Mješoviti razlomci, baš kao i prosti razlomci, mogu se oduzimati. Da biste oduzeli mješovite brojeve razlomaka, morate znati nekoliko pravila oduzimanja. Proučimo ova pravila na primjerima.
Oduzimanje mješovitih razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Razmotrimo primjer s uvjetom da su cijeli broj koji se smanjuje i razlomak veći od cijelog broja i razlomka koji se oduzimaju, respektivno. U takvim uslovima, oduzimanje se dešava odvojeno. Od cijelog dijela oduzimamo cijeli broj, a razlomak od razlomaka.
Pogledajmo primjer:
Oduzmite mješovite razlomke \(5\frac(3)(7)\) i \(1\frac(1)(7)\).
\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)
Tačnost oduzimanja se provjerava sabiranjem. Provjerimo oduzimanje:
\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)
Razmotrimo primjer s uvjetom kada je razlomački dio minuenda manji od odgovarajućeg razlomka oduzetog. U ovom slučaju, posuđujemo jednu od cjeline na kraju.
Pogledajmo primjer:
Oduzmite mješovite razlomke \(6\frac(1)(4)\) i \(3\frac(3)(4)\).
Minuend \(6\frac(1)(4)\) ima manji razlomni dio od razlomnog dijela oduzetog \(3\frac(3)(4)\). To jest, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)
Sljedeći primjer:
\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)
Oduzimanje mješovitog razlomka od cijelog broja.
Primjer: \(3-1\frac(2)(5)\)
Minuend 3 nema razlomak, tako da ne možemo odmah oduzeti. Pozajmimo jedan od cijelog dijela 3, a zatim izvršimo oduzimanje. Jedinicu ćemo napisati kao \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)
\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)
Oduzimanje mješovitih razlomaka sa različitim nazivnicima.
Razmotrimo primjer uz uvjet da razlomci minusa i oduzetog imaju različite nazivnike. Morate ga dovesti do zajedničkog nazivnika, a zatim izvršiti oduzimanje.
Oduzmite dva mješovita razlomka s različitim nazivnicima \(2\frac(2)(3)\) i \(1\frac(1)(4)\).
Zajednički imenitelj će biti broj 12.
\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \puta \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)
Povezana pitanja:
Kako oduzeti mješovite razlomke? Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: morate odlučiti kojem tipu izraz pripada i primijeniti algoritam rješenja na osnovu tipa izraza. Od cijelog broja oduzimamo cijeli broj, od razlomka oduzimamo razlomak.
Kako od celog broja oduzeti razlomak? Kako od celog broja oduzeti razlomak?
Odgovor: trebate uzeti jedinicu iz cijelog broja i zapisati ovu jedinicu kao razlomak
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),
a zatim oduzmite cjelinu od cjeline, oduzmite razlomak od razlomka. primjer:
\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)
Primjer #1:
Oduzmite pravi razlomak od jedan: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)
Rješenje:
a) Zamislimo jedan kao razlomak sa nazivnikom 33. Dobijamo \(1 = \frac(33)(33)\)
\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)
b) Zamislimo jedan kao razlomak sa nazivnikom 7. Dobijamo \(1 = \frac(7)(7)\)
\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)
Primjer #2:
Oduzmite mješoviti razlomak od cijelog broja: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)
Rješenje:
a) Pozajmimo 21 jedinicu iz cijelog broja i zapišemo ga ovako \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)
\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)
b) Uzmimo jedan od cijelog broja 2 i zapišimo ga ovako \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)
\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)
Primjer #3:
Oduzmite cijeli broj od mješovitog razlomka: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)
a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)
b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)
Primjer #4:
Oduzmite pravilan razlomak od mješovitog razlomka: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)
\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)
Primjer #5:
Izračunajte \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)
\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \puta \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(crvena) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(poravnati)\)
Jedna od najvažnijih nauka, čija se primjena može vidjeti u disciplinama kao što su hemija, fizika, pa čak i biologija, je matematika. Proučavanje ove nauke omogućava vam da razvijete neke mentalne kvalitete i poboljšate svoju sposobnost koncentracije. Jedna od tema koje zaslužuju posebnu pažnju u predmetu matematike je sabiranje i oduzimanje razlomaka. Mnogim studentima je teško učiti. Možda će vam naš članak pomoći da bolje razumijete ovu temu.
Kako oduzeti razlomke čiji su imenioci isti
Razlomci su isti brojevi s kojima možete izvoditi razne operacije. Njihova razlika od celih brojeva leži u prisustvu nazivnika. Zato, kada izvodite operacije s razlomcima, morate proučiti neke od njihovih karakteristika i pravila. Najjednostavniji slučaj je oduzimanje običnih razlomaka čiji su imenioci predstavljeni kao isti broj. Izvođenje ove radnje neće biti teško ako znate jednostavno pravilo:
- Da bi se od jednog razlomka oduzela sekunda, potrebno je brojnik oduzetog razlomka oduzeti od brojnika razlomka koji se smanjuje. Ovaj broj upisujemo u brojnik razlike, a imenilac ostavljamo isti: k/m - b/m = (k-b)/m.
Primjeri oduzimanja razlomaka čiji su nazivnici isti
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Od brojila razlomka “7” oduzimamo brojilac razlomka “3” koji treba oduzeti, dobijamo “4”. Ovaj broj upisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik stavljamo isti broj koji je bio u nazivnicima prvog i drugog razlomka - „19“.
Slika ispod prikazuje još nekoliko sličnih primjera.
Razmotrimo složeniji primjer gdje se razlomci sa sličnim nazivnicima oduzimaju:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Od brojnika razlomka "29" smanjuje se tako što se naizmjence oduzimaju brojnici svih narednih razlomaka - "3", "8", "2", "7". Kao rezultat, dobijamo rezultat "9", koji zapisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik zapisujemo broj koji je u nazivnicima svih ovih razlomaka - "47".
Sabiranje razlomaka koji imaju isti nazivnik
Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka slijedi isti princip.
- Da biste sabrali razlomke čiji su imenioci isti, potrebno je sabrati brojioce. Dobijeni broj je brojnik zbira, a imenilac će ostati isti: k/m + b/m = (k + b)/m.
Pogledajmo kako ovo izgleda na primjeru:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Brojiniku prvog člana razlomka - “1” - dodajte brojnik drugog člana razlomka - “2”. Rezultat - "3" - upisuje se u brojnik zbira, a imenilac ostaje isti kao onaj u razlomcima - "4".
Razlomci sa različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje
Već smo razmatrali operaciju sa razlomcima koji imaju isti nazivnik. Kao što vidite, poznavajući jednostavna pravila, rješavanje takvih primjera je prilično lako. Ali što ako trebate izvršiti operaciju s razlomcima koji imaju različite nazivnike? Mnogi srednjoškolci su zbunjeni ovakvim primjerima. Ali čak i ovdje, ako znate princip rješenja, primjeri vam više neće biti teški. Ovdje postoji i pravilo bez kojeg je rješavanje takvih razlomaka jednostavno nemoguće.
- 2/3 - jedna tri i jedna dva nedostaju u nazivniku:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 ili 7/(3 x 3) - u nazivniku nedostaje dva:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 ili 5/(2 x 3) - u nazivniku nedostaje tri:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Broj 18 se sastoji od 3 x 2 x 3.
- Broj 15 je sastavljen od 5 x 3.
- Zajednički višekratnik će biti sljedeći faktori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 podijeljeno sa 15. Rezultirajući broj “6” će biti množitelj za 3/15.
- 90 podijeljeno sa 18. Rezultirajući broj “5” će biti množitelj za 4/18.
- Pretvorite sve razlomke koji imaju cijeli broj u nepravilne. Jednostavnim riječima, uklonite cijeli dio. Da biste to učinili, pomnožite broj cjelobrojnog dijela sa nazivnikom razlomka, a rezultirajući proizvod dodajte brojniku. Broj koji izlazi nakon ovih radnji je brojnik nepravilnog razlomka. Imenilac ostaje nepromijenjen.
- Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na isti nazivnik.
- Izvršite sabiranje ili oduzimanje sa istim nazivnicima.
- Kada dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio.
Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, oni se moraju svesti na isti najmanji nazivnik.
Razgovarat ćemo detaljnije o tome kako to učiniti.
Svojstvo razlomka
Da biste nekoliko razlomaka doveli u isti nazivnik, morate koristiti glavno svojstvo razlomka u rješenju: nakon dijeljenja ili množenja brojnika i nazivnika istim brojem, dobivate razlomak jednak zadanom.
Tako, na primjer, razlomak 2/3 može imati nazivnike kao što su "6", "9", "12" itd., To jest, može imati oblik bilo kojeg broja koji je višekratnik "3". Nakon što pomnožimo brojilac i nazivnik sa “2”, dobićemo razlomak 4/6. Nakon što pomnožimo brojilac i imenilac originalnog razlomka sa “3”, dobijamo 6/9, a ako izvršimo sličnu operaciju sa brojem “4”, dobijamo 8/12. Jedna jednakost se može napisati na sljedeći način:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Kako pretvoriti više razlomaka u isti nazivnik
Pogledajmo kako svesti više razlomaka na isti nazivnik. Na primjer, uzmimo razlomke prikazane na slici ispod. Prvo morate odrediti koji broj može postati imenilac za sve njih. Da bismo olakšali stvari, hajde da faktorizujemo postojeće nazivnike.
Imenilac razlomka 1/2 i razlomka 2/3 ne može se rastaviti na faktore. Imenilac 7/9 ima dva faktora 7/9 = 7/(3 x 3), imenilac razlomka 5/6 = 5/(2 x 3). Sada treba da odredimo koji faktori će biti najmanji za sva ova četiri razlomka. Pošto prvi razlomak u nazivniku ima broj “2”, to znači da mora biti prisutan u svim nazivnicima; u razlomku 7/9 postoje dvije trojke, što znači da oba moraju biti prisutna i u nazivniku. Uzimajući u obzir gore navedeno, utvrđujemo da se imenilac sastoji od tri faktora: 3, 2, 3 i da je jednak 3 x 2 x 3 = 18.
Razmotrimo prvi razlomak - 1/2. U nazivniku je „2“, ali nema nijedne cifre „3“, već bi trebalo da budu dve. Da bismo to učinili, pomnožimo nazivnik sa dvije trojke, ali, prema svojstvu razlomka, moramo pomnožiti brojilac sa dvije trojke:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Izvodimo iste operacije s preostalim razlomcima.
Sve zajedno izgleda ovako:
Kako oduzimati i sabirati razlomke koji imaju različite nazivnike
Kao što je već spomenuto, da bi se sabirali ili oduzeli razlomci koji imaju različite nazivnike, moraju se svesti na isti nazivnik, a zatim koristiti pravila za oduzimanje razlomaka koji imaju isti nazivnik, o kojima je već bilo riječi.
Pogledajmo ovo kao primjer: 4/18 - 3/15.
Pronalaženje višekratnika brojeva 18 i 15:
Nakon što je imenilac pronađen, potrebno je izračunati faktor koji će biti različit za svaki razlomak, odnosno broj kojim će biti potrebno pomnožiti ne samo imenilac, već i brojnik. Da bismo to učinili, podijelimo broj koji smo pronašli (zajednički višekratnik) sa nazivnikom razlomka za koji treba odrediti dodatne faktore.
Sljedeća faza našeg rješenja je da svaki razlomak svedemo na nazivnik “90”.
Već smo pričali o tome kako se to radi. Pogledajmo kako se ovo piše na primjeru:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Ako razlomci imaju male brojeve, tada možete odrediti zajednički nazivnik, kao u primjeru prikazanom na slici ispod.
Isto važi i za one sa različitim nazivnicima.
Oduzimanje i imanje cijelih dijelova
Već smo detaljno raspravljali o oduzimanju razlomaka i njihovom sabiranju. Ali kako oduzeti ako razlomak ima cijeli broj? Opet, upotrijebimo nekoliko pravila:
Postoji još jedan način na koji možete sabirati i oduzimati razlomke s cijelim dijelovima. Da biste to učinili, radnje se izvode odvojeno s cijelim dijelovima, a akcije s razlomcima odvojeno, a rezultati se bilježe zajedno.
Navedeni primjer sastoji se od razlomaka koji imaju isti nazivnik. U slučaju kada su nazivnici različiti, potrebno ih je dovesti na istu vrijednost, a zatim izvršiti radnje kao što je prikazano u primjeru.
