Razmotrimo prvo slučaj kada je broj jednačina jednak broju varijabli, tj. m = n. Tada je matrica sistema kvadratna, a njena determinanta se zove determinanta sistema.
Metoda inverzne matrice
Razmotrimo u opštem obliku sistem jednačina AX = B sa nedegenerisanom kvadratnom matricom A. U ovom slučaju postoji inverzna matrica A -1. Pomnožimo obje strane sa A -1 na lijevoj strani. Dobijamo A -1 AX = A -1 B. Otuda EX = A -1 B i
Posljednja jednakost je matrična formula za pronalaženje rješenja za takve sisteme jednačina. Upotreba ove formule naziva se metoda inverzne matrice
Na primjer, koristimo ovu metodu da riješimo sljedeći sistem:
;
Na kraju rješavanja sistema možete provjeriti zamjenom pronađenih vrijednosti u sistemske jednačine. Pritom se moraju pretvoriti u istinske jednakosti.
Za razmatrani primjer, provjerimo:
Metoda za rješavanje sistema linearnih jednadžbi sa kvadratnom matricom koristeći Cramerove formule
Neka je n= 2:
Ako obje strane prve jednačine pomnožimo sa 22, a obje strane druge sa (-a 12), a zatim dodamo rezultirajuće jednačine, tada eliminišemo varijablu x 2 iz sistema. Slično, možete eliminisati promenljivu x 1 (množenjem obe strane prve jednačine sa (-a 21), a obe strane druge sa 11). Kao rezultat, dobijamo sistem:
Izraz u zagradama je determinanta sistema
Označimo
Tada će sistem poprimiti oblik:
Iz rezultirajućeg sistema proizilazi da ako je determinanta sistema 0, onda će sistem biti konzistentan i određen. Njegovo jedino rješenje može se izračunati pomoću formula:
Ako je = 0, a 1 0 i/ili 2 0, tada će sistemske jednačine imati oblik 0*x 1 = 2 i/ili 0*x 1 = 2. U ovom slučaju, sistem će biti nedosljedan.
U slučaju kada je = 1 = 2 = 0, sistem će biti konzistentan i neodređen (imaće beskonačan broj rješenja), jer će poprimiti oblik:
Cramerova teorema(dokaz ćemo izostaviti). Ako determinanta matrice sistema jednačina nije jednaka nuli, tada sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama:
,
gdje je j determinanta matrice dobijene iz matrice A zamjenom j-te kolone kolonom slobodnih članova.
Gore navedene formule se zovu Cramerove formule.
Kao primjer, koristimo ovu metodu za rješavanje sistema koji je prethodno riješen metodom inverzne matrice:
Nedostaci razmatranih metoda:
1) značajan intenzitet rada (izračunavanje determinanti i nalaženje inverzne matrice);
2) ograničen opseg (za sisteme sa kvadratnom matricom).
Stvarne ekonomske situacije često se modeliraju sistemima u kojima je broj jednačina i varijabli prilično značajan, te ima više jednačina nego varijabli. Stoga je u praksi češći sljedeći metod.
Gaussova metoda (metoda sekvencijalne eliminacije varijabli)
Ova metoda se koristi za rješavanje sistema od m linearnih jednačina sa n varijabli u opštem obliku. Njegova suština je u primjeni sistema ekvivalentnih transformacija na proširenu matricu, uz pomoć kojih se sistem jednačina pretvara u oblik u kojem se lako pronalaze njegova rješenja (ako ih ima).
Ovo je pogled u kojem će gornji lijevi dio sistemske matrice biti stepenasta matrica. Ovo se postiže korištenjem istih tehnika koje su korištene za dobivanje matrice koraka za određivanje ranga. U ovom slučaju, elementarne transformacije se primjenjuju na proširenu matricu, što će omogućiti da se dobije ekvivalentan sistem jednačina. Nakon toga, proširena matrica će poprimiti oblik:
Dobijanje takve matrice se zove pravo naprijed Gaussova metoda.
Pronalaženje vrijednosti varijabli iz odgovarajućeg sistema jednačina se zove obrnuto Gaussova metoda. Hajde da to razmotrimo.
Imajte na umu da će posljednje (m – r) jednadžbe imati oblik:
Ako je barem jedan od brojeva 
nije jednako nuli, tada će odgovarajuća jednakost biti netačna i cijeli sistem će biti nekonzistentan.
Dakle, za svaki zglobni sistem 
. U ovom slučaju, posljednje (m – r) jednadžbe za bilo koje vrijednosti varijabli bit će identiteti 0 = 0, a mogu se zanemariti prilikom rješavanja sistema (jednostavno odbacite odgovarajuće redove).
Nakon ovoga, sistem će izgledati ovako:
Razmotrimo prvo slučaj kada je r=n. Tada će sistem poprimiti oblik:
Iz posljednje jednačine sistema, x r se može jedinstveno naći.
Znajući x r, možemo nedvosmisleno izraziti x r -1 iz njega. Tada iz prethodne jednačine, znajući x r i x r -1, možemo izraziti x r -2, itd. do x 1.
Dakle, u ovom slučaju sistem će biti zajednički i determinisan.
Sada razmotrite slučaj kada je r
Iz ove jednačine možemo izraziti osnovnu varijablu x r u terminima nebazičnih:
Pretposljednja jednačina će izgledati ovako:
Zamjenom rezultirajućeg izraza u njega umjesto x r, bit će moguće izraziti osnovnu varijablu x r -1 u terminima nebaznih. itd. na varijablux 1 . Da biste dobili rješenje za sistem, možete izjednačiti neosnovne varijable sa proizvoljnim vrijednostima, a zatim izračunati osnovne varijable koristeći rezultirajuće formule. Dakle, u ovom slučaju sistem će biti konzistentan i neodređen (imati beskonačan broj rješenja).
Na primjer, riješimo sistem jednačina:
Nazvat ćemo skup osnovnih varijabli osnovu sistemima. Za njih ćemo također nazvati skup stupaca koeficijenata osnovu(osnovni stupovi), ili osnovni mol sistemske matrice. Pozvat će se rješenje sistema u kojem su sve nebazične varijable jednake nuli osnovno rešenje.
U prethodnom primjeru, osnovno rješenje će biti (4/5; -17/5; 0; 0) (varijable x 3 i x 4 (c 1 i c 2) su postavljene na nulu, a osnovne varijable x 1 a x 2 se izračunavaju preko njih) . Da bismo dali primjer nebazičnog rješenja, moramo izjednačiti x 3 i x 4 (c 1 i c 2) sa proizvoljnim brojevima koji nisu istovremeno nula, i izračunati preostale varijable kroz njih. Na primjer, sa 1 = 1 i 2 = 0, dobijamo nebazično rješenje - (4/5; -12/5; 1; 0). Zamjenom je lako provjeriti da su oba rješenja tačna.
Očigledno je da u neodređenom sistemu može postojati beskonačan broj nebazičnih rješenja. Koliko osnovnih rješenja može postojati? Svaki red transformirane matrice mora odgovarati jednoj baznoj varijabli. Postoji n varijabli u problemu i r osnovnih linija. Dakle, broj svih mogućih skupova osnovnih varijabli ne može premašiti broj kombinacija od n za 2. Može biti manje od 
, jer nije uvijek moguće transformirati sistem u takav oblik da ovaj određeni skup varijabli bude osnova.
Kakva je ovo vrsta? Ovo je tip kada će matrica formirana od stupaca koeficijenata za ove varijable biti stepenasta, a istovremeno će se sastojati od r redova. One. rang matrice koeficijenata za ove varijable mora biti jednak r. Ne može biti veći, jer je broj kolona jednak. Ako se pokaže da je manji od r, onda to ukazuje na linearnu ovisnost stupaca o varijablama. Takve kolone ne mogu predstavljati osnovu.
Razmotrimo koja se druga osnovna rješenja mogu naći u primjeru o kojem se gore govori. Da biste to učinili, razmotrite sve moguće kombinacije četiri varijable, po dvije osnovne. Biće i takvih kombinacija 
, a jedan od njih (x 1 i x 2) je već razmatran.
Uzmimo varijable x 1 i x 3. Nađimo rang matrice koeficijenata za njih:
Pošto je jednako dva, oni mogu biti osnovni. Izjednačimo nebazične varijable x 2 i x 4 sa nulom: x 2 = x 4 = 0. Tada iz formule x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 slijedi da je x 1 = 4 /5, a iz formule x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 slijedi da je x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Tako dobijamo osnovno rješenje (4/5; 0; 17/5; 0).
Slično, možete dobiti osnovna rješenja za osnovne varijable x 1 i x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 i x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 i x 4 – (0; 0; 9; 4).
Varijable x 2 i x 3 u ovom primjeru ne mogu se uzeti kao osnovne, jer je rang odgovarajuće matrice jednak jedan, tj. manje od dva:
.
Moguć je i drugi pristup određivanju da li je moguće konstruisati osnovu iz određenih varijabli. Prilikom rješavanja primjera, kao rezultat pretvaranja sistemske matrice u postupni oblik, ona je dobila oblik:
Odabirom parova varijabli bilo je moguće izračunati odgovarajuće minore ove matrice. Lako je provjeriti da za sve parove osim x 2 i x 3 nisu jednaki nuli, tj. kolone su linearno nezavisne. I to samo za stupce sa varijablama x 2 i x 3 
, što ukazuje na njihovu linearnu zavisnost.
Pogledajmo još jedan primjer. Hajde da rešimo sistem jednačina
Dakle, jednadžba koja odgovara trećem redu posljednje matrice je kontradiktorna - rezultirala je netačnom jednakošću 0 = -1, dakle, ovaj sistem je nedosljedan.
Jordan-Gaussova metoda 3 je razvoj Gausove metode. Njegova suština je da se proširena matrica sistema transformiše u oblik u kome koeficijenti varijabli čine matricu identiteta do permutacije redova ili kolona 4 (gde je r rang sistemske matrice).
Rešimo sistem koristeći ovu metodu:
Razmotrimo proširenu matricu sistema:
U ovoj matrici biramo jedinični element. Na primjer, koeficijent za x 2 u trećem ograničenju je 5. Osigurajmo da preostali redovi u ovoj koloni sadrže nule, tj. hajde da kolonu napravimo jednom. Tokom procesa transformacije to ćemo nazvati kolonapermisivan(vodeći, ključ). Treće ograničenje (treće linija) takođe ćemo nazvati permisivan. Sebe element, koji stoji na raskrsnici reda i stupca za rješavanje (ovdje je jedan), također se naziva permisivan.
Prvi red sada sadrži koeficijent (-1). Da biste dobili nulu na njenom mjestu, pomnožite treći red sa (-1) i oduzmite rezultat od prvog reda (tj. jednostavno dodajte prvi red trećem).
Drugi red sadrži koeficijent 2. Da biste umjesto njega dobili nulu, pomnožite treći red sa 2 i oduzmite rezultat od prvog reda.
Rezultat transformacije će izgledati ovako:
Iz ove matrice je jasno vidljivo da se jedno od prva dva ograničenja može precrtati (odgovarajući redovi su proporcionalni, tj. ove jednačine slijede jedna iz druge). Precrtajmo, na primjer, drugo:
Dakle, novi sistem ima dvije jednačine. Dobija se jedna kolona (druga), a jedinica se ovdje pojavljuje u drugom redu. Podsjetimo da će druga jednačina novog sistema odgovarati osnovnoj varijabli x 2.
Odaberimo osnovnu varijablu za prvi red. Ovo može biti bilo koja varijabla osim x 3 (jer za x 3 prvo ograničenje ima nulti koeficijent, tj. skup varijabli x 2 i x 3 ovdje ne može biti osnovni). Možete uzeti prvu ili četvrtu varijablu.
Odaberimo x 1. Tada će element razrješenja biti 5, a obje strane jednadžbe za razrješenje morat će se podijeliti sa pet da bi se dobila jedna u prvoj koloni prvog reda.
Osigurajmo da preostali redovi (tj. drugi red) imaju nule u prvoj koloni. Budući da sada drugi red ne sadrži nulu, već 3, moramo od drugog reda oduzeti elemente transformiranog prvog reda, pomnožene sa 3:
Iz rezultirajuće matrice može se direktno izdvojiti jedno osnovno rješenje izjednačavanjem nebazičnih varijabli sa nulom, a osnovnih sa slobodnim članovima u odgovarajućim jednačinama: (0,8; -3,4; 0; 0). Takođe možete izvesti opšte formule koje izražavaju osnovne varijable kroz one koje nisu: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Ove formule opisuju čitav beskonačan skup rješenja sistema (izjednačavanjem x 3 i x 4 sa proizvoljnim brojevima, možete izračunati x 1 i x 2).
Imajte na umu da je suština transformacija u svakoj fazi Jordan-Gaussove metode bila sljedeća:
1) linija rezolucije je podijeljena elementom rezolucije kako bi se na njenom mjestu dobila jedinica,
2) od svih ostalih redova, transformisani razlučujući element je oduzet, pomnožen sa elementom koji se nalazio u datom redu u koloni za razlučivanje, da bi se dobila nula na mestu ovog elementa.
Razmotrimo ponovo transformiranu proširenu matricu sistema:
Iz ovog zapisa je jasno da je rang matrice sistema A jednak r.
U toku našeg razmišljanja utvrdili smo da će sistem biti kooperativan ako i samo ako 
. To znači da će proširena matrica sistema izgledati ovako:
Odbacivanjem nula redova dobijamo da je rang proširene matrice sistema takođe jednak r.
Kronecker-Capelli teorem. Sistem linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice ovog sistema.
Podsjetimo da je rang matrice jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova. Iz ovoga slijedi da ako je rang proširene matrice manji od broja jednačina, tada su jednadžbe sistema linearno zavisne, a jedna ili više njih može biti isključeno iz sistema (pošto su linearne kombinacija ostalih). Sistem jednadžbi će biti linearno nezavisan samo ako je rang proširene matrice jednak broju jednačina.
Štaviše, za simultane sisteme linearnih jednadžbi, može se tvrditi da ako je rang matrice jednak broju varijabli, onda sistem ima jedinstveno rješenje, a ako je manji od broja varijabli, tada sistem je neodređen i ima beskonačno mnogo rješenja.
1Na primjer, neka postoji pet redova u matrici (originalni redoslijed redova je 12345). Moramo da promenimo drugu liniju i petu. Da bi drugi red zauzeo mjesto petog i "pomaknuo" se dolje, sukcesivno tri puta mijenjamo susjedne linije: drugi i treći (13245), drugi i četvrti (13425) i drugi i peti (13452). ). Zatim, da bi peti red zauzeo mjesto drugog u originalnoj matrici, potrebno je "pomjeriti" peti red nagore za samo dvije uzastopne promjene: peti i četvrti red (13542) i peti i treći red (15342).
2Broj kombinacija od n do r 
oni nazivaju broj svih različitih podskupova r-elemenata skupa n-elemenata (oni koji imaju različite sastave elemenata smatraju se različitim skupovima; redosled odabira nije važan). Izračunava se pomoću formule: 
. Prisjetimo se značenja znaka "!" (faktorski): 
0!=1.)
3 Budući da je ova metoda češća od prethodno razmatrane Gaussove metode i da je u suštini kombinacija koraka naprijed i nazad Gaussove metode, ponekad se naziva i Gaussova metoda, izostavljajući prvi dio naziva.
4Na primjer, 
.
5Kad ne bi bilo jedinica u matrici sistema, tada bi bilo moguće, na primjer, obje strane prve jednačine podijeliti sa dva, i tada bi prvi koeficijent postao jedinica; ili slično
Sistem linearnih jednačina sa dvije nepoznate su dvije ili više linearnih jednačina za koje je potrebno pronaći sva njihova zajednička rješenja. Razmotrićemo sisteme dve linearne jednačine sa dve nepoznate. Opšti pogled na sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate prikazan je na slici ispod:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Ovdje su x i y nepoznate varijable, a1, a2, b1, b2, c1, c2 su neki realni brojevi. Rješenje sistema dviju linearnih jednadžbi u dvije nepoznanice je par brojeva (x,y) takav da ako ove brojeve zamijenimo jednadžbama sistema, onda se svaka od jednačina sistema pretvara u pravu jednakost. Postoji nekoliko načina za rješavanje sistema linearnih jednačina. Razmotrimo jedan od načina rješavanja sistema linearnih jednačina, a to je metoda sabiranja.
Algoritam za rješavanje metodom sabiranja
Algoritam za rješavanje sistema linearnih jednadžbi sa dvije nepoznate metodom sabiranja.
1. Ako je potrebno, pomoću ekvivalentnih transformacija, izjednačiti koeficijente jedne od nepoznatih varijabli u obje jednačine.
2. Sabiranjem ili oduzimanjem rezultirajućih jednačina dobiti linearnu jednačinu s jednom nepoznatom
3. Riješite rezultirajuću jednačinu s jednom nepoznatom i pronađite jednu od varijabli.
4. Zamijenite rezultirajući izraz u bilo koju od dvije jednačine sistema i riješite ovu jednačinu, tako da dobijete drugu varijablu.
5. Provjerite rješenje.
Primjer rješenja korištenjem metode sabiranja
Radi veće jasnoće, riješimo sljedeći sistem linearnih jednadžbi sa dvije nepoznate metodom sabiranja:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Kako nijedna varijabla nema identične koeficijente, izjednačavamo koeficijente varijable y. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa tri, a drugu sa dva.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Dobijamo sledeći sistem jednačina:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Sada oduzimamo prvu od druge jednačine. Predstavljamo slične članove i rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u prvu jednačinu iz našeg originalnog sistema i rješavamo rezultirajuću jednačinu.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Rezultat je par brojeva x=6 i y=14. Provjeravamo. Hajde da napravimo zamenu.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Kao što vidite, dobili smo dvije tačne jednakosti, dakle, našli smo ispravno rješenje.
Riješite sistem sa dvije nepoznanice - to znači pronalaženje svih parova varijabilnih vrijednosti koji zadovoljavaju svaku od datih jednačina. Svaki takav par se zove sistemsko rešenje.
primjer:
Par vrijednosti \(x=3\);\(y=-1\) je rješenje za prvi sistem, jer prilikom zamjene ovih trojki i minus jedinica u sistem umjesto \(x\) i \ (y\), obje se jednadžbe pretvaraju u tačne jednakosti \(\begin(slučajevi)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( slučajevi)\)
Ali \(x=1\); \(y=-2\) - nije rješenje za prvi sistem, jer nakon zamjene druga jednadžba "ne konvergira" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(slučajevi)\)
Imajte na umu da se takvi parovi često pišu kraće: umjesto "\(x=3\); \(y=-1\)" pišu ovako: \((3;-1)\).
Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
Postoje tri glavna načina za rješavanje sistema linearnih jednačina:
- Metoda zamjene.
-
\(\početak(slučajevi)13x+9y=17\\12x-2y=26\kraj(slučajevi)\)
U drugoj jednačini, svaki član je paran, tako da pojednostavljujemo jednačinu dijeljenjem sa \(2\).
\(\početak(slučajevi)13x+9y=17\\6x-y=13\kraj(slučajevi)\)
Ovaj sistem se može riješiti na bilo koji od sljedećih načina, ali mi se čini da je metoda zamjene ovdje najpogodnija. Izrazimo y iz druge jednačine.
\(\početak(slučajevi)13x+9y=17\\y=6x-13\kraj(slučajevi)\)
Zamijenimo \(6x-13\) za \(y\) u prvoj jednačini.
\(\početak(slučajevi)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(slučajevi)\)
Prva jednačina se pretvorila u običnu. Hajde da to rešimo.
Prvo, otvorimo zagrade.
\(\početak(slučajevi)13x+54x-117=17\\y=6x-13\kraj(slučajevi)\)
Pomaknimo \(117\) udesno i predstavimo slične pojmove.
\(\početak(slučajevi)67x=134\\y=6x-13\end(slučajevi)\)
Podijelimo obje strane prve jednadžbe sa \(67\).
\(\početak(slučajevi)x=2\\y=6x-13\end(slučajevi)\)
Ura, pronašli smo \(x\)! Zamijenimo njegovu vrijednost u drugu jednačinu i pronađemo \(y\).
\(\begin(slučajevi)x=2\\y=12-13\end(slučajevi)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(slučajevi)x=2\\y=-1\end(slučajevi )\)
Hajde da zapišemo odgovor.
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\kraj (slučajevi)\)\(\Strelica lijevo desno\)
Zamijenite rezultirajući izraz umjesto ove varijable u drugu jednačinu sistema.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Hajde da analiziramo dve vrste rešenja sistema jednačina:
1. Rješavanje sistema metodom zamjene.
2. Rješavanje sistema sabiranjem (oduzimanjem) sistemskih jednačina po članu.
Da bi se riješio sistem jednačina metodom supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Express. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu umjesto izražene varijable.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.
Riješiti sistem metodom sabiranja (oduzimanja) pojam treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti identične koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, što rezultira jednačinom s jednom promjenljivom.
3. Riješite rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.
Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcija.
Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.
Primjer #1:
Rešimo metodom zamene
Rješavanje sistema jednačina metodom zamjene2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)
1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, što znači da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y
2. Nakon što smo to izrazili, zamjenjujemo 3+10y u prvu jednačinu umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1
3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorite zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25g=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rešenje sistema jednačina su tačke preseka grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se tačka preseka sastoji od x i y, u prvoj tački gde smo to izrazili zamenjujemo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Uobičajeno je da se zapisuju tačke na prvom mestu pišemo promenljivu x, a na drugom mestu promenljivu y.
Odgovor: (1; -0,2)
Primjer #2:
Rešimo metodom sabiranja (oduzimanja) pojam.
Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)
1. Biramo varijablu, recimo da biramo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa 3 i dobijemo ukupan koeficijent 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Oduzmite drugu od prve jednačine da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Pronađite x. Pronađeno y zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi, recimo u prvu jednačinu.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Tačka preseka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)
Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online besplatno. Bez šale.