Stepen sa prirodnim i racionalnim pokazateljem. Lekcija “Eksponent s racionalnim eksponentom

Khasyanova T.G.,

nastavnik matematike

Prezentirani materijal će biti od koristi nastavnicima matematike prilikom proučavanja teme „Eksponent s racionalnim eksponentom“.

Svrha predstavljenog materijala: otkriti moje iskustvo vođenja lekcije na temu „Eksponent s racionalnim eksponentom“ program rada disciplina "Matematika".

Metodologija izvođenja lekcije odgovara njenoj vrsti - lekcija u proučavanju i početnoj konsolidaciji novog znanja. Osnovna znanja i vještine su ažurirana na osnovu prethodno stečenog iskustva; primarno pamćenje, konsolidacija i primjena novih informacija. Konsolidacija i primena novog materijala odvijala se u vidu rešavanja zadataka koje sam testirao različite složenosti, dajući pozitivan rezultat savladavanje teme.

Na početku časa učenicima sam postavio sljedeće ciljeve: obrazovni, razvojni, obrazovni. Tokom lekcije sam koristio razne načine aktivnosti: frontalni, individualni, par, samostalni, test. Zadaci su bili diferencirani i omogućili da se u svakoj fazi časa utvrdi stepen usvojenosti znanja. Obim i složenost zadataka odgovaraju starosne karakteristike studenti. Iz mog iskustva, domaći zadatak, sličan problemima koji se rješavaju u učionici, omogućavaju pouzdano učvršćivanje stečenih znanja i vještina. Na kraju časa izvršena je refleksija i ocjenjivan rad pojedinih učenika.

Ciljevi su postignuti. Studenti su proučavali pojam i svojstva stepena sa racionalnim eksponentom i naučili da koriste ta svojstva prilikom rješavanja praktičnih zadataka. Iza samostalan rad Ocjene će biti objavljene na sljedećem času.

Vjerujem da metodologiju koju koristim u nastavi matematike mogu koristiti nastavnici matematike.

Tema lekcije: Moć s racionalnim eksponentom

Svrha lekcije:

Identifikacija stepena ovladavanja kompleksom znanja i vještina učenika i na osnovu toga primjena određene odluke poboljšati obrazovni proces.

Ciljevi lekcije:

edukativni: formirati kod učenika nova znanja o osnovnim pojmovima, pravilima, zakonima za određivanje stepena sa racionalnim pokazateljem, sposobnost samostalne primene znanja u standardnim uslovima, u modifikovanim i nestandardnim uslovima;

razvijanje: razmišljajte logično i implementirajte Kreativne vještine;

podizanje: razviti interesovanje za matematiku, dopuniti svoj vokabular novim terminima i dobiti dodatne informacije o svetu oko sebe. Negujte strpljenje, upornost i sposobnost prevazilaženja poteškoća.

Organiziranje vremena

Ažuriranje referentnog znanja

Prilikom množenja stepena sa istim bazama, eksponenti se sabiraju, ali baza ostaje ista:

Na primjer,

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istim bazama, eksponenti stupnjeva se oduzimaju, ali baza ostaje ista:

Na primjer,

3. Kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe, ali baza ostaje ista:

Na primjer,

4. Stepen proizvoda jednak je proizvodu stupnjeva faktora:

Na primjer,

5. Stepen količnika jednak je količniku stupnjeva dividende i djelitelja:

Na primjer,

Vježbe sa rješenjima

Pronađite značenje izraza:

Rješenje:

U ovom slučaju, u eksplicitnom obliku, nijedno od svojstava stepena c prirodni pokazatelj ne može se primijeniti, jer svi stepeni imaju različite baze. Zapišimo neke moći u drugačijem obliku:

(stepen proizvoda je jednak proizvodu stepeni faktora);

(pri množenju stepena sa istim bazama, eksponenti se sabiraju, ali baza ostaje ista; kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe, ali baza ostaje ista).

tada dobijamo:

IN u ovom primjeru Korištena su prva četiri svojstva stepena sa prirodnim eksponentom.

Aritmetički kvadratni korijen
je nenegativan broj čiji je kvadrat jednaka,
. At
- izraz
nije definisano, jer ne postoji realan broj čiji je kvadrat jednak negativnom brojua.

Matematički diktat(8-10 min.)

Opcija

II. Opcija

1. Pronađite vrijednost izraza

2.Izračunaj

IN)

2.Izračunaj

Samotestiranje(na dasci za revere):

Matrica odgovora:

№ opcija/zadatak

Problem 1

Problem 2

Opcija 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

Opcija 2

a) 1.5

u 4

II Formiranje novih znanja

Hajde da razmotrimo koje značenje izraz ima, gde - pozitivan broj– razlomak i m-cijeli broj, n-prirodni (n›1)

Definicija: stepen a›0 sa racionalnim eksponentomr = , m-cijela, n-prirodno ( n›1) broj je pozvan.

dakle:

Na primjer:

napomene:

1. Za bilo koji pozitivan a i svaki racionalni r broj pozitivno.

2. Kada
racionalna snaga brojaanije utvrđeno.

Izrazi poput
nema smisla.

3.Ako razlomak pozitivan broj je
.

Ako razlomak onda negativan broj -nema smisla.

Na primjer: - nema smisla.

Razmotrimo svojstva stepena sa racionalnim eksponentom.

Neka je a >0, b>0; r, s - bilo koji racionalni brojevi. Tada stepen sa bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidacija. Formiranje novih vještina i sposobnosti.

Kartice sa zadacima rade u malim grupama u obliku testa.

U ovom članku ćemo shvatiti šta je to stepen of. Ovdje ćemo dati definicije stepena broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta do iracionalnog. U materijalu ćete pronaći mnogo primjera stupnjeva, koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Potencija s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kocka broja

Počnimo sa . Gledajući unaprijed, recimo da je definicija stepena broja a sa prirodnim eksponentom n data za a, koji ćemo nazvati osnovu stepena, i n, koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stepen sa prirodnim eksponentom određuje kroz proizvod, tako da za razumijevanje materijala u nastavku morate razumjeti množenje brojeva.

Definicija.

Potencija broja sa prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a, odnosno, .
Konkretno, stepen broja a sa eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Vrijedi odmah spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja zapisa a n je: “a na stepen n”. U nekim slučajevima su prihvatljive i sljedeće opcije: “a na n-ti stepen” i “n-ti stepen od a”. Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je “osam na stepen od dvanaest”, ili “osam na dvanaesti stepen”, ili “dvanaesti stepen od osam”.

Drugi stepen broja, kao i treći stepen broja, imaju svoja imena. Drugi stepen broja se zove kvadrat broj, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treći stepen broja se zove kockasti brojevi, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet kocki" ili možete reći "kocka broja 5".

Vrijeme je da donesete primjeri stupnjeva s prirodnim eksponentima. Počnimo sa stepenom 5 7, ovdje je 5 osnova stepena, a 7 eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru osnova stepena 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli neslaganja, u zagrade ćemo staviti sve baze potencija koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer, dajemo sljedeće stepene sa prirodnim eksponentima , njihove baze nisu prirodni brojevi, pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće, na ovom mjestu ćemo pokazati razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je stepen od −2 sa prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti stepena 2 3 .

Imajte na umu da postoji notacija za stepen broja a sa eksponentom n oblika a^n. Štaviše, ako je n prirodni broj sa više vrijednosti, eksponent se uzima u zagrade. Na primjer, 4^9 je još jedna notacija za potenciju 4 9 . A evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo prvenstveno koristiti zapis stepena oblika a n .

Jedan od problema obrnut dizanju na stepen sa prirodnim eksponentom je problem pronalaženja baze stepena po poznata vrijednost stepen i poznati indikator. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih brojeva i razlomaka, a svaki razlomak se može predstaviti kao pozitivan ili negativan običan razlomak. U prethodnom pasusu smo definisali stepen celobrojnim eksponentom, stoga, da bismo završili definiciju stepena sa racionalnim eksponentom, treba da damo značenje stepenu broja a sa delimičnim eksponentom m/n, gde je m je cijeli broj, a n prirodan broj. Hajde da to uradimo.

Razmotrimo stepen sa frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo snaga-power ostalo valjano, jednakost mora vrijediti . Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo odredili , onda je logično da je prihvatimo pod uslovom da za date m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da su za sva svojstva stepena sa cijelim eksponentom valjana (ovo je urađeno u odeljku svojstva stepena sa racionalnim eksponentom).

Gornje rezonovanje nam omogućava da napravimo sljedeće zaključak: ako su dati m, n i a izraz ima smisla, onda se stepen a sa razlomkom eksponenta m/n naziva n-ti korijen od a na stepen m.

Ova izjava nas približava definiciji stepena sa razlomkom eksponenta. Ostaje samo da se opiše u čemu m, n i a izraz ima smisla. U zavisnosti od ograničenja postavljenih na m, n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način je nametnuti ograničenje na a uzimajući a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (pošto za m≤0 stepen 0 od m nije definiran). Tada dobijamo sljedeću definiciju stepena s razlomkom eksponenta.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a sa razlomanim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen broja a na stepen m, to jest, .

Frakciona snaga nule je takođe određena uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule sa razlomanim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kada stepen nije određen, odnosno stepen broja nula sa razlomačnim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da kod ove definicije stepena sa razlