Mislim da bi trebalo da počnemo sa istorijom tako veličanstvenog matematičkog alata kao što je diferencijalne jednadžbe. Kao i svaki diferencijalni i integralni račun, ove jednačine je izmislio Njutn u kasnom 17. veku. Smatrao je ovo svoje otkriće toliko važnim da je čak šifrirao poruku, koja se danas može prevesti otprilike ovako: “Svi zakoni prirode su opisani diferencijalnim jednadžbama.” Ovo može izgledati kao preterivanje, ali je istina. Bilo koji zakon fizike, hemije, biologije može se opisati ovim jednačinama.
Matematičari Euler i Lagrange dali su ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednačina. Već u 18. vijeku otkrili su i razvili ono što sada uče na višim univerzitetskim kursevima.
Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednačina započela je zahvaljujući Henriju Poincaréu. Stvorio je „kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi“, koja je u kombinaciji sa teorijom funkcija kompleksne varijable dala značajan doprinos temeljima topologije – nauke o prostoru i njegovim svojstvima.
Šta su diferencijalne jednačine?
Mnogi ljudi se plaše jedne fraze, međutim, u ovom članku ćemo detaljno opisati suštinu ovog veoma korisnog matematičkog aparata, koji zapravo i nije tako komplikovan kao što se čini iz naziva. Da biste započeli razgovor o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo biste se trebali upoznati s osnovnim konceptima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. I počećemo sa diferencijalom.
Diferencijal
Mnogi ljudi poznaju ovaj koncept još od škole. Međutim, pogledajmo to pobliže. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da će svaki njegov segment poprimiti oblik prave linije. Uzmimo na njemu dvije tačke koje su beskonačno blizu jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će beskonačno mala. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno shvatiti da diferencijal nije konačna veličina, već je to njegovo značenje i glavna funkcija.
Sada moramo razmotriti sljedeći element, koji će nam biti od koristi u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je derivat.
Derivat
Vjerovatno smo svi čuli ovaj koncept u školi. Za izvod se kaže brzina kojom se funkcija povećava ili smanjuje. Međutim, iz ove definicije mnogo toga postaje nejasno. Pokušajmo objasniti derivaciju kroz diferencijale. Vratimo se na infinitezimalni segment funkcije sa dvije tačke koje su jedna od druge na minimalnoj udaljenosti. Ali čak i na ovoj udaljenosti funkcija se uspijeva promijeniti za određenu količinu. I da bi opisali ovu promjenu, došli su do izvoda, koji se inače može napisati kao omjer diferencijala: f(x)"=df/dx.
Sada je vrijedno razmotriti osnovna svojstva derivata. Ima ih samo tri:
- Derivat zbira ili razlike može se predstaviti kao zbir ili razlika izvoda: (a+b)"=a"+b" i (a-b)"=a"-b".
- Drugo svojstvo se odnosi na množenje. Derivat proizvoda je zbir proizvoda jedne funkcije i derivacije druge: (a*b)"=a"*b+a*b".
- Derivat razlike se može napisati kao sljedeća jednakost: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
Sva ova svojstva bit će nam korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
Postoje i parcijalni derivati. Recimo da imamo funkciju z koja zavisi od varijabli x i y. Da bismo izračunali parcijalni izvod ove funkcije, recimo, u odnosu na x, moramo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno diferencirati.
Integral
Ostalo važan koncept- integralni. Zapravo, ovo je upravo suprotno od derivata. Postoji nekoliko vrsta integrala, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi potrebni su nam oni najtrivijalniji
Dakle, recimo da imamo neku zavisnost f od x. Od njega uzimamo integral i dobijamo funkciju F(x) (koja se često naziva antiderivatom), čiji je izvod jednak originalnoj funkciji. Dakle, F(x)"=f(x). Takođe slijedi da je integral derivacije jednak originalnoj funkciji.
Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, jer ćete ih morati često uzimati da biste pronašli rješenje.
Jednačine se razlikuju ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem dijelu ćemo pogledati tipove diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim naučiti kako ih riješiti.
Klase diferencijalnih jednadžbi
"Diffurs" se dijele prema redoslijedu izvedenica uključenih u njih. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne derivate.
U ovom članku ćemo pogledati obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Također ćemo raspravljati o primjerima i načinima njihovog rješavanja u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE, jer su to najčešći tipovi jednačina. Obične se dijele na podvrste: sa odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti po čemu se razlikuju jedni od drugih i naučiti kako ih riješiti.
Osim toga, ove jednačine se mogu kombinovati tako da na kraju dobijemo sistem diferencijalnih jednačina prvog reda. Takođe ćemo razmotriti takve sisteme i naučiti kako ih riješiti.
Zašto razmatramo samo prvu narudžbu? Jer morate početi od nečeg jednostavnog, a jednostavno je nemoguće u jednom članku opisati sve što se tiče diferencijalnih jednadžbi.
Odvojive jednačine
Ovo su možda najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda. Ovo uključuje primjere koji se mogu napisati na sljedeći način: y"=f(x)*f(y). Da bismo riješili ovu jednačinu, potrebna nam je formula za predstavljanje izvoda kao omjer diferencijala: y"=dy/dx. Koristeći ga dobijamo sljedeću jednačinu: dy/dx=f(x)*f(y). Sada možemo da pređemo na metodu rešavanja standardnih primera: varijable ćemo podeliti na delove, odnosno sve sa promenljivom y premestiti na deo gde se nalazi dy, a isto uraditi i sa promenljivom x. Dobijamo jednačinu oblika: dy/f(y)=f(x)dx, koja se rješava uzimanjem integrala obje strane. Ne zaboravite na konstantu koju treba postaviti nakon uzimanja integrala.
Rješenje za bilo koju „difuziju“ je funkcija ovisnosti x od y (u našem slučaju) ili, ako je prisutan numerički uvjet, onda je odgovor u obliku broja. Hajde da pogledamo konkretan primjer cijelo rješenje:
Pomjerimo varijable u različitim smjerovima:
Uzmimo sada integrale. Svi oni se mogu naći u posebnoj tabeli integrala. I dobijamo:
ln(y) = -2*cos(x) + C
Ako je potrebno, možemo izraziti "y" kao funkciju "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako uvjet nije specificiran. Uslov se može specificirati, na primjer, y(n/2)=e. Zatim jednostavno zamijenimo vrijednosti ovih varijabli u rješenje i pronađemo vrijednost konstante. U našem primjeru to je 1.
Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda
Sada pređimo na teži dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se napisati u opštem obliku na sljedeći način: y"=z(x,y). Treba napomenuti da prava funkcija na dvije varijable je homogena i ne može se podijeliti na dvije zavisnosti: z na x i z na y. Provjera da li je jednačina homogena ili ne je prilično jednostavna: vršimo zamjenu x=k*x i y=k*y. Sada smanjujemo sve k. Ako se sva ova slova svedu, onda je jednadžba homogena i možete je sigurno početi rješavati. Gledajući unaprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera je također vrlo jednostavan.
Moramo napraviti zamjenu: y=t(x)*x, gdje je t određena funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti izvod: y"=t"(x)*x+t. Zamjenjujući sve ovo u našu originalnu jednačinu i pojednostavljujući je, dobivamo primjer sa odvojivim varijablama t i x. Rješavamo to i dobijamo zavisnost t(x). Kada smo ga primili, jednostavno zamjenjujemo y=t(x)*x u našu prethodnu zamjenu. Tada dobijamo zavisnost y od x.
Da bi bilo jasnije, pogledajmo primjer: x*y"=y-x*e y/x .
Prilikom provjere sa zamjenom, sve se smanjuje. To znači da je jednačina zaista homogena. Sada pravimo još jednu zamjenu o kojoj smo pričali: y=t(x)*x i y"=t"(x)*x+t(x). Nakon pojednostavljenja, dobijamo sljedeću jednačinu: t"(x)*x=-e t. Rezultirajući primjer rješavamo sa odvojenim varijablama i dobijamo: e -t =ln(C*x). Sve što treba da uradimo je da zamenimo. t sa y/x (na kraju krajeva, ako je y =t*x, onda je t=y/x), i dobijamo odgovor: e -y/x =ln(x*C).
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Vrijeme je da pogledamo još jednu široku temu. Analizirat ćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodna dva? Hajde da to shvatimo. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u opštem obliku mogu se napisati na sljedeći način: y" + g(x)*y=z(x). Vrijedi pojasniti da z(x) i g(x) mogu biti konstantne veličine.
A sada primjer: y" - y*x=x 2 .
Postoje dva rješenja, a oba ćemo pogledati redom. Prvi je metoda variranja proizvoljnih konstanti.
Da biste na ovaj način riješili jednačinu, prvo morate izjednačiti desna strana na nulu i riješiti rezultirajuću jednadžbu, koja će nakon prijenosa dijelova poprimiti oblik:
ln|y|=x 2 /2 + C;
y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .
Sada moramo zamijeniti konstantu C 1 funkcijom v(x), koju moramo pronaći.
Zamenimo derivat:
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .
I zamijenite ove izraze u originalnu jednačinu:
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
Možete vidjeti da se na lijevoj strani dva termina poništavaju. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste nešto pogriješili. nastavimo:
v"*e x2/2 = x 2 .
Sada rješavamo uobičajenu jednačinu u kojoj trebamo razdvojiti varijable:
dv/dx=x 2 /e x2/2 ;
dv = x 2 *e - x2/2 dx.
Da bismo izdvojili integral, ovdje ćemo morati primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, ovo nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako sami izvoditi takve radnje. Nije teško, a uz dovoljno umijeća i pažnje ne oduzima puno vremena.
Okrenimo se drugom rješenju nehomogene jednačine: Bernoullijeva metoda. Na vama je da odlučite koji je pristup brži i lakši.
Dakle, kada rješavamo jednadžbu ovom metodom, moramo izvršiti zamjenu: y=k*n. Ovdje su k i n neke funkcije zavisne od x. Tada će izvod izgledati ovako: y"=k"*n+k*n". Obje zamjene zamjenjujemo u jednačinu:
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
Grupisanje:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
Sada treba da izjednačimo sa nulom ono što je u zagradama. Sada, ako spojimo dvije rezultirajuće jednačine, dobićemo sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje treba riješiti:
Prvu jednakost rješavamo kao običnu jednačinu. Da biste to uradili morate odvojiti varijable:
Uzimamo integral i dobijamo: ln(n)=x 2 /2. Zatim, ako izrazimo n:
Sada zamjenjujemo rezultirajuću jednakost u drugu jednačinu sistema:
k"*e x2/2 =x 2 .
I transformacijom, dobijamo istu jednakost kao u prvoj metodi:
dk=x 2 /e x2/2 .
Takođe nećemo rastavljati dalje radnje. Vrijedi reći da prvo rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, kako se dublje udubite u temu, sve počinje da ide sve bolje i bolje.
Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?
Diferencijalne jednadžbe se vrlo aktivno koriste u fizici, jer su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo su rješenja ovih jednačina. U hemiji se koriste iz istog razloga: uz njihovu pomoć se izvode osnovni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sistema, kao što su grabežljivac i plijen. Mogu se koristiti i za kreiranje modela reprodukcije, recimo, kolonije mikroorganizama.
Kako vam diferencijalne jednadžbe mogu pomoći u životu?
Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: nikako. Ako niste naučnik ili inženjer, malo je vjerovatno da će vam oni biti korisni. Međutim za opšti razvoj Nije loše znati šta je diferencijalna jednačina i kako se ona rješava. A onda je pitanje sina ili kćeri "šta je diferencijalna jednačina?" neće vas zbuniti. Pa, ako ste naučnik ili inženjer, onda i sami shvatate važnost ove teme u bilo kojoj nauci. Ali najvažnije je da se sada postavlja pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednačinu prvog reda?" uvek možete dati odgovor. Slažete se, uvijek je lijepo kada shvatite nešto što se ljudi čak i plaše razumjeti.
Glavni problemi u učenju
Glavni problem u razumijevanju ove teme je slaba vještina integracije i razlikovanja funkcija. Ako niste dobri u derivacijama i integralima, onda je vjerojatno vrijedno proučiti više, savladati različite metode integracije i diferencijacije, pa tek onda početi proučavati materijal koji je opisan u članku.
Neki ljudi se iznenade kada saznaju da se dx može prenijeti, jer je ranije (u školi) bilo navedeno da je razlomak dy/dx nedjeljiv. Ovdje morate pročitati literaturu o izvodu i shvatiti da je to omjer beskonačno malih veličina kojima se može manipulirati prilikom rješavanja jednačina.
Mnogi ljudi ne shvaćaju odmah da je rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili integral koji se ne može uzeti, a ova zabluda im zadaje mnogo problema.
Šta još možete proučiti za bolje razumijevanje?
Najbolje je započeti dalje uranjanje u svijet diferencijalnog računa sa specijalizovanim udžbenicima, npr. matematička analiza za studente nematematičkih specijalnosti. Zatim možete preći na specijalizovaniju literaturu.
Vrijedi reći da, osim diferencijalnih jednadžbi, postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i čemu proučavati.
Zaključak
Nadamo se da ćete nakon čitanja ovog članka imati ideju o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.
U svakom slučaju, matematika će nam na neki način biti od koristi u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba bez ruku.
Na primjer, funkcija 
je homogena funkcija prve dimenzije, budući da
je homogena funkcija treće dimenzije, budući da
je homogena funkcija nulte dimenzije, budući da je
, tj. 
.
Definicija 2. Diferencijalna jednadžba prvog reda y" = f(x, y) naziva se homogena ako je funkcija f(x, y) je homogena funkcija nulte dimenzije u odnosu na x I y, ili, kako kažu, f(x, y) je homogena funkcija stepena nula.
Može se predstaviti u obliku
što nam omogućava da definišemo homogenu jednačinu kao diferencijalnu jednačinu koja se može transformisati u oblik (3.3).
Zamjena 
svodi homogenu jednačinu na jednačinu sa odvojivim varijablama. Zaista, nakon zamjene y =xz dobijamo 
,
Odvajajući varijable i integrirajući, nalazimo:
,
Primjer 1. Riješite jednačinu.
Δ Pretpostavljamo y =zx,
Zamijenite ove izraze y
I dy u ovu jednačinu: 
ili 
Odvajamo varijable: 
i integrisati: 
,
Zamjena z on 
, dobijamo 
.
Primjer 2. Nađi zajednička odluka jednačine
ΔV zadata jednačina P
(x,y)
=x 2 -2y 2 ,Q(x,y)
=2xy su homogene funkcije druge dimenzije, dakle, ova jednadžba je homogena. Može se predstaviti u obliku 
i riješi isto kao gore. Ali mi koristimo drugačiji oblik snimanja. Hajde da stavimo y =
zx, gdje dy =
zdx
+
xdz. Zamjenom ovih izraza u originalnu jednačinu, imaćemo
dx+2 zxdz = 0 .
Odvajamo varijable brojanjem 
.
Integrirajmo ovu jednačinu pojam po član
, gdje 
to je 
. Povratak na prethodnu funkciju 
pronaći opšte rešenje 
Primjer 3
.
Pronađite opšte rješenje jednačine 
.
Δ Lanac transformacija: 
,y =
zx,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Predavanje 8.
4. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik
Evo slobodnog člana, koji se još naziva i desna strana jednačine. U ovom obliku ćemo razmotriti linearna jednačina dalje.
Ako 
0, tada se jednačina (4.1a) naziva linearno nehomogenom. Ako 
0, tada jednačina poprima oblik
|
|
i naziva se linearno homogeno.
Naziv jednačine (4.1a) objašnjava se činjenicom da je nepoznata funkcija y
i njen derivat 
unesite ga linearno, tj. na prvom stepenu.
U linearnoj homogenoj jednadžbi varijable su razdvojene. Prepisivanjem u formu 
gdje 
i integracijom dobijamo: 
, one.
|
|
Kada se podijeli po 
gubimo odluku 
. Međutim, može se uključiti u pronađenu porodicu rješenja (4.3), ako to pretpostavimo WITH takođe može uzeti vrijednost 0.
Postoji nekoliko metoda za rješavanje jednačine (4.1a). Prema Bernulijeva metoda, rješenje se traži u obliku proizvoda dvije funkcije od X:
|
|
Jedna od ovih funkcija može se odabrati proizvoljno, jer samo proizvod uv mora zadovoljiti prvobitnu jednačinu, druga se određuje na osnovu jednačine (4.1a).
Diferencirajući obje strane jednakosti (4.4), nalazimo 
.
Zamjena rezultirajućeg izraza za izvod 
, kao i vrijednost at
u jednačinu (4.1a), dobijamo 
, ili
one. kao funkcija v Uzmimo rješenje homogene linearne jednadžbe (4.6):
|
|
(Ovdje C Potrebno je napisati, inače ćete dobiti ne opće, već konkretno rješenje).
Dakle, vidimo da se kao rezultat korištene zamjene (4.4), jednačina (4.1a) svodi na dvije jednačine sa odvojivim varijablama (4.6) i (4.7).
Zamena 
I v(x) u formulu (4.4), konačno dobijamo
,
|
|
.Primjer 1.
Pronađite opšte rješenje jednačine 
Stavimo 
, Onda 
. Zamjenjivanje izraza 
I 
u originalnu jednačinu, dobijamo 
ili 
(*)
Postavimo koeficijent na nulu jednak 
:
Razdvajanjem varijabli u rezultirajućoj jednačini imamo 
(proizvoljna konstanta C
mi ne pišemo), odavde v=
x. Pronađena vrijednost v zamijeniti u jednačinu (*):
,
,
.
dakle, 
opšte rješenje izvorne jednačine.
Imajte na umu da se jednačina (*) može napisati u ekvivalentnom obliku:
.
Nasumično biranje funkcije u, ali ne v, mogli smo vjerovati 
. Ovo rješenje se razlikuje od onog koji se razmatra samo zamjenom v on u(i zbog toga u on v), dakle konačna vrijednost at ispostavilo se da je isto.
Na osnovu navedenog dobijamo algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda.
Zapazite dalje da ponekad jednačina prvog reda postaje linearna ako at smatra nezavisnom varijablom, i x– zavisna, tj. zamijeniti uloge x I y. Ovo se može uraditi pod uslovom da x I dx unesite jednačinu linearno.
Primjer 2
.
Riješite jednačinu 
.
Po izgledu, ova jednadžba nije linearna u odnosu na funkciju at.
Međutim, ako uzmemo u obzir x kao funkcija at, onda, s obzirom na to 
, može se dovesti u formu
|
|
(4.1 b) |
Zamjena 
on 
,dobijamo 
ili 
. Dijeljenje obje strane posljednje jednadžbe proizvodom ydy, hajde da ga dovedemo u formu
, ili 
.
(**)
Ovdje P(y)=, 
. Ovo je linearna jednadžba u odnosu na x. Mi vjerujemo 
,
. Zamjenom ovih izraza u (**) dobijamo
ili 
.
Odaberimo v tako da 
,
, gdje 
;
. Sledeće imamo 
,
,
.
Jer 
, onda dolazimo do općeg rješenja ove jednačine u obliku
.
Imajte na umu da u jednačini (4.1a) P(x) I Q (x) može biti uključen ne samo u obliku funkcija iz x, ali i konstante: P= a,Q= b. Linearna jednadžba
|
|
također se može riješiti zamjenom y= uv i razdvajanje varijabli:
;
.
Odavde 
;
;
; Gdje 
. Oslobađajući se logaritma, dobijamo opšte rešenje jednačine
(Ovdje 
).
At b= 0 dolazimo do rješenja jednačine
|
|
|
|
(vidjeti jednadžbu eksponencijalnog rasta (2.4) na 
).
Prvo, integrišemo odgovarajuću homogenu jednačinu (4.2). Kao što je gore navedeno, njegovo rješenje ima oblik (4.3). Razmotrićemo faktor WITH u (4.3) kao funkcija od X, tj. u suštini praveći promjenu varijable
odakle, integrirajući, nalazimo
Imajte na umu da je prema (4.14) (vidi i (4.9)), opšte rješenje nehomogene linearne jednačine jednako zbiru opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine (4.3) i posebnog rješenja nehomogene jednačine definisane kao drugi član uključen u (4.14) (i u (4.9)).
Prilikom odlučivanja specifične jednačine trebali biste ponoviti gornje proračune, a ne koristiti glomaznu formulu (4.14).
Primijenimo Lagrangeovu metodu na jednačinu koja se razmatra u primjer 1 :
.
Integriramo odgovarajuću homogenu jednačinu 
.
Odvajajući varijable, dobijamo 
i dalje 
. Rješavanje izraza formulom y
=
Cx. Tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku y
=
C(x)x. Zamjenom ovog izraza u datu jednačinu dobijamo 
;
;
,
. Opće rješenje izvorne jednačine ima oblik
.
U zaključku, napominjemo da se Bernoullijeva jednačina svodi na linearnu jednačinu
|
|
,
(
)koji se može napisati u obliku
|
|
.Zamjena 
svodi se na linearnu jednačinu:
,
,
.
Bernoullijeve jednadžbe se također mogu riješiti korištenjem gore navedenih metoda.
Primjer 3
.
Naći opće rješenje jednačine 
.
Lanac transformacija: 
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Trenutno, prema osnovnom nivou izučavanja matematike, predviđeno je samo 4 časa za izučavanje matematike u srednjoj školi (2 časa algebre, 2 časa geometrije). U malim seoskim školama pokušavaju povećati broj sati zbog školske komponente. Ali ako je čas humanitarni, onda se dodaje školska komponenta za proučavanje humanističkih predmeta. U malom selu, školarac često nema izbora, on uči u tom razredu; koji je dostupan u školi. Ne namjerava postati pravnik, istoričar ili novinar (ima takvih slučajeva), ali želi postati inženjer ili ekonomista, pa mora položiti Jedinstveni državni ispit iz matematike sa visokim ocjenama. U takvim okolnostima nastavnik matematike mora sam pronaći izlaz iz postojeće situacije, štoviše, prema Kolmogorovljevom udžbeniku, nije predviđeno proučavanje teme „homogene jednačine“. Proteklih godina bile su mi potrebne dvije dvostruke lekcije da uvedem ovu temu i da je učvrstim. Nažalost, naša prosvjetna inspekcija je zabranila duple časove u školi, pa je broj vježbi morao biti smanjen na 45 minuta, te je shodno tome i stepen težine vježbi smanjen na srednji. Predstavljam vam plan časa na ovu temu u 10. razredu sa osnovnim nivoom učenja matematike u maloj seoskoj školi.
Vrsta lekcije: tradicionalno.
Target: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe.
Zadaci:
Kognitivni:
Razvojni:
Obrazovni:
- Podsticanje napornog rada kroz strpljivo izvršavanje zadataka, osećaj drugarstva kroz rad u parovima i grupama.
Tokom nastave
I. Organizacijski pozornici(3 min.)
II. Provjera znanja potrebnih za savladavanje novog gradiva (10 min.)
Identifikujte glavne poteškoće sa daljom analizom izvršenih zadataka. Momci biraju 3 opcije. Zadaci diferencirani po stepenu težine i stepenu pripremljenosti djece, nakon čega slijedi objašnjenje na tabli.
Nivo 1. Riješite jednačine:
- 3(x+4)=12,
- 2(x-15)=2x-30
- 5(2x)=-3x-2(x+5)
- x 2 -10x+21=0 Odgovori: 7;3
Nivo 2. Riješite najjednostavnije trigonometrijske jednačine i bikvadratna jednačina: 
odgovori: 
b) x 4 -13x 3 +36=0 Odgovori: -2; 2; -3; 3
Nivo 3. Rješavanje jednadžbi promjenom varijabli:
b) x 6 -9x 3 +8=0 Odgovori:
III. Komuniciranje teme, postavljanje ciljeva i zadataka.
Predmet: Homogene jednadžbe
Target: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe
Zadaci:
Kognitivni:
- upoznati se sa homogenim jednadžbama, naučiti rješavati najčešće tipove takvih jednačina.
Razvojni:
- Razvoj analitičkog mišljenja.
- Razvijanje matematičkih vještina: naučiti identificirati glavne karakteristike po kojima se homogene jednačine razlikuju od drugih jednačina, biti u stanju utvrditi sličnost homogenih jednačina u njihovim različitim manifestacijama.
IV. Učenje novih znanja (15 min.)
1. Trenutak predavanja.
Definicija 1(Zapišite u svesku). Jednačina oblika P(x;y)=0 naziva se homogenom ako je P(x;y) homogen polinom.
Polinom u dvije varijable x i y naziva se homogenim ako je stepen svakog njegovog člana jednak istom broju k.
Definicija 2(Samo uvod). Jednačine oblika
naziva se homogena jednadžba stepena n u odnosu na u(x) i v(x). Dijeljenjem obje strane jednačine sa (v(x))n, možemo koristiti zamjenu da dobijemo jednadžbu
Što nam omogućava da pojednostavimo originalnu jednačinu. Slučaj v(x)=0 mora se razmatrati odvojeno, jer je nemoguće podijeliti sa 0.
2. Primjeri homogenih jednadžbi:
Objasnite: zašto su homogene, navedite svoje primjere takvih jednačina.
3. Zadatak za određivanje homogenih jednačina:
Među date jednačine definirajte homogene jednadžbe i objasnite svoj izbor:
Nakon što ste objasnili svoj izbor, upotrijebite jedan od primjera da pokažete kako riješiti homogenu jednačinu:
4. Odlučite sami:
odgovor: 
b) 2sin x – 3 cos x =0
Podijelimo obje strane jednačine sa cos x, dobićemo 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Pokažite rješenje primjera iz brošure“P.V. Chulkov. Jednačine i nejednačine u školski kurs matematike. Moskovski pedagoški univerzitet “Prvi septembar” 2006. str.22.” Kao jedan mogući primjer Nivo jedinstvenog državnog ispita WITH.
V. Riješite za konsolidaciju koristeći Bašmakovljev udžbenik
strana 183 br. 59 (1.5) ili prema udžbeniku koji je uredio Kolmogorov: strana 81 br. 169 (a, c)
odgovori: 
VI. Test, samostalni rad (7 min.)
| 1 opcija | Opcija 2 |
| Riješite jednačine: | |
| a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
b) cos 2 -3sin 2 =0 |
b) |
Odgovori na zadatke:
Opcija 1 a) Odgovor: arctan2+πn,n € Z; b) Odgovor: ±π/2+ 3πn,n € Z; V) 
Opcija 2 a) Odgovor: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Odgovor: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)
VII. Zadaća
br. 169 prema Kolmogorovu, br. 59 prema Bašmakovu.
Osim toga, riješite sistem jednačina:
Odgovor: arktan(-1±√3) +πn,
Reference:
- P.V. Chulkov. Jednačine i nejednačine u školskom predmetu matematike. – M.: Pedagoški univerzitet „Prvi septembar“, 2006. str.22
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrija. – M.: “AST-PRESS”, 1998, str.389
- Algebra za 8. razred, urednik N.Ya. Vilenkina. – M.: „Prosvjeta“, 1997.
- Algebra za 9. razred, urednik N.Ya. Vilenkina. Moskva "Prosvjeta", 2001.
- M.I. Bashmakov. Algebra i počeci analize. Za 10-11 razred - M.: "Prosvjeta" 1993
- Kolmogorov, Abramov, Dudnicin. Algebra i počeci analize. Za 10-11 razred. – M.: „Prosvjeta“, 1990.
- A.G. Mordkovich. Algebra i počeci analize. Prvi dio Udžbenik za 10-11 razred. – M.: “Mnemosyne”, 2004.