Pronađite divne granice Teško je ne samo mnogim studentima prve i druge godine koji uče teoriju granica, već i nekim nastavnicima.

Formula za prvu izvanrednu granicu

Posljedice prve izvanredne granice zapišimo to formulama
1. 2. 3. 4. Ali sami opšte formule izuzetna ograničenja nikome ne pomažu na ispitu ili testu. Poenta je da su pravi zadaci konstruisani tako da još uvek treba da dođete do gore napisanih formula. A većina studenata koji izostaju sa nastave, studiraju ovaj predmet u odsustvu ili imaju nastavnike koji ni sami ne razumiju uvijek ono što objašnjavaju, ne može da izračuna najelementarnije primjere do izvanrednih granica. Iz formula prve izvanredne granice vidimo da je uz njihovu pomoć moguće proučavati nesigurnosti tipa nula podijeljena nulom za izraze sa trigonometrijskim funkcijama. Razmotrimo prvo nekoliko primjera za prvi divna granica y, a zatim ćemo proučiti drugu izuzetnu granicu.

Primjer 1. Pronađite granicu funkcije sin(7*x)/(5*x)
Rješenje: Kao što možete vidjeti, funkcija ispod granice je blizu prve izvanredne granice, ali granica same funkcije definitivno nije jednako jedan. U ovakvim zadacima o granicama treba izabrati u nazivniku promenljivu sa istim koeficijentom koji se nalazi u varijabli ispod sinusa. U ovom slučaju podijelite i pomnožite sa 7

Nekima će se takav detalj činiti nepotrebnim, ali većini učenika kojima je teško razumjeti ograničenja, pomoći će im da bolje razumiju pravila i nauče teorijski materijal.
Također, ako postoji inverzni oblik funkcije, ovo je ujedno i prva divna granica. A sve zato što je divna granica jednaka jedan

Isto pravilo važi i za posledice 1. izuzetne granice. Stoga, ako vas pitaju: "Koja je prva izuzetna granica?" Trebali biste bez oklijevanja odgovoriti da je to jedinica.

Primjer 2. Pronađite granicu funkcije sin(6x)/tan(11x)
Rješenje: Da bismo razumjeli konačni rezultat, zapišimo funkciju u obrazac

Da biste primijenili pravila izuzetne granice, pomnožite i podijelite faktorima

Zatim pišemo granicu proizvoda funkcija kroz proizvod granica

Bez složene formule našli smo granicu caske trigonometrijske funkcije. Za asimilaciju jednostavne formule pokušajte smisliti i pronaći granicu na 2 i 4, formulu za posljedica 1 divne granice. Razmotrićemo složenije probleme.

Primjer 3: Izračunajte granicu (1-cos(x))/x^2
Rješenje: Prilikom provjere zamjenom, dobijamo nesigurnost 0/0. Mnogi ljudi ne znaju kako takav primjer svesti na jednu izuzetnu granicu. Ovdje biste trebali koristiti trigonometrijska formula

U ovom slučaju, granica će se transformisati u jasan oblik

Uspjeli smo svesti funkciju na kvadrat izvanredne granice.

Primjer 4. Pronađite granicu
Rješenje: Prilikom zamjene dobijamo poznatu osobinu 0/0. Međutim, varijabla teži pi, a ne nuli. Stoga, da bismo primijenili prvo značajno ograničenje, izvršit ćemo takvu promjenu varijable x tako da nova varijabla ide na nulu. Da bismo to učinili, nazivnik označavamo kao novu varijablu Pi-x=y

Dakle, koristeći trigonometrijsku formulu datu u prethodnom zadatku, primjer je sveden na 1 izuzetnu granicu.

Primjer 5: Izračunajte ograničenje
Rješenje: U početku nije jasno kako pojednostaviti ograničenja. Ali pošto postoji primjer, onda mora postojati i odgovor. Činjenica da varijabla ide u jedinicu daje, prilikom zamjene, obilježje oblika nula pomnoženog sa beskonačnošću, pa se tangenta mora zamijeniti pomoću formule

Nakon toga dobijamo potrebnu nesigurnost 0/0. Zatim vršimo promjenu varijabli u granici i koristimo periodičnost kotangensa

Posljednje zamjene nam dopuštaju da koristimo Korolar 1 izuzetnog ograničenja.

