U nastavnom planu i programu matematike značajno se mjesto pridaje razvoju kod školaraca ispravnih predstava o ulozi matematičkog modeliranja u naučnim saznanjima i praksi. Svrha ovog članka je pokazati primjer matematičkog modeliranja primijenjenog problema u matematici. Podsjetimo, učenici se sa pojmom „model“ često susreću u svakodnevnom životu, na časovima fizike, hemije, geografije. Glavno svojstvo svakog od modela je da odražava najbitnija svojstva svog originala. Matematički model je opis svakog stvarnog procesa jezikom matematičkih koncepata, formula i odnosa. WITH primjeri matematičkog modeliranja primijenjenih problema u matematici možete pronaći u člancima u seriji

U pravilu, školarci se pri rješavanju susreću s idejom matematičkog modeliranja parcela ili primijenjeni problemi, riješeno pomoću jednačina. Primjeri primijenjenih problema iz matematike se mogu naći.

Primjer matematičkog modeliranja primijenjenog problema u matematici pomoći će vam da shvatite suštinu matematičkog modela i razjasnite faze matematičkog modeliranja.

Primjer matematičkog modeliranja primijenjenog problema u matematici

Zadatak 1.

Koliko je kasa u supermarketu potrebno i dovoljno?tako da se posjetitelji mogu uslužiti bez čekanja u redu?

Prva faza matematičkog modeliranja.

Ovo je faza formalizacije. Njegova suština je da se stanje problema prevede na matematički jezik. U tom slučaju morate odabrati sve podatke potrebne za rješenje i koristiti matematičke relacije da opišete veze između njih.

Da bismo riješili problem, uvodimo sljedeće karakteristike:

1. k- potreban iznos kasa;
2. b- vrijeme usluge za jednog kupca na kasi;
3. T - radno vrijeme trgovine;
4. N- broj kupaca koji su posjetili supermarket po danu.

U toku radnog dana može proći jedna kasa T/b kupaca.

To znači da se broj kasa mora uzeti takav da (T/b) * k = N. Ovaj odnos je matematički model problema koji se rješava.

Druga faza matematičkog modeliranja.

Ova faza je predstavljena kao intra-modelsko rješenje. Pronađimo iz rezultirajuće jednakosti (T/b) * k = N potreban broj kasa: k = (N/T) * b.

Treća faza matematičkog modeliranja.

Došlo je vrijeme za interpretaciju, odnosno prevođenje rezultirajućeg rješenja na jezik na kojem je formuliran izvorni problem.

Da bi se spriječilo stvaranje redova u blizini kasa u supermarketu, broj blokova kase mora biti jednak ili veći od dobijene vrijednosti k.

Broj k se obično bira tako da je najbliži cijeli broj po veličini koji zadovoljava nejednakost k ≥ (N/T) * b.

Obratimo pažnju na pojednostavljujuće pretpostavke napravljene prilikom konstruisanja modela:

• as b prosječno vrijeme potrebno jednoj osobi da prođe kroz kasu;
• postoje ljudi koji sjede za kasama i rade različitim brzinama;
• osim toga, svaki dan postoji različit broj kupaca u supermarketu N;
• intenzitet priliva kupaca u drugačije vrijeme dan, odnosno broj ljudi koji prolaze kroz kasu u jedinici vremena.

To jest, za tačnije, pouzdanije proračune u rezultirajućoj formuli, umjesto prosječne vrijednosti, N/T uzeti maksimalnu vrijednost ove količine a=max (N/T).

Naglašavamo da se svaki matematički model zasniva na pojednostavljenju, ne poklapa se sa konkretnom realnom situacijom, već je samo njen približan opis. Dakle, neka greška u rezultatima je očigledna. Međutim, upravo zamjenom stvarnog procesa odgovarajućim matematičkim modelom postaje moguće koristiti matematičke metode u njegovom proučavanju.

Recenzirano primjer matematičkog modeliranja primijenjenog problema u matematici pokazuje da vrijednost ove metode u rješavanju primijenjenih problema leži i u činjenici da se isti model može opisati različite situacije, različiti procesi stvarne ljudske prakse. Nakon proučavanja jednog modela, rezultati se mogu primijeniti na drugu situaciju. Dakle, rezultat dobiven u zadatku 1 može se koristiti u .

Za izradu matematičkog modela potrebno je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
4. opisuju ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema o vrijednostima varijabli koristeći logičko-matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičko-matematičke konstrukcije);
5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
6. identificirati vanjske veze i opisati ih koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i izrade njegovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. izgradnju algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
2. provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskih i eksperimenata u punoj mjeri;
3. prilagođavanje modela;
4. koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sistema.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija sa objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu radnog stola. Obično se to radi mjerenjem njegove dužine i širine, a zatim množenjem rezultirajućih brojeva. Ovaj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: pravi objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene mjerenjem dužine i širine površine stola dodjeljuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao potrebna površina stola. Međutim, model pravougaonika za radni sto je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjeriti dužine suprotne strane tablicu, kao i dužine njegovih dijagonala i međusobno ih uporediti. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti četverokutnim modelom opšti pogled. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Uz pomoć ovoga jednostavan primjer pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen objektom, procesom ili sistem.

ILI (razjašnjenje sutra)

Načini rješavanja matematike. modeli:

1, Izgradnja modela zasnovanog na zakonima prirode (analitička metoda)

2. Formalni način korištenjem statističkih metoda. Obrada i rezultati mjerenja (statistički pristup)

3. Konstrukcija modela na osnovu modela elemenata ( složeni sistemi)

1, Analitički - koristiti uz dovoljno proučavanja. Opšti obrazac Izv. Modeli.

2. eksperiment. U nedostatku informacija.

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta. Generalno.

Primjer konstruiranja matematičkog modela.

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje je proces izgradnje i proučavanja matematički modeli.

Sve prirodno i društvene znanosti Oni koji koriste matematički aparat u suštini se bave matematičkim modeliranjem: zamjenjuju objekt njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Veza između matematičkog modela i stvarnosti ostvaruje se pomoću lanca hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Matematičkim metodama se po pravilu opisuje idealan objekat konstruisan u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su potrebni modeli?

Vrlo često, prilikom proučavanja bilo kojeg objekta, nastaju poteškoće. Sam original je ponekad nedostupan, ili njegova upotreba nije preporučljiva, ili je privlačenje originala skupo. Svi ovi problemi se mogu riješiti simulacijom. U određenom smislu, model može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste prepoznali osobu, dovoljno je vidjeti njegovu fotografiju.

§ Arhitekta je izradio model novog stambenog prostora. Pokretom ruke može premjestiti višespratnicu iz jednog dijela u drugi. U stvarnosti to ne bi bilo moguće.

Tipovi modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" I savršeno. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeli često imaju ikonične oblike. Pravi pojmovi su zamijenjeni nekim znacima, koji se lako mogu zabilježiti na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje pripada klasi simboličkog modeliranja. Štoviše, modeli se mogu kreirati iz bilo kojeg matematičkog objekta: brojeva, funkcija, jednadžbi itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Može se uočiti nekoliko faza konstruisanja matematičkog modela:

1. Razumijevanje problema, identificiranje najvažnijih kvaliteta, svojstava, količina i parametara za nas.

2. Uvođenje notacije.

3. Izrada sistema ograničenja koje unesene vrijednosti moraju zadovoljiti.

4. Formulisanje i evidentiranje uslova koje mora zadovoljiti željeno optimalno rešenje.

Proces modeliranja se ne završava stvaranjem modela, već njime tek počinje. Nakon što su sastavili model, biraju metodu za pronalaženje odgovora i rješavanje problema. nakon što se nađe odgovor, on se upoređuje sa stvarnošću. I moguće je da odgovor nije zadovoljavajući, u tom slučaju se model modificira ili čak bira potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koja uključuje dvije fabrike namještaja, treba da ažurira svoj mašinski park. Štaviše, prva fabrika nameštaja treba da zameni tri mašine, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije fabrike alatnih mašina. Prvi pogon može proizvesti najviše 6 mašina, a drugi će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Morate odrediti način narudžbe.

Napomena: Predavanje opisuje proces konstruisanja matematičkog modela. Dat je verbalni algoritam procesa.

