Metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda je još jedan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda i Bernoullijeve jednadžbe.
Linearno diferencijalne jednadžbe prvog reda su jednadžbe oblika y’+p(x)y=q(x). Ako je na desnoj strani nula: y’+p(x)y=0, onda je ovo linearna homogena Jednačina 1. reda. Prema tome, jednačina sa različitom od nule desna strana, y’+p(x)y=q(x), — heterogena linearna jednačina 1. red.
Metoda varijacije proizvoljne konstante (Lagrangeova metoda) je kako slijedi:
1) Tražim zajednička odluka homogena jednačina y’+p(x)y=0: y=y*.
2) U opštem rješenju, C nije konstanta, već funkcija od x: C = C (x). Pronalazimo derivaciju opšteg rješenja (y*)’ i zamjenjujemo rezultirajući izraz za y* i (y*)’ u početni uvjet. Iz rezultirajuće jednačine nalazimo funkciju C(x).
3) U opštem rešenju homogene jednačine, umesto C, zamenjujemo pronađeni izraz C(x).
Pogledajmo primjere metode mijenjanja proizvoljne konstante. Uzmimo iste zadatke kao u, uporedimo napredak rješenja i uvjerimo se da se dobijeni odgovori poklapaju.
1) y’=3x-y/x
Prepišimo jednačinu u standardnom obliku (za razliku od Bernoullijeve metode, gdje nam je oblik zapisa bio potreban samo da bismo vidjeli da je jednadžba linearna).
y’+y/x=3x (I). Sada nastavljamo prema planu.
1) Rešiti homogena jednačina y’+y/x=0. Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama. Zamislite y’=dy/dx, zamjena: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa xy≠0: dy/y=-dx/x. Hajde da integrišemo:
2) U rezultirajućem opštem rješenju homogene jednadžbe, smatrat ćemo C ne konstantom, već funkcijom od x: C=C(x). Odavde
Dobivene izraze zamjenjujemo u uvjet (I):
Integrirajmo obje strane jednačine:
ovdje je C već neka nova konstanta.
3) U opštem rješenju homogene jednačine y=C/x, gdje smo pretpostavili C=C(x), odnosno y=C(x)/x, umjesto C(x) zamjenjujemo pronađeni izraz x³ +C: y=(x³ +C)/x ili y=x²+C/x. Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernulijevom metodom.
Odgovor: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Ovdje je jednačina već napisana u standardnom obliku, nema potrebe da je transformišete.
1) Riješite homogenu linearnu jednačinu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Hajde da integrišemo:
Da bismo dobili prikladniji oblik notacije, uzimamo eksponent na stepen C kao novi C:
Ova transformacija je izvedena da bi bilo pogodnije pronaći izvod.
2) U rezultirajućem opštem rješenju linearne homogene jednadžbe, smatramo da C nije konstanta, već funkcija x: C=C(x). Pod ovim uslovom
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze y i y' u uvjet:
Pomnožite obje strane jednačine sa
Integriramo obje strane jednačine koristeći formulu integracije po dijelovima, dobivamo:
Ovdje C više nije funkcija, već obična konstanta.
3) U opštem rešenju homogene jednačine
zamijeni pronađenu funkciju C(x):
Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernulijevom metodom.
Metoda varijacije proizvoljne konstante je također primjenjiva za rješavanje.
y'x+y=-xy².
Dovodimo jednačinu u standardni oblik: y’+y/x=-y² (II).
1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa y: dy/y=-dx/x. Sada da integrišemo:
Dobivene izraze zamjenjujemo u uslov (II):
Hajde da pojednostavimo:
Dobili smo jednadžbu sa odvojivim varijablama za C i x:
Ovdje je C već obična konstanta. Tokom procesa integracije pisali smo jednostavno C umjesto C(x), kako ne bismo preopteretili notaciju. I na kraju smo se vratili na C(x), da ne pobrkamo C(x) sa novim C.
3) U opštem rješenju homogene jednadžbe y=C(x)/x zamjenjujemo pronađenu funkciju C(x):
Dobili smo isti odgovor kao kada smo ga rješavali Bernulijevom metodom.
Primjeri samotestiranja:
1. Prepišimo jednačinu u standardnom obliku: y’-2y=x.
1) Riješite homogenu jednačinu y’-2y=0. y’=dy/dx, dakle dy/dx=2y, pomnožite obje strane jednadžbe sa dx, podijelite sa y i integrirajte:
Odavde nalazimo y:
Zamjenjujemo izraze za y i y’ u uvjet (radi kratkoće koristit ćemo C umjesto C(x) i C’ umjesto C"(x)):
Da bismo pronašli integral na desnoj strani, koristimo formulu integracije po dijelovima:
Sada zamjenjujemo u, du i v u formulu:
Ovdje C =konst.
3) Sada u rastvor stavljamo homogeno
Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednačinu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n osnovni sistem rješenja i neka je opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Slično kao u slučaju jednadžbi prvog reda, tražit ćemo rješenje jednačine (2) u obliku
. (3)
Uvjerimo se da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamjenjujemo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednačinu, nalazimo njene derivate. Prvi izvod je jednak 
. (4)
Prilikom izračunavanja drugog izvoda, četiri člana će se pojaviti na desnoj strani od (4), kada se računa treći izvod pojavit će se osam članova i tako dalje. Stoga je, radi pogodnosti daljih proračuna, prvi član u (4) postavljen jednak nuli. Uzimajući ovo u obzir, drugi izvod je jednak 
. (5)
Iz istih razloga kao i ranije, u (5) smo također postavili prvi član jednak nuli. Konačno, n-ti izvod je 
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvoda u originalnu jednačinu imamo 
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, jer su funkcije y j , j=1,2,..,n rješenja odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Kombinacijom sa prethodnim dobijamo sistem algebarske jednačine pronaći funkcije C" j (x) 
(8)
Determinanta ovog sistema je determinanta Wronskog osnovnog sistema rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Stoga postoji jedina odluka sistemi (8). Nakon što smo ga pronašli, dobijamo funkcije C" j (x), j=1,2,…,n, i, posljedično, C j (x), j=1,2,…,n Zamjenom ovih vrijednosti u (3), dobijamo rješenje linearne nehomogene jednačine.
Prikazana metoda se naziva metodom varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeovom metodom.
Primjer br. 1. Nađimo opšte rješenje jednačine y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu y"" + 4y" + 3y = 0. Korijeni njene karakteristične jednačine r 2 + 4r + 3 = 0 jednaki su -1 i - 3. Dakle, osnovni sistem rješenja homogene jednačine sastoji se od funkcija y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Tražimo rješenje nehomogene jednačine u obliku y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli izvode C" 1 , C" 2 sastavljamo sistem jednadžbi (8)
rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo
Konačno dobijamo
Primjer br. 2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti metodom variranja proizvoljnih konstanti: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Rješenje:
Ova diferencijalna jednadžba se odnosi na linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima.
Tražit ćemo rješenje jednačine u obliku y = e rx. Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednačinu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
dakle, fundamentalni sistem rješenja se sastoje od funkcija:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Opće rješenje homogene jednačine ima oblik: 
Tražiti određeno rješenje metodom variranja proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli izvode od C" i sastavljamo sistem jednačina: 
C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazimo C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 = -c 2 e -2x
i zamijenite ga drugom. Kao rezultat dobijamo:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Dobijene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Zbog , tada zapisujemo rezultirajuće izraze u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opšte rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Nađimo određeno rješenje pod uslovom:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Zamjenom x = 0 u pronađenu jednačinu dobijamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvi izvod dobijenog opšteg rešenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobijamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Dobijamo sistem od dve jednačine:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ili
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ili
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
gdje:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Privatno rješenje će biti napisano kao:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi. Ova lekcija namijenjeno onim studentima koji su već manje-više upućeni u temu. Ako tek počinjete da se upoznajete sa daljinskim upravljanjem, tj. Ako ste čajnik, preporučujem da počnete s prvom lekcijom: Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. A ako već završavate, odbacite moguće predrasude da je metoda teška. Jer je jednostavno.
U kojim slučajevima se koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti?
1) Za rješavanje se može koristiti metoda varijacije proizvoljne konstante linearni nehomogeni DE 1. reda. Pošto je jednačina prvog reda, onda je i konstanta jedna.
2) Za rješavanje nekih koristi se metoda varijacije proizvoljnih konstanti linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Ovdje se razlikuju dvije konstante.
Logično je pretpostaviti da će se lekcija sastojati od dva pasusa... Tako sam napisao ovu rečenicu i nekih 10 minuta bolno razmišljao o tome koje bih još pametno sranje mogao dodati za glatki prijelaz na praktični primjeri. Ali iz nekog razloga nemam nikakvih misli nakon praznika, iako izgleda da nisam ništa zloupotrijebio. Stoga, idemo direktno na prvi pasus.
Metoda varijacije proizvoljne konstante
za linearnu nehomogenu jednačinu prvog reda
Prije razmatranja metode varijacije proizvoljne konstante, preporučljivo je upoznati se sa člankom Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Na toj lekciji smo vežbali prvo rešenje nehomogena DE 1. reda. Ovo prvo rješenje, podsjećam, zove se metoda zamjene ili Bernulijeva metoda(ne treba se brkati sa Bernulijeva jednačina!!!)
Sada ćemo pogledati drugo rešenje– metoda varijacije proizvoljne konstante. Navest ću samo tri primjera, a uzeću ih iz gore navedene lekcije. Zašto tako malo? Jer u stvari, rješenje na drugi način će biti vrlo slično rješenju na prvi način. Osim toga, prema mojim zapažanjima, metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi rjeđe od metode zamjene.
Primjer 1
(Diffur iz primjera br. 2 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje: Ova jednadžba je linearno nehomogena i ima poznati oblik: 
U prvoj fazi potrebno je riješiti jednostavniju jednačinu: 
Odnosno, glupo resetujemo desnu stranu i umjesto toga upisujemo nulu.
Jednačina Ja ću nazvati pomoćna jednačina.
IN u ovom primjeru morate riješiti sljedeću pomoćnu jednačinu:
Pred nama odvojiva jednačina, čije vam rješenje (nadam se) više nije teško: 
ovako: 
– opšte rješenje pomoćne jednačine.
Na drugom koraku mi ćemo zameniti neka konstanta za sada nepoznata funkcija koja ovisi o "x":
Otuda i naziv metode - variramo konstantu. Alternativno, konstanta bi mogla biti neka funkcija koju sada moramo pronaći.
IN original nehomogena jednačina napravimo zamjenu:
Zamenimo i 
u jednačinu :
Kontrolna tačka - dva termina na lijevoj strani se poništavaju. Ako se to ne dogodi, trebali biste potražiti gornju grešku.
Kao rezultat zamjene, dobijena je jednadžba sa odvojivim varijablama. Odvajamo varijable i integrišemo.
Kakav blagoslov, eksponenti takođe otkazuju:
Pronađenoj funkciji dodajemo "normalnu" konstantu:
On završna faza Prisjetimo se naše zamjene:
Funkcija je upravo pronađena!
Dakle, generalno rješenje je: 
odgovor: zajednicka odluka: 
Ako odštampate dva rješenja, lako ćete primijetiti da smo u oba slučaja pronašli iste integrale. Jedina razlika je u algoritmu rješenja.
Sada za nešto komplikovanije, komentirat ću i drugi primjer:
Primjer 2
Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
(Diffur iz primjera br. 8 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje: Svedujmo jednačinu na oblik :
Resetujmo desnu stranu i riješimo pomoćnu jednačinu:
Opće rješenje pomoćne jednadžbe:
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu:
Prema pravilu diferencijacije proizvoda: 
Zamenimo i u originalnu nehomogenu jednačinu:
Dva termina na lijevoj strani se poništavaju, što znači da smo na na pravom putu:
Integrirajmo po dijelovima. Ukusno slovo iz formule integracije po dijelovima već je uključeno u rješenje, pa koristimo, na primjer, slova “a” i “be”:
Sada se prisjetimo zamjene:
odgovor: zajednicka odluka:
I jedan primjer za nezavisno rješenje:
Primjer 3
Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datom početnom uvjetu.
,
(Diffur iz primjera br. 4 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje:
Ovaj DE je linearno nehomogen. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Rešimo pomoćnu jednačinu:
Odvajamo varijable i integrišemo: 
Zajednička odluka: 
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu: 
Izvršimo zamjenu: 
Dakle, generalno rješenje je: 
Nađimo određeno rješenje koje odgovara datom početnom uvjetu: 
odgovor: privatno rješenje:
Rešenje na kraju lekcije može poslužiti primjer za završetak zadatka.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
za linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda
sa konstantnim koeficijentima
Često sam čuo mišljenje da metoda variranja proizvoljnih konstanti za jednačinu drugog reda nije laka stvar. Ali pretpostavljam sljedeće: najvjerovatnije, metoda se mnogima čini teškom jer se ne pojavljuje tako često. Ali u stvarnosti nema posebnih poteškoća - tok odluke je jasan, transparentan i razumljiv. I predivno.
Za savladavanje metode poželjno je biti sposoban za rješavanje nehomogene jednačine metoda drugog reda odabira određenog rješenja na osnovu oblika desne strane. Ova metoda je detaljno razmotrena u članku. Nehomogeni DE 2. reda. Podsjećamo da linearna nehomogena jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik:
Metoda odabira, o kojoj je bilo riječi u gornjoj lekciji, radi samo u ograničenom broju slučajeva kada desna strana sadrži polinome, eksponencijale, sinuse i kosinuse. Ali šta učiniti kada je na desnoj strani, na primjer, razlomak, logaritam, tangenta? U takvoj situaciji u pomoć dolazi metoda varijacije konstanti.
Primjer 4
Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda 
Rješenje: Na desnoj strani zadata jednačina postoji razlomak, tako da odmah možemo reći da metoda odabira određenog rješenja ne funkcionira. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.
Nema znakova grmljavine, početak rješenja je sasvim običan:
Naći ćemo zajednička odluka prikladno homogena jednadžbe: 
Sastavimo i riješimo karakterističnu jednačinu: 
– dobiju se konjugirani kompleksni korijeni, pa je opće rješenje:
Obratite pažnju na zapis općeg rješenja - ako postoje zagrade, onda ih otvorite.
Sada radimo gotovo isti trik kao i za jednadžbu prvog reda: mijenjamo konstante, zamjenjujući ih nepoznatim funkcijama. To je, opšte rešenje nehomogenog tražićemo jednačine u obliku:
Gdje - za sada nepoznate funkcije.
Izgleda kao deponija kućnog otpada, ali sad ćemo sve srediti.
Nepoznate su derivati funkcija. Naš cilj je pronaći izvode, a pronađeni derivati moraju zadovoljiti i prvu i drugu jednačinu sistema.
Odakle dolaze “Grci”? Roda ih donosi. Gledamo ranije dobijeno opće rješenje i pišemo:
Nađimo derivate:
Lijevi dijelovi su obrađeni. Šta je na desnoj strani?
- Ovo desni deo originalna jednadžba, u ovom slučaju:
Koeficijent je koeficijent druge derivacije:
U praksi, gotovo uvijek, i naš primjer nije izuzetak.
Sve je jasno, sada možete kreirati sistem: 
Sistem je obično riješen prema Cramerovim formulama koristeći standardni algoritam. Jedina razlika je u tome što umjesto brojeva imamo funkcije.
Nađimo glavnu determinantu sistema: 
Ako ste zaboravili kako se otkriva determinanta dva po dva, pogledajte lekciju Kako izračunati determinantu? Link vodi do table srama =)
Dakle: to znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Pronalaženje derivata: 
Ali to nije sve, do sada smo pronašli samo derivat.
Sama funkcija se vraća integracijom:
Pogledajmo drugu funkciju: 
Ovdje dodajemo "normalnu" konstantu
U završnoj fazi rješenja, sjećamo se u kojem obliku smo tražili opšte rješenje nehomogene jednačine? U takvim:
Funkcije koje su vam potrebne upravo su pronađene! 
Ostaje samo izvršiti zamjenu i zapisati odgovor:
odgovor: zajednicka odluka:
U principu, odgovor je mogao proširiti zagrade.
Potpuna provjera odgovora provodi se prema standardnoj šemi, o kojoj je bilo riječi u lekciji. Nehomogeni DE 2. reda. Ali provjera neće biti laka, jer je potrebno pronaći prilično teške derivate i izvršiti glomaznu zamjenu. Ovo je neugodna karakteristika kada rješavate takve difuzore.
Primjer 5
Riješite diferencijalnu jednadžbu mijenjajući proizvoljne konstante
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U stvari, na desnoj strani se nalazi i razlomak. Podsjetimo se trigonometrijska formula, usput, moraće da se primeni tokom rešenja.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti je najuniverzalnija metoda. Može riješiti bilo koju jednačinu koja se može riješiti način odabira određenog rješenja na osnovu forme desne strane. Postavlja se pitanje: zašto i tu ne koristiti metodu varijacije proizvoljnih konstanti? Odgovor je očigledan: odabir određenog rješenja, o čemu se razgovaralo na času Nehomogene jednadžbe drugog reda, značajno ubrzava rješenje i skraćuje snimanje - bez gužve sa determinantama i integralima.
Pogledajmo dva primjera sa Cauchy problem.
Primjer 6
Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datoj početni uslovi
, 
Rješenje: Opet razlomak i eksponent u zanimljivo mjesto.
Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.
Naći ćemo zajednička odluka prikladno homogena jednadžbe: 
– dobijaju se različiti pravi koreni, pa je opšte rešenje:
Opće rješenje nehomogenih tražimo jednačine u obliku: , gdje – za sada nepoznate funkcije.
Kreirajmo sistem:
U ovom slučaju:
,
Pronalaženje derivata: 
, 
ovako: 
Rešimo sistem koristeći Cramerove formule:
, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Vraćamo funkciju integracijom:
Koristi se ovdje metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.
Vraćamo drugu funkciju integracijom: 
Ovaj integral je riješen varijabilna metoda zamjene:
Iz same zamjene izražavamo:
ovako: 
Ovaj integral se može naći metoda potpune kvadratne ekstrakcije, ali u primjerima s difuzorima radije širim frakciju metoda neodređenih koeficijenata:
Pronađene obje funkcije:
Kao rezultat, opšte rješenje nehomogene jednadžbe je:
Nađimo određeno rješenje koje zadovoljava početne uslove .
Tehnički, potraga za rješenjem se odvija na standardni način, o čemu je bilo riječi u članku Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.
Čekaj, sada ćemo pronaći izvod pronađenog opšteg rješenja:
Ovo je takva sramota. Nije potrebno pojednostavljivati, lakše je odmah kreirati sistem jednačina. Prema početnim uslovima :
Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti 
na opšte rešenje:
U odgovoru, logaritmi se mogu malo spakovati.
odgovor: privatno rješenje: 
Kao što vidite, poteškoće mogu nastati u integralima i derivatima, ali ne iu samom algoritmu metode varijacije proizvoljnih konstanti. Nisam vas ja zastrašio, sve je to kolekcija Kuznjecova!
Za opuštanje, konačni, jednostavniji primjer da sami riješite:
Primjer 7
Riješite Cauchyjev problem
, 
Primjer je jednostavan, ali kreativan, kada kreirate sistem, pažljivo ga pogledajte prije nego što odlučite ;-),
Kao rezultat, generalno rješenje je:
Nađimo određeno rješenje koje odgovara početnim uvjetima .
Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti u opće rješenje:
odgovor: privatno rješenje:
Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu prvog reda:
(1)
.
Postoje tri načina za rješavanje ove jednačine:
- metoda varijacije konstante (Lagrange).
Razmotrimo rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda korištenjem Lagrangeove metode.
Metoda varijacije konstante (Lagrange)
U metodi varijacije konstante rješavamo jednačinu u dva koraka. U prvom koraku pojednostavljujemo originalnu jednačinu i rješavamo homogenu jednačinu. U drugoj fazi zamjenjujemo konstantu integracije dobivenu u prvoj fazi rješenja funkcijom. Zatim tražimo opće rješenje izvorne jednačine.
Razmotrimo jednačinu:
(1)
Korak 1 Rješavanje homogene jednadžbe
Tražimo rješenje homogene jednačine:
Ovo je jednadžba koja se može odvojiti
Razdvajamo varijable - pomnožimo sa dx, podijelimo sa y:
Hajde da integrišemo:
Integral preko y - tabelarni:
Onda
Potencirajmo:
Zamenimo konstantu e C sa C i uklonimo znak modula koji se svodi na množenje konstantom ±1, koje ćemo uključiti u C:
Korak 2 Zamijenite konstantu C sa funkcijom
Sada zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
C → u (x)
Odnosno, tražit ćemo rješenje izvorne jednačine (1)
kao:
(2)
Pronalaženje derivata.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.
Prema pravilu diferencijacije proizvoda:
.
Zamijenite u originalnu jednačinu (1)
:
(1)
;
.
Dva člana su smanjena:
;
.
Hajde da integrišemo:
.
Zamjena u (2)
:
.
Kao rezultat, dobivamo opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda:
.
Primjer rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Lagrangeovom metodom
Riješite jednačinu
Rješenje
Rešavamo homogenu jednačinu:
Odvajamo varijable:
pomnoži sa:
Hajde da integrišemo:
Tablični integrali:
Potencirajmo:
Zamenimo konstantu e C sa C i uklonimo znakove modula:
Odavde:
Zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
C → u (x)
Pronalaženje derivata:
.
Zamijenite u originalnu jednačinu:
;
;
Ili:
;
.
Hajde da integrišemo:
;
Rješenje jednadžbe:
.
Za pronalaženje općeg rješenja y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) potrebno je pronaći posebno rješenje.
Može se naći iz općeg rješenja jednadžbe y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 nekih varijacija proizvoljnih konstanti
Zamijenimo u (5.1)
+ + + + (x) + +
(x) + = f (x)
+ + + + (x) +
(x) + = f (x)
Integracijom nalazimo i
Zatim, koristeći formulu (5.6), sastavljamo opšte rješenje
Teorema (5.2): o nametanje rješenja
Ako je desna strana jednadžbe y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) zbir 2 funkcije:
f(x) = (x) + (x) ,
a u je posebno rješenje jednadžbe
+ (x) y ‘ + (x) y = (x)
+ (x) y ‘ + (x) y = (x)
To je funkcija
Da li je rješenje ove jednačine
() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)
10. Bernulijeva jednačina. 
11. Rikati jednadžba:
Riccati jednadžba je jedan od najzanimljivijih nelinearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Napisano je u obliku:
Gdje a(x), b(x), c(x) - kontinuirane funkcije u zavisnosti od varijable x.
Rikati jednadžba se nalazi u različitim oblastima matematike (na primjer, algebarska geometrija i teorija konformnih preslikavanja) i fizike. Često se javlja i u primijenjenim matematičkim problemima.
Gornja jednačina se zove opšta jednačina Riccati. Njegovo rješenje se zasniva na sljedećoj teoremi:
Teorema: Ako je poznato određeno rješenje y 1 Rikatijevske jednadžbe, onda je njeno opće rješenje određeno formulom
Zaista, zamjena rješenja y = y 1 + u u Riccati jednadžbu, imamo:
Podvučeni pojmovi na lijevoj i desnoj strani mogu se skraćivati jer y 1 je posebno rješenje koje zadovoljava jednačinu. Kao rezultat, dobijamo diferencijalnu jednadžbu za funkciju u(x):
Druga verzija Riccatija (napišite samo jedan od njih)
IN opšti slučaj nisu integrisani u kvadrature
Međutim, ako je poznato jedno određeno rješenje, onda se Riccatijeva jednačina može svesti na Bernoullijevu jednačinu
Da bismo to učinili, napravimo zamjenu:
P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)
P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0
Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0
n=2 Bernouli
12. Lagrangeova jednadžba.:
13. Clairaut jednadžba:
14. Diferencijalne jednadžbe višeg reda od prve. Slučajevi degradacije. 
15. Linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda. Vronskian. Osnovni sistem rješenja:
16. Homogene diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima. Karakteristična jednačina:
Poseban slučaj linearnih homogenih razmotrenih gore
diferencijalne jednadžbe su LODE sa konstantama
koeficijenti.
17. Linearne nehomogene jednadžbe. Pronalaženje određenog rješenja u slučaju jednadžbe s kvazi-polinomom:
Ojlerov kvazipolinom: Razmotrimo LDDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima: y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7) Možete tražiti određeno rješenje pomoću Lagrangeove metode, ali u nekim slučajevima se može pronaći jednostavnije. Razmotrite ove slučajeve: 1. f(x) = , je polinom stepena n. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). U ovim slučajevima, f(x) se naziva EULER kvazi-polinom. U tim slučajevima zapišite očekivani oblik rješenja s neodređenim koeficijentima i zamijenite ga u jednačinu (5.1). Iz rezultujućeg identiteta nalazi se vrijednost koeficijenata. Slučaj 1 : desna strana (5.7) ima oblik: f(x) = α R je polinom stepena n. Jednačina (5.7) biće napisana u obliku: y’’ + p y’ + q y = (5.8) U ovom slučaju tražimo određeno rješenje u obliku: = Qn (x) (5.9) gdje je r broj = višestrukost α kao korijen karakterističnog nivoa + p k + q = 0, tj. r – broj koji pokazuje koliko je puta α korijen od ur + p k + q = 0, Štaviše, Qn (x) = + + …. + A n – polinom stepena n, napisan sa neizvesni koeficijenti Ai (i= 0, 1, 2,…n) A) Neka α nije korijen karakterističnog nivoa: + p k + q = 0, tj. α , r = 0 i tražimo rješenje u obliku = Q n (x) B) Neka je α jedan (jednostavan) korijen karakteristične jednadžbe + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) B) Neka je α = 2-struki korijen karakterističnog nivoa + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) Slučaj 2: Desna strana (5.7) ima oblik: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , gdje su ) i Qm (x) polinomi stepena n i m, α i β su realni brojevi, tada će jednačina (5.7) biti zapisana u obliku y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) U ovom slučaju, posebno rješenje: = * (Ml ( x) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r-broj jednak višestrukosti (α + βi) kao korijen jednadžbe: + pk + q = 0, Me (x) i Ne (x) su polinomi stepena l sa neodređenim koeficijentima. l je najviši stepen polinoma ) i Qm (x), l =max(n,m). Napomena 1: Nakon zamjene funkcije (5.11) u (5.10), polinomi ispred istoimenog trigona se izjednačavaju. funkcije na lijevoj i desnoj strani ur-i. Napomena 2 : Formula (5.11) ostaje ista za ) 0 i Qm (x) 0. Napomena 3 : Ako je desna strana jednačine (5.7) zbir funkcija oblika 1 i 2, onda da biste je pronašli, trebate koristiti teoremu (5.2) o nametanju rješenja. Teorema (5.2): o nametanju rješenja: Ako desne strane jednadžbe (5.1) predstavljaju zbir 2 funkcije: f(x) = (x) + (x), a u su parcijalna rješenja jednadžbe + (x) y ' + (x) y = (x) + (x) y ' + (x) y = (x) Ovo je rješenje ove jednačine. Integracija LNDDE n-og reda (n konstantni koeficijent i posebna desna strana. Razmotrimo LDDE n-og reda + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) gdje su (x) , …, (x) , f(x) date kontinuirana funkcija na intervalu (a, b) . Resp. homogena jednačina + (x) + … + (x)y = 0 . Opće rješenje y n-tog reda LNDDE = zbir posebnog rješenja NU i općeg rješenja OUy = . može se naći ako je poznato opšte rješenje OS = + + … + gdje je yi(x) posebno rješenje koje formira fundamentalni sistem rješenja OS. Da bi se pronašlo Ci(x), sistem ur + + … + = 0 + + … + = se kompajlira 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) Međutim, za LDDE n-tog reda sa konstantnim koeficijentima, desna strana f(x) ima poseban oblik, može se naći metodom neodređenih koeficijenata Metoda odabira određenog rješenja za jednačinu y'' + + … + y = f (x) R, gdje je f (x) Ojlerov kvazipolinom isti kao za n=2.