Druga izuzetna granica jednaka je eksponencijalnoj

Ovo je klasika kojoj stvarni problemi granice nije uvek lako dostići.
U proračunima će vam trebati ograničenja su posljedice druge izuzetne granice:
1. 2. 3. 4.
Zahvaljujući drugoj izuzetnoj granici i njenim posljedicama, moguće je istražiti nesigurnosti kao što su nula podijeljena nulom, jedan na stepen beskonačnosti i beskonačnost podijeljena beskonačnošću, pa čak i u istom stepenu

Počnimo s jednostavnim primjerima.

Primjer 6. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Direktna primjena 2. izuzetnog ograničenja neće raditi. Prvo, trebate transformirati eksponent tako da izgleda kao inverzno izrazu u zagradama

Ovo je tehnika svođenja na 2. izuzetnu granicu i, u suštini, izvođenje 2. formule za posledicu granice.

Primjer 7. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Imamo zadatke za formulu 3 posljedice 2 divne granice. Zamjena nule daje singularnost oblika 0/0. Da bismo podigli granicu na pravilo, okrećemo imenilac tako da varijabla ima isti koeficijent kao u logaritmu

Takođe je lako razumjeti i izvesti na ispitu. Poteškoće učenika u izračunavanju granica počinju sa sljedećim problemima.

Primjer 8. Izračunajte granicu funkcije[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Rješenje: Imamo singularitet tipa 1 na stepen beskonačnosti. Ako mi ne vjerujete, možete svugdje zamijeniti beskonačnost sa "X" i uvjeriti se u to. Da bismo konstruirali pravilo, podijelimo brojilac sa nazivnikom u zagradama; da bismo to učinili, prvo izvodimo manipulacije

Zamijenimo izraz u granicu i pretvorimo ga u 2 divna granica

Granica je jednaka eksponencijalnoj snazi ​​10. Konstante koje su termini sa promjenljivom, kako u zagradama tako iu stepenu, ne uvode nikakvo “vrijeme” - to treba imati na umu. A ako vas nastavnici pitaju: "Zašto ne pretvorite indikator?" (Za ovaj primjer u x-3), zatim recite: "Kada varijabla teži beskonačnosti, onda joj čak dodajte 100 ili oduzmite 1000, a granica će ostati ista kao što je bila!"
Postoji drugi način za izračunavanje ograničenja ovog tipa. O tome ćemo razgovarati u sljedećem zadatku.

Primjer 9. Pronađite granicu
Rješenje: Hajde da sada izvadimo varijablu u brojniku i nazivniku i pretvorimo jednu osobinu u drugu. Da bismo dobili konačnu vrijednost, koristimo formulu Korolar 2 izvanredne granice

Primjer 10. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Ne može svako pronaći dato ograničenje. Da biste podigli granicu na 2, zamislite da je sin (3x) varijabla i trebate okrenuti eksponent

Dalje, zapisujemo indikator kao snagu na stepen


Intermedijarni argumenti su opisani u zagradama. Kao rezultat korištenja prve i druge izvanredne granice, dobili smo eksponencijal u kocki.

Primjer 11. Izračunajte granicu funkcije sin(2*x)/ln(3*x+1)
Rješenje: Imamo nesigurnost oblika 0/0. Osim toga, vidimo da funkciju treba konvertirati da koristi oba divna ograničenja. Izvršimo prethodne matematičke transformacije

Dalje, bez poteškoća, granica će uzeti vrijednost

Ovako ćete se osjećati slobodni na zadacima, testovima, modulima ako naučite brzo ispisivati ​​funkcije i svesti ih na prvu ili drugu divnu granicu. Ako vam je teško zapamtiti date metode za pronalaženje granica, uvijek možete naručiti od nas probni rad o granicama.
Da biste to učinili, ispunite obrazac, navedite podatke i priložite datoteku s primjerima. Pomogli smo mnogim studentima - možemo pomoći i vama!

U ovoj temi ćemo analizirati formule koje se mogu dobiti korištenjem druge izvanredne granice (nalazi se tema posvećena direktno drugoj izuzetnoj granici). Dozvolite mi da se prisjetim dvije formulacije druge izvanredne granice koje će biti potrebne u ovom dijelu: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ i $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Obično iznosim formule bez dokaza, ali za ovu stranicu mislim da ću napraviti izuzetak. Stvar je u tome da dokaz posljedica druge izvanredne granice sadrži neke tehnike koje su korisne u direktnom rješavanju problema. Pa, općenito govoreći, preporučljivo je znati kako se ova ili ona formula dokazuje. Ovo vam omogućava da bolje razumete njegovu unutrašnju strukturu, kao i granice primenljivosti. Ali pošto dokazi možda neće biti od interesa za sve čitaoce, sakriću ih ispod napomena koje se nalaze iza svake posledice.

Zaključak #1

\begin(jednačina) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(jednačina)

Dokaz zasljedstva br. 1: pokaži\sakrij

Pošto na $x\to 0$ imamo $\ln(1+x)\to 0$, onda u granici koja se razmatra postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu nesigurnost, predstavimo izraz $\frac(\ln(1+x))(x)$ u sljedećem obliku: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Sada hajde da faktorišemo $\frac(1)(x)$ u stepen izraza $(1+x)$ i primenimo drugu izuzetnu granicu:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Još jednom imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Oslonićemo se na formulu koju smo već dokazali. Pošto je $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, onda je $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Zaključak #2

\begin(jednačina) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(jednačina)

Dokaz zasljedstva br. 2: pokaži\sakrij

Pošto na $x\to 0$ imamo $e^x-1\to 0$, onda u granici koja se razmatra postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu nesigurnost, promijenimo varijablu, označavajući $t=e^x-1$. Pošto je $x\do 0$, onda je $t\do 0$. Zatim, iz formule $t=e^x-1$ dobijamo: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \desno|=\lijevo | \begin(poravnano) & t=e^x-1;\; t\do 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (poravnano) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Još jednom imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Oslonićemo se na formulu koju smo već dokazali. Pošto je $a^x=e^(x\ln a)$, onda:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Zaključak #3

\begin(jednačina) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(jednačina)

Dokaz zasljedstva br. 3: pokaži\sakrij

Još jednom imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Pošto $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, dobijamo:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Primjer br. 1

Izračunajte granicu $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu neizvjesnost, koristit ćemo formulu. Da bismo naše ograničenje uklopili u ovu formulu, trebamo imati na umu da se izrazi u stepenu $e$ i u nazivniku moraju poklapati. Drugim riječima, nema mjesta za sinus u nazivniku. Imenilac bi trebao biti $9x$. Dodatno, rješenje ovog primjera će koristiti prvu izvanrednu granicu.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ na\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Odgovori: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Primjer br. 2

Izračunajte granicu $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$ (da vas podsjetim da je $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Da bismo otkrili ovu neizvjesnost, koristit ćemo formulu. Prvo, uzmimo u obzir da je $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (pogledajte ispis o trigonometrijskim funkcijama). Sada $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, tako da u nazivniku treba da dobijemo izraz $-2\sin^2 \ frac(x )(2)$ (da se naš primjer uklopi u formulu). U daljnjem rješenju koristit će se prva značajna granica.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Ovaj online matematički kalkulator pomoći će vam ako vam zatreba izračunati granicu funkcije. Program granice rješenja ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces izračunavanja ograničenja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce u srednjim školama u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Unesite izraz funkcije

Izračunajte limit

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Granica funkcije na x->x 0

Neka funkcija f(x) bude definirana na nekom skupu X i neka tačka \(x_0 \u X\) ili \(x_0 \bez X\)

Uzmimo od X niz tačaka drugačiji od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergirajući na x*. Vrijednosti funkcije u tačkama ovog niza također formiraju numerički niz
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
i može se postaviti pitanje postojanja njegove granice.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije f(x) u tački x = x 0 (ili u x -> x 0), ako se za bilo koji niz (1) vrijednosti argumenta x razlikuje od x 0 konvergirajući na x 0, odgovarajući niz (2) funkcije vrijednosti konvergira na broj A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcija f(x) može imati samo jednu granicu u tački x 0. Ovo proizilazi iz činjenice da je sekvenca
(f(x n)) ima samo jedno ograničenje.

Postoji još jedna definicija granice funkcije.

Definicija Broj A naziva se granica funkcije f(x) u tački x = x 0 ako za bilo koji broj \(\varepsilon > 0\) postoji broj \(\delta > 0\) takav da za sve \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), zadovoljavajući nejednakost \(|x-x_0| Koristeći logičke simbole, ova definicija se može napisati kao
\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Imajte na umu da su nejednakosti \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Prva definicija je zasnovana na konceptu granice numerički niz, zbog čega se često naziva definicijom "jezika sekvenci". Druga definicija se zove definicija "na jeziku \(\varepsilon - \delta \)".
Ove dvije definicije granice funkcije su ekvivalentne i možete koristiti bilo koju od njih ovisno o tome koja je pogodnija za rješavanje određenog problema.

Imajte na umu da se definicija granice funkcije “na jeziku nizova” naziva i definicija granice funkcije prema Heineu, a definicija granice funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)” se također naziva definicijom granice funkcije prema Cauchyju.

Granica funkcije na x->x 0 - i na x->x 0 +

U nastavku ćemo koristiti koncepte jednostranih granica funkcije, koji su definirani na sljedeći način.

Definicija Broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u tački x 0 ako za bilo koji niz (1) koji konvergira na x 0, čiji su elementi x n veći (manji od) x 0, odgovarajući niz (2) konvergira sa A.

Simbolično je napisano ovako:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \levo(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \desno) $$

Možemo dati ekvivalentnu definiciju jednostranih granica funkcije “na jeziku \(\varepsilon - \delta \)”:

Definicija broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji \(\varepsilon > 0\) postoji \(\delta > 0\) takav da za sve x zadovoljavajući nejednakosti \(x_0 Simbolički unosi:

\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i sa čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumete šta su determinante i uspešno ih rešavate; možda uopšte ne razumete šta je derivacija i nalazite ih sa „A“. Ali ako ne razumijete što je granica, onda će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije su predstavljene u jednostavnom i pristupačnom obliku.

I za svrhe ovu lekciju Biće nam potrebni sledeći nastavni materijali: Wonderful Limits I Trigonometrijske formule. Mogu se naći na stranici. Najbolje je odštampati priručnike - to je mnogo zgodnije, a osim toga, često ćete morati da ih koristite van mreže.

Šta je tako posebno u izuzetnim granicama? Izvanredna stvar u vezi sa ovim ograničenjima je da su dokazana najveći umovi slavni matematičari, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s gomilom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.

Postoji nekoliko divnih ograničenja, ali u praksi, u 95% slučajeva, vanredni studenti imaju dvije divne granice: Prva divna granica, Druga divna granica. Treba napomenuti da su to istorijski ustaljeni nazivi, a kada se, na primjer, govori o „prvoj izuzetnoj granici“, pod tim se misli na sasvim konkretnu stvar, a ne na neku nasumično uzetu granicu sa plafona.

Prva divna granica

Uzmite u obzir sljedeću granicu: (umjesto izvornog slova "he" koristit ću grčko slovo "alpha", ovo je pogodnije sa stanovišta prezentacije materijala).

Prema našem pravilu za pronalaženje granica (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo zamijeniti nulu u funkciju: u brojiocu dobijamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku, očigledno, također postoji nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme, koju, na sreću, ne treba otkrivati. Znam matematička analiza, dokazano je da:

Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću davati analitički dokaz ograničenja, ali evo ga: geometrijsko značenje pogledaćemo to na času beskonačno male funkcije.

Često se u praktičnim zadacima funkcije mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:

- ista prva divna granica.

Ali ne možete sami preurediti brojilac i imenilac! Ako je ograničenje dato u obliku , onda se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja bilo čega.

U praksi, ne samo varijabla, već i elementarna funkcija može djelovati kao parametar, složena funkcija. Važno je samo da teži nuli.

primjeri:
, , ,

ovdje , , , , i sve je dobro - prva divna granica je primjenjiva.

Ali sljedeći unos je hereza:

Zašto? Pošto polinom ne teži nuli, teži petici.

Usput, kratko pitanje: koja je granica? ? Odgovor možete pronaći na kraju lekcije.

U praksi nije sve tako glatko, gotovo nikada se studentu ne ponudi da riješi besplatni limit i dobije laku prolaz. Hmmm... Pišem ove redove i pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - uostalom, bolje je pamtiti "besplatne" matematičke definicije i formule napamet, to može biti od neprocjenjive pomoći u testu, kada će pitanje bude odlučeno između „dva“ i „tri“, a nastavnik odlučuje da učeniku postavi neko jednostavno pitanje ili ponudi da reši najjednostavniji primjer(„možda on(i) još zna šta?!“).

Idemo dalje na razmatranje praktični primjeri:

Primjer 1

Pronađite granicu

Ako primijetimo sinus u granici, onda bi nas to odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve izvanredne granice.

Prvo, pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (to radimo mentalno ili u nacrtu):

Dakle, imamo nesigurnost forme obavezno naznačite u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice je sličan prvoj divnoj granici, ali to nije baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.

U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu izvanrednu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezonovanje bi moglo biti sljedeće: “ispod sinusa imamo , što znači da i mi trebamo ući u nazivnik.”
A to se radi vrlo jednostavno:

To jest, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli sa istim sedam. Sada je naš snimak poprimio poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu izuzetnu granicu jednostavnom olovkom:

Šta se desilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz se pretvorio u jedinicu i nestao u radu:

Sada ostaje samo da se riješimo trospratne frakcije:

Ko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više nivoa, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski kurs matematike .

Spreman. Konačan odgovor:

Ako ne želite koristiti oznake olovkom, rješenje se može napisati ovako:

“

Iskoristimo prvu divnu granicu

“

Primjer 2

Pronađite granicu

Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:

Zaista, imamo neizvjesnost i stoga moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. Na lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja uzeli smo u obzir pravilo da kada imamo neizvjesnost, moramo faktorizirati brojnik i imenilac. Ovdje je ista stvar, stepene ćemo predstaviti kao proizvod (množitelje):

Slično kao u prethodnom primjeru, crtamo olovkom oko izuzetnih granica (ovdje su dvije) i pokazujemo da teže jedinstvu:

Zapravo, odgovor je spreman:

U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako ispravno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.

Primjer 3

Pronađite granicu

Zamjenjujemo nulu u izraz ispod predznaka granice:

Dobivena je nesigurnost koju treba otkriti. Ako postoji tangenta u granici, onda se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus koristeći dobro poznatu trigonometrijsku formulu (usput, oni rade približno istu stvar s kotangensom, vidi sl. metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule Na stranici Matematičke formule, tabele i referentni materijali).

U ovom slučaju:

Kosinus nule jednak je jedan i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedan):

Dakle, ako je u granici kosinus MNOŽITELJ, onda ga, grubo rečeno, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u proizvodu.

Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez ikakvih množenja i dijeljenja. Prva izuzetna granica se također pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Kao rezultat, dobija se beskonačnost i to se dešava.

Primjer 4

Pronađite granicu

Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:

Dobije se nesigurnost (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)

Koristimo trigonometrijsku formulu. Uzeti u obzir! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu su vrlo česta.

Pomaknimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:

Organizirajmo prvu divnu granicu:

Ovdje imamo samo jedno izuzetno ograničenje koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Oslobodimo se trospratne strukture:

Granica je zapravo riješena, ukazujemo da preostali sinus teži nuli:

Primjer 5

Pronađite granicu

Ovaj primjer je komplikovaniji, pokušajte sami shvatiti:

Neka ograničenja se mogu svesti na 1. izuzetnu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.

Druga divna granica

U teoriji matematičke analize dokazano je da:

Ova činjenica se zove druga divna granica.

referenca: je iracionalan broj.

Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.

Primjer 6

Pronađite granicu

Kada je izraz ispod graničnog znaka u stepenu, ovo je prvi znak da trebate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.

Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo beskrajno zamijeniti veliki broj u izrazu po kom principu se to radi, o čemu se govori u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.

Lako je primijetiti da kada baza stepena je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:

Ova neizvjesnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često dešava, druga divna granica ne leži na srebrnom tacni, i treba je veštački organizovati. Može se rezonovati na sljedeći način: in u ovom primjeru parametar, što znači da u indikatoru također trebamo organizirati . Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a da se izraz ne promijeni, dižemo je na stepen:

Kada je zadatak završen rukom, olovkom označavamo:

Skoro sve je spremno, strašni stepen se pretvorio u lepo pismo:

U ovom slučaju premjestimo samu ikonu ograničenja na indikator:

Primjer 7

Pronađite granicu

Pažnja! Ova vrsta ograničenja se javlja vrlo često, molimo vas da pažljivo proučite ovaj primjer.

Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod predznaka granice:

Rezultat je neizvjesnost. Ali druga izuzetna granica odnosi se na nesigurnost forme. sta da radim? Moramo da konvertujemo osnovu stepena. Mi razmišljamo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .

dokaz:

Hajde da prvo dokažemo teoremu za slučaj niza

Prema Newtonovoj binomnoj formuli:

Pod pretpostavkom da dobijemo

Iz ove jednakosti (1) slijedi da kako n raste, broj pozitivnih članova na desnoj strani raste. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa tako i vrijednosti se povećavaju. Stoga redoslijed raste, i (2)*Pokazujemo da je ograničen. Zamijenite svaku zagradu na desnoj strani jednakosti jednim, desni deo povećava, dobijamo nejednakost

Pojačajmo rezultirajuću nejednakost, zamijenimo 3,4,5, ..., koje stoji u nazivnicima razlomaka, brojem 2: Zbir pronalazimo u zagradama koristeći formulu sume članova geometrijska progresija: Zbog toga (3)*

Dakle, niz je ograničen odozgo, a nejednakosti (2) i (3) su zadovoljene: Stoga, na osnovu Weierstrassove teoreme (kriterij za konvergenciju niza), niz monotono raste i ograničen je, što znači da ima granicu, označenu slovom e. One.

Znajući da je druga izuzetna granica istinita za prirodne vrednosti x, dokazaćemo drugu izuzetnu granicu za realno x, odnosno dokazaćemo to . Razmotrimo dva slučaja:

1. Neka je svaka vrijednost x zatvorena između dva pozitivna cijela broja: ,gdje je cijeli broj x. => =>

Ako , onda Prema tome, prema granici Imamo

Na osnovu kriterijuma (o granici međufunkcije) postojanja granica

2. Neka . Onda napravimo zamjenu − x = t

Iz ova dva slučaja proizilazi da za pravi x.

Posljedice:

9 .) Poređenje infinitezimala. Teorema o zamjeni infinitezimala s ekvivalentnim u graničnom dijelu i teorema o glavnom dijelu infinitezimala.

Neka su funkcije a( x) i b( x) – b.m. at x ® x 0 .

DEFINICIJE.

1)a( x) pozvao beskonačno malo više high order kako b (x) Ako

Zapišite: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) I b( x)su pozvani infinitezimima istog reda, Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

Zapišite: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) I b( x) su pozvani ekvivalentan , Ako

Zapišite: a( x) ~ b( x).

4)a( x) naziva se infinitezimalnim reda k relativnom
apsolutno beskonačno mali b( x), ako je beskonačno mali a( x)I(b( x))k imaju isti red, tj. Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnih s ekvivalentnim).

Neka a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. na x ® x 0 . Ako a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

To

Dokaz: Neka je a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Onda

TEOREMA 7 (o glavnom dijelu infinitezimalnog).

Neka a( x)I b( x)– b.m. na x ® x 0 , i b( x)– b.m. višeg reda od a( x).

= , a pošto b( x) – viši red od a( x), zatim, tj. od jasno je da ( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet funkcije u tački (na jeziku epsilon-delta, geometrijske granice) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva kontinuiranih funkcija.

1. Osnovne definicije

Neka f(x) je definiran u nekom susjedstvu tačke x 0 .

DEFINICIJA 1. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 ako je jednakost tačna

Bilješke.

1) Na osnovu teoreme 5 §3, jednakost (1) se može napisati u obliku

Stanje (2) – definicija kontinuiteta funkcije u tački u jeziku jednostranih granica.

2) Jednakost (1) se može napisati i kao:

Kažu: „ako je funkcija kontinuirana u nekoj tački x 0, tada se predznak granice i funkcija mogu zamijeniti."

DEFINICIJA 2 (na e-d jeziku).

Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 Ako"e>0 $d>0 takav, Šta

ako je x OU( x 0 , d) (tj. | x – x 0 | < d),

zatim f(x)ÎU( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).

Neka x, x 0 Î D(f) (x 0 – fiksno, x – proizvoljno)

Označimo: D x= x – x 0 – povećanje argumenta

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – povećanje funkcije u tačkix 0

DEFINICIJA 3 (geometrijska).

Funkcija f(x) uključeno pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 ako u ovom trenutku beskonačno mali prirast u argumentu odgovara beskonačno malom prirastu funkcije, tj.

Neka funkcija f(x) je definiran na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 desno (lijevo ), ako je jednakost tačna

Očigledno je da f(x) je kontinuiran u tački x 0 Û f(x) je kontinuiran u tački x 0 desno i lijevo.

DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u intervalu e ( a; b) ako je kontinuiran u svakoj tački ovog intervala.

Funkcija f(x) se naziva kontinuirano na segmentu [a; b] ako je kontinuirano na intervalu (a; b) i ima jednosmjerni kontinuitet na graničnim tačkama(tj. kontinuirano u tački a desno, u tački b- lijevo).

11) Prelomne tačke, njihova klasifikacija

DEFINICIJA. Ako je funkcija f(x) definisano u nekom okruženju tačke x 0 , ali u ovom trenutku nije kontinuirano f(x) naziva se diskontinuiranim u tački x 0 , i sama tačka x 0 nazvana tačka prekida funkcije f(x) .

Bilješke.

1) f(x) može se definirati u nekompletnom susjedstvu tačke x 0 .

Zatim razmotrite odgovarajući jednostrani kontinuitet funkcije.

2) Iz definicije Þ tačke x 0 je tačka prekida funkcije f(x) u dva slučaja:

a) U( x 0 , d)O D(f) , ali za f(x) jednakost ne vrijedi

b) U * ( x 0 , d)O D(f) .

Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).

Neka x 0 – tačka prekida funkcije f(x) .

DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida I nekako ako funkcija f(x)ima konačne granice na lijevoj i desnoj strani u ovoj tački.

Ako su ove granice jednake, tada je tačka x 0 pozvao uklonjiva tačka prekida , inače - jump point .

DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida II nekako ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije f(x)u ovom trenutku jednaka¥ ili ne postoji.

12) Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu (teoreme Weierstrassa (bez dokaza) i Cauchy

Weierstrassova teorema

Neka je funkcija f(x) neprekidna na intervalu, dakle

1)f(x) je ograničen na

2)f(x) uzima svoju najmanju vrijednost na intervalu i najveća vrijednost

Definicija: Vrijednost funkcije m=f naziva se najmanjom ako je m≤f(x) za bilo koje x€ D(f).

Za vrijednost funkcije m=f se kaže da je najveća ako je m≥f(x) za bilo koje x € D(f).

Funkcija može poprimiti najmanju/najveću vrijednost u nekoliko tačaka segmenta.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchyjev teorem.

Neka je funkcija f(x) neprekidna na segmentu i x je broj između f(a) i f(b), tada postoji barem jedna tačka x 0 € takva da je f(x 0)= g

Povratak