Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dvije linije koje se sijeku. U prvom paragrafu ćemo objasniti šta je to i pokazati na ilustracijama. Zatim ćemo pogledati načine na koje možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dat ćemo potrebne formule i pokazati primjerima tačno kako se koriste u praksi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Da bismo razumjeli koliki je ugao koji nastaje kada se dvije prave ukrštaju, moramo se sjetiti same definicije ugla, okomice i točke sjecišta.
Definicija 1
Dve prave nazivamo seku ako imaju jednu zajedničku tačku. Ova tačka se naziva tačka preseka dve prave.
Svaka prava linija je podijeljena presječnom točkom na zrake. Obje prave prave 4 ugla, od kojih su dva okomita, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti preostale.
Recimo da znamo da je jedan od uglova jednak α. U ovom slučaju, ugao koji je okomit u odnosu na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale uglove, moramo izračunati razliku 180° - α. Ako je α jednako 90 stepeni, tada će svi uglovi biti pravi uglovi. Prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti (poseban članak posvećen je konceptu okomitosti).
Pogledajte sliku:
Pređimo na formulisanje glavne definicije.
Definicija 2
Ugao koji formiraju dvije linije koje se seku je mjera manjeg od 4 ugla koji formiraju ove dvije prave.
Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina ugla u ovom slučaju će biti izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90). Ako su prave okomite, tada će ugao između njih u svakom slučaju biti jednak 90 stepeni.
Sposobnost pronalaženja mjere ugla između dvije linije koje se seku je korisna za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.
Za početak možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o dodatnim uglovima, onda ih možemo povezati sa uglom koji nam je potreban koristeći svojstva jednakih ili sličnih figura. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati ugao između linija na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem prikladan za njegovo rješavanje. Ako imamo pravokutni trokut u našem stanju, tada ćemo za proračune morati znati i sinus, kosinus i tangent ugla.
Koordinatna metoda je također vrlo pogodna za rješavanje problema ovog tipa. Hajde da objasnimo kako ga pravilno koristiti.
Imamo pravougaoni (kartezijanski) koordinatni sistem O x y, u kojem su date dvije prave. Označimo ih slovima a i b. Prave se mogu opisati pomoću nekih jednačina. Originalne linije imaju presek M. Kako odrediti traženi ugao (označimo ga α) između ovih pravih?
Počnimo sa formulisanjem osnovnog principa nalaženja ugla pod datim uslovima.
Znamo da je koncept prave linije usko povezan sa konceptima kao što su vektor pravca i vektor normale. Ako imamo jednadžbu određene linije, možemo uzeti koordinate ovih vektora iz nje. To možemo učiniti za dvije linije koje se seku odjednom.
Ugao sastavljen od dvije linije koje se ukrštaju može se pronaći pomoću:
- ugao između vektora smjera;
- ugao između normalnih vektora;
- ugao između vektora normale jedne linije i vektora smjera druge.
Sada pogledajmo svaku metodu posebno.
1. Pretpostavimo da imamo pravu a sa vektorom smjera a → = (a x, a y) i pravu b sa vektorom smjera b → (b x, b y). Sada nacrtajmo dva vektora a → i b → iz tačke preseka. Nakon ovoga ćemo vidjeti da će svaki biti smješten na svojoj pravoj liniji. Tada imamo četiri opcije za njihov relativni raspored. Pogledajte ilustraciju:
Ako ugao između dva vektora nije tup, onda će to biti ugao koji nam treba između pravih a i b koji se sijeku. Ako je tup, onda će željeni ugao biti jednak uglu pored ugla a →, b → ^. Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 °, i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .
Na osnovu činjenice da su kosinusi jednakih uglova jednaki, dobijene jednakosti možemo prepisati na sledeći način: cos α = cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ ≤ 90°; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ > 90 °.
U drugom slučaju korištene su formule redukcije. dakle,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Napišimo posljednju formulu riječima:
Definicija 3
Kosinus ugla kojeg formiraju dvije prave linije koje se seku bit će jednak modulu kosinusa ugla između njegovih vektora smjera.
Opšti oblik formule za kosinus ugla između dva vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) izgleda ovako:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus ugla između dvije date prave:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tada se sam ugao može pronaći pomoću sljedeće formule:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera datih linija.
Dajemo primjer rješavanja problema.
Primjer 1
U pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni date su dve prave a i b koje se seku. Mogu se opisati parametarskim jednačinama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte ugao između ovih linija.
Rješenje
U našem stanju imamo parametarsku jednačinu, što znači da za ovu liniju možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata za parametar, tj. prava linija x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R će imati vektor pravca a → = (4, 1).
Drugi red je opisan pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3. Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ova prava ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .
Zatim prelazimo direktno na pronalaženje ugla. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite postojeće koordinate dva vektora u gornju formulu α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobijamo sljedeće:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Odgovori: Ove ravne linije formiraju ugao od 45 stepeni.
Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem ugla između normalnih vektora. Ako imamo pravu a sa vektorom normale n a → = (n a x , n a y) i pravu b sa vektorom normale n b → = (n b x , n b y), tada će ugao između njih biti jednak uglu između n a → i n b → ili ugao koji će biti susedan sa n a →, n b → ^. Ova metoda je prikazana na slici:
Formule za izračunavanje kosinusa ugla između linija koje se sijeku i samog ugla pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n x n b y 2 + n b x 2 2
Ovdje n a → i n b → označavaju vektore normale dvije date prave.
Primjer 2
U pravougaonom koordinatnom sistemu date su dve prave pomoću jednačina 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite sinus i kosinus ugla između njih i veličinu samog ugla.
Rješenje
Originalne linije su specificirane pomoću normalnih jednadžbi linija oblika A x + B y + C = 0. Vektor normale označavamo sa n → = (A, B). Nađimo koordinate prvog vektora normale za jednu liniju i zapišemo ih: n a → = (3, 5) . Za drugu liniju x + 4 y - 17 = 0, vektor normale će imati koordinate n b → = (1, 4). Sada dodajmo dobijene vrijednosti formuli i izračunajmo ukupno:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ako znamo kosinus ugla, onda možemo izračunati njegov sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet. Pošto ugao α koji formiraju prave linije nije tup, onda je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
U ovom slučaju, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje ugla između pravih ako znamo koordinate vektora smjera jedne prave i vektora normale druge.
Pretpostavimo da prava a ima vektor pravca a → = (a x , a y) , a prava b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Ove vektore treba da stavimo po strani od tačke preseka i razmotrimo sve opcije za njihove relativne pozicije. Pogledajte na slici:
Ako ugao između datih vektora nije veći od 90 stepeni, ispada da će dopuniti ugao između a i b u pravi ugao.
a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ako je manji od 90 stepeni, dobijamo sledeće:
a → , n b → ^ > 90 ° , zatim a → , n b → ^ = 90 ° + α
Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih uglova, pišemo:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .
dakle,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Hajde da formulišemo zaključak.
Definicija 4
Da biste pronašli sinus ugla između dvije prave koje se sijeku na ravni, morate izračunati modul kosinusa ugla između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.
Zapišimo potrebne formule. Pronalaženje sinusa ugla:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Pronalaženje samog ugla:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → je vektor normale druge.
Primjer 3
Dvije prave koje se seku date su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite ugao preseka.
Rješenje
Koordinate vodilice i vektora normale uzimamo iz datih jednadžbi. Ispada a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Uzimamo formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i izračunavamo:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Napominjemo da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.
odgovor:α = a r c sin 7 2 34
Predstavimo još jedan način za pronalaženje željenog ugla koristeći ugaone koeficijente datih pravih linija.
Imamo pravu a, koja je definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačine y = k 1 x + b 1, i pravu b, definisanu kao y = k 2 x + b 2. Ovo su jednadžbe linija sa nagibima. Da bismo pronašli ugao presjeka, koristimo formulu:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdje su k 1 i k 2 nagibi datih pravih. Za dobijanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje ugla kroz koordinate vektora normale.
Primjer 4
Postoje dvije prave koje se seku u ravni, date jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Izračunajte vrijednost ugla presjeka.
Rješenje
Ugaoni koeficijenti naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
odgovor:α = a r c cos 23 2 34
U zaključcima ovog paragrafa treba napomenuti da se formule za pronalaženje ugla koje su ovdje date ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili vektora normale datih linija i biti u stanju da ih odredite koristeći različite tipove jednadžbi. Ali bolje je zapamtiti ili zapisati formule za izračunavanje kosinusa kuta.
Kako izračunati ugao između linija koje se seku u prostoru
Proračun takvog ugla može se svesti na izračunavanje koordinata vektora pravca i određivanje veličine ugla koji ovi vektori formiraju. Za takve primjere koristi se isto rezonovanje koje smo dali prije.
Pretpostavimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem koji se nalazi u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b sa presječnom tačkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednačine ovih linija. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračunavanje kosinusa ugla između njih koristimo formulu:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Da bismo pronašli sam ugao, potrebna nam je ova formula:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Primjer 5
Imamo liniju definisanu u trodimenzionalnom prostoru pomoću jednačine x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Poznato je da se seče sa O z osom. Izračunajte ugao presjeka i kosinus tog ugla.
Rješenje
Označimo ugao koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora pravca za prvu pravu – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikantnu osu možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati u željenu formulu:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Kao rezultat toga, otkrili smo da će ugao koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.
odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Instrukcije
Bilješka
Period tangente trigonometrijske funkcije je jednak 180 stepeni, što znači da uglovi nagiba pravih linija ne mogu, u apsolutnoj vrednosti, premašiti ovu vrednost.
Koristan savjet
Ako su ugaoni koeficijenti međusobno jednaki, tada je ugao između takvih linija 0, jer se takve linije ili poklapaju ili su paralelne.
Da bi se odredila vrijednost ugla između linija koje se sijeku, potrebno je obje prave (ili jednu od njih) premjestiti na novu poziciju metodom paralelnog prevođenja dok se ne ukrste. Nakon toga, trebali biste pronaći ugao između rezultirajućih linija koje se sijeku.
Trebaće ti
- Lenjir, pravougaoni trokut, olovka, kutomjer.
Instrukcije
Dakle, neka su vektor V = (a, b, c) i ravan A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus ugla α između vektora V i N je jednako: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Da biste izračunali ugao u stepenima ili radijanima, morate izračunati inverznu kosinusnu funkciju iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Primjer: nađi ugao između vektor(5, -3, 8) i avion, dat opštom jednačinom 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapisati koordinate vektora normale ravni N = (2, -5, 3). Zamijenite sve poznate vrijednosti u datu formulu: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video na temu
Prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom je tangenta na kružnicu. Još jedna karakteristika tangente je da je ona uvijek okomita na polumjer povučen do točke dodira, odnosno tangenta i polumjer čine pravu liniju ugao. Ako su dvije tangente na kružnicu AB i AC povučene iz jedne tačke A, onda su one uvijek jednake jedna drugoj. Određivanje ugla između tangenti ( ugao ABC) je napravljen korištenjem Pitagorine teoreme.
Instrukcije
Da biste odredili ugao, morate znati poluprečnik kružnice OB i OS i udaljenost početne tačke tangente od centra kružnice - O. Dakle, uglovi ABO i ACO su jednaki, poluprečnik OB je, na primjer, 10 cm, a rastojanje do centra kružnice AO je 15 cm.. Odredite dužinu tangente koristeći formulu u skladu s Pitagorinom teoremom: AB = kvadratni korijen od AO2 – OB2 ili 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
A. Neka su date dvije prave. Ove prave, kao što je navedeno u poglavlju 1, formiraju različite pozitivne i negativne uglove, koji mogu biti ili oštri ili tupi. Poznavajući jedan od ovih uglova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.
Inače, za sve ove uglove numerička vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku
Jednačine linija. Brojevi su projekcije vektora pravca prve i druge prave, a ugao između ovih vektora jednak je jednom od uglova koje formiraju prave linije. Dakle, problem se svodi na određivanje ugla između vektora
Radi jednostavnosti, možemo se složiti da je ugao između dvije prave oštar pozitivan ugao (kao, na primjer, na slici 53).
Tada će tangenta ovog ugla uvijek biti pozitivna. Dakle, ako postoji znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. sačuvati samo apsolutnu vrijednost.
Primjer. Odredite ugao između pravih linija
Prema formuli (1) imamo
With. Ako se naznači koja je strana ugla njegov početak, a koja kraj, onda, uvijek računajući smjer ugla u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, možemo izdvojiti nešto više iz formule (1). Kao što je lako vidjeti sa Sl. 53, znak dobijen na desnoj strani formule (1) će pokazati kakav ugao - oštar ili tup - formira druga prava linija sa prvom.
(Zaista, sa slike 53 vidimo da je ugao između prvog i drugog vektora pravca ili jednak željenom uglu između pravih linija, ili se od njega razlikuje za ±180°.)
d. Ako su prave paralelne, onda su i njihovi vektori pravca paralelni.Primjenom uvjeta paralelnosti dva vektora dobivamo!
Ovo je neophodan i dovoljan uslov za paralelnost dve prave.
Primjer. Direktno
su paralelne jer
e. Ako su linije okomite onda su i njihovi vektori pravca okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dva vektora dobijamo uvjet okomitosti dvije prave, tj.
Primjer. Direktno
su okomite zbog činjenice da
U vezi sa uslovima paralelizma i okomitosti, rešićemo sledeća dva problema.
f. Povucite pravu kroz tačku paralelnu datoj pravoj
Rješenje se izvodi ovako. Pošto je željena prava paralelna ovoj, onda za njen vektor pravca možemo uzeti isti kao i data prava, tj. vektor sa projekcijama A i B. I tada će jednačina željene prave biti zapisana u obrazac (§ 1)
Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (1; 3) paralelnu sa pravom
biće sledeće!
g. Povucite pravu kroz tačku okomitu na datu pravu
Ovdje više nije prikladno uzeti vektor sa projekcijama A i kao vodeći vektor, već je potrebno uzeti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora se stoga moraju birati prema uvjetu okomitosti oba vektora, tj. prema uvjetu
Ovaj uslov se može ispuniti na bezbroj načina, pošto je ovde jedna jednačina sa dve nepoznanice, ali najlakše je uzeti ili Tada će jednačina željene prave biti zapisana u obliku
Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (-7; 2) u okomitoj liniji
bit će sljedeće (prema drugoj formuli)!
h. U slučaju kada su linije date jednačinama oblika
Oh-oh-oh-oh-oh... pa, teško je, kao da je čitao rečenicu u sebi =) Međutim, opuštanje će pomoći kasnije, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, idemo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.
Relativni položaj dvije prave linije
To je slučaj kada publika pjeva u horu. Dvije prave linije mogu:
1) podudaranje;
2) biti paralelan: ;
3) ili se seku u jednoj tački: .
Pomoć za lutke : Zapamtite znak matematičke raskrsnice, on će se pojavljivati vrlo često. Oznaka znači da se prava siječe s pravom u tački .
Kako odrediti relativni položaj dvije linije?
Počnimo s prvim slučajem:
Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji broj “lambda” takav da su jednakosti zadovoljene
Razmotrimo prave linije i napravimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.
Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe 
pomnožite sa –1 (promijenite predznake), i sve koeficijente jednačine 
izrezan za 2, dobijate istu jednačinu: .
Drugi slučaj, kada su linije paralelne:
Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti varijabli proporcionalni: 
, Ali.
Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable: 
Međutim, to je sasvim očigledno.
I treći slučaj, kada se prave sijeku:
Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NEMA takve vrijednosti “lambda” da su jednakosti zadovoljene 
Dakle, za prave linije napravićemo sistem: 
Iz prve jednačine slijedi da , a iz druge jednačine: , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti varijabli nisu proporcionalni.
Zaključak: prave se sijeku
U praktičnim problemima možete koristiti shemu rješenja o kojoj smo upravo razgovarali. Inače, jako podsjeća na algoritam za provjeru kolinearnosti vektora koji smo gledali na času Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Osnova vektora. Ali postoji civilizovanije pakovanje:
Primjer 1
Saznajte relativni položaj linija: 
Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:
a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: 
.
, što znači da vektori nisu kolinearni i da se prave sijeku.
Za svaki slučaj staviću kamen sa tablama na raskrsnici:
Ostali preskaču kamen i prate dalje, pravo do Kaščeja besmrtnog =)
b) Pronađite vektore pravca pravih: 
Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili podudarne. Ovdje nema potrebe računati determinantu.
Očigledno je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, i .
Hajde da saznamo da li je jednakost tačna: 
dakle,
c) Pronađite vektore pravca pravih: 
Izračunajmo determinantu koju čine koordinate ovih vektora: 
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili podudarne.
Koeficijent proporcionalnosti “lambda” je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednačina: 
.
Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:
Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu (bilo koji broj općenito je zadovoljava).
Dakle, linije se poklapaju.
Odgovori:
Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) riješiti problem o kojem se govori usmeno doslovno za nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim smisla nuditi bilo šta za samostalno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:
Kako konstruisati pravu paralelnu sa datom?
Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka Slavuj razbojnik strogo kažnjava.
Primjer 2
Prava linija je data jednačinom. Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.
Rješenje: Označimo nepoznatu liniju slovom . Šta stanje govori o njoj? Prava linija prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je vektor smjera prave linije "tse" također pogodan za konstruiranje prave linije "de".
Vektor smjera uzimamo iz jednadžbe:
Odgovori:
Primjer geometrije izgleda jednostavno: 
Analitičko testiranje se sastoji od sljedećih koraka:
1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednadžba prave nije uprošćena kako treba, vektori će biti kolinearni).
2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.
U većini slučajeva, analitičko testiranje se može lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo odrediti paralelizam pravih bez ikakvog crteža.
Primjeri za nezavisna rješenja danas će biti kreativni. Jer ćete se ipak morati takmičiti sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.
Primjer 3
Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if
Postoji racionalan i ne tako racionalan način da se to riješi. Najkraći put je na kraju lekcije.
Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa hajde da razmotrimo problem koji vam je vrlo poznat iz školskog programa:
Kako pronaći tačku preseka dve prave?
