Formula drugog divna granica ima oblik lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Drugi oblik pisanja izgleda ovako: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kada govorimo o drugoj izuzetnoj granici, moramo se pozabaviti nesigurnošću oblika 1 ∞, tj. jedinstvo do beskonačnog stepena.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Razmotrimo probleme u kojima će biti korisna sposobnost izračunavanja druge izuzetne granice.
Primjer 1
Pronađite granični lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Rješenje
Zamijenimo traženu formulu i izvršimo proračune.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Ispostavilo se da je naš odgovor jedan na moć beskonačnosti. Za određivanje metode rješenja koristimo tablicu nesigurnosti. Odaberimo drugu izuzetnu granicu i izvršimo promjenu varijabli.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Ako je x → ∞, tada je t → - ∞.
Da vidimo šta smo dobili nakon zamjene:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
odgovor: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Primjer 2
Izračunajte granicu lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Rješenje
Zamenimo beskonačnost i dobijemo sledeće.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
U odgovoru smo opet dobili isto što i u prethodnom zadatku, dakle, opet možemo koristiti drugu izuzetnu granicu. Zatim moramo odabrati na bazi funkcija snage cijeli dio:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Nakon toga, limit poprima sljedeći oblik:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Zamijenite varijable. Pretpostavimo da je t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ako je x → ∞, tada je t → ∞.
Nakon toga zapisujemo ono što smo dobili u originalnom limitu:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Da bismo izvršili ovu transformaciju, koristili smo osnovna svojstva granica i moći.
odgovor: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Primjer 3
Izračunajte granični lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Rješenje
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Nakon toga, moramo transformirati funkciju da primijenimo drugu veliku granicu. dobili smo sljedeće:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Pošto sada imamo iste eksponente u brojiocu i nazivniku razlomka (jednake šest), granica razlomka na beskonačnosti će biti jednaka omjeru ovih koeficijenata na višim potencijama.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Zamjenom t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dobijamo drugu izuzetnu granicu. Znači šta:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
odgovor: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
zaključci
Nesigurnost 1 ∞, tj. jedinstvo na beskonačni stepen je nesigurnost po stepenu, stoga se može otkriti korištenjem pravila za pronalaženje granica eksponencijalnih funkcija stepena.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
U ovoj temi ćemo analizirati formule koje se mogu dobiti korištenjem druge izvanredne granice (nalazi se tema posvećena direktno drugoj izuzetnoj granici). Dozvolite mi da se prisjetim dvije formulacije druge izvanredne granice koje će biti potrebne u ovom dijelu: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ i $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
Obično iznosim formule bez dokaza, ali za ovu stranicu mislim da ću napraviti izuzetak. Stvar je u tome da dokaz posljedica druge izvanredne granice sadrži neke tehnike koje su korisne u direktnom rješavanju problema. Pa, općenito govoreći, preporučljivo je znati kako se ova ili ona formula dokazuje. Ovo vam omogućava da bolje razumete njegovu unutrašnju strukturu, kao i granice primenljivosti. Ali pošto dokazi možda neće biti od interesa za sve čitaoce, sakriću ih ispod napomena koje se nalaze iza svake posledice.
Zaključak #1
\begin(jednačina) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(jednačina)Dokaz zasljedstva br. 1: pokaži\sakrij
Pošto na $x\to 0$ imamo $\ln(1+x)\to 0$, onda u granici koja se razmatra postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu nesigurnost, predstavimo izraz $\frac(\ln(1+x))(x)$ u sljedećem obliku: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Sada hajde da faktorišemo $\frac(1)(x)$ u stepen izraza $(1+x)$ i primenimo drugu izuzetnu granicu:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Još jednom imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Oslonićemo se na formulu koju smo već dokazali. Pošto je $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, onda je $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Zaključak #2
\begin(jednačina) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(jednačina)Dokaz zasljedstva br. 2: pokaži\sakrij
Pošto na $x\to 0$ imamo $e^x-1\to 0$, onda u granici koja se razmatra postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu nesigurnost, promijenimo varijablu, označavajući $t=e^x-1$. Pošto je $x\do 0$, onda je $t\do 0$. Zatim, iz formule $t=e^x-1$ dobijamo: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \desno|=\lijevo | \begin(poravnano) & t=e^x-1;\; t\do 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (poravnano) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Još jednom imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Oslonićemo se na formulu koju smo već dokazali. Pošto je $a^x=e^(x\ln a)$, onda:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Zaključak #3
\begin(jednačina) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(jednačina)Dokaz zasljedstva br. 3: pokaži\sakrij
Još jednom imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Pošto $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, dobijamo:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Primjer br. 1
Izračunajte granicu $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.
Imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu neizvjesnost, koristit ćemo formulu. Da bismo naše ograničenje uklopili u ovu formulu, trebamo imati na umu da se izrazi u stepenu $e$ i u nazivniku moraju poklapati. Drugim riječima, nema mjesta za sinus u nazivniku. Imenilac bi trebao biti $9x$. Dodatno, rješenje ovog primjera će koristiti prvu izvanrednu granicu.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ na\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Odgovori: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Primjer br. 2
Izračunajte granicu $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.
Imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$ (da vas podsjetim da je $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Da bismo otkrili ovu neizvjesnost, koristit ćemo formulu. Prvo, uzmimo u obzir da je $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (pogledajte ispis o trigonometrijskim funkcijama). Sada $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, tako da u nazivniku treba da dobijemo izraz $-2\sin^2 \ frac(x )(2)$ (da se naš primjer uklopi u formulu). U daljnjem rješenju koristit će se prva značajna granica.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Odgovori: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
Ovaj članak: “Druga izuzetna granica” posvećen je otkrivanju u granicama nesigurnosti oblika:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ i $ ^\infty $.
Također, takve nesigurnosti se mogu otkriti pomoću logaritma eksponencijalne funkcije, ali ovo je još jedna metoda rješenja koja će biti obrađena u drugom članku.
Formula i posljedice
Formula druga izuzetna granica je napisana na sljedeći način: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( gdje je ) e \približno 2.718 $$
To proizilazi iz formule posljedice, koje je vrlo zgodno koristiti za rješavanje primjera s ograničenjima: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( gdje je ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Vrijedi napomenuti da se druga izvanredna granica ne može uvijek primijeniti na eksponencijalnu funkciju, već samo u slučajevima kada baza teži jedinstvu. Da biste to učinili, prvo mentalno izračunajte granicu baze, a zatim izvucite zaključke. O svemu ovome će se govoriti u primjerima rješenja.
Primjeri rješenja
Pogledajmo primjere rješenja koristeći direktnu formulu i njene posljedice. Također ćemo analizirati slučajeve u kojima formula nije potrebna. Dovoljno je napisati samo gotov odgovor.
| Primjer 1 |
| Pronađite granicu $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Rješenje |
|
Zamijenimo beskonačnost u granicu i pogledajmo nesigurnost: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Nađimo granicu baze: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Imam razlog jednako jedan, što znači da je već moguće primijeniti drugu izvanrednu granicu. Da bismo to učinili, prilagodimo osnovu funkcije formuli oduzimanjem i dodavanjem jednog: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Pogledajmo drugi zaključak i zapišimo odgovor: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika! |
| Odgovori |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Primjer 4 |
| Riješite granicu $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Rješenje |
|
Pronalazimo granicu baze i vidimo da je $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, što znači da možemo primijeniti drugu izvanrednu granicu. Prema standardnom planu, dodajemo i oduzimamo jedan od osnove stepena: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Razlomak prilagođavamo formuli 2. note. limit: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Sada podesimo stepen. Potencija mora sadržavati razlomak jednak nazivniku baze $ \frac(3x^2-2)(6) $. Da biste to učinili, pomnožite i podijelite stepen s njim i nastavite rješavati: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Granica koja se nalazi u stepenu na $ e $ je jednaka: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Dakle, nastavljajući rješenje imamo: |
| Odgovori |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Hajde da ispitamo slučajeve u kojima je problem sličan drugoj izuzetnoj granici, ali se može rešiti bez nje.
U članku: “Druga izuzetna granica: primjeri rješenja” analizirana je formula, njene posljedice i dati uobičajeni tipovi problema na ovu temu.
Pronađite divne granice Teško je ne samo mnogim studentima prve i druge godine koji uče teoriju granica, već i nekim nastavnicima.
Formula za prvu izvanrednu granicu
Posljedice prve izvanredne granice
zapišimo to formulama
1. 2. 3. 4. Ali sami opšte formule izuzetna ograničenja nikome ne pomažu na ispitu ili testu. Poenta je da su pravi zadaci konstruisani tako da još uvek treba da dođete do gore napisanih formula. A većina studenata koji izostaju sa nastave, studiraju ovaj predmet u odsustvu ili imaju nastavnike koji ni sami ne razumiju uvijek ono što objašnjavaju, ne može da izračuna najelementarnije primjere do izvanrednih granica. Iz formula prve izvanredne granice vidimo da je uz njihovu pomoć moguće proučavati nesigurnosti tipa nula podijeljena nulom za izraze sa trigonometrijskim funkcijama. Razmotrimo prvo nekoliko primjera prve izvanredne granice, a zatim proučimo drugu izuzetnu granicu.
Primjer 1. Pronađite granicu funkcije sin(7*x)/(5*x)
Rješenje: Kao što vidite, funkcija ispod granice je blizu prve izvanredne granice, ali granica same funkcije definitivno nije jednaka jedinici. U ovakvim zadacima o granicama treba izabrati u nazivniku promenljivu sa istim koeficijentom koji se nalazi u varijabli ispod sinusa. U ovom slučaju, podijelite i pomnožite sa 7 
Nekima će se takav detalj činiti nepotrebnim, ali većini učenika kojima je teško razumjeti ograničenja, pomoći će im da bolje razumiju pravila i nauče teorijski materijal.
Također, ako postoji inverzni oblik funkcije, ovo je ujedno i prva divna granica. A sve zato što je divna granica jednaka jedan
Isto pravilo važi i za posledice 1. izuzetne granice. Stoga, ako vas pitaju: "Koja je prva izuzetna granica?" Trebali biste bez oklijevanja odgovoriti da je to jedinica.
Primjer 2. Pronađite granicu funkcije sin(6x)/tan(11x)
Rješenje: Da bismo razumjeli konačni rezultat, zapišimo funkciju u obrazac 
Da biste primijenili pravila izuzetne granice, pomnožite i podijelite faktorima
Zatim pišemo granicu proizvoda funkcija kroz proizvod granica 
Bez složene formule našli smo granicu caske trigonometrijske funkcije. Za asimilaciju jednostavne formule pokušajte smisliti i pronaći granicu na 2 i 4, formulu za posljedica 1 divne granice. Razmotrićemo složenije probleme.
Primjer 3: Izračunajte granicu (1-cos(x))/x^2
Rješenje: Prilikom provjere zamjenom, dobijamo nesigurnost 0/0. Mnogi ljudi ne znaju kako takav primjer svesti na jednu izuzetnu granicu. Ovdje biste trebali koristiti trigonometrijska formula 
U ovom slučaju, granica će se transformisati u jasan oblik 
Uspjeli smo svesti funkciju na kvadrat izvanredne granice.
Primjer 4. Pronađite granicu
Rješenje: Prilikom zamjene dobijamo poznatu osobinu 0/0. Međutim, varijabla teži pi, a ne nuli. Stoga, da bismo primijenili prvo značajno ograničenje, izvršit ćemo takvu promjenu varijable x tako da nova varijabla ide na nulu. Da bismo to učinili, nazivnik označavamo kao novu varijablu Pi-x=y 
Dakle, koristeći trigonometrijsku formulu datu u prethodnom zadatku, primjer je sveden na 1 izuzetnu granicu.
Primjer 5: Izračunajte ograničenje 
Rješenje: U početku nije jasno kako pojednostaviti ograničenja. Ali pošto postoji primjer, onda mora postojati i odgovor. Činjenica da varijabla ide u jedinicu daje, prilikom zamjene, obilježje oblika nula pomnoženog sa beskonačnošću, pa se tangenta mora zamijeniti pomoću formule 
Nakon toga dobijamo potrebnu nesigurnost 0/0. Zatim vršimo promjenu varijabli u granici i koristimo periodičnost kotangensa 
Posljednje zamjene nam dopuštaju da koristimo Korolar 1 izuzetnog ograničenja.
Druga izuzetna granica jednaka je eksponencijalnoj
Ovo je klasika kojoj stvarni problemi granice nije uvek lako dostići.
U proračunima će vam trebati ograničenja su posljedice druge izuzetne granice:
1. 
2. 
3. 
4.
Zahvaljujući drugoj izuzetnoj granici i njenim posljedicama, moguće je istražiti nesigurnosti kao što su nula podijeljena nulom, jedan na stepen beskonačnosti i beskonačnost podijeljena beskonačnošću, pa čak i u istom stepenu 
Počnimo da se upoznajemo jednostavni primjeri.
Primjer 6. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Direktna primjena 2. izuzetnog ograničenja neće raditi. Prvo, trebate transformirati eksponent tako da izgleda kao inverzno izrazu u zagradama 
Ovo je tehnika svođenja na 2. izuzetnu granicu i, u suštini, izvođenje 2. formule za posledicu granice.
Primjer 7. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Imamo zadatke za formulu 3 posljedice 2 divne granice. Zamjena nule daje singularnost oblika 0/0. Da bismo podigli granicu na pravilo, okrećemo imenilac tako da varijabla ima isti koeficijent kao u logaritmu 
Takođe je lako razumjeti i izvesti na ispitu. Poteškoće učenika u izračunavanju granica počinju sa sljedećim problemima.
Primjer 8. Izračunajte granicu funkcije[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Rješenje: Imamo singularitet tipa 1 na stepen beskonačnosti. Ako mi ne vjerujete, možete svugdje zamijeniti beskonačnost sa "X" i uvjeriti se u to. Da bismo konstruirali pravilo, podijelimo brojilac sa nazivnikom u zagradama; da bismo to učinili, prvo izvodimo manipulacije 
Zamijenimo izraz u granicu i pretvorimo ga u 2 divna granica 
Granica je jednaka eksponencijalnoj snazi 10. Konstante koje su termini sa promjenljivom, kako u zagradama tako iu stepenu, ne uvode nikakvo “vrijeme” - to treba imati na umu. A ako vas nastavnici pitaju: "Zašto ne pretvorite indikator?" (Za ovaj primjer u x-3), zatim recite: “Kada varijabla teži beskonačnosti, onda joj čak dodajte 100 ili oduzmite 1000, a granica će ostati ista kao što je bila!”
Postoji drugi način za izračunavanje ograničenja ovog tipa. O tome ćemo razgovarati u sljedećem zadatku.
Primjer 9. Pronađite granicu 
Rješenje: Hajde da sada izvadimo varijablu u brojniku i nazivniku i pretvorimo jednu osobinu u drugu. Da bismo dobili konačnu vrijednost, koristimo formulu Korolar 2 izvanredne granice 
Primjer 10. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Ne može svako pronaći dato ograničenje. Da biste podigli granicu na 2, zamislite da je sin (3x) varijabla i trebate okrenuti eksponent 
Dalje, zapisujemo indikator kao snagu na stepen 
Intermedijarni argumenti su opisani u zagradama. Kao rezultat korištenja prve i druge izvanredne granice, dobili smo eksponencijal u kocki.
Primjer 11. Izračunajte granicu funkcije sin(2*x)/ln(3*x+1)
Rješenje: Imamo nesigurnost oblika 0/0. Osim toga, vidimo da funkciju treba konvertirati da koristi oba divna ograničenja. Izvršimo prethodne matematičke transformacije 
Dalje, bez poteškoća, granica će uzeti vrijednost 
Ovako ćete se osjećati slobodni na zadacima, testovima, modulima ako naučite brzo ispisivati funkcije i svesti ih na prvu ili drugu divnu granicu. Ako vam je teško zapamtiti date metode za pronalaženje granica, uvijek možete naručiti test do naših granica.
Da biste to učinili, ispunite obrazac, navedite podatke i priložite datoteku s primjerima. Pomogli smo mnogim studentima - možemo pomoći i vama!