Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedna od najjednostavnijih geometrijski oblici, poznato vam još od osnovne škole, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njim koristeći metode analitičke geometrije. Da biste savladali materijal, morate biti u stanju da izgradite pravu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz početak koordinata i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za matan, ali odjeljak o linearna funkcija Ispalo je vrlo uspješno i detaljno. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, potrebno je imati osnovna znanja o vektori, inače će razumijevanje gradiva biti nepotpuno.

On ovu lekciju Pogledat ćemo načine na koje možete kreirati jednadžbu prave linije na ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako izgledaju vrlo jednostavno), jer ću im pružiti elementarne i važne činjenice, tehničke tehnike koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge dijelove više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina prave linije sa nagibom

Poznati „školski“ oblik jednačine prave linije naziva se jednadžba prave linije sa nagibom. Na primjer, ako je ravna linija data jednadžbom, tada je njen nagib: . Razmotrimo geometrijsko značenje dati koeficijent i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

Na kursu geometrije je to dokazano nagib prave linije je jednak tangenta ugla između pozitivnog smjera sjekirei ovu liniju: , a ugao se „odvrće“ suprotno od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove samo za dvije ravne linije. Razmotrimo „crvenu“ liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (“alfa” ugao je označen zelenim lukom). Za „plavu“ pravu liniju sa ugaonim koeficijentom, jednakost je tačna („beta“ ugao je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i sam ugao koristeći inverznu funkciju - arktangens. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili mikrokalkulator u vašim rukama. dakle, ugaoni koeficijent karakterizira stepen nagiba prave linije prema osi apscise.

Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako je nagib negativan: tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "maline" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri - "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib nula: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća ravna linija je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" ravna linija.

4) Za porodicu linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), ugaoni koeficijent ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je pravolinijski graf strmiji..

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Da vas podsjetim da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija .

Obrnuto: što je manji koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je ravna linija ravnija.

Za ravne linije nejednakost je tačna, pa je ravna linija ravnija. Dječiji tobogan, kako ne biste zadali modrice i udarce.

Zašto je to potrebno?

Produžite svoju muku Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri konstruisanju grafikona - ako se pokaže da je crtež „očito nešto krivo“. Preporučljivo je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, pritisnuta blizu ose i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Oznake: ravne linije su označene malim sa latiničnim slovima: . Popularna opcija je da ih označite istim slovom s prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo pogledali možemo označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Oznaka jasno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo zagrijemo:

Kako napisati jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i ugaoni koeficijent ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Napišite jednačinu za pravu s nagibom ako je poznato da ta tačka pripada datoj pravoj.

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu . U ovom slučaju:

Odgovori:

Ispitivanje se radi jednostavno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti ovu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Zaključak: Jednačina je pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer koji možete riješiti sami:

Primjer 2

Napišite jednadžbu za pravu liniju ako je poznato da je njen nagibni ugao u odnosu na pozitivan smjer ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate poteškoća, pročitajte ponovo teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, preskačem dosta dokaza.

Zazvonilo je poslednji poziv, maturalna zabava je prošla, a ispred kapija naše rodne škole čeka nas sama analitička geometrija. Šale su gotove... Ili možda tek počinju =)

Nostalgično mašemo perom prema poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Jer u analitičkoj geometriji se upravo ovo koristi:

Opšta jednačina prava linija ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednake nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i povežimo jednačinu sa koeficijentom nagiba. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam sa "X" mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovo tehnička karakteristika! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednadžba prave linije će se skoro uvijek dati opšti oblik. Pa, ako je potrebno, lako se može svesti na "školski" oblik s kutnim koeficijentom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s ordinatnom osom).

Zapitajmo se šta dosta znate konstruisati pravu liniju? Dva poena. Ali više o ovom incidentu iz djetinjstva sada ostaje po pravilu. Svaka ravna linija ima vrlo specifičan nagib na koji se lako "prilagoditi". vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave. Očigledno je da svaka prava linija ima beskonačan broj vektora smjera, i svi će biti kolinearni (ko-smjerni ili ne - nije važno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan da se konstruiše prava linija, vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku na ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednačinu prave linije koristeći vektor tačke i smjera?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor smjera ove linije, tada se jednadžba ove linije može sastaviti pomoću formule:

Ponekad se zove kanonska jednadžba linije .

Šta raditi kada jedna od koordinata je jednako nuli, razumjet ćemo u praktičnim primjerima u nastavku. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti jednake nuli, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije rješavamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu u njen opći oblik:

Odgovori:

U pravilu nema potrebe za crtanjem u takvim primjerima, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se iscrtati iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu pravu liniju. Usput, u mnogim slučajevima je najpogodnije konstruirati pravu liniju koristeći jednadžbu s kutnim koeficijentom. Lako je pretvoriti našu jednadžbu u oblik i lako odabrati drugu tačku za konstruiranje prave linije.

Kao što je navedeno na početku pasusa, prava linija ima beskonačan broj vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Kreirajmo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera:

Rješavanje proporcije:

Podijelite obje strane sa –2 i dobijete poznatu jednačinu:

Zainteresovani mogu testirati vektore na isti način ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?

Veoma jednostavno:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Izjava nam omogućava da pronađemo samo jedan vektor smjera od beskonačnog broja, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna s osi i koordinate rezultirajućeg vektora smjera se prikladno dijele sa –2, dobivajući upravo osnovni vektor kao vektor smjera. Logično.

Slično, jednačina specificira ravnu liniju paralelnu sa osom, a dijeljenjem koordinata vektora sa 5, dobijamo jedinični vektor kao vektor smjera.

Hajde da to uradimo provjera primjera 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu sastavili jednačinu prave koristeći tačku i vektor smjera

Prvo, koristeći jednadžbu prave linije rekonstruiramo njen vektor smjera: – sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima rezultat može biti kolinearan vektor prema originalnom, a to je obično lako uočiti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu. Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čemu smo veoma sretni.

Zaključak: Zadatak je ispravno obavljen.

Primjer 4

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Vrlo je preporučljivo provjeriti koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, postupite vrlo jednostavno:

Primjer 5

Rješenje: Formula nije prikladna jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obrazac, a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite vektor usmjeravanja prave linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost

Zaključak: zadatak je ispravno obavljen

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će u svakom slučaju raditi? Dva su razloga. Prvo, formula je u obliku razlomka mnogo bolje zapamćen. I drugo, nedostatak univerzalne formule je to rizik od zabune se značajno povećava prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave koristeći dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

Zapravo, ovo je vrsta formule i evo zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera date prave. Na lekciji Vektori za lutke smatrali smo najjednostavniji zadatak– kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca su:

Bilješka : tačke se mogu “zamijeniti” i formula se može koristiti . Takvo rješenje će biti ekvivalentno.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave linije koristeći dvije tačke .

Rješenje: Koristimo formulu:

Češljanje nazivnika:

I promiješaj špil:

Sada je vrijeme da se riješite razlomaka. U ovom slučaju, trebate pomnožiti obje strane sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje je očigledno - koordinate početnih tačaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

Zaključak: Jednačina prave je ispravno napisana.

Ako najmanje jedan od tačaka ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer konstruirajte pravu liniju i vidite da li joj tačke pripadaju , nije tako jednostavno.

Napomenut ću još nekoliko tehničkih aspekata rješenja. Možda je u ovom problemu isplativije koristiti formulu ogledala i, na istim tačkama napravi jednačinu:

Manje razlomaka. Ako želite, možete riješiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i shvatiti da li se može dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako dobijete jednačinu , onda je preporučljivo da je smanjite za dva: – jednačina će definirati istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora relativni položaj linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam omogućiti bolje razumijevanje i vježbanje tehnika izračunavanja.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) postaje nula, onda ga prepisujemo u obliku . Opet, primijetite kako izgleda nespretno i zbunjeno. Ne vidim mnogo smisla u dovođenju praktični primjeri, pošto smo takav problem već zaista riješili (vidi br. 5, 6).

Direktni normalni vektor (normalni vektor)

Šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno, svaka ravna linija ima beskonačan broj njih (kao i vektora smjera), a svi normalni vektori prave linije će biti kolinearni (kosmjerni ili ne, nema razlike).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vodećim vektorima:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Provjerimo ortogonalnost ovih vektora koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće konstruisati jednačinu prave linije sa jednom tačkom i normalnim vektorom? Osećam to u stomaku, moguće je. Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer same prave linije jasno definiran - ovo je „kruta struktura“ s uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Ovo je naš normalni vektor. Volim ga. I postovanje =)

Primjer 9

Napišite jednačinu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Rješenje: Koristimo formulu:

Dobijena je opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) “Ukloniti” koordinate vektora normale iz jednačine: – da, zaista, originalni vektor je dobijen iz uslova (ili treba dobiti kolinearni vektor).

2) Provjerimo da li tačka zadovoljava jednačinu:

Istinska jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednačina pravilno sastavljena, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvadimo usmjeravajući vektor prave linije:

Odgovori:

Na crtežu situacija izgleda ovako:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 10

Napišite jednačinu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važne vrste jednačine prave na ravni

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član jednak nuli i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna „tehnička“ jednačina. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Kako je to zgodno? Jednadžba linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave s koordinatnim osama, što može biti vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Nađimo tačku preseka prave sa osom. Resetujemo „y” na nulu, a jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom – tačka u kojoj prava seče ordinatnu osu.

U ovom članku ćemo razmotriti opštu jednadžbu prave linije na ravni. Navedimo primjere konstrukcije opće jednadžbe prave ako su poznate dvije tačke ove prave ili ako su poznate jedna tačka i vektor normale ove prave. Hajde da uvedemo metode za transformaciju jednačine u opšti pogled u kanonski i parametarski pogled.

Neka je dat proizvoljan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxy. Razmotrimo jednačinu prvog stepena ili linearna jednačina:

Ax+By+C=0,

(1)

Gdje A, B, C− neke konstante i barem jedan od elemenata A I B različito od nule.

Pokazaćemo da linearna jednačina na ravni definiše pravu liniju. Dokažimo sljedeću teoremu.

Teorema 1. U proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni, svaka prava linija može biti određena linearnom jednačinom. Obrnuto, svaka linearna jednačina (1) u proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni definiše pravu liniju.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je prava linija L

je određen linearnom jednačinom za bilo koji Dekartov pravougaoni koordinatni sistem, pošto će tada biti određen linearnom jednačinom za bilo koji izbor Dekartovog pravougaonog koordinatnog sistema. Dovoljno je dokazati da je prava linija Neka je na ravni data prava linija . Odaberimo koordinatni sistem tako da os Ox Dovoljno je dokazati da je prava linija poklopila sa pravom linijom , i osa Oy Dovoljno je dokazati da je prava linija bila okomita na njega. Zatim jednačina prave

će poprimiti sljedeći oblik:

(2)

y=0. Dovoljno je dokazati da je prava linija Sve tačke na pravoj

će zadovoljiti linearnu jednačinu (2), a sve tačke izvan ove prave neće zadovoljiti jednačinu (2). Prvi dio teoreme je dokazan. A I B različito od nule. Nađimo geometrijski lokus tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1). Budući da je barem jedan od koeficijenata A I B je različit od nule, tada jednačina (1) ima barem jedno rješenje M(x 0 ,y 0). (Na primjer, kada A≠0, tačka M 0 (−C/A, 0) pripada datom geometrijskom lokusu tačaka). Zamjenom ovih koordinata u (1) dobijamo identitet

Sjekira 0 +By 0 +C=0.

