Tamo gde su razmatrani problemi rešavanja pravouglog trougla, obećao sam da ću predstaviti tehniku za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete brzo zapamtiti koja strana pripada hipotenuzi (susedna ili suprotna). Odlučio sam da ne odlažem dugo, potreban materijal je ispod, pročitajte ga 😉
Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda teško pamte ove definicije. Dobro se sjećaju da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju- zaboravljaju i zbunjen. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljen bod.
Informacije koje ću direktno iznijeti nemaju nikakve veze sa matematikom. Povezuje se sa figurativnim mišljenjem i sa metodama verbalno-logičke komunikacije. Upravo tako ga se sjećam, jednom zauvijekdefinicije podataka. Ako ih zaboravite, uvijek ih možete lako zapamtiti koristeći predstavljene tehnike.
Dozvolite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:
Kosinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:
Dakle, koje asocijacije imate na riječ kosinus?
Vjerovatno svako ima svoje 😉Zapamtite link:
Tako će vam se izraz odmah pojaviti u sjećanju -
«… omjer SJEDNOG kraka prema hipotenuzi».
Problem sa određivanjem kosinusa je riješen.
Ako trebate zapamtiti definiciju sinusa u pravokutnom trokutu, a zatim zapamtite definiciju kosinusa, možete lako ustanoviti da je sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne strane i hipotenuze. Na kraju krajeva, postoje samo dvije noge; ako je susjedna noga "zauzeta" kosinusom, onda samo suprotna noga ostaje sa sinusom.
Šta je sa tangentom i kotangensom? Zabuna je ista. Učenici znaju da se radi o odnosu nogu, ali problem je zapamtiti koja se na koju odnosi - ili suprotno od susjedne, ili obrnuto.
definicije:
Tangenta Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne i susjedne strane:
Kotangens Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer susjedne strane i suprotne strane:
Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan također koristi verbalno-logičku vezu, drugi koristi matematičku.
MATEMATIČKA METODA
Postoji takva definicija - tangent oštrog ugla je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:
*Kada ste zapamtili formulu, uvijek možete odrediti da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne i susjedne strane.
Isto tako.Kotangens oštrog ugla je omjer kosinusa ugla i njegovog sinusa:
Dakle! Pamteći ove formule, uvijek možete utvrditi da:
- tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i susjedne
— kotangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjedne i suprotne strane.
REČ-LOGIČKA METODA
O tangenti. Zapamtite link:
Odnosno, ako trebate zapamtiti definiciju tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti šta je to
“... odnos suprotne strane prema susjednoj strani”
Ako govorimo o kotangensu, sjetivši se definicije tangente, lako možete izraziti definiciju kotangensa -
“...odnos susjedne i suprotne strane”
Na web stranici postoji zanimljiv trik za pamćenje tangente i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.
UNIVERZALNA METODA
Možete ga samo zapamtiti.Ali, kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, i to ne samo matematičke.
Nadam se da vam je materijal bio koristan.
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Date su veze između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog ugla, druge - funkcije višestrukog ugla, druge - omogućavaju smanjenje stepena, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.
U ovom članku ćemo navesti redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, grupiraćemo ih po namjeni i unijeti u tabele.
Navigacija po stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
Osnovni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. Oni proizilaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju u terminima bilo koje druge.
Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.
Formule redukcije
Formule redukcije proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za dati ugao. Ove trigonometrijske formule omogućavaju vam da pređete sa rada sa proizvoljnim uglovima na rad sa uglovima u rasponu od nule do 90 stepeni.
Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.
Formule sabiranja
Trigonometrijske formule sabiranja pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija tih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Formule za duplo, trostruko itd. ugao
Formule za duplo, trostruko itd. ugao (oni se nazivaju i formule višestrukog ugla) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. uglovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog ugla. Njihovo izvođenje se zasniva na formulama sabiranja.
Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za duplo, trostruko, itd. ugao
Formule poluugla
Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cijelog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.
Njihov zaključak i primjere primjene možete pronaći u članku.
Formule za smanjenje stepena
Trigonometrijske formule za redukciju stupnjeva dizajnirani su da olakšaju prijelaz sa prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stepenu, ali više uglova. Drugim riječima, omogućavaju vam da smanjite moći trigonometrijskih funkcija na prvu.
Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija
Glavna svrha formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na proizvod funkcija, što je vrlo korisno kada se pojednostavljuju trigonometrijski izrazi. Ove formule se također široko koriste pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, jer vam omogućavaju da faktorizujete zbir i razliku sinusa i kosinusa.
Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus
Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku vrši se pomoću formula za proizvod sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.
Autorska prava cleverstudents
Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.site-a, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.
Trigonometrija, kao nauka, nastala je na Drevnom Istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili tačan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi proračuni su se odnosili na sfernu trigonometriju, dok se u školskom predmetu izučava odnos stranica i uglova ravnog trougla.
Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i uglova trokuta.
Tokom procvata kulture i nauke u 1. milenijumu nove ere, znanje se proširilo sa antičkog istoka u Grčku. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski naučnik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, te sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncepte sinusa i kosinusa uveli su indijski naučnici. Trigonometrija je dobila veliku pažnju u djelima velikih antičkih ličnosti poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.
Osnovne veličine trigonometrije
Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.
Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinoj teoremi. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorine hlače, jednake u svim smjerovima", jer je dokaz dat na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.
Sinus, kosinus i drugi odnosi uspostavljaju odnos između oštrih uglova i stranica bilo kojeg pravokutnog trougla. Hajde da predstavimo formule za izračunavanje ovih veličina za ugao A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:
Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a zamislimo kao proizvod sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobićemo sljedeće formule za tangentu i kotangens:
Trigonometrijski krug
Grafički se odnos između navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:
Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti ugla α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.
Pokušajmo napraviti trigonometrijske tablice za određene uglove i saznati značenje veličina.
Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.
Ovi uglovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tabelama je za radijane. Rad je ugao pod kojim dužina kružnog luka odgovara njegovom poluprečniku. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost; kada se računa u radijanima, stvarna dužina polumjera u cm nije bitna.
Uglovi u tabelama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:
Dakle, nije teško pogoditi da je 2π pun krug ili 360°.
Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus
Da bismo razmotrili i uporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. Ovo se može uraditi u obliku krive koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu.
Razmotrite uporednu tabelu svojstava za sinus i kosinus:
| Sinusni talas | Kosinus |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 1, na x = 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna | cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna |
| funkcija je periodična, najmanji period je 2π | |
| sin x › 0, pri čemu x pripada I i II četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| povećava u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk] |
| opada u intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | smanjuje se u intervalima |
| izvod (sin x)’ = cos x | izvod (cos x)’ = - sin x |
Određivanje da li je funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa predznacima trigonometrijskih veličina i mentalno „presaviti“ graf u odnosu na osu OX. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.
Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućavaju nam da predstavimo sljedeći obrazac:
Vrlo je lako provjeriti da li je formula tačna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti korištenjem tabela ili praćenjem krivulja funkcija za date vrijednosti.
Svojstva tangentsoida i kotangensoida
Grafovi tangentnih i kotangensnih funkcija značajno se razlikuju od sinusnih i kosinusnih funkcija. Vrijednosti tg i ctg su recipročne jedna drugoj.
- Y = tan x.
- Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne dostiže.
- Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
- Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
- Tg x = 0, za x = πk.
- Funkcija se povećava.
- Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivat (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Razmotrite grafičku sliku kotangenoida ispod teksta.
Glavna svojstva kotangtoida:
- Y = krevetac x.
- Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
- Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne dostiže.
- Najmanji pozitivni period kotangtoida je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
- Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
- Funkcija se smanjuje.
- Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivat (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Tačno
Trigonometrija je grana matematičke nauke koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u staroj Grčkoj. Tokom srednjeg vijeka, naučnici sa Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove nauke.
Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama osnovnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje je objašnjeno i ilustrovano u kontekstu geometrije.
Yandex.RTB R-A-339285-1
U početku su definicije trigonometrijskih funkcija čiji je argument ugao izražene u smislu omjera strana pravokutnog trougla.
Definicije trigonometrijskih funkcija
Sinus ugla (sin α) je omjer kraka nasuprot ovom kutu i hipotenuze.
Kosinus ugla (cos α) - omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Tangent ugla (t g α) - omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Kotangens ugla (c t g α) - omjer susjedne i suprotne strane.
Ove definicije su date za oštar ugao pravouglog trougla!
Hajde da damo ilustraciju.
U trouglu ABC sa pravim uglom C, sinus ugla A jednak je odnosu kraka BC i hipotenuze AB.
Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju vam da izračunate vrijednosti ovih funkcija iz poznatih dužina stranica trokuta.
Važno je zapamtiti!
Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa je od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus uzimaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, odnosno, ove funkcije mogu poprimiti bilo koju vrijednost.
Gore date definicije se odnose na oštre uglove. U trigonometriji se uvodi koncept ugla rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena na 0 do 90 stepeni. Ugao rotacije u stepenima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞ .
U tom kontekstu možemo definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla proizvoljne veličine. Zamislimo jediničnu kružnicu sa centrom u početku kartezijanskog koordinatnog sistema.
Početna tačka A sa koordinatama (1, 0) rotira oko centra jedinične kružnice za određeni ugao α i ide do tačke A 1. Definicija je data u smislu koordinata tačke A 1 (x, y).
Sinus (sin) ugla rotacije
Sinus ugla rotacije α je ordinata tačke A 1 (x, y). sin α = y
Kosinus (cos) kuta rotacije
Kosinus ugla rotacije α je apscisa tačke A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) ugla rotacije
Tangens ugla rotacije α je odnos ordinate tačke A 1 (x, y) i njene apscise. t g α = y x
Kotangens (ctg) ugla rotacije
Kotangens ugla rotacije α je odnos apscise tačke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y
Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Situacija je drugačija sa tangentom i kotangensom. Tangenta je nedefinisana kada tačka nakon rotacije ide u tačku sa nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Slična je situacija i sa kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definisan u slučajevima kada ordinata tačke ide na nulu.
Važno je zapamtiti!
Sinus i kosinus su definirani za sve uglove α.
Tangenta je definirana za sve uglove osim α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangens je definiran za sve uglove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći „sinus ugla rotacije α“. Riječi “ugao rotacije” jednostavno su izostavljene, što implicira da je već iz konteksta jasno o čemu se govori.
Brojevi
Šta je sa definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne ugla rotacije?
Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja
Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj koji je, respektivno, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radian.
Na primjer, sinus broja 10 π jednak je sinusu ugla rotacije od 10 π rad.
Postoji još jedan pristup za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Pogledajmo to izbliza.
Bilo koji pravi broj t tačka na jediničnom krugu je povezana sa centrom u početku pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema. Sinus, kosinus, tangent i kotangens se određuju preko koordinata ove tačke.
Početna tačka na kružnici je tačka A sa koordinatama (1, 0).
Pozitivan broj t
Negativan broj t odgovara tački do koje će početna tačka ići ako se kreće po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođe putanju t.
Sada kada je uspostavljena veza između broja i tačke na kružnici, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.
Sinus (grijeh) od t
Sinus broja t- ordinata tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. sin t = y
Kosinus (cos) od t
Kosinus broja t- apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x
Tangenta (tg) od t
Tangent broja t- odnos ordinate i apscise tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t
Najnovije definicije su u skladu i nisu u suprotnosti sa definicijom datom na početku ovog stava. Tačka na krugu koji odgovara broju t, poklapa se sa tačkom do koje ide početna tačka nakon skretanja za ugao t radian.
Trigonometrijske funkcije ugaonog i numeričkog argumenta
Svaka vrijednost ugla α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog ugla. Kao i svi uglovi α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovaraju određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore navedeno, je definisan za sve α osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije ugla alfa, ili funkcije kutnog argumenta.
Slično, možemo govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju tangentnoj vrijednosti. Kotangens je, slično, definiran za sve brojeve osim π · k, k ∈ Z.
Osnovne funkcije trigonometrije
Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (ugaoni argument ili numerički argument) imamo posla.
Vratimo se definicijama datim na samom početku i alfa kutu, koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stepeni. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u potpunosti su konzistentne sa geometrijskim definicijama datim omjerima pravokutnog trougla. Hajde da to pokažemo.
Uzmimo jediničnu kružnicu sa centrom u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Rotiramo početnu tačku A (1, 0) za ugao do 90 stepeni i povučemo okomitu na osu apscise iz rezultirajuće tačke A 1 (x, y). U rezultirajućem pravokutnom trokutu ugao A 1 O H jednak je kutu rotacije α, dužina kraka O H jednaka je apscisi tačke A 1 (x, y). Dužina kraka nasuprot ugla jednaka je ordinati tačke A 1 (x, y), a dužina hipotenuze jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice.
U skladu sa definicijom iz geometrije, sinus ugla α jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
To znači da je određivanje sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentno određivanju sinusa ugla rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stepeni.
Slično, korespondencija definicija se može prikazati za kosinus, tangent i kotangens.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Omjer suprotne strane prema hipotenuzi se naziva sinusa oštrog ugla pravougaonog trougla.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta
Zove se omjer susjednog kraka i hipotenuze kosinus oštrog ugla pravougaonog trougla.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangenta oštrog ugla pravouglog trougla
Omjer suprotne i susjedne strane naziva se tangenta oštrog ugla pravougaonog trougla.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta
Zove se omjer susjedne i suprotne strane kotangens oštrog ugla pravougaonog trougla.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sinus proizvoljnog ugla
Zove se ordinata tačke na jediničnom krugu kojoj odgovara ugao \alpha sinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
\sin \alpha=y
Kosinus proizvoljnog ugla
Apscisa tačke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara ugao \alpha se naziva kosinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
\cos \alpha=x
Tangenta proizvoljnog ugla
Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Kotangens proizvoljnog ugla
Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Primjer pronalaženja proizvoljnog ugla
Ako je \alpha neki ugao AOM, gdje je M tačka jedinične kružnice, onda
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Na primjer, ako \ugao AOM = -\frac(\pi)(4), tada je: ordinata tačke M jednaka -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je jednaka \frac(\sqrt(2))(2) i zato
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.
Tabela vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa
Vrijednosti glavnih uglova koji se često javljaju date su u tabeli:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(6)\desno) | 45^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(4)\desno) | 60^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(3)\desno) | 90^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(2)\desno) | 180^(\circ)\lijevo(\pi\desno) | 270^(\circ)\lijevo(\frac(3\pi)(2)\desno) | 360^(\circ)\lijevo(2\pi\desno) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |