Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.
Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo proračune, s njim je sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.
Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.
Rješavanje logaritamskih jednačina i nejednačina sa različitim bazama zahtijeva početnu redukciju na istu bazu. Zatim koristite metodu opisanu gore. Ali ima još toga težak slučaj. Razmotrimo jednu od najbrojnijih složene vrste logaritamske nejednakosti.
Logaritamske nejednakosti s promjenjivom bazom
Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će vam koristiti obrazovni proces. Hajde da razumemo problem detaljno. Odbacimo teoriju i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.
Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je dati desna strana na logaritam sa istom bazom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.
Zapravo, ostaje samo da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatit ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.
Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednačina, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od obje strane nejednakosti (desno slijeva), dva izraza se množe i postavljen pod originalnim predznakom u odnosu na nulu.
Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.
Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednačinama. Najjednostavnije od njih je prilično lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najviši rezultat. Sretno u Vašem teškom zadatku!
Često se pri rješavanju logaritamskih nejednačina javljaju problemi s promjenljivom bazom logaritma. Dakle, nejednakost oblika
je standardna školska nejednakost. U pravilu, da bi se to riješilo, koristi se prijelaz na ekvivalentni skup sistema:
Nedostatak ovu metodu je potreba da se riješi sedam nejednačina, ne računajući dva sistema i jedan agregat. Već s ovim kvadratnim funkcijama, rješavanje populacije može potrajati dosta vremena.
Moguće je predložiti alternativni, manje dugotrajan način rješavanja ove standardne nejednakosti. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir sljedeću teoremu.
Teorema 1. Neka postoji kontinuirana rastuća funkcija na skupu X. Tada će se na tom skupu znak prirasta funkcije poklapati sa predznakom prirasta argumenta, tj. , Gdje 
.
Napomena: ako je kontinuirana opadajuća funkcija na skupu X, onda .
Vratimo se nejednakosti. Prijeđimo na decimalni logaritam (možete prijeći na bilo koji s konstantnom bazom većom od jedan).
Sada možete koristiti teoremu, primjećujući povećanje funkcija u brojniku 
i u nazivniku. Dakle, istina je
Kao rezultat toga, broj proračuna koji dovode do odgovora se smanjuje za otprilike polovicu, što štedi ne samo vrijeme, već vam omogućava i potencijalno manje aritmetičkih i nemarnih grešaka.
Primjer 1.
Upoređujući sa (1) nalazimo 
, 
, .
Prelazeći na (2) imaćemo:
Primjer 2.
Uspoređujući sa (1) nalazimo , , .
Prelazeći na (2) imaćemo:
Primjer 3.
Budući da je lijeva strana nejednakosti rastuća funkcija kao i 
, onda će odgovor biti mnogo.
Mnogi primjeri u kojima se može primijeniti Tema 1 mogu se lako proširiti uzimanjem u obzir Teme 2.
Pustite na set X definirane su funkcije , , , i na ovom skupu se predznaci i poklapaju, tj. , onda će biti pošteno.
Primjer 4.
Primjer 5.
Standardnim pristupom, primjer se rješava prema sljedećoj shemi: proizvod je manji od nule kada su faktori različitih predznaka. One. razmatra se skup od dva sistema nejednakosti, u kojima se, kao što je naznačeno na početku, svaka nejednakost raspada na još sedam.
Ako uzmemo u obzir teoremu 2, onda se svaki od faktora, uzimajući u obzir (2), može zamijeniti drugom funkcijom koja ima isti predznak u ovom primjeru O.D.Z.
Metoda zamjene prirasta funkcije inkrementom argumenta, uzimajući u obzir teoremu 2, pokazuje se vrlo zgodnom kada se rješavaju tipični problemi C3 Unified State Examination.
Primjer 6.
Primjer 7.
. Označimo . Dobijamo
. Imajte na umu da zamjena podrazumijeva: . Vraćajući se na jednačinu, dobijamo
.
Primjer 8.
U teoremama koje koristimo nema ograničenja na klase funkcija. U ovom članku, kao primjer, teoreme su primijenjene na rješavanje logaritamskih nejednačina. Sljedećih nekoliko primjera će pokazati obećanje metode za rješavanje drugih vrsta nejednakosti.
Među čitavom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti sa promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Umjesto “∨” polja za potvrdu možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.
Na ovaj način se oslobađamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednakost. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali pri odbacivanju logaritma mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odsjekli, dovoljno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, toplo preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Šta je logaritam”.
Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ove četiri nejednakosti čine sistem i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, ostaje samo da ga presječemo rješenjem racionalne nejednakosti - i odgovor je spreman.
Zadatak. Riješite nejednačinu:
Prvo, napišimo ODZ logaritma:
Prve dvije nejednakosti su zadovoljene automatski, ali će posljednja morati biti ispisana. Pošto je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednačinu:
Vršimo prijelaz sa logaritamske nejednakosti na racionalnu. Originalna nejednakost ima predznak “manje od”, što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak “manje od”. Imamo:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štaviše, x = 0 je korijen drugog višestrukosti, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:
Dobijamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ-u logaritma, što znači da je ovo odgovor.
Pretvaranje logaritamskih nejednakosti
Često je originalna nejednakost drugačija od gornje. Ovo se lako može ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritama”. naime:
- Bilo koji broj se može predstaviti kao logaritam sa datom bazom;
- Zbir i razlika logaritama sa istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.
Zasebno, želio bih da vas podsjetim na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednakosti može biti nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednačina je sljedeća:
- Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednakost;
- Nejednakost svesti na standardnu koristeći formule za sabiranje i oduzimanje logaritama;
- Riješi rezultirajuću nejednačinu koristeći gornju shemu.
Zadatak. Riješite nejednačinu:
Nađimo domenu definicije (DO) prvog logaritma:
Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojilaca:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Zatim - nule imenioca:
x − 1 = 0;
x = 1.
Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:
Dobijamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:
Kao što vidite, trojke u osnovi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma sa istom bazom. Hajde da ih zbrojimo:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Dobili smo standardnu logaritamsku nejednakost. Riješimo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednakost sadrži znak “manje od”, rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Imamo dva seta:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).
Ostaje presijecati ove skupove - dobijamo pravi odgovor:
Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale koji su zasjenjeni na obje strelice. Dobijamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve tačke su izbušene.