Ako je ravno 
seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina 
Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.
Izvoli geometrijsko značenje sistema od dve linearne jednačine sa dve nepoznate- to su dvije ukrštane (najčešće) prave na ravni.
Primjer 4
Pronađite tačku preseka pravih
Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.
Grafička metoda je da jednostavno nacrtate date linije i saznate presječnu točku direktno iz crteža: 
Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema. U suštini, pogledali smo grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina sa dve jednačine, dve nepoznate.
Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima očiglednih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se učenici sedmog razreda odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke prave linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može se nalaziti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.
Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem: 
Za rješavanje sistema korištena je metoda sabiranja jednačina po članu. Da biste razvili relevantne vještine, uzmite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?
Odgovori:
Provjera je trivijalna - koordinate presečne tačke moraju zadovoljiti svaku jednačinu sistema.
Primjer 5
Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Zapišite jednačinu prave.
2) Zapišite jednačinu prave.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.
Razvoj akcionog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.
Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:
Čak ni par cipela nije bio iznošen prije nego što smo došli do drugog dijela lekcije:
Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između pravih linija
Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako da napravimo pravu liniju paralelnu ovoj, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:
Kako konstruisati pravu okomitu na datu?
Primjer 6
Prava linija je data jednačinom. Napišite jednačinu okomitu na pravu koja prolazi kroz tačku.
Rješenje: Po uslovu se zna da . Bilo bi lijepo pronaći usmjeravajući vektor linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:
Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.
Sastavimo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i pravca:
Odgovori: 
Proširimo geometrijsku skicu:
Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.
Analitička verifikacija rješenja:
1) Vektore smjera izvlačimo iz jednačina 
i uz pomoć skalarni proizvod vektora dolazimo do zaključka da su prave zaista okomite: .
Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.
2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu 
.
Test se, opet, lako izvodi oralno.
Primjer 7
Nađite točku presjeka okomitih linija ako je jednačina poznata 
i tačka.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U problemu postoji nekoliko radnji, pa je zgodno formulirati rješenje tačku po tačku.
Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:
Udaljenost od tačke do linije
Ispred nas je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje dođemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.
Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom “rho”, na primjer: – udaljenost od tačke “em” do prave linije “de”.
Udaljenost od tačke do linije 
izraženo formulom
Primjer 8
Pronađite udaljenost od tačke do prave 
Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:
Odgovori: 
Napravimo crtež: 
Pronađena udaljenost od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.
Razmotrimo još jedan zadatak na osnovu istog crteža:
Zadatak je pronaći koordinate tačke koja je simetrična tački u odnosu na pravu liniju 
. Predlažem da sami izvršite korake, ali ću izložiti algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:
1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.
2) Pronađite tačku preseka pravih: 
.
Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.
3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta mi nalazimo .
Bilo bi dobro provjeriti da je udaljenost također 2,2 jedinice.
Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, koji vam omogućava da izračunate obične razlomke. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas ponovo.
Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?
Primjer 9
Nađite razmak između dvije paralelne prave
Ovo je još jedan primjer da sami odlučite. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se ovo riješi. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami da pogodite, mislim da je vaša domišljatost bila dobro razvijena.
Ugao između dvije prave linije
Svaki ćošak je dovratak: 
U geometriji se ugao između dvije prave uzima MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” komšija ili suprotno orijentisan"malina" kutak.
Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.
Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut „pomiče“ je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani ugao piše se sa znakom minus, na primjer ako .
Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da možemo proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da formule po kojima ćemo pronaći uglove lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, a to vas ne treba iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativan ugao, obavezno označite njegovu orijentaciju strelicom (u smjeru kazaljke na satu).
Kako pronaći ugao između dve prave? Postoje dvije radne formule:
Primjer 10
Pronađite ugao između linija
Rješenje I Prvi metod
Razmotrimo dvije prave linije definirane jednadžbama u opštem obliku: 
Ako je ravno nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se izračunati pomoću formule: 
Obratite pažnju na imenilac - to je upravo tako skalarni proizvod usmjeravajući vektori pravih linija:
Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a linije okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost pravih linija u formulaciji.
Na osnovu navedenog, zgodno je formalizirati rješenje u dva koraka:
1) Izračunajmo skalarni proizvod vektora smjera linija:
, što znači da linije nisu okomite.
2) Pronađite ugao između pravih koristeći formulu:
Koristeći inverznu funkciju lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):
Odgovori: 
U vašem odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.
Pa, minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije: 
Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u iskazu problema prvi broj prava linija i upravo s njom je počelo „odvrtanje“ ugla.
Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine 
, i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s direktnim 
.