Da bi se kompjuter koristio u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti „preveden“ na formalni matematički jezik, tj. za pravi objekat, proces ili sistem mora biti izgrađen matematički model.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, koristeći logičke i matematičke konstrukcije, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

Za izgradnja matematičkog modela potrebno:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
4. opisuju ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema o vrijednostima varijabli koristeći logičko-matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičko-matematičke konstrukcije);
5. highlight interne komunikacije objekt, proces ili sistem koji koristi ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
6. identificirati vanjske veze i opisati ih koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije.

Matematičko modeliranje, pored proučavanja objekta, procesa ili sistema i izrade njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. izgradnju algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
2. pregled adekvatnost modela i objekt, proces ili sistem zasnovan na računarskom i prirodnom eksperimentu;
3. prilagođavanje modela;
4. koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sistema.

U fazi izbora matematičkog modela utvrđuju se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sistema, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stepen determinisanosti objekta ili procesa koji se proučava. U matematičkom modeliranju, namjerno se apstrahuje od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sistema i uglavnom se fokusira na proučavanje kvantitativnih zavisnosti između veličina koje opisuju ove procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetnom objektu, procesu ili sistemu. Na osnovu pojednostavljenja, idealizacije, to je približan opis objekta. Stoga su rezultati dobijeni analizom modela približni. Njihova tačnost je određena stepenom adekvatnosti (usklađenosti) između modela i objekta.

Obično počinje konstrukcijom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela dotičnog objekta, procesa ili sistema. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija sa objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu radnog stola. Obično se to radi mjerenjem njegove dužine i širine, a zatim množenjem rezultirajućih brojeva. Ovaj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: pravi objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene mjerenjem dužine i širine površine stola dodjeljuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao potrebna površina stola.

Međutim, model pravougaonika za radni sto je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Na ovom jednostavnom primjeru to se pokazalo matematički model nije jednoznačno određen objektom, procesom ili sistemom koji se proučava. Za istu tablicu možemo usvojiti ili pravokutni model ili više složen model opšti četvorougao ili četvorougao sa zaobljenim uglovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom tačnosti. Sa sve većom preciznošću, model se mora komplikovati, uzimajući u obzir nove i nove karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja koljenastog mehanizma (slika 2.1).

Rice. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je konstruirati njegov kinematički model. Za ovo:

1. Mehanizam zamjenjujemo njegovim kinematičkim dijagramom, gdje su zamijenjene sve karike tvrde veze;
2. Koristeći ovaj dijagram, izvodimo jednačinu kretanja mehanizma;
3. Diferencirajući potonje, dobijamo jednadžbe brzina i ubrzanja, koje predstavljaju diferencijalne jednadžbe 1. i 2. red.

Napišimo ove jednačine:

gdje je C 0 krajnja desna pozicija klizača C:

r – poluprečnik radilice AB;

l – dužina klipnjače BC;

– ugao rotacije poluge;

Primljeno transcendentalne jednačine predstaviti matematički model kretanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma, zasnovan na sljedećim pojednostavljujućim pretpostavkama:

1. nisu nas zanimali strukturni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili ravnim segmentima. Zapravo, sve karike mehanizma imaju masu i mir složenog oblika. Na primjer, klipnjača je složen sklop, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;
2. Prilikom pomicanja razmatranog mehanizma, također nismo uzeli u obzir elastičnost tijela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane kao apstraktna apsolutno kruta tijela. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam kreće, oni će se nekako deformirati, a u njima se mogu čak pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, uticati i na kretanje mehanizma;
3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su veći zahtjevi za tačnost rezultata rješavanja problema, to je veća potreba da se vodi računa kada izgradnja matematičkog modela karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava. Međutim, važno je stati ovdje na vrijeme, jer je teško matematički model može pretvoriti u problem koji se teško rješava.

Model se najlakše konstruiše kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva objekta, procesa ili sistema i postoji veliko praktično iskustvo u njihovoj primeni.

Više teška situacija javlja se kada je naše znanje o objektu, procesu ili sistemu koji se proučava nije dovoljno. U ovom slučaju, kada izgradnja matematičkog modela potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteza; takav model se naziva hipotetički. Zaključci dobijeni kao rezultat proučavanja ovakvog hipotetičkog modela su uslovni. Da bi se potvrdili zaključci, potrebno je uporediti rezultate proučavanja modela na računaru sa rezultatima eksperimenta u punoj veličini. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim problemima – jedan od najsloženijih i kritične faze rad. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješavanja problema. Teškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkog i specijalnog znanja. Stoga je veoma važno da matematičari pri rješavanju primijenjenih problema imaju posebna znanja o objektu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svojoj oblasti, poznavanje računara i programiranja.

Faze stvaranja matematičkih modela

IN opšti slučaj pod matematičkim modelom objekta (sistema) se podrazumijeva svaki matematički opis koji odražava, sa potrebnom tačnošću, ponašanje objekta (sistema) u realnim uslovima. Matematički model odražava korpus znanja, ideja i hipoteza istraživača o modeliranom objektu, napisan jezikom matematike. Pošto ovo znanje nikada nije apsolutno, model samo približno uzima u obzir ponašanje stvarnog objekta.

Matematički model sistema je skup odnosa (formula, nejednačina, jednačina, logičkih odnosa) koji određuju karakteristike stanja sistema u zavisnosti od njegovih unutrašnjih parametara, početni uslovi, ulazni signali, slučajni faktori i vrijeme.

Proces kreiranja matematičkog modela može se podijeliti na faze prikazane na Sl. 3.2.

Rice. 3.2 Faze izrade matematičkog modela

1. Izjava o problemu i njegovom kvalitativna analiza. Ova faza uključuje:

· izbor najvažnije karakteristike i svojstva modeliranog objekta i apstrakcija od sekundarnih;

· proučavanje strukture objekta i glavnih zavisnosti koje povezuju njegove elemente;

· formiranje hipoteza (barem preliminarnih) koje objašnjavaju ponašanje i razvoj objekta.

2. Konstrukcija matematičkog modela. Ovo je faza formalizacije problema, izražavanja u obliku specifičnih matematičkih zavisnosti i odnosa (funkcije, jednačine, nejednakosti, itd.). Obično se prvo odredi glavni dizajn (tip) matematičkog modela, a zatim se specificiraju detalji ovog dizajna (konkretna lista varijabli i parametara, oblik povezivanja). Dakle, konstrukcija modela je zauzvrat podijeljena u nekoliko faza.

Pogrešno je pretpostaviti da što više faktora (tj. ulaznih i izlaznih varijabli stanja) model uzme u obzir, to bolje „radi“ i daje bolje rezultate. Isto se može reći i za takve karakteristike složenosti modela kao što su oblici korištenih matematičkih ovisnosti (linearne i nelinearne), uzimajući u obzir faktore slučajnosti i neizvjesnosti, itd. Prevelika složenost i glomaznost modela komplikuju proces istraživanja. Neophodno je ne samo uzeti u obzir stvarne prilike informatičku i matematičku podršku, ali i uporediti troškove modeliranja sa rezultirajućim efektom (kako se kompleksnost modela povećava, često povećanje troškova za modeliranje može premašiti povećanje efekta uvođenja modela u probleme upravljanja).

3. Matematička analiza modela. Svrha ove faze je da razjasni opšta svojstva modela. Ovdje se koriste čisto matematičke metode istraživanja. Većina važna tačka– dokaz postojanja rješenja u formuliranom modelu (teorema postojanja). Ako se može dokazati da matematički problem nema rješenja, onda nema potrebe za naknadnim radom na originalnoj verziji modela; potrebno je prilagoditi ili formulaciju problema ili metode njegove matematičke formalizacije. Tokom analitičkog proučavanja modela postavljaju se pitanja kao što su, na primjer, da li je rješenje jedinstveno, koje varijable se mogu uključiti u rješenje, kakvi će biti odnosi između njih, u kojoj mjeri i ovisno o tome u kojim početnim uvjetima se mijenjaju, kakvi su trendovi njihovih promjena itd.

4. Priprema početnih informacija. Modeliranje postavlja stroge zahtjeve pred informacioni sistem. U procesu pripreme informacija koriste se metode teorije vjerovatnoće, teorijske i matematičke statistike. U sistemskom matematičkom modeliranju, početne informacije koje se koriste u nekim modelima rezultat su funkcioniranja drugih modela.

5. Numeričko rješenje. Ova faza uključuje razvoj algoritama za numeričko rješavanje problema, kompilaciju kompjuterskih programa i direktne proračune. Ovdje postaju relevantni. razne metode obrada podataka, rješavanje raznih jednačina, izračunavanje integrala itd. Često su proračuni zasnovani na matematičkom modelu multivarijantni i simulacijski po prirodi. Zahvaljujući velikoj brzini savremenih računara, moguće je sprovesti brojne eksperimente „model“, proučavajući „ponašanje“ modela u različitim promenama u određenim uslovima.

6. Analiza numeričkih rezultata i njihova primjena. Na ovom završna faza ciklusa, postavlja se pitanje o ispravnosti i potpunosti rezultata modeliranja, o adekvatnosti modela, o stepenu njegove praktične primenljivosti. Matematičke metode za provjeru rezultata mogu identificirati netočnosti u konstrukciji modela i na taj način suziti klasu potencijalno ispravnih modela.

Neformalna analiza teorijskih zaključaka i numeričkih rezultata dobijenih kroz model, upoređivanje sa postojećim znanjima i činjenicama stvarnosti takođe omogućava uočavanje nedostataka u originalnoj formulaciji problema, konstruisanom matematičkom modelu i njegovoj informaciono-matematičkoj podršci.

Od modernog matematički problemi mogu biti složene strukture i velike dimenzije, često se dešava da poznati algoritmi i kompjuterski programi ne dozvoljavaju rješavanje problema u izvornom obliku. Ako je nemoguće razviti nove algoritme i programe u kratkom vremenu, početni prikaz problema i model se pojednostavljuju:

· ukloniti i kombinovati uslove, smanjiti broj faktora koji se uzimaju u obzir.

· nelinearni odnosi se zamjenjuju linearnim itd.

Nedostaci koji se ne mogu ispraviti u srednjim fazama modeliranja eliminiraju se u narednim ciklusima. Ali rezultati svakog ciklusa su prilično dobri nezavisno značenje. Počevši svoje istraživanje izgradnjom jednostavnog modela, možete brzo dobiti korisne rezultate, a zatim preći na kreiranje naprednijeg modela, ažuriranog novim uslovima, uključujući rafinirane matematičke zavisnosti.

Prilikom konstruisanja matematičkog modela sistema može se izdvojiti nekoliko faza.

1. faza. Formulacija problema. Fazi prethodi nastanak situacija ili problema, čija svijest dovodi do ideje o njihovoj generalizaciji ili rješenju za naknadno postizanje bilo kakvog efekta. Na osnovu toga se opisuje objekat, beleže pitanja koja treba rešiti i postavlja se svrha studije. Ovdje je potrebno razumjeti šta želimo dobiti kao rezultat istraživanja. Prvo morate procijeniti da li se ovi rezultati mogu dobiti na drugi, jeftiniji ili pristupačniji način.

2. faza. Definicija zadatka. Istraživač pokušava utvrditi kojem tipu objekt pripada, opisuje parametre stanja objekta, varijable, karakteristike, faktore spoljašnje okruženje. Potrebno je poznavati obrasce unutrašnja organizacija objekta, ocrtati granice objekta, izgraditi njegovu strukturu. Ovaj rad se naziva identifikacija sistema. Odavde se bira istraživački problem koji može riješiti sljedeća pitanja: optimizacija, poređenje, procjena, prognoza, analiza osjetljivosti, identifikacija funkcionalnih veza i tako dalje.

Konceptualni model nam omogućava da procenimo položaj sistema u spoljašnjem okruženju, identifikujemo neophodne resurse za njegovo funkcionisanje, uticaj faktora sredine i šta očekujemo na izlazu.

Potreba za sprovođenjem istraživanja proizilazi iz realnih situacija koje nastaju tokom rada sistema, kada na neki način počnu da ne zadovoljavaju stare ili nove zahtjeve. Ako su nedostaci očigledni i metode za njihovo otklanjanje su poznate, onda nema potrebe za istraživanjem.

Na osnovu istraživačkog problema moguće je odrediti svrhu matematičkog modela koji treba izgraditi za istraživanje. Takvi modeli mogu riješiti sljedeće probleme:

· identifikacija funkcionalnih odnosa, koji se sastoje u određivanju kvantitativnih zavisnosti između ulaznih faktora modela i izlaznih karakteristika objekta koji se proučava;

· analiza osjetljivosti koja se sastoji u utvrđivanju faktora koji u većoj meri utiču na izlazne karakteristike sistema od interesa za istraživača;

· prognoza - procjena ponašanja sistema u nekoj očekivanoj kombinaciji vanjskih uslova;

· procjene – utvrđivanje koliko će predmet koji se proučava zadovoljiti određene kriterije;

· poređenje, koje se sastoji od poređenja ograničenog broja alternativnih sistema ili poređenja nekoliko predloženih principa ili metoda delovanja;

optimizacija, koja se sastoji od precizna definicija takva kombinacija kontrolne varijable, pri čemu je osigurana ekstremna vrijednost funkcije cilja.

Izbor problema određuje proces kreiranja i eksperimentalnog testiranja modela.

Svaka studija treba da počne izradom plana, uključujući ispitivanje sistema i analizu njegovog funkcionisanja. Plan treba da sadrži:

· opis funkcija implementiranih od strane objekta;

· utvrđivanje interakcija svih sistema i elemenata objekta;

· utvrđivanje odnosa između ulaznih i izlaznih varijabli i uticaja kontrolnih akcija varijabli na ove zavisnosti;

· utvrđivanje ekonomskih pokazatelja funkcionisanja sistema.

Rezultati inspekcije sistema i okruženje predstaviti se V oblik opisa procesa funkcionisanja, koji se koristi za identifikaciju sistema. Identifikovati sistem znači identifikovati ga i proučiti, kao i:

Više puni opis sistem i njegovo ponašanje;

Da poznaje objektivne zakonitosti svoje unutrašnje organizacije;

Ocrtajte njegove granice;

Navedite ulaz, proces i izlaz;

Odrediti ograničenja za njih;

Konstruirati njegove strukturne i matematičke modele;

Opišite to nekim formalnim apstraktnim jezikom;

Odrediti ciljeve, prisilne veze i kriterijume za rad sistema.

Nakon identifikacije sistema, gradi se konceptualni model koji je „ideološka” osnova budućeg matematičkog modela. On odražava sastav kriterijuma optimalnosti i ograničenja koja određuju ciljna orijentacija modela. U fazi formalizacije, prevođenje kvalitativnih zavisnosti u kvantitativne pretvara kriterijum optimalnosti u ciljnu funkciju, ograničenja u komunikacijske jednačine, a konceptualni model u matematičku.

Na osnovu konceptualnog modela, možete graditi faktorijel model koji uspostavlja logičku vezu između parametara objekta, ulaznih i izlaznih varijabli, faktora okoline i kontrolnih parametara, a takođe uzima u obzir povratne informacije u sistemu.

3. faza. Izrada matematičkog modela. Vrsta matematičkog modela u velikoj mjeri zavisi od svrhe studije. Matematički model može biti u obliku matematičkog izraza koji predstavlja algebarska jednačina, ili nejednakost koja nema grananja računskog procesa pri određivanju bilo koje varijabli stanja modela, funkcije cilja i komunikacijskih jednačina.

Za konstruiranje takvog modela formuliraju se sljedeći koncepti:

· kriterijum optimalnosti- indikator po izboru istraživača, koji po pravilu ima ekološko značenje, koji služi za formalizaciju specifičnog cilja upravljanja predmetom proučavanja i izražava se pomoću objektivne funkcije;

· ciljna funkcija - karakteristika objekta, utvrđena iz uslova daljeg traženja kriterijuma optimalnosti, matematički povezujući određene faktore predmeta proučavanja. Funkcija cilja i kriterij optimalnosti su različiti koncepti. Mogu se opisati funkcijama istog tipa ili različitim funkcijama;

· ograničenja- ograničenja koja sužavaju područje izvodljivih, prihvatljivih ili dopuštenih rješenja i fiksiraju glavne unutrašnje i vanjske karakteristike objekta. Ograničenja određuju područje istraživanja, tok procesa, granice promjene parametara i faktora objekta.

Sljedeća faza izgradnje sistema je formiranje matematičkog modela, koji uključuje nekoliko vrsta rada: matematičku formalizaciju, numeričko predstavljanje, analizu modela i izbor metode za njegovo rješavanje.

Matematička formalizacija izvedeno prema konceptualnom modelu. Prilikom formalizacije uzimaju se u obzir tri glavne situacije:

1) poznate su jednačine koje opisuju ponašanje objekta. U ovom slučaju, rješenje direktnog problema može biti pronalaženje reakcije objekta na dati ulazni signal;

2) inverzni zadatak, kada je, dat matematički opis i poznatu reakciju, potrebno pronaći ulazni signal koji uzrokuje ovaj odgovor;

3) matematički opis objekta je nepoznat, ali postoje ili mogu biti specificirani skupovi ulaznih i odgovarajućih izlaznih signala. U ovom slučaju radi se o problemu identifikacije objekta.

Prilikom modeliranja industrijskih i ekoloških objekata u trećoj situaciji, pri rješavanju problema identifikacije, koristi se pristup koji je predložio N. Wiener, poznat kao metoda “crne kutije”. Objekt u cjelini smatra se „crnom kutijom“ zbog svoje složenosti. Pošto je unutrašnja struktura objekta nepoznata, možemo proučavati crnu kutiju pronalaženjem ulaza i izlaza. Upoređujući ulaze i izlaze, možemo napisati relaciju

Y = AX,

Gdje X- vektor ulaznih parametara; Y- vektor izlaznih parametara; A- transformacija operatora objekta X V Y. Za opis objekta u obliku matematičke veze, metode regresione analize se koriste u problemima identifikacije. U ovom slučaju, moguće je opisati objekat različitim matematičkim modelima, jer je nemoguće donijeti informiran sud o njegovoj unutrašnjoj strukturi.

Osnova za izbor metode matematičkog opisa je poznavanje fizičke prirode funkcionisanja opisanog objekta, prilično širokog spektra ekoloških i matematičkih metoda, mogućnosti i karakteristika računara na kojem se simulacija planira. Za mnoge od fenomena koji se razmatraju, postoji dosta dobro poznatih matematičkih opisa i standardnih matematičkih modela. Uz razvijeni kompjuterski softverski sistem, moguće je provesti niz postupaka modeliranja korištenjem standardnih programa.

Originalni matematički modeli mogu se pisati na osnovu studija sistema sprovedenih i testiranih u realnim situacijama. Za sprovođenje novih istraživanja takvi modeli se prilagođavaju novim uslovima.

Matematički modeli elementarnih procesa, čija je fizička priroda poznata, zapisani su u obliku onih formula i zavisnosti koje se uspostavljaju za te procese. Tipično, statički problemi se izražavaju kao algebarski izrazi, dinamički - u obliku diferencijalnih ili konačnih razlika jednadžbi.

Numerički prikaz Model se proizvodi kako bi se pripremio za implementaciju na računaru. Postavljanje brojčanih vrijednosti nije teško. Komplikacije nastaju kada se obimne statističke informacije i eksperimentalni rezultati prezentiraju na kompaktan način.

Glavne metode pretvaranja tabličnih vrijednosti u analitički oblik su: interpolacija, aproksimacija i ekstrapolacija.

interpolacija - približno ili tačno određivanje bilo koje količine iz poznatih pojedinačnih vrijednosti iste ili drugih veličina povezanih s njom.

Aproksimacija- zamjena nekih matematičkih objekata drugim, u jednom ili drugom smislu bliskim izvornim. Aproksimacija nam omogućava da istražujemo numeričke karakteristike i kvalitativne osobine objekta, svodeći zadatak na proučavanje jednostavnijih ili pogodnijih objekata.

Ekstrapolacija - proširenje funkcije izvan njenog domena definicije, u kojoj proširena funkcija pripada datoj klasi. Ekstrapolacija funkcije se obično radi pomoću formula koje koriste informacije o ponašanju funkcija u nekom konačnom skupu tačaka, koji se nazivaju ekstrapolacijski čvorovi, koji pripadaju domeni definicije.

Sljedeća faza izgradnje je analiza rezultirajućeg modela I izbor metode njene odluke. Osnova za izračunavanje vrijednosti izlaznih karakteristika modela je algoritam sastavljen na njegovoj osnovi za rješavanje problema na računalu. Razvoj i programiranje takvog algoritma, u pravilu, ne nailazi na suštinske poteškoće.

Složenija je organizacija računskog procesa za određivanje izlaznih karakteristika koje leže važeće oblasti, posebno za multivarijantne modele. Pronalaženje rješenja korištenjem optimizacijskih modela je još teže. Najsavršeniji i adekvatniji matematički model za objekt koji se opisuje bez pronalaženja optimalna vrijednost je beskorisno, ne može se koristiti.

Glavnu ulogu u razvoju algoritma za traženje optimalnih rješenja imaju priroda faktora matematičkog modela, chisui i kriterij optimalnosti, tip funkcije cilja i komunikacijske jednadžbe.Tip funkcije cilja i ograničenja određuju izbor jedne i tri glavne metode za rješavanje okolišno-matematičkih modela:

· analitičko istraživanje;

· istraživanje numeričkim metodama;

· istraživanje algoritamskih modela korištenjem eksperimentalnih metoda optimizacije na računaru.

Analitičke metode razlikuju po tome, pored tačna vrijednostželjene varijable, mogu dati optimalno rješenje u obliku gotove formule, koja uključuje karakteristike vanjskog okruženja i početne uslove, koje istraživač može promijeniti u širokim granicama bez promjene same formule.

Numeričke metode omogućavaju dobivanje rješenja ponovljenim proračunima korištenjem specifičnog algoritma koji implementira određenu numeričku metodu. Početni podaci za proračun su numeričke vrijednosti parametar objekta, spoljašnje okruženje i početni uslovi. Numeričke metode su iterativni postupci: za izvođenje sljedećeg koraka proračuna (sa novom vrijednošću kontroliranih varijabli) koriste se rezultati prethodnih proračuna, što omogućava da se u procesu proračuna dobiju bolji rezultati i na taj način pronađe optimalno rješenje .

Svojstva specifičnog algoritamski model, na kojem se bazira algoritam za traženje optimalnog rješenja, na primjer, njegova linearnost ili konveksnost, može se odrediti samo u procesu eksperimentiranja s njim, pa se stoga za rješavanje modela ove klase koriste tzv. eksperimentalne metode optimizacije na koristi se kompjuter. Prilikom korištenja ovih metoda, korak po korak se pristupa optimalnom rješenju na osnovu rezultata proračuna korištenjem algoritma koji modelira rad sistema koji se proučava. Metode se zasnivaju na principima pretraživanja optimalna rješenja V numeričke metode, ali za razliku od njih, sve radnje za razvoj algoritma i programa optimizacije izvodi programer modela.

Simulacijsko modeliranje problemi koji sadrže slučajne parametre obično se nazivaju statističkim modeliranjem.

Poslednji korak u kreiranju modela je sastavljanje njegovog opisa, koji sadrži informacije potrebne za proučavanje modela, njegovu dalju upotrebu, kao i sva ograničenja i pretpostavke. Pažljivo i potpuno razmatranje faktora prilikom konstruisanja modela i formulisanja pretpostavki omogućava nam da procenimo tačnost modela i izbegnemo greške pri tumačenju njegovih rezultata.

· 4. faza. Računarstvo. Prilikom rješavanja problema potrebno je pažljivo razumjeti dimenzije svih veličina uključenih u matematički model i odrediti granice (granice) unutar kojih će se nalaziti željena funkcija cilja, kao i potrebnu tačnost proračuna. Ako je moguće, proračuni se provode pod konstantnim uvjetima nekoliko puta kako bi se osiguralo da se ciljna funkcija ne mijenja.

· 5. faza. Isporuka rezultata. Rezultati istraživanja objekta mogu se dati usmeno ili pismeno. Trebali bi uključiti Kratki opis predmet istraživanja, ciljevi istraživanja, matematički model, pretpostavke pri izboru matematičkog modela, glavni rezultati proračuna, generalizacije i zaključci.

Povratak