Stepeni s racionalnim eksponentima su primjeri njihovih svojstava. Potencija s racionalnim eksponentom

MBOU "Sidorskaya"

sveobuhvatne škole"

Izrada okvirnog plana otvorena lekcija

iz algebre u 11. razredu na temu:

Pripremljeno i sprovedeno

nastavnik matematike

Iskhakova E.F.

Okvir otvorenog časa iz algebre u 11. razredu.

Predmet : “Diploma s racionalnim eksponentom.”

Vrsta lekcije : Učenje novog gradiva

Ciljevi lekcije:

Upoznati studente sa pojmom stepena sa racionalnim eksponentom i njegovim osnovnim svojstvima, na osnovu prethodno proučenog materijala (stepen sa celobrojnim eksponentom).

Razviti računske vještine i sposobnost pretvaranja i poređenja brojeva s racionalnim eksponentima.

Razvijati matematičku pismenost i matematičko interesovanje kod učenika.

Oprema : Kartice sa zadacima, prezentacija učenika po stepenu sa celobrojnim indikatorom, prezentacija nastavnika po stepenu sa racionalnim indikatorom, laptop, multimedijalni projektor, platno.

Tokom nastave:

Organiziranje vremena.

Provjera savladanosti obrađene teme pomoću pojedinačnih kartica zadataka.

Zadatak br. 1.

=2;

B) =x + 5;

Riješite sistem iracionalne jednačine: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Zadatak br. 2.

Riješite iracionalnu jednačinu: = - 3;

B) = x - 2;

Riješite sistem iracionalnih jednačina: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prenesite temu i ciljeve lekcije.

Tema naše današnje lekcije je „ Potencija s racionalnim eksponentom».

Objašnjenje novog gradiva na primjeru prethodno proučenog materijala.

Već ste upoznati sa konceptom stepena sa celobrojnim eksponentom. Ko će mi pomoći da ih zapamtim?

Ponavljanje pomoću prezentacije" Stepen sa cjelobrojnim eksponentom».

Za bilo koje brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Danas ćemo generalizovati pojam stepena broja i dati značenje izrazima koji imaju razlomak eksponenta. Hajde da se predstavimo definicija stepeni sa racionalnim eksponentom (Prezentacija „Stepen sa racionalnim eksponentom“):

Moć a > 0 sa racionalnim eksponentom r = , Gdje m je cijeli broj i n - prirodno ( n > 1), pozvao broj m .

Dakle, po definiciji to dobijamo = m .

Pokušajmo primijeniti ovu definiciju kada izvršavamo zadatak.

PRIMJER br. 1

Predstavljam izraz kao korijen broja:

A) B) IN) .

Pokušajmo sada ovu definiciju primijeniti obrnuto

II Izraziti izraz kao stepen sa racionalnim eksponentom:

A) 2 B) IN) 5 .

Snaga 0 je definirana samo za pozitivne eksponente.

0 r= 0 za bilo koji r> 0.

Koristeći ovu definiciju, Kuće završit ćete #428 i #429.

Hajde sada da pokažemo da su definicijom stepena sa racionalnim eksponentom koja je gore formulisana, sačuvana osnovna svojstva stepeni, koja važe za sve eksponente.

Za bilo koje racionalne brojeve r i s i bilo koje pozitivne a i b vrijede sljedeće jednakosti:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRIMJER: *

20 . a r: a s =a r-s ;

PRIMJER: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

PRIMJER: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRIMJER: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRIMJER korištenja nekoliko svojstava odjednom: * : .

Minut fizičkog vaspitanja.

Stavili smo olovke na sto, ispravili leđa, a sada pružamo ruku, želimo da dodirnemo tablu. Sada smo ga podigli i nagnuti desno, lijevo, naprijed, nazad. Pokazao si mi svoje ruke, a sad mi pokaži kako tvoji prsti mogu da plešu.

Rad na materijalu

Napomenimo još dva svojstva potencija sa racionalnim eksponentima:

6 0 . Neka r je racionalan broj i 0< a < b . Тогда

a r < b r at r> 0,

a r < b r at r< 0.

7 0 . Za sve racionalne brojever I s od nejednakosti r> s sledi to

a r>a r za a > 1,

a r < а r u 0< а < 1.

PRIMJER: Uporedite brojeve:

I ; 2 300 i 3 200 .

Sažetak lekcije:

Danas smo se u lekciji prisjetili svojstava stepena s cijelim eksponentom, naučili definiciju i osnovna svojstva stepena s racionalnim eksponentom i razmotrili primjenu ovog teorijski materijal u praksi prilikom izvođenja vežbi. Skrećem vašu pažnju na činjenicu da je tema „Izvodnik sa racionalnim eksponentom“ obavezna u Zadaci objedinjenog državnog ispita. Prilikom pripreme domaće zadaće ( br. 428 i br. 429

Nakon što je određena snaga broja, logično je govoriti o tome svojstva stepena. U ovom članku ćemo dati osnovna svojstva stepena broja, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo pružiti dokaze svih svojstava stupnjeva, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva koriste pri rješavanju primjera.

Navigacija po stranici.

Svojstva stepeni sa prirodnim eksponentima

Po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, stepen a n je proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a. Na osnovu ove definicije, a također i korištenjem svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stepena c prirodni pokazatelj :

glavno svojstvo stepena a m ·a n =a m+n, njegova generalizacija;
svojstvo količnika sa identičnim bazama a m:a n =a m−n ;
svojstvo snage proizvoda (a·b) n =a n ·b n , njegovo proširenje;
svojstvo količnika prirodnog stepena (a:b) n =a n:b n ;
podizanje stepena na stepen (a m) n =a m·n, njegova generalizacija (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
poređenje stepena sa nulom:
- ako je a>0, onda je a n>0 za bilo koji prirodni broj n;
- ako je a=0, onda je a n =0;
- ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
ako su a i b pozitivni brojevi i a
ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n , tada na 0 0 nejednakost a m >a n je tačna.

Odmah da primetimo da su sve pisane jednakosti identičan pod određenim uslovima, mogu se zameniti i desni i levi deo. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m ·a n =a m+n sa pojednostavljivanje izrazačesto se koristi u obliku a m+n =a m ·a n .

Sada pogledajmo svaki od njih detaljno.

Počnimo sa svojstvom proizvoda dva stepena sa istim bazama, koje se zove glavno svojstvo diplome: za bilo koji realan broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, jednakost a m ·a n =a m+n je tačna.

Hajde da dokažemo glavno svojstvo stepena. Po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, proizvod potencija sa istim osnovama oblika a m ·a n može se zapisati kao proizvod. Zbog svojstava množenja, rezultirajući izraz se može zapisati kao , a ovaj proizvod je stepen broja a sa prirodnim eksponentom m+n, odnosno a m+n. Ovim je dokaz završen.

Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stepena. Uzmimo stepene sa istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, koristeći osnovno svojstvo stepeni možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Provjerimo njegovu ispravnost izračunavanjem vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5 . Izvođenje eksponencijalnosti, imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, pošto su dobijene jednake vrednosti, onda je jednakost 2 2 ·2 3 =2 5 tačna i potvrđuje glavno svojstvo stepena.

Osnovno svojstvo stepena, zasnovano na svojstvima množenja, može se generalizovati na proizvod tri ili više stepena sa istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, …, n k vrijedi sljedeća jednakost: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Na primjer, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Možemo prijeći na sljedeće svojstvo potencija sa prirodnim eksponentom – svojstvo količnika sa istim bazama: za bilo koji realni broj različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uslov m>n, jednakost a m:a n =a m−n je tačna.

Prije nego što iznesemo dokaz ovog svojstva, razmotrimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uslov a≠0 je neophodan da bi se izbeglo deljenje sa nulom, pošto je 0 n =0, a kada smo se upoznali sa deljenjem, složili smo se da ne možemo da delimo nulom. Uslov m>n se uvodi tako da ne idemo dalje od prirodnih eksponenata. Zaista, za m>n eksponent a m−n je prirodni broj, inače će biti ili nula (što se dešava kada je m−n) ili negativan broj (što se dešava kada m
Dokaz. Glavno svojstvo razlomka nam omogućava da zapišemo jednakost a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz rezultirajuće jednakosti a m−n ·a n =a m i slijedi da je a m−n količnik potencija a m i a n . Ovo dokazuje svojstvo količnika sa identičnim bazama.

Dajemo primjer. Uzmimo dva stepena sa istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, jednakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odgovara razmatranom svojstvu stepena.

Sada razmotrimo svojstvo snage proizvoda: prirodni stepen n proizvoda bilo koja dva realna broja a i b jednak je proizvodu potencija a n i b n , odnosno (a·b) n =a n ·b n .

Zaista, po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom imamo . Na osnovu svojstava množenja, posljednji proizvod se može prepisati kao , što je jednako a n · b n .

Evo primjera: .

Ovo svojstvo se proteže na moć proizvoda tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stepena n proizvoda k faktora zapisuje se kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Radi jasnoće, prikazat ćemo ovo svojstvo na primjeru. Za proizvod tri faktora na stepen 7 imamo .

Sljedeće svojstvo je svojstvo količnika u naturi: količnik realnih brojeva a i b, b≠0 prirodnog stepena n jednak je količniku potencija a n i b n, odnosno (a:b) n =a n:b n.

Dokaz se može izvesti pomoću prethodnog svojstva. Dakle (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a iz jednakosti (a:b) n ·b n =a n slijedi da je (a:b) n količnik a n podijeljeno sa b n .

Zapišimo ovo svojstvo koristeći specifične brojeve kao primjer: .

Hajde da to izgovorimo svojstvo podizanja moći na stepen: za bilo koji realan broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, stepen a m na stepen n jednak je stepenu broja a sa eksponentom m·n, odnosno (a m) n =a m·n.

Na primjer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dokaz svojstva stepena stepena je sledeći lanac jednakosti: .

Svojstvo koje se razmatra može se proširiti od stepena do stepena, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s, jednakost . Radi veće jasnoće, evo primjera s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ostaje da se zadržimo na svojstvima poređenja stupnjeva s prirodnim eksponentom.

Počnimo s dokazivanjem svojstva poređenja nule i stepena s prirodnim eksponentom.

Prvo, dokažimo da je a n >0 za bilo koje a>0.

Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što slijedi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja sugeriraju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A snaga broja a sa prirodnim eksponentom n, po definiciji, je proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovi argumenti nam omogućavaju da tvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stepen a n pozitivan broj. Zbog dokazanog svojstva 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 i .

Sasvim je očigledno da je za bilo koji prirodan broj n sa a=0 stepen a n nula. Zaista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0.

Pređimo na negativne osnove stepena.

Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga sa 2·m, gdje je m prirodan broj. Onda . Za svaki od proizvoda oblika a·a jednak je proizvodu modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će i proizvod biti pozitivan i stepen a 2·m. Navedimo primjere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada . Svi proizvodi a·a su pozitivni brojevi, proizvod ovih pozitivnih brojeva je također pozitivan, a njegovo množenje s preostalim negativan broj a rezultira negativnim brojem. Zbog ove osobine (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Pređimo na svojstvo poređenja stepena sa istim prirodnim eksponentima, koje ima sledeću formulaciju: od dva stepena sa istim prirodnim eksponentima, n je manje od one čija je baza manja, a veća je ona čija je baza veća . Dokažimo to.

Nejednakost a n svojstva nejednakosti takođe je tačna dokaziva nejednakost oblika a n (2.2) 7 i .

Ostaje da se dokaže posljednja od navedenih svojstava potencija sa prirodnim eksponentima. Hajde da to formulišemo. Od dva stepena sa prirodnim eksponentima i identičnim pozitivnim bazama manjim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent manji; a od dva stepena sa prirodnim eksponentima i identičnim bazama većim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent veći. Prijeđimo na dokaz ovog svojstva.

Dokažimo da je za m>n i 0 0 zbog početnog uslova m>n, što znači da na 0
Ostaje dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da je za m>n i a>1 a m >a n tačno. Razlika a m −a n nakon uzimanja n iz zagrada ima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj proizvod je pozitivan, jer je za a>1 stepen a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 pozitivan broj, jer je m−n>0 zbog početnog uslova, a za a>1 stepen a m−n je veće od jedan. Posljedično, a m −a n >0 i a m >a n , što je trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustruje nejednakost 3 7 >3 2.

Svojstva stepena sa celobrojnim eksponentima
Kako su pozitivni cijeli brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s pozitivnim cijelim eksponentima tačno poklapaju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom pasusu.

Definisali smo stepen sa celobrojnim negativnim eksponentom, kao i stepen sa nultim eksponentom, na način da sva svojstva stepeni sa prirodnim eksponentima, izražena jednakostima, ostaju važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze potencija različite od nule.

Dakle, za sve realne i različite brojeve a i b, kao i za bilo koje cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće: svojstva stepena sa celobrojnim eksponentima:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n ;

ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b−n ;

ako su m i n cijeli brojevi, i m>n , tada na 0 1 vrijedi nejednakost a m >a n.

Kada je a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo zapisana svojstva vrijede i za slučajeve kada su a=0 i brojevi m i n pozitivni cijeli brojevi.

Dokazivanje svakog od ovih svojstava nije teško, za to je dovoljno koristiti definicije stupnjeva s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva operacija s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo potenciranja vrijedi i za pozitivne i za nepozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, morate pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, onda su jednakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hajde da to uradimo.

Za pozitivne p i q, jednakost (a p) q =a p·q je dokazana u prethodnom paragrafu. Ako je p=0, onda imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, odakle je (a 0) q =a 0·q. Slično, ako je q=0, onda je (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p·0. Ako su i p=0 i q=0, tada je (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0·0 =a 0 =1, odakle je (a 0) 0 =a 0·0.

Sada dokazujemo da je (a −p) q =a (−p)·q . Prema definiciji stepena s negativnim cijelim eksponentom, onda . Po svojstvu količnika snaga koje imamo . Budući da je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada . Poslednji izraz, po definiciji, je stepen oblika a −(p·q), koji se, zbog pravila množenja, može zapisati kao (−p)·q.

Isto tako .

I .

Koristeći isti princip, možete dokazati sva ostala svojstva stepena sa cjelobrojnim eksponentom, zapisanim u obliku jednakosti.

U pretposljednjem od zabilježenih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n, koja vrijedi za svaki negativan cijeli broj −n i bilo koje pozitivne a i b za koje je zadovoljen uvjet a . Pošto po uslovu a 0 . Proizvod a n · b n je također pozitivan kao proizvod pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je rezultujući razlomak pozitivan kao količnik pozitivnih brojeva b n −a n i a n ·b n . Dakle, odakle je a −n >b −n, što je trebalo dokazati.

Posljednje svojstvo potencija s cijelim eksponentima dokazuje se na isti način kao i slično svojstvo potencija s prirodnim eksponentima.

Svojstva potencija sa racionalnim eksponentima

Definisali smo stepen sa razlomačnim eksponentom tako što smo proširili svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, stupnjevi s razlomačnim eksponentima imaju ista svojstva kao i potenci sa cjelobrojnim eksponentima. naime:

Dokaz svojstava stepena sa razlomačnim eksponentom zasniva se na definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom i na svojstvima stepena sa celobrojnim eksponentom. Hajde da pružimo dokaze.

Po definiciji snage s fractional eksponent i , Zatim . Svojstva aritmetičkog korijena nam omogućavaju da zapišemo sljedeće jednakosti. Dalje, koristeći svojstvo stepena sa celobrojnim eksponentom, dobijamo , iz čega, po definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom, imamo , a indikator dobijenog stepena može se transformisati na sljedeći način: . Ovim je dokaz završen.

Drugo svojstvo potencija s razlomcima eksponenta dokazuje se na apsolutno sličan način:

Preostale jednakosti se dokazuju korištenjem sličnih principa:

Pređimo na dokazivanje sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b, a b p . Zapišimo racionalni broj p kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uslovi str<0 и p>0 u ovom slučaju uslovi m<0 и m>0 prema tome. Za m>0 i a
Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, to jest, i a p >b p .

Ostaje dokazati posljednju od navedenih svojstava. Dokažimo da je za racionalne brojeve p i q p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q . Racionalne brojeve p i q uvijek možemo svesti na zajednički nazivnik, čak i ako dobijemo obične razlomke i , gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n prirodan broj. U ovom slučaju, uslov p>q će odgovarati uslovu m 1 >m 2, koji sledi iz. Zatim, svojstvom poređenja stepena sa istim bazama i prirodnim eksponentima na 0 1 – nejednakost a m 1 >a m 2 . Ove nejednakosti u svojstvima korijena mogu se u skladu s tim prepisati kao I . A definicija stepena sa racionalnim eksponentom omogućava nam da pređemo na nejednakosti i, shodno tome. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0 0 – nejednakost a p >a q .

Svojstva potencija sa iracionalnim eksponentima

Iz načina na koji je definisan stepen sa iracionalnim eksponentom možemo zaključiti da on ima sva svojstva stepeni sa racionalnim eksponentima. Dakle, za bilo koje a>0 , b>0 i iracionalni brojevi p i q su kako slijedi svojstva stepena sa iracionalnim eksponentima:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q ;

za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 nejednakost a p b p ;

za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q .

Iz ovoga možemo zaključiti da potencije sa bilo kojim realnim eksponentima p i q za a>0 imaju ista svojstva.

Bibliografija.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne institucije.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne institucije.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne institucije.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne institucije.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Od cjelobrojnih eksponenata broja a naslućuje se prijelaz na racionalne eksponente. U nastavku ćemo definisati stepen sa racionalnim eksponentom, a to ćemo učiniti na način da se sačuvaju sva svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom. Ovo je neophodno jer su celi brojevi deo racionalnih brojeva.

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih brojeva i razlomaka, a svaki razlomak se može predstaviti kao pozitivan ili negativan običan razlomak. U prethodnom pasusu smo definisali stepen sa celobrojnim eksponentom, stoga, da bismo završili definiciju stepena sa racionalnim eksponentom, moramo dati značenje stepenu broja a sa frakcionim indikatorom m/n, Gdje m je cijeli broj i n- prirodno. Hajde da to uradimo.

Razmotrimo stepen sa frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo snaga-power ostalo valjano, jednakost mora vrijediti . Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo odredili n-ti korijen stepena, onda je logično prihvatiti, pod uslovom da je dat dat m, n I a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da su za sva svojstva stepena sa cijelim eksponentom valjana (ovo je urađeno u odeljku svojstva stepena sa racionalnim eksponentom).

Gornje rezonovanje nam omogućava da napravimo sljedeće zaključak: ako su dati podaci m, n I a izraz ima smisla, onda snaga broja a sa frakcionim indikatorom m/n zove korijen n th stepen of a do stepena m.

Ova izjava nas približava definiciji stepena sa razlomkom eksponenta. Ostaje samo opisati u čemu m, n I a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima nametnutim na m, n I a Postoje dva glavna pristupa.

1. Najlakši način je nametnuti ograničenje a, prihvativši a≥0 za pozitivno m I a>0 za negativan m(od kada m≤0 stepen 0 m nije utvrđeno). Tada dobijamo sljedeću definiciju stepena s razlomkom eksponenta.

Definicija.

Moć pozitivnog broja a sa frakcionim indikatorom m/n , Gdje m- cijeli, i n– prirodan broj, koji se naziva korijen n-ti od broja a do stepena m, to je, .

Frakciona snaga nule je takođe određena uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule s razlomanim pozitivnim eksponentom m/n , Gdje m je pozitivan cijeli broj, i n– prirodni broj, definisan kao .
Kada stepen nije određen, odnosno stepen broja nula sa razlomačnim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da kod ove definicije stepena sa razlomkom eksponenta postoji jedno upozorenje: za neke negativne a i neke m I n izraz ima smisla, ali mi smo ove slučajeve odbacili uvođenjem uslova a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla ili , a gore navedena definicija nas tjera da kažemo da potencira s razlomkom eksponenta oblika nema smisla, jer baza ne bi trebala biti negativna.

2. Drugi pristup određivanju stepena sa razlomačnim eksponentom m/n sastoji se u odvojenom razmatranju parnih i neparnih eksponenta korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: snagu broja a, čiji je eksponent svodljivi obični razlomak, smatra se stepenom broja a, čiji je indikator odgovarajući nesvodljivi razlomak (važnost ovog uslova će biti objašnjena u nastavku). Odnosno, ako m/n je nesvodljiv razlomak, tada za bilo koji prirodan broj k stepen se preliminarno zamjenjuje sa .

Za čak n i pozitivno m izraz ima smisla za svaki nenegativni a(paran korijen negativnog broja nema značenje), za negativan m broj a mora i dalje biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja sa nulom). I za čudno n i pozitivno m broj a može biti bilo koji (neparan korijen je definiran za bilo koji realan broj) i za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja sa nulom).

Gornje rezonovanje nas dovodi do ove definicije stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka m/n– nesmanjivi razlomak, m- cijeli, i n- prirodni broj. Za bilo koji razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje sa . Stepen of a sa nesmanjivim razlomanim eksponentom m/n- to je za

o bilo koji realan broj a, potpuno pozitivno m i čudno prirodno n, Na primjer, ;

o bilo koji realni broj različit od nule a, negativni cijeli broj m i čudno n, Na primjer, ;

o bilo koji nenegativan broj a, potpuno pozitivno m i čak n, Na primjer, ;

o bilo kakvo pozitivno a, negativni cijeli broj m i čak n, Na primjer, ;

o u drugim slučajevima, stepen sa frakcionim indikatorom nije određen, kao što na primer nisu definisani stepeni .a unosu ne pridajemo nikakvo značenje; definiramo snagu broja nula za pozitivne razlomke m/n Kako , za negativne frakcijske eksponente snaga broja nula nije određena.

U zaključku ovog paragrafa, obratimo pažnju na činjenicu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, Na primjer, . Da biste izračunali vrijednosti izraza ovog tipa, trebate napisati eksponent u obliku običnog razlomka, a zatim koristiti definiciju eksponenta s razlomkom. Za gornje primjere imamo I

Potencija s racionalnim eksponentom

Khasyanova T.G.,

nastavnik matematike

Prezentirani materijal će biti od koristi nastavnicima matematike prilikom proučavanja teme „Eksponent s racionalnim eksponentom“.

Svrha predstavljenog materijala: otkriti moje iskustvo vođenja lekcije na temu „Eksponent s racionalnim eksponentom“ program rada disciplina "Matematika".

Metodologija izvođenja lekcije odgovara njenoj vrsti - lekcija u proučavanju i početnoj konsolidaciji novog znanja. Osnovna znanja i vještine su ažurirana na osnovu prethodno stečenog iskustva; primarno pamćenje, konsolidacija i primjena novih informacija. Konsolidacija i primena novog materijala odvijala se u vidu rešavanja zadataka koje sam testirao različite složenosti, dajući pozitivan rezultat savladavanje teme.

Na početku časa učenicima sam postavio sljedeće ciljeve: obrazovni, razvojni, obrazovni. Tokom lekcije sam koristio razne načine aktivnosti: frontalni, individualni, par, samostalni, test. Zadaci su bili diferencirani i omogućili da se u svakoj fazi časa utvrdi stepen usvojenosti znanja. Obim i složenost zadataka odgovaraju starosne karakteristike studenti. iz mog iskustva - zadaća, slično problemima koji se rješavaju u učionici, omogućava vam da pouzdano učvrstite stečena znanja i vještine. Na kraju časa izvršena je refleksija i ocjenjivan rad pojedinih učenika.

Ciljevi su postignuti. Studenti su proučavali pojam i svojstva stepena sa racionalnim eksponentom i naučili da koriste ta svojstva prilikom rješavanja praktičnih zadataka. Iza samostalan rad Ocjene će biti objavljene na sljedećem času.

Vjerujem da metodologiju koju koristim u nastavi matematike mogu koristiti nastavnici matematike.

Tema lekcije: Moć s racionalnim eksponentom

Svrha lekcije:

Identifikacija stepena ovladavanja kompleksom znanja i vještina učenika i na osnovu toga primjena određene odluke poboljšati obrazovni proces.

Ciljevi lekcije:

edukativni: formirati kod učenika nova znanja o osnovnim pojmovima, pravilima, zakonima za određivanje stepena sa racionalnim pokazateljem, sposobnost samostalne primene znanja u standardnim uslovima, u modifikovanim i nestandardnim uslovima;

razvijanje: razmišljajte logično i implementirajte Kreativne vještine;

podizanje: razviti interesovanje za matematiku, dopuniti svoj vokabular novim terminima i dobiti dodatne informacije o svetu oko sebe. Negujte strpljenje, upornost i sposobnost prevazilaženja poteškoća.

Organiziranje vremena
Ažuriranje referentnog znanja

Prilikom množenja stepena sa istim bazama, eksponenti se sabiraju, ali baza ostaje ista:

Na primjer,

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istim bazama, eksponenti stupnjeva se oduzimaju, ali baza ostaje ista:

Na primjer,

3. Kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe, ali baza ostaje ista:

Na primjer,

4. Stepen proizvoda jednak je proizvodu stupnjeva faktora:

Na primjer,

5. Stepen količnika jednak je količniku stupnjeva dividende i djelitelja:

Na primjer,

Vježbe sa rješenjima

Pronađite značenje izraza:

Rješenje:

U ovom slučaju, nijedno od svojstava stepena sa prirodnim eksponentom ne može se eksplicitno primeniti, pošto svi stepeni imaju različite baze. Zapišimo neke moći u drugačijem obliku:

(stepen proizvoda je jednak proizvodu stepeni faktora);

(pri množenju stepena sa istim bazama, eksponenti se sabiraju, ali baza ostaje ista; kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe, ali baza ostaje ista).

tada dobijamo:

IN u ovom primjeru Korištena su prva četiri svojstva stepena sa prirodnim eksponentom.

Aritmetički kvadratni korijen
je nenegativan broj čiji je kvadrat jednaka,
. At
- izraz
nije definisano, jer ne postoji realan broj čiji je kvadrat jednak negativnom brojua.

Matematički diktat(8-10 min.)

Opcija

II. Opcija

1. Pronađite vrijednost izraza

A)

b)

1. Pronađite vrijednost izraza

A)

b)

2.Izračunaj

A)

b)

IN)

2.Izračunaj

A)

b)

V)

Samotestiranje(na dasci za revere):

Matrica odgovora:

№ opcija/zadatak

Problem 1

Problem 2

Opcija 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Opcija 2

a) 1.5

b)

A)

b)

u 4

II Formiranje novih znanja

Hajde da razmotrimo koje značenje izraz ima, gde - pozitivan broj– razlomak i m-cijeli broj, n-prirodni (n›1)

Definicija: stepen a›0 sa racionalnim eksponentomr = , m-cijela, n-prirodno ( n›1) broj je pozvan.

dakle:

Na primjer:

napomene:

1. Za bilo koji pozitivan a i svaki racionalni r broj pozitivno.

2. Kada
racionalna snaga brojaanije utvrđeno.

Izrazi poput
nema smisla.

3.Ako razlomak pozitivan broj je
.

Ako razlomak onda negativan broj -nema smisla.

Na primjer: - nema smisla.

Razmotrimo svojstva stepena sa racionalnim eksponentom.

Neka je a >0, b>0; r, s - bilo koji racionalni brojevi. Tada stepen sa bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidacija. Formiranje novih vještina i sposobnosti.

Kartice sa zadacima rade u malim grupama u obliku testa.

Video lekcija “Eksponent s racionalnim eksponentom” sadrži vizualni prikaz edukativni materijal održati lekciju na ovu temu. Video lekcija sadrži informacije o pojmu stepena s racionalnim eksponentom, svojstvima takvih stupnjeva, kao i primjere koji opisuju upotrebu obrazovnog materijala za rješavanje praktičnih problema. Svrha ove video lekcije je jasno i jasno predstaviti nastavni materijal, olakšati njegovo razvijanje i pamćenje od strane učenika, te razviti sposobnost rješavanja problema koristeći naučene pojmove.

Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnog izvođenja transformacija i proračuna, mogućnost korištenja efekata animacije za poboljšanje efikasnosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućava zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga da obavlja individualni rad.

Video lekcija počinje uvođenjem teme. Povezivanje studija nova tema sa prethodno proučavanim materijalom, predlaže se zapamtiti da je n √a inače označeno sa 1/n za prirodno n i pozitivno a. Ova prezentacija n-root je prikazan na ekranu. Zatim predlažemo da razmotrimo šta znači izraz a m/n, u kojem je a pozitivan broj, a m/n razlomak. Data je definicija stepena sa racionalnim eksponentom kao m/n = n √a m, istaknuta u okviru. Primjećuje se da n može biti prirodan broj, a m može biti cijeli broj.

Nakon definiranja stepena sa racionalnim eksponentom, njegovo značenje se otkriva kroz primjere: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Također je prikazan primjer u kojem stepen predstavljen sa decimalni, se pretvara u obična frakcija predstaviti kao korijen: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer s negativnim eksponentom: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Posebnost posebnog slučaja kada je osnova stepena nula je naznačena posebno. Primjećuje se da ovaj stepen ima smisla samo s pozitivnim razlomkom eksponenta. U ovom slučaju, njegova vrijednost je nula: 0 m/n =0.

Napominje se još jedna karakteristika stepena sa racionalnim eksponentom - da se stepen sa razlomačnim eksponentom ne može razmatrati sa delimičnim eksponentom. Navedeni su primjeri pogrešne notacije stupnjeva: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Sljedeće u video lekciji raspravljamo o svojstvima stepena s racionalnim eksponentom. Primećuje se da će svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom važiti i za stepen sa racionalnim eksponentom. Predlaže se podsjetiti na listu svojstava koja vrijede iu ovom slučaju:

Kada se množe stepeni sa istim bazama, njihovi eksponenti se sabiraju: a p a q =a p+q.

Podjela stupnjeva sa istim bazama svodi se na stepen sa datom bazom i razlikom u eksponentima: a p:a q =a p-q.

Ako stepen podignemo na određeni stepen, onda ćemo na kraju dobiti stepen sa datom bazom i proizvodom eksponenata: (a p) q =a pq.

Sva ova svojstva vrijede za potencije sa racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva prilikom otvaranja zagrada ostaju istinite:

(ab) p =a p b p - podizanje na neki stepen sa racionalnim eksponentom proizvod dva broja se svodi na proizvod brojeva, od kojih je svaki podignut na dati stepen.

(a/b) p =a p /b p - podizanje razlomka na stepen sa racionalnim eksponentom svodi se na razlomak čiji su brojnik i imenilac podignuti na dati stepen.

Video tutorijal govori o rješavanju primjera koji koriste razmatrana svojstva potencija s racionalnim eksponentom. Prvi primjer traži od vas da pronađete vrijednost izraza koji sadrži varijable x u frakcijskom stepenu: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava snaga može se vrlo jednostavno riješiti. Rješavanje problema počinje pojednostavljivanjem izraza, koji koristi pravilo dizanja stepena sa racionalnim eksponentom na stepen, kao i množenjem stepena sa istom osnovom. Nakon zamjene postavljena vrijednost x=8 u pojednostavljenom izrazu x 1/3 +48, lako je dobiti vrijednost - 50.

U drugom primjeru, trebate smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stepena, izdvajamo iz razlike faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojiocu i nazivniku, a koristeći formulu za razliku kvadrata, brojilac se faktorizuje, što daje dalje redukcije identičnih faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.

Video lekcija “Eksponent s racionalnim eksponentom” može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu lekcije. Ovaj priručnik također sadrži dovoljno potpune informacije da bi student mogao samostalno učiti. Materijal može biti koristan i za učenje na daljinu.