Oduzimanje razlomaka od cijelih brojeva
Druga vrsta operacije sa razlomcima je slučaj kada se razlomak mora oduzeti.Na prvi pogled takav primjer izgleda teško riješiti. Međutim, ovdje je sve prilično jednostavno. Da biste ga riješili, trebate pretvoriti cijeli broj u razlomak, i to sa istim nazivnikom koji je u oduzetom razlomku. Zatim izvodimo oduzimanje slično oduzimanju sa identičnim nazivnicima. U primjeru to izgleda ovako:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Oduzimanje razlomaka (ocena 6) predstavljeno u ovom članku je osnova za rešavanje složenijih primera koji se obrađuju u narednim razredima. Poznavanje ove teme se kasnije koristi za rješavanje funkcija, derivacija i tako dalje. Stoga je vrlo važno razumjeti i razumjeti operacije s razlomcima o kojima smo gore govorili.
Radnje sa razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, šta su razlomci, vrste razlomaka, transformacije - sjetili smo se. Hajdemo na glavno pitanje.
Šta možete učiniti sa razlomcima? Da, sve je isto kao i sa običnim brojevima. Dodajte, oduzmite, množite, podijelite.
Sve ove radnje sa decimalni rad sa razlomcima se ne razlikuje od rada sa celim brojevima. Zapravo, to je ono što je dobro kod njih, decimalnih. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.
Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.
Ali akcije sa obične frakcije biće lukaviji. I mnogo važnije! da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznatima i tako dalje i tako dalje se ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima! Operacije sa običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka.
Svako može sabirati (oduzeti) razlomke sa istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da podsjetim one koji su potpuno zaboravni: pri sabiranju (oduzimanju) imenilac se ne mijenja. Brojioci se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojilac rezultata. Vrsta:
Ukratko, generalno:
Šta ako su imenioci različiti? Zatim, koristeći osnovnu osobinu razlomka (ovdje nam opet dobro dođe!), činimo nazivnike istim! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Jedinu svrhu da imenioci budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neprijatno, a 4/10 je zaista u redu.
Inače, ovo je suština rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kada smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali pogodnija za rješavanje.
Drugi primjer:
Situacija je slična. Ovdje pravimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem sa 3. Ovo je sve jasno. Ali naišli smo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Hajde da se transformišemo svaki razlomak tako da su imenioci isti. Ovo se zove "svedi na zajednički imenilac":
Vau! Kako sam znao za 63? Veoma jednostavno! 63 je broj koji je istovremeno djeljiv sa 7 i 9. Takav broj se uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako pomnožimo broj sa 7, na primjer, onda će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!
Ako trebate sabrati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik zajednički za sve razlomke i svesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:
A šta će biti zajednički imenitelj? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv sa 2, 4 i 8. Stoga je od ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički imenitelj, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...
Sami dopunite primjer. Ne neka vrsta logaritma... Trebalo bi da bude 29/16.
Dakle, sabiranje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne množitelje. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne sa razlomcima, već sa frakcioni izrazi. Novi rake će biti otkriven ovdje, da...
Dakle, moramo dodati dva frakciona izraza:
Moramo da imenioci budu isti. I to samo uz pomoć množenje! To nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga, ne mogu dodati jedan na X u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo proizvod nazivnika ispod, da ne zaboravimo:
I, naravno, ne množimo ništa na desnoj strani, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički imenilac na desnoj strani, shvatamo: da biste dobili imenilac x(x+1) u prvom razlomku, morate pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka sa (x+1) . A u drugom razlomku - na x. Ovo dobijate:
Bilješka! Evo zagrada! Ovo su grablje na koje mnogi ljudi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihovo odsustvo. Zagrade se pojavljuju jer se množimo sve brojilac i sve imenilac! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojiocu desne strane upisujemo zbir brojilaca, sve je kao u brojevnim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojiocu desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo šta množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobijamo:
Tako da smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Kada riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojevremeno savladali razlomke sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!
I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zaglave na primjerima cijeli brojevi. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne morate ga nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali veoma jednostavno! 2=2/1. Volim ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojilac je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa, osvježeno je znanje o sabiranju i oduzimanju razlomaka. Ponavljalo se pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Također se možete provjeriti. Hoćemo li to malo riješiti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve operacije sa razlomcima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, pogledajte možete li skratiti razlomak koji ste dobili.
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima, primjeri:
,
,
Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.
Ako je potrebno oduzeti razlomak od jedinice koja je pravilna, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka, njen nazivnik je jednak nazivniku oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:
Imenilac razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. predstavljamo jedan kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.
Pravila za oduzimanje razlomaka - tačno od celog broja (prirodni broj):
- Zadane razlomke koji sadrže cijeli broj pretvaramo u nepravilne. Dobijamo normalne članove (nije bitno da li imaju različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
- Zatim izračunavamo razliku između frakcija koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
- Izvodimo inverznu transformaciju, odnosno oslobađamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.
Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: predstavite prirodni broj kao mješoviti broj. One. Uzimamo jedinicu prirodnog broja i pretvaramo je u oblik nepravilnog razlomka, pri čemu je imenilac isti kao i kod oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja razlomaka:
U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i oduzeli razlomak od razlomka.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, potrebno je prvo svesti te razlomke na najmanji zajednički imenilac (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka sa istim nazivnicima.
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su imenioci ovih razlomaka.
Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojilac i nazivnik imaju zajedničke faktore, onda se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak je najbolje predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!
Postupak za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
- pronaći LCM za sve nazivnike;
- staviti dodatne faktore za sve razlomke;
- pomnožiti sve brojioce dodatnim faktorom;
- Dobivene proizvode upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički imenilac pod svim razlomcima;
- oduzmi brojioce razlomaka, potpisujući zajednički imenilac ispod razlike.
Na isti način se vrši sabiranje i oduzimanje razlomaka ako u brojniku postoje slova.
Oduzimanje razlomaka, primjeri:
Oduzimanje mješovitih razlomaka.
At oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog dijela, a razlomak se oduzima od razlomka.
Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Ako su razlomci isto imenioci i brojilac razlomačnog dela minusa (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomnog dela oduzetog (oduzimamo ga).
Na primjer:
Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Kada su razlomci drugačije imenioci. Za početak, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, a nakon toga cijeli dio oduzimamo od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Na primjer:
Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.
primjer:
Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, prvo obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.
Brojilac razlomnog dijela minusa manji je od brojnika razlomnog dijela oduzetog.3 < 14. To znači da od cijelog dijela uzimamo jedinicu i ovu jedinicu svedemo na oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.
U brojiocu na desnoj strani upisujemo zbir brojilaca, zatim otvaramo zagrade u brojniku na desnoj strani, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. Dobijamo:
Radnje sa razlomcima. U ovom članku ćemo pogledati primjere, sve detaljno s objašnjenjima. Razmotrit ćemo obične razlomke. Kasnije ćemo pogledati decimale. Preporučujem da pogledate cijelu stvar i da je proučavate uzastopno.
1. Zbir razlomaka, razlika razlomaka.
Pravilo: kada se zbrajaju razlomci sa jednakim nazivnicima, rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a njegov brojilac će biti jednak zbroju brojnika razlomaka.
Pravilo: pri izračunavanju razlike razlomaka sa istim nazivnicima dobijamo razlomak - imenilac ostaje isti, a brojnik drugog se oduzima od brojnika prvog razlomka.
Formalni zapis za zbir i razliku razlomaka sa jednakim nazivnicima:
Primjeri (1):
Jasno je da kada se daju obični razlomci, onda je sve jednostavno, ali šta ako se pomiješaju? Ništa komplikovano...
Opcija 1– možete ih pretvoriti u obične i onda ih izračunati.
Opcija 2– možete “raditi” odvojeno sa cijelim i razlomkom.
Primjeri (2):
Više:
Šta ako je data razlika dva mješovita razlomka i brojnik prvog razlomka je manji od brojnika drugog? Također možete djelovati na dva načina.
Primjeri (3):
*Preračunati u obične razlomke, izračunati razliku, pretvoriti rezultirajući nepravilni razlomak u mješoviti razlomak.
*Razdijelili smo ga na cjelobrojne i razlomke, dobili trojku, zatim predstavili 3 kao zbir 2 i 1, s jednim predstavljenim kao 11/11, zatim pronašli razliku između 11/11 i 7/11 i izračunali rezultat . Smisao gornjih transformacija je da uzmemo (odaberemo) jedinicu i predstavimo je u obliku razlomka sa nazivnikom koji nam je potreban, a zatim od ovog razlomka možemo oduzeti drugu.
Drugi primjer:
Zaključak: postoji univerzalni pristup - da bi se izračunao zbir (razlika) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, uvijek se mogu pretvoriti u nepravilne, a zatim izvršiti potrebnu radnju. Nakon toga, ako je rezultat nepravilan razlomak, pretvaramo ga u mješoviti razlomak.
Gore smo pogledali primjere sa razlomcima koji imaju jednake nazivnike. Šta ako su imenioci različiti? U ovom slučaju, razlomci se svode na isti nazivnik i izvodi se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se osnovno svojstvo razlomka.
Pogledajmo jednostavne primjere:
U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može transformirati da dobijemo jednake nazivnike.
Ako odredimo načine za smanjenje razlomaka na isti nazivnik, onda ćemo ovaj nazvati METODA PRVA.
Odnosno, odmah kada "procjenjujete" razlomak, morate shvatiti da li će ovaj pristup funkcionirati - provjeravamo da li je veći imenilac djeljiv manjim. A ako je djeljiv, onda vršimo transformaciju - množimo brojnik i imenilac tako da imenioci oba razlomka postanu jednaki.
Sada pogledajte ove primjere:
Ovaj pristup nije primjenjiv na njih. Postoje i načini za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik; hajde da ih razmotrimo.
Metoda DVA.
Pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog, a brojnik i imenilac drugog razlomka sa imeniocem prvog:
*U stvari, smanjujemo razlomke da se formiraju kada imenioci postanu jednaki. Zatim koristimo pravilo za sabiranje razlomaka s jednakim nazivnicima.
primjer:
*Ova metoda se može nazvati univerzalnom i uvijek radi. Jedina mana je to što nakon izračunavanja možete završiti s razlomkom koji ćete morati dodatno smanjiti.
Pogledajmo primjer:
Vidi se da su brojilac i imenilac djeljivi sa 5:
Metoda TREĆA.
Morate pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički imenitelj. Kakav je ovo broj? Ovo je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.
Vidite, evo dva broja: 3 i 4, ima mnogo brojeva koji su djeljivi sa njima - to su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, oni su djeljivi sa 30, 60, 90 .... Najmanje je 30. Pitanje je - kako odrediti ovaj najmanji zajednički višekratnik?
Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez kalkulacija. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15) nije potreban algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15), udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi sa drugim brojem, ali parovi brojeva mogu bili drugi, na primjer 51 i 119.
Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:
- rastaviti svaki broj na JEDNOSTAVNE faktore
— zapišite razlaganje VEĆEG od njih
- pomnožite ga sa faktorima koji nedostaju drugih brojeva
Pogledajmo primjere:
50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
u proširenju većeg broja jedan nedostaje pet
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
u proširenju većeg broja dva i tri nedostaju
=> LCM(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmanji zajednički višekratnik dvaju prostih brojeva je njihov proizvod
Pitanje! Zašto je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika korisno, budući da možete koristiti drugu metodu i jednostavno smanjiti rezultujući razlomak? Da, moguće je, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte nazivnik za brojeve 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Složićete se da je prijatnije raditi sa manjim brojevima.
Pogledajmo primjere:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
proširenju većeg broja nedostaje trojka
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Sada koristimo prvu metodu:
*Pogledajte razliku u proračunima, u prvom slučaju ih ima minimalno, ali u drugom morate posebno raditi na komadu papira, pa čak i razlomak koji ste dobili treba smanjiti. Pronalaženje LOC-a značajno pojednostavljuje posao.
Više primjera:
*U drugom primjeru je jasno da je najmanji broj koji je djeljiv sa 40 i 60 120.
REZULTAT! OPŠTI RAČUNARSKI ALGORITAM!
— razlomke svodimo na obične ako postoji cijeli broj.
- razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika (prvo gledamo da li je jedan imenilac djeljiv drugim; ako je djeljiv, onda množimo brojnik i imenilac ovog drugog razlomka; ako nije djeljiv, postupamo drugim metodama gore navedeno).
- Nakon što smo dobili razlomke sa jednakim nazivnicima, izvodimo operacije (sabiranje, oduzimanje).
- ako je potrebno, smanjujemo rezultat.
- ako je potrebno, odaberite cijeli dio.
2. Proizvod frakcija.
Pravilo je jednostavno. Kada se množe razlomci, množe se njihovi brojnici i imenioci:
primjeri: