Neka Z= F(M) – funkcija definirana u nekom susjedstvu točke M(y; x);L={ Cos; Cos} – jedinični vektor (na slici 33 1= , 2= ); L– usmjerena prava linija koja prolazi kroz tačku M; M1(x1; y1), gdje je x1=x+x i y1=y+y– tačka na pravoj L; L– dužina segmenta MM1; Z= F(x+x, y+y)-F(X, Y) – prirast funkcije F(M) u tački M(x; y).
Definicija. Granica omjera, ako postoji, naziva se Derivat funkcije Z = F ( M ) u tački M ( X ; Y ) u smjeru vektora L .
Oznaka.
|
|
Ako je funkcija F(M) diferencibilan u tački M(x;y), zatim u tački M(x;y) postoji derivat u bilo kom pravcu L proizilaze iz M; izračunava se pomoću sljedeće formule:
(8)
Gdje Cos I Cos- kosinus smjera vektora L.
Primjer 46. Izračunajte derivaciju funkcije Z= X2 + Y2 X u tački M(1; 2) u pravcu vektora MM1, Gdje M1– tačka sa koordinatama (3; 0).
. Nađimo jedinični vektor L, ima ovaj pravac:
Gdje Cos= ; Cos=- .
Izračunajmo parcijalne izvode funkcije u tački M(1; 2):
Koristeći formulu (8) dobijamo 
Primjer 47. Pronađite izvod funkcije U = Xy2 Z3 u tački M(3; 2; 1) U pravcu vektora MN, Gdje N(5; 4; 2) .
. Nađimo vektor i njegove kosinuse smjera:
Izračunajmo vrijednosti parcijalnih izvoda u tački M:
dakle, 
Definicija. Gradijent FunkcijeZ= F(M) u tački M(x; y) je vektor čije su koordinate jednake odgovarajućim parcijalnim derivacijama i uzete u tački M(x; y).
Oznaka. 
Primjer 48. Pronađite gradijent funkcije Z= X2 +2 Y2 -5 u tački M(2; -1).
Rješenje. Pronalaženje parcijalnih izvoda: 
i njihove vrijednosti u tom trenutku M(2; -1):
Primjer 49.
Pronađite veličinu i smjer gradijenta funkcije u tački 
Rješenje. Nađimo parcijalne derivacije i izračunajmo njihove vrijednosti u tački M:
dakle,
Smjerno izvod za funkciju tri varijable određuje se na sličan način U= F(X, Y, Z) , formule su prikazane
Uvodi se koncept gradijenta 
Naglasimo to Osnovna svojstva funkcije gradijenta važnije za analizu ekonomske optimizacije: u pravcu gradijenta funkcija raste. Sljedeća svojstva gradijenta se koriste u ekonomskim problemima:
1) Neka je funkcija data Z= F(X, Y) , koji imaju parcijalne izvode u domenu definicije. Hajde da razmotrimo neku tačku M0(x0, y0) iz domena definicije. Neka je vrijednost funkcije u ovoj tački jednaka F(X0 , Y0 ) . Pogledajmo graf funkcije. Kroz tačku (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) trodimenzionalnom prostoru crtamo ravan tangentu na površinu grafa funkcije. Zatim gradijent funkcije izračunat u tački (x0, y0), geometrijski posmatran kao vektor primenjen u tački (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , bit će okomita na tangentnu ravan. Geometrijska ilustracija je prikazana na Sl. 34.
2) Funkcija gradijenta F(X, Y) u tački M0(x0, y0) označava smjer najbržeg povećanja funkcije u tački M0. Dodatno, komponiranje bilo kojeg smjera s gradijentom oštri ugao, je smjer rasta funkcije u tački M0. Drugim riječima, mali pokret iz tačke (x0, y0) u smjeru gradijenta funkcije u ovoj tački dovodi do povećanja funkcije, i to u najvećoj mjeri.
Razmotrite vektor suprotan gradijentu. To se zove Anti-gradijent . Koordinate ovog vektora su:
Funkcija protiv gradijenta F(X, Y) u tački M0(x0, y0) označava smjer najbržeg smanjenja funkcije u tački M0. Svaki pravac koji formira oštar ugao sa antigradijentom je pravac u kojem funkcija opada u toj tački.
3) Prilikom proučavanja funkcije često postoji potreba za pronalaženjem takvih parova (x, y) iz domene definicije funkcije, u kojoj funkcija zauzima iste vrijednosti. Razmotrite skup tačaka (X, Y) iz domene funkcije F(X, Y) , takav da F(X, Y)= Konst, gdje je ulaz “ Konst” znači da je vrijednost funkcije fiksna i jednaka nekom broju iz opsega funkcije.
Definicija. Linija nivoa funkcije U = F ( X , Y ) zove linijaF(X, Y)=C u avionuXOy, u tačkama u kojima funkcija održava konstantnu vrijednostU= C.
Linije nivoa su geometrijski prikazane na ravni promjene nezavisnih varijabli u obliku zakrivljenih linija. Dobijanje linija nivoa može se zamisliti na sljedeći način. Razmotrite set WITH, koji se sastoji od tačaka trodimenzionalnog prostora sa koordinatama (X, Y, F(X, Y)= Konst), koji, s jedne strane, pripadaju grafu funkcije Z= F(X, Y), s druge strane, leže u ravni paralelnoj sa koordinatnom ravninom HOU, i razmaknuti od njega za iznos jednak datoj konstanti. Zatim, da bi se konstruisala linija nivoa, dovoljno je presjeći površinu grafa funkcije ravninom Z= Konst i projektovati liniju preseka na ravan HOU. Gore navedeno obrazloženje opravdava mogućnost direktne konstrukcije ravnih linija na ravni HOU.
Definicija. Pozivaju se mnoge linije nivoa Linijska karta.
Dobro poznati primjeri linija nivoa su nivoi jednakih visina na topografskoj karti i linije jednakog barometarskog pritiska na vremenskoj karti.
Definicija.
Smjer duž kojeg je brzina povećanja funkcije maksimalna se naziva "poželjnom" pravcu, ili Smjer najbržeg rasta.
“Preferirani” smjer je dat vektorom gradijenta funkcije. Na sl. 35 prikazuje maksimum, minimum i sedlo u problemu optimizacije funkcije dvije varijable u odsustvu ograničenja. Donji dio slike prikazuje linije nivoa i smjera najbržeg rasta.
Primjer 50. Pronađite linije na nivou funkcije U= X2 + Y2 .
Rješenje. Jednačina za porodicu linija nivoa ima oblik X2 + Y2 = C (C>0) . Davanje WITH razne stvarne vrednosti, dobijamo koncentrične krugove sa centrom u ishodištu.
Izgradnja nivelete. Njihova analiza ima široku primenu u ekonomskim problemima na mikro i makro nivou, teoriji ravnoteže i efikasnim rešenjima. Izokvante, izokvante, krive indiferencije - sve su to linije nivoa konstruirane za različite ekonomske funkcije.
Primjer 51. Razmotrite sljedeću ekonomsku situaciju. Neka se opiše proizvodnja proizvoda Cobb-Douglas funkcija F(X, Y)=10x1/3y2/3, Gdje X- količina rada, U– iznos kapitala. Za kupovinu resursa izdvojeno je 30 USD. jedinica, cijena rada je 5 USD. jedinice, kapital – 10 USD. jedinice Zapitajmo se: koji je najveći učinak koji se može dobiti pod ovim uvjetima? Ovdje „dati uslovi“ označavaju date tehnologije, cijene resursa i vrstu proizvodne funkcije. Kao što je već napomenuto, funkcija Cobb-Douglas monotono raste za svaku varijablu, tj. povećanje svake vrste resursa dovodi do povećanja outputa. Pod ovim uslovima, jasno je da je moguće povećati nabavku resursa sve dok ima dovoljno novca. Setovi resursa, čija je cijena 30 USD. jedinica, zadovoljavaju uslov:
5x + 10y = 30,
To jest, oni određuju liniju nivoa funkcije:
G(X, Y) = 5x + 10y.
S druge strane, korištenjem ravnih linija Cobb-Douglasove funkcije (Sl. 36) možete prikazati povećanje funkcije: u bilo kojoj tački linije nivoa, smjer gradijenta je smjer najvećeg povećanja, a za konstruiranje gradijenta u tački dovoljno je nacrtati tangentu na liniju nivoa u ovoj tački, konstruirajte okomitu na tangentu i označite smjer gradijenta. Od sl. 36 može se vidjeti da liniju nivoa Cobb-Douglasove funkcije treba pomicati duž gradijenta sve dok ne postane tangenta na liniju nivoa 5x + 10y = 30. Dakle, koristeći koncepte linije nivoa, gradijenta i svojstava gradijenta, moguće je razviti pristupe najbolja upotreba resursa u smislu povećanja obima proizvodnje.
Definicija. Funkcija površinskog nivoa U = F ( X , Y , Z ) zove se površinaF(X, Y, Z)=S, u čijim tačkama funkcija održava konstantnu vrijednostU= C.
Primjer 52. Pronađite površine na nivou funkcije U= X2 + Z2 - Y2 .
Rješenje. Jednačina za porodicu ravnih površina ima oblik X2 + Z2 - Y2 =C. Ako S=0, onda dobijamo X2 + Z2 - Y2 =0 - kornet; Ako C<0 , To X2 + Z2 - Y2 =C – Porodica hiperboloida sa dva lista.
Ako je u svakoj tački u prostoru ili dijelu prostora određena vrijednost određene veličine, onda kažu da je polje ove veličine određeno. Polje se naziva skalarno ako je veličina koja se razmatra skalarna, tj. potpuno okarakterisan svojom numeričkom vrijednošću. Na primjer, temperaturno polje. Skalarno polje je dato skalarnom funkcijom tačke u = /(M). Ako se u prostor uvede Dekartov koordinatni sistem, onda postoji funkcija tri varijable x, yt z - koordinate tačke M: Definicija. Nivo površina skalarnog polja je skup tačaka u kojima funkcija f(M) poprima istu vrijednost. Jednačina ravne površine Primjer 1. Naći ravne površine skalarnog polja VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i linije nivoa Smjerni izvod Izvod Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta -4 Prema definiciji , jednačina ravne površine će biti. Ovo je jednačina sfere (sa F 0) sa centrom u početku. Skalarno polje se naziva ravno ako je polje isto u svim ravnima paralelnim sa određenom ravninom. Ako se navedena ravan uzme kao ravan xOy, tada funkcija polja neće ovisiti o z koordinati, tj. bit će funkcija samo argumenata x i y. Polje ravni može se okarakterizirati pomoću linija nivoa - a skup tačaka na ravni u kojoj funkcija /(x, y) ima jedan i također značenje. Jednačina ravnine - Primjer 2. Naći linije nivoa skalarnog polja Linije nivoa su date jednačinama.Kada je c = 0 dobijamo par pravih linija, dobijamo familiju hiperbola (slika 1). 1.1. Smjerni izvod Neka postoji skalarno polje definirano skalarnom funkcijom u = /(Af). Uzmimo tačku Afo i izaberemo pravac određen vektorom I. Uzmimo drugu tačku M tako da vektor M0M bude paralelan vektoru 1 (slika 2). Označimo dužinu MoM vektora sa A/, a prirast funkcije /(Af) - /(Afo), koji odgovara kretanju D1, sa Di. Omjer određuje prosječnu brzinu promjene skalarnog polja po jedinici dužine u datom smjeru. Neka sada teži nuli tako da vektor M0M ostane paralelan s vektorom I cijelo vrijeme. Definicija. Ako na D/O postoji konačna granica relacije (5), onda se ona naziva derivacijom funkcije u datoj tački Afo u datom pravcu I i označava se simbolom 3!^. Dakle, po definiciji, ova definicija nije vezana za izbor koordinatnog sistema, odnosno **varijantne je prirode. Nađimo izraz za derivaciju smjera u Dekartovom koordinatnom sistemu. Neka je funkcija / diferencijabilna u točki. Razmotrimo vrijednost /(Af) u tački. Tada se ukupni prirast funkcije može zapisati u sljedećem obliku: gdje i simboli znače da se parcijalni izvod izračunava u tački Afo. Stoga su ovdje veličine jfi, ^ kosinus smjera vektora. Budući da su vektori MoM i I kosmjerni, njihovi kosinusi smjera su isti: Kako je M Afo, budući da je uvijek na pravoj liniji paralelnoj s vektorom 1, uglovi su konstantni stoga Konačno, iz jednakosti (7) i (8) dobijamo Eamuan je 1. Izvodi pojedinosti su derivacije funkcije i duž pravca koordinatnih osa, pa-Primjer 3. Naći izvod funkcije u pravcu do tačke Vektor ima dužinu. Njegov pravac kosinus: Prema formuli (9), imat ćemo činjenicu da, znači da je skalarno polje u tački u datom smjeru starosti - Za ravno polje, derivacija u odnosu na smjer I u tački je izračunato po formuli gdje je a ugao koji formira vektor I sa osom Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) za izračunavanje derivacije u odnosu na pravac I u datoj tački Afo ostaje na snazi kada tačka M teži tački Mo duž krive za koju je vektor I tangenta u tački PrIShr 4. Izračunajte izvod skalarno polje u tački Afo(l, 1). koja pripada paraboli u smjeru ove krive (u smjeru rastuće apscise). Smjer ] parabole u tački se smatra smjerom tangente na parabolu u ovoj tački (slika 3). Neka tangenta na parabolu u tački Afo formira ugao o sa osom Ox. Odakle onda dolaze kosinusi smjera tangente? Izračunajmo vrijednosti i u tački. Sada koristeći formulu (10) dobijamo. Naći derivaciju skalarnog polja u tački duž pravca kružnice.Vektorska jednadžba kružnice ima oblik. Nalazimo jedinični vektor m tangente na kružnicu. Tačka odgovara vrijednosti parametra. Vrijednost r u tački Afo će biti jednaka. Odavde dobijamo kosinuse smjera tangente na kružnicu u Izračunajmo vrijednosti parcijalnih izvoda datog skalarnog polja u tački.To znači željeni izvod. Gradijent skalarnog polja Neka je skalarno polje definirano skalarnom funkcijom za koju se pretpostavlja da je diferencijabilna. Definicija. Gradijent skalarnog polja "u datoj tački M je vektor označen simbolom grad i definisan jednakošću. Jasno je da ovaj vektor zavisi i od funkcije / i od tačke M u kojoj se izračunava njegov izvod. Neka je 1 jedinični vektor u smjeru. Tada se formula za