(3)

Oduzmimo identitet (3) od (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Očigledno, jednačina (4) je ekvivalentna jednačini (1). Stoga je dovoljno dokazati da (4) definira određenu pravu.

Pošto razmatramo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, iz jednakosti (4) slijedi da vektor sa komponentama ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonalno na vektor n sa koordinatama ( A,B}.

Razmislite o nekoj pravoj liniji Dovoljno je dokazati da je prava linija, prolazeći kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i okomito na vektor n(Sl.1). Pusti poentu M(x,y) pripada liniji Dovoljno je dokazati da je prava linija. Zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 okomito n i jednačina (4) je zadovoljena (skalarni proizvod vektora n i jednaka nuli). Obrnuto, ako tačka M(x,y) ne leži na pravoj Dovoljno je dokazati da je prava linija, zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 nije ortogonalno na vektor n a jednačina (4) nije zadovoljena. Teorema je dokazana.

Dokaz. n 1 ={A 1 ,B Kako linije (5) i (6) definiraju istu liniju, onda su vektori normale n 2 ={A 2 ,B 1) i n 1 ≠0, n 2) kolinearna. Od vektora λ 2 ≠0, onda postoji takav broj n 2 =n 1 λ , Šta A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Odavde imamo: C 2 =C 1 λ . Dokažimo to . Očigledno, slučajne linije imaju M 0 (x 0 , y zajednička tačka λ 0). Množenje jednadžbe (5) sa

i oduzimanjem jednačine (6) od nje dobijamo: C 1 λ −C Pošto su prve dvije jednakosti iz izraza (7) zadovoljene, onda C 2 =C 1 λ 2 =0. One.

. Primedba je dokazana. M 0 (x 0 , y Imajte na umu da jednačina (4) definira jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku n={A,B 0) i ima normalan vektor

). Prema tome, ako su poznati vektor normale prave i tačka koja pripada ovoj pravoj, onda se opšta jednačina prave može konstruisati pomoću jednačine (4). M Primjer 1. Prava linija prolazi kroz tačku n=(4,−1) i ima normalan vektor

=(3, 5). Konstruirajte opštu jednačinu prave. x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B Rješenje.

Imamo:

=5. Da bismo konstruirali opću jednadžbu prave linije, ove vrijednosti zamjenjujemo u jednačinu (4): Dovoljno je dokazati da je prava linija odgovor: Dovoljno je dokazati da je prava linija Vektor je paralelan pravoj Dovoljno je dokazati da je prava linija i, prema tome, okomito na normalni vektor prave . Konstruirajmo vektor normalne linije, s obzirom na to n skalarni proizvod n={1,−3}.

vektori M i jednak nuli. Možemo napisati npr. M Da bismo konstruirali opštu jednačinu prave, koristimo formulu (4). Zamenimo koordinate tačke u (4) n:

1 (možemo uzeti i koordinate tačke M 2) i normalni vektor M Zamjena koordinata tačaka

Imamo:

1 i

Dobili smo kanonsku jednačinu prave. Vector q={−B, A) je vektor smjera linije (12).

Vidi obrnutu konverziju.

Primer 3. Prava linija na ravni je predstavljena sledećom opštom jednačinom:

Pomerimo drugi član udesno i podelimo obe strane jednačine sa 2,5.

Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravu koja prolazi kroz datu tačku kolinearnu vektoru smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine ravno.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne osi. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

,

što znači da su projekcije vektora na os , i osa I Oz jednaki su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi , i osa I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine za pravu liniju koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definirati sa dvije tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dva date bodove.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os , i osa .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Vjerujući onda u datom sistemu jednačine y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Kroz bilo koju tačku može se povući beskonačan broj pravih linija.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju može se povući jedna prava linija.

Dvije divergentne prave u ravni ili se sijeku u jednoj tački ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dvije linije:

• linije se seku;

• prave su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija— algebarska kriva prvog reda: prava linija u Dekartovom koordinatnom sistemu

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I WITH Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- prava linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠0- prava linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠0- prava linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u u raznim oblicima zavisno od bilo koje date

početni uslovi.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu datu jednacinom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Rješenje. Sa A = 3 i B = -1, sastavimo jednačinu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

Zamenimo koordinate date tačke A u rezultujući izraz. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednačina: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Onda jednačina prave,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. On

ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao nagib ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gore napisane formule dobijamo:

Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Ako je opća jednačina prave Ax + Wu + C = 0 voditi do:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i usmjeravajući vektor prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao usmjeravajući vektor prave linije.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražit ćemo jednadžbu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x = 1, y = 2 dobijamo C/A = -3, tj. tražena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S≠0, onda, dijeljenjem sa -S, dobijamo:

ili gde

Geometrijsko značenje koeficijenti je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osom Oh, A b- koordinata tačke preseka linije sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba prave.

Ako obje strane jednačine Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ*C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave linije,

A φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Obavezno napisati Razne vrste jednačine

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između pravih linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dva prave linije su okomite,

Ako k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 = λB. Ako takođe S 1 = λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do prave linije Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I u 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito

data prava linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke. U članku" " Obećao sam vam da ćete pogledati drugi način rješavanja predstavljenih problema nalaženja derivacije, s obzirom na graf funkcije i tangentu na ovaj graf. O ovoj metodi ćemo raspravljati u , Ne propustite! Zašto u sledećoj?

Činjenica je da će se tu koristiti formula za jednadžbu ravne linije. Naravno, mogli bismo jednostavno pokazati ovu formulu i savjetovati vas da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). To je neophodno! Ako ga zaboravite, možete ga brzo vratitineće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo dvije tačke A na koordinatnoj ravni(x 1;y 1) i B(x 2;y 2), kroz naznačene tačke povlači se prava linija:

Evo same direktne formule:

*Odnosno, prilikom zamjene određenih koordinata tačaka, dobijamo jednačinu oblika y=kx+b.

**Ako jednostavno "zapamtite" ovu formulu, postoji velika vjerovatnoća da ćete se pomiješati s indeksima kada X. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:

Zato je važno razumjeti značenje.

Sada izvođenje ove formule. Sve je vrlo jednostavno!

Trokuti ABE i ACF su slični u oštar ugao(prvi znak sličnosti pravokutnih trouglova). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, odnosno:

Sada jednostavno izražavamo ove segmente kroz razliku u koordinatama tačaka:

Naravno, neće biti greške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je održati konzistentnost):

Rezultat će biti ista jednačina linije. Ovo je sve!

To jest, bez obzira na to kako su same tačke (i njihove koordinate) označene, razumijevanjem ove formule uvijek ćete pronaći jednadžbu prave linije.

Formula se može izvesti pomoću svojstava vektora, ali princip izvođenja će biti isti, jer ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trokuta. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je jasniji)).

Pogledajte izlaz koristeći vektorske koordinate >>>

Neka se na koordinatnoj ravni konstruiše prava linija koja prolazi kroz dve date tačke A(x 1;y 1) i B(x 2;y 2). Označimo proizvoljnu tačku C na pravoj sa koordinatama ( x; y). Takođe označavamo dva vektora:

Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim linijama (ili na istoj pravoj) njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne, odnosno:

— zapisujemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:

Pogledajmo primjer:

Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama (2;5) i (7:3).

Ne morate čak ni da gradite samu pravu liniju. Primjenjujemo formulu:

Važno je da shvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8

Da biste bili sigurni da je rezultirajuća jednadžba ispravno pronađena, obavezno provjerite - zamijenite koordinate podataka u stanju tačaka u nju. Jednačine bi trebale biti tačne.

To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Povratak