usmjereni izvod može napisati u sljedećem obliku: . Dakle, derivacija funkcije u u pravcu 1 jednaka je skalarnom proizvodu gradijenta funkcije u(M) i jediničnog vektora 1° pravca I. 2.1. Osnovna svojstva gradijenta Teorema 1. Gradijent skalarnog polja je okomit na površinu nivoa (ili na liniju nivoa ako je polje ravno). (2) Nacrtajmo ravnu površinu u = const kroz proizvoljnu tačku M i izaberemo na toj površini glatku krivu L koja prolazi kroz tačku M (slika 4). Neka je I vekgor tangenta na krivu L u tački M. Pošto je na površini nivoa u(M) = u(M|) za bilo koju tačku Mj e L, onda je, s druge strane, = (stepen, 1°). Zbog toga. To znači da su vektori grad i i 1° ortogonalni. Dakle, vektor grad i je ortogonan na bilo koju tangentu na površinu nivoa u tački M. Dakle, on je ortogonan na samu površinu nivoa u tački M. Teorema 2. gradijent je usmjeren ka povećanju funkcije polja. Prethodno smo dokazali da je gradijent skalarnog polja usmjeren duž normale na ravnu površinu, koja može biti orijentirana ili u smjeru povećanja funkcije u(M) ili u smjeru njenog opadanja. Označimo sa n normalu površine nivoa, orijentisanu u pravcu rastuće funkcije ti(M), i nađimo derivaciju funkcije u u pravcu ove normale (slika 5). Imamo Pošto prema uslovu sa slike 5 i samim tim VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i linije nivoa Smerni izvod Derivat Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Iz toga sledi da je grad usmeren u istom smjeru u kojem smo odabrali normalu n, odnosno u smjeru rastuće funkcije u(M). Teorema 3. Dužina gradijenta jednaka je najvećoj derivaciji u odnosu na smjer u datoj tački polja (ovdje se provjerava duž svih mogućih pravaca u datoj tački M). Imamo gdje je ugao između vektora 1 i grad n. Pošto je najveća vrijednost Primjer 1. Pronađite smjer najveće promjene skalarnog polja u nekoj tački kao i veličinu ove najveće promjene u navedenoj tački. Smjer najveće promjene u skalarnom polju označen je vektorom. Imamo tako da Ovaj vektor određuje smjer najvećeg povećanja polja u tački. Magnituda najveće promjene polja u ovoj tački je 2,2. Invarijantna definicija gradijenta Veličine koje karakterišu svojstva objekta koji se proučava i ne zavise od izbora koordinatnog sistema nazivaju se invarijantama datog objekta. Na primjer, dužina krive je invarijanta ove krive, ali ugao tangente na krivu sa Ox osom nije invarijanta. Na osnovu tri dokazana svojstva gradijenta skalarnog polja, možemo dati sljedeću invarijantnu definiciju gradijenta. Definicija. Skalarni gradijent polja je vektor usmjeren normalno na ravnu površinu u smjeru povećanja funkcije polja i koji ima dužinu jednaku najvećem izvodu u smjeru (u datoj tački). Neka je jedinični normalni vektor usmjeren u smjeru rastućeg polja. Zatim Primjer 2. Pronađite gradijent udaljenosti - neke fiksne tačke, i M(x,y,z) - trenutne. 4 Imamo gdje je jedinični vektor smjera. Pravila za izračunavanje gradijenta gdje je c konstantan broj. Date formule se dobijaju direktno iz definicije gradijenta i svojstava izvoda. Prema pravilu diferencijacije proizvoda, dokaz je sličan dokazu svojstva Neka je F(u) diferencijabilna skalarna funkcija. Tada 4 Po definiciji fadienta imamo Primijeni pravilo diferencijacije kompleksne funkcije na sve pojmove na desnoj strani. Dobijamo Konkretno, Formula (6) slijedi iz formule Primjer 3. Naći izvod u odnosu na smjer radijus vektora r iz funkcije Koristeći formulu (3) i koristeći formulu Kao rezultat, dobijamo da Primjer 4 Neka je zadato skalarno polje u ravni - udaljenosti od neke ravni tačke do dve fiksne tačke ove ravni. Razmotrimo proizvoljnu elipsu sa žarištima Fj i F] i dokažimo da svaki zrak svjetlosti koji izlazi iz jednog fokusa elipse, nakon refleksije od elipse, završava u svom drugom fokusu. Linije nivoa funkcije (7) su VEKTORSKA ANALIZA Skalarna polja Površine i linije nivoa Usmjerena derivacija Izvod Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta. tačke F) i Fj. Prema rezultatu primjera 2, imamo Dakle, gradijent datog polja jednak je vektoru PQ dijagonale romba konstruisanom na jediničnim vektorima r? i radijus vektori. povučen u tačku P(x, y) iz žarišta F| i Fj, te stoga leži na simetrali ugla između ovih radijus vektora (slika 6). Prema Tooromu 1, gradijent PQ je okomit na elipsu (8) u tački. Stoga, slika 6. normala na elipsu (8) u bilo kojoj tački deli ugao između vektora radijusa povučenih u ovu tačku. Iz ovoga i iz činjenice da je upadni ugao jednak kutu refleksije, dobijamo: zrak svetlosti koji izlazi iz jednog fokusa elipse, reflektujući se od njega, sigurno će pasti u drugi fokus ove elipse.
Neki pojmovi i termini se koriste u čisto uskim okvirima, dok se druge definicije nalaze u područjima koja su oštro suprotstavljena. Na primjer, koncept "gradijent" koriste fizičar, matematičar i maniker ili stručnjak za Photoshop. Šta je gradijent kao koncept? Hajde da to shvatimo.
Šta kažu rječnici?
Posebni tematski rječnici tumače šta je „gradijent“ u odnosu na njihove specifičnosti. Prevedeno s latinskog, ova riječ znači “onaj koji ide, raste”. Wikipedia ovaj koncept definira kao "vektor koji pokazuje smjer povećanja količine." U objašnjavajućim rječnicima značenje ove riječi vidimo kao „promjenu bilo koje vrijednosti za jednu vrijednost“. Koncept može imati i kvantitativno i kvalitativno značenje.
Ukratko, to je glatka postepena tranzicija bilo koje vrijednosti za jednu vrijednost, progresivna i kontinuirana promjena količine ili smjera. Vektor izračunavaju matematičari i meteorolozi. Ovaj koncept se koristi u astronomiji, medicini, umjetnosti i kompjuterskoj grafici. Sličan pojam definira potpuno različite vrste aktivnosti.
Matematičke funkcije
Koliki je gradijent funkcije u matematici? Ovo ukazuje na smjer rasta funkcije u skalarnom polju od jedne vrijednosti do druge. Veličina gradijenta se izračunava pomoću parcijalnih izvoda. Da bi se odredio najbrži smjer rasta funkcije, na grafu se biraju dvije točke. Oni definiraju početak i kraj vektora. Brzina kojom vrijednost raste od jedne tačke do druge je veličina gradijenta. Matematičke funkcije zasnovane na proračunima ovog indikatora koriste se u vektorskoj kompjuterskoj grafici, čiji su objekti grafičke slike matematičkih objekata.
Šta je gradijent u fizici?
Koncept gradijenta je uobičajen u mnogim granama fizike: gradijent optike, temperature, brzine, pritiska itd. U ovoj grani, koncept označava meru povećanja ili smanjenja vrednosti za jedan. Izračunava se proračunima kao razlika između dva indikatora. Pogledajmo neke od vrijednosti detaljnije.
Šta je potencijalni gradijent? Pri radu sa elektrostatičkim poljem određuju se dvije karakteristike: napetost (sila) i potencijal (energija). Ove različite količine su povezane sa životnom sredinom. I iako definiraju različite karakteristike, one i dalje imaju veze jedna s drugom.
Za određivanje jačine polja sile koristi se gradijent potencijala - vrijednost koja određuje brzinu promjene potencijala u smjeru linije sile. Kako izračunati? Razlika potencijala između dvije tačke električnog polja izračunava se iz poznatog napona pomoću vektora intenziteta, koji je jednak gradijentu potencijala.
Termini meteorologa i geografa
Po prvi put su meteorolozi koristili koncept gradijenta za određivanje promjena u veličini i smjeru različitih meteoroloških indikatora: temperature, pritiska, brzine i jačine vjetra. To je mjera kvantitativnih promjena u različitim količinama. Maxwell je taj termin uveo u matematiku mnogo kasnije. U određivanju vremenskih uslova postoje koncepti vertikalnih i horizontalnih nagiba. Pogledajmo ih pobliže.
Šta je vertikalni temperaturni gradijent? Ovo je vrijednost koja pokazuje promjenu indikatora, izračunatu na visini od 100 m. Može biti pozitivna ili negativna, za razliku od horizontalne, koja je uvijek pozitivna.
Gradijent pokazuje veličinu ili ugao nagiba na tlu. Izračunava se kao omjer visine i dužine projekcije staze u određenoj dionici. Izraženo u procentima.
Medicinski indikatori
Definicija “temperaturnog gradijenta” se također može naći među medicinskim terminima. Pokazuje razliku u odgovarajućim pokazateljima unutrašnjih organa i površine tijela. U biologiji, fiziološki gradijent bilježi promjene u fiziologiji bilo kojeg organa ili organizma u cjelini u bilo kojoj fazi njegovog razvoja. U medicini metabolički indikator je intenzitet metabolizma.
Ne samo fizičari, već i doktori koriste ovaj termin u svom radu. Šta je gradijent pritiska u kardiologiji? Ovaj koncept definira razliku u krvnom tlaku u svim međusobno povezanim dijelovima kardiovaskularnog sistema.
Opadajući gradijent automatizma pokazatelj je smanjenja frekvencije ekscitacije srca u smjeru od njegove baze prema vrhu, koje se događa automatski. Pored toga, kardiolozi identifikuju lokaciju arterijskog oštećenja i njegov stepen praćenjem razlike u amplitudama sistolnih talasa. Drugim riječima, koristeći gradijent amplitude impulsa.
Šta je gradijent brzine?
Kada govore o brzini promjene određene veličine, pod tim podrazumijevaju brzinu promjene u vremenu i prostoru. Drugim riječima, gradijent brzine određuje promjenu prostornih koordinata u odnosu na vremenske indikatore. Ovaj pokazatelj izračunavaju meteorolozi, astronomi i hemičari. Gradijent brzine smicanja tečnih slojeva se određuje u industriji nafte i gasa kako bi se izračunala brzina podizanja tečnosti kroz cev. Ovaj pokazatelj tektonskih kretanja područje je proračuna seizmologa.
Ekonomske funkcije
Ekonomisti naširoko koriste koncept gradijenta kako bi potkrijepili važne teorijske zaključke. Kada se rješavaju problemi potrošača, koristi se funkcija korisnosti koja pomaže u predstavljanju preferencija iz skupa alternativa. "Funkcija budžetskog ograničenja" je termin koji se koristi za označavanje skupa potrošačkih paketa. Gradijent u ovoj oblasti se koristi za izračunavanje optimalne potrošnje.
Gradijent boje
Izraz "gradijent" poznat je kreativnim ljudima. Iako su daleko od egzaktnih nauka. Šta je gradijent za dizajnera? Budući da se u egzaktnim naukama radi o postepenom povećanju vrijednosti za jedan, tako u boji ovaj pokazatelj označava glatki, produženi prijelaz nijansi iste boje iz svjetlije u tamniju, ili obrnuto. Umjetnici ovaj proces nazivaju "rastezanjem". Također je moguće prebaciti se na različite prateće boje u istom rasponu.
Gradijentni nizovi nijansi u sobama za slikanje zauzeli su jaku poziciju među tehnikama dizajna. Novomodni ombre stil - glatki protok nijanse od svijetle do tamne, od svijetle do blijede - efektivno transformira svaku prostoriju u domu ili uredu.
Optičari koriste posebne leće u sunčanim naočalama. Šta je gradijent u naočarima? Ovo je izrada sočiva na poseban način, kada se od vrha do dna boja mijenja iz tamnije u svjetliju nijansu. Proizvodi napravljeni ovom tehnologijom štite oči od sunčevog zračenja i omogućavaju vam da vidite objekte čak i pri vrlo jakom svjetlu.
Boja u web dizajnu
Oni koji se bave web dizajnom i kompjuterskom grafikom dobro su svjesni univerzalnog alata "gradijent", koji se može koristiti za stvaranje širokog spektra efekata. Prijelazi boja se pretvaraju u naglaske, bizarnu pozadinu i trodimenzionalnost. Manipuliranje nijansama i stvaranje svjetla i sjene daje volumen vektorskim objektima. U ove svrhe koristi se nekoliko vrsta gradijenata:
- Linearno.
- Radijalno.
- Konusnog oblika.
- Ogledalo.
- U obliku dijamanta.
- Gradijent buke.
Gradient beauty
Za posjetitelje kozmetičkih salona, pitanje šta je gradijent neće biti iznenađenje. Istina, ni u ovom slučaju nije potrebno poznavanje matematičkih zakona i osnova fizike. Još uvijek govorimo o prijelazima boja. Objekti gradijenta su kosa i nokti. Tehnika ombre, što na francuskom znači "ton", u modu je ušla od ljubitelja sporta, surfanja i drugih aktivnosti na plaži. Prirodno izbijeljena i ponovo izrasla kosa postala je hit. Modne su počele posebno bojati kosu s jedva primjetnim prijelazom nijansi.
Ombre tehnika nije prošla ni pored salona za nokte. Gradijent na noktima stvara boju uz postepeno posvjetljivanje ploče od korijena do ruba. Majstori nude horizontalne, vertikalne, s prijelazom i druge sorte.
Ručni rad
Rukarice su upoznate s konceptom "gradijenta" s još jedne strane. Slična tehnika se koristi za izradu ručno rađenih predmeta u decoupage stilu. Na taj način nastaju nove starinske stvari ili se obnavljaju stare: komode, stolice, komode itd. Decoupage uključuje primjenu uzorka pomoću šablone, čija je osnova gradijent boje kao pozadina.
Umjetnici tkanina su usvojili ovu metodu bojenja za nove modele. Haljine s gradijentom boja osvojile su modne piste. Modu su pokupile igličarke - pletilje. Pleteni predmeti s glatkim prijelazom boja su popularni.
Da rezimiramo definiciju "gradijenta", možemo reći o vrlo širokom području ljudske aktivnosti u kojem ovaj pojam ima mjesto. Zamjena sinonimom "vektor" nije uvijek prikladna, jer je vektor još uvijek funkcionalan, prostorni koncept. Ono što definiše opštost koncepta je postepena promena određene količine, supstance, fizičkog parametra za jednu u određenom periodu. U boji je glatki prijelaz tonova.
Gradijent funkcije– vektorska veličina čije je određivanje povezano sa određivanjem parcijalnih izvoda funkcije. Smjer gradijenta ukazuje na put najbržeg rasta funkcije od jedne tačke skalarnog polja do druge.
Instrukcije
1. Za rješavanje problema gradijenta funkcije koriste se metode diferencijalnog računa, odnosno pronalaženje parcijalnih izvoda prvog reda u odnosu na tri varijable. Pretpostavlja se da sama funkcija i svi njeni parcijalni derivati imaju svojstvo kontinuiteta u domeni definicije funkcije.
2. Gradijent je vektor čiji smjer označava smjer najbržeg porasta funkcije F. Da bi se to postiglo, na grafu su odabrane dvije točke M0 i M1, koje su krajevi vektora. Veličina gradijenta jednaka je brzini povećanja funkcije od tačke M0 do tačke M1.
3. Funkcija je diferencibilna u svim tačkama ovog vektora, stoga su projekcije vektora na koordinatne ose sve njegove parcijalne derivacije. Tada formula gradijenta izgleda ovako: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdje su i, j, k koordinate jediničnog vektora . Drugim riječima, gradijent funkcije je vektor čije su koordinate njegovi parcijalni derivati grad F = (?F/?h, ?F/?y, ?F/?z).
4. Primjer 1. Neka je data funkcija F = sin(x z?)/y. Potrebno je detektovati njen gradijent u tački (?/6, 1/4, 1).
5. Rješenje Odredite parcijalne izvode u odnosu na svaku varijablu: F'_h = 1/y sos(h z?) z?; F'_y = sin(h z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Zamijenite poznate vrijednosti koordinata tačke: F’_x = 4 sos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. Primijeniti formulu gradijenta funkcije: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Primjer 2. Pronađite koordinate gradijenta funkcije F = y arctg (z/x) u tački (1, 2, 1).
9. Rješenje.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arstg(z/h) = arstg 1 = ?/4;F'_z = 0 arstg(z/h) + y (arstg(z/h))'_z = y 1/(1 + (z/h)?) 1/h = y/(h (1 + (z/h)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
Gradijent skalarnog polja je vektorska veličina. Dakle, da bismo ga pronašli, potrebno je odrediti sve komponente odgovarajućeg vektora, na osnovu poznavanja podjele skalarnog polja.
Instrukcije
1. Pročitajte u udžbeniku više matematike šta je gradijent skalarnog polja. Kao što znate, ova vektorska veličina ima smjer karakteriziran maksimalnom brzinom raspada skalarne funkcije. Ovakvo tumačenje ove vektorske veličine opravdano je izrazom za određivanje njegovih komponenti.
2. Zapamtite da je svaki vektor određen veličinama njegovih komponenti. Komponente vektora su zapravo projekcije ovog vektora na jednu ili drugu koordinatnu osu. Dakle, ako se razmatra trodimenzionalni prostor, tada vektor mora imati tri komponente.
3. Zapišite kako se određuju komponente vektora koji je gradijent određenog polja. Sve koordinate takvog vektora jednake su derivaciji skalarnog potencijala u odnosu na varijablu čija se koordinata izračunava. To jest, ako trebate izračunati komponentu "x" vektora gradijenta polja, onda morate razlikovati skalarnu funkciju u odnosu na varijablu "x". Imajte na umu da izvod mora biti djelomičan. To znači da se tokom diferencijacije preostale varijable koje nisu uključene u nju moraju smatrati konstantama.
4. Napišite izraz za skalarno polje. Kao što je poznato, ovaj termin podrazumijeva samo skalarnu funkciju nekoliko varijabli, koje su također skalarne veličine. Broj varijabli skalarne funkcije ograničen je dimenzijom prostora.
5. Razlikujte skalarnu funkciju posebno u odnosu na svaku varijablu. Kao rezultat, dobit ćete tri nove funkcije. Upišite bilo koju funkciju u izraz za vektor gradijenta skalarnog polja. Svaka od dobijenih funkcija je zapravo indikator za jedinični vektor date koordinate. Dakle, konačni vektor gradijenta trebao bi izgledati kao polinom sa eksponentima u obliku izvoda funkcije.
Kada se razmatraju pitanja koja uključuju gradijentnu reprezentaciju, uobičajeno je razmišljati o funkcijama kao skalarnim poljima. Stoga je potrebno uvesti odgovarajuću notaciju.
Trebaće ti
- – bum;
- - olovka.
Instrukcije
1. Neka funkcija bude specificirana sa tri argumenta u=f(x, y, z). Parcijalni izvod funkcije, na primjer, u odnosu na x, definira se kao izvod u odnosu na ovaj argument, dobiven fiksiranjem preostalih argumenata. Slično i za druge argumente. Zapis za parcijalni izvod je napisan u obliku: df/dx = u’x ...
2. Ukupni diferencijal će biti jednak du=(df/dh)dx+ (df/dy)dy+(df/dz)dz Parcijalne derivacije se mogu shvatiti kao izvodnice duž pravca koordinatnih osa. Shodno tome, postavlja se pitanje pronalaženja derivacije u odnosu na pravac datog vektora s u tački M(x, y, z) (ne zaboravite da je pravac s određen jediničnim vektorom s^o). U ovom slučaju, vektorski diferencijal argumenata (dx, dy, dz) = (dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).
3. S obzirom na oblik ukupnog diferencijala du, možemo zaključiti da je izvod u pravcu s u tački M jednak: (du/ds)|M=((df/dh)|M)sos(alpha)+ (( df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Ako je s= s(sx,sy,sz), onda kosinus smjera (cos(alpha), cos(beta) ), cos( gama)) se izračunavaju (vidi sliku 1a).
4. Definicija derivacije usmerenja, smatrajući tačku M promenljivom, može se prepisati u obliku skalarnog proizvoda: (du/ds)=((df/dh, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Ovaj izraz će biti objektivan za skalarno polje. Ako se funkcija smatra lako, onda je gradf vektor koji ima koordinate koje se poklapaju s parcijalnim derivatima f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ovdje (i, j, k) su jedinični vektori koordinatnih osa u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu.
5. Ako koristimo Hamilton Nabla diferencijalni vektorski operator, tada se gradf može napisati kao množenje ovog operatorskog vektora sa skalarom f (vidi sliku 1b). Sa stanovišta veze između gradf i usmjerenog izvoda, jednakost (gradf, s^o)=0 je prihvatljiva ako su ovi vektori ortogonalni. Zbog toga se gradf često definira kao smjer najbrže metamorfoze skalarnog polja. A sa stanovišta diferencijalnih operacija (gradf je jedna od njih), svojstva gradf tačno ponavljaju svojstva diferencirajućih funkcija. Konkretno, ako je f=uv, onda je gradf=(vgradu+u gradv).
Video na temu
Gradijent Ovo je alat koji u grafičkim uređivačima ispunjava siluetu glatkim prijelazom iz jedne boje u drugu. Gradijent može dati silueti rezultat volumena, imitirati osvjetljenje, odsjaj svjetlosti na površini objekta ili rezultat zalaska sunca u pozadini fotografije. Ovaj alat se široko koristi, pa je za obradu fotografija ili kreiranje ilustracija vrlo važno naučiti kako ga koristiti.
Trebaće ti
- Računar, grafički uređivač Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ili drugi.
Instrukcije
1. Otvorite sliku u programu ili snimite novu. Napravite siluetu ili odaberite željeno područje na slici.
2. Uključite alat za gradijent na traci sa alatkama grafičkog uređivača. Postavite kursor miša na tačku unutar odabranog područja ili siluete gdje će početi 1. boja gradijenta. Kliknite i držite lijevu tipku miša. Pomerite kursor do tačke na kojoj želite da se gradijent promeni u konačnu boju. Otpustite lijevu tipku miša. Odabrana silueta će biti ispunjena gradijentom.
3. Gradijent Možete podesiti transparentnost, boje i njihov odnos na određenoj tački ispune. Da biste to učinili, otvorite prozor za uređivanje gradijenta. Da biste otvorili prozor za uređivanje u Photoshopu, kliknite na primjer gradijenta u panelu Opcije.
4. Prozor koji se otvori prikazuje dostupne opcije gradijenta punjenja u obliku primjera. Da biste uredili jednu od opcija, odaberite je klikom miša.
5. Na dnu prozora prikazan je primjer gradijenta u obliku široke skale na kojoj se nalaze klizači. Klizači označavaju tačke u kojima bi gradijent trebao imati specificirane usporedbe, a u intervalu između klizača boja ravnomjerno prelazi iz boje specificirane u prvoj tački u boju 2. tačke.
6. Klizači koji se nalaze na vrhu skale postavljaju transparentnost gradijenta. Za promjenu prozirnosti kliknite na željeni klizač. Ispod skale će se pojaviti polje u koje unosite traženi stepen transparentnosti u procentima.
7. Klizači na dnu skale postavljaju boje gradijenta. Klikom na jednu od njih moći ćete odabrati željenu boju.
8. Gradijent može imati nekoliko prelaznih boja. Da biste postavili drugu boju, kliknite na slobodni prostor na dnu skale. Na njemu će se pojaviti još jedan klizač. Dajte mu potrebnu boju. Skala će prikazati primjer gradijenta sa još jednom točkom. Možete pomicati klizače držeći ih lijevom tipkom miša kako biste postigli željenu kombinaciju.
9. Gradijent Dolaze u nekoliko vrsta koje mogu dati oblik ravnim siluetama. Na primjer, da bi se krugu dao oblik lopte, koristi se radijalni gradijent, a da bi se dobio oblik stošca koristi se gradijent u obliku stošca. Da biste površini dali iluziju konveksnosti, možete koristiti zrcalni gradijent, a gradijent u obliku dijamanta se može koristiti za stvaranje naglasaka.
Video na temu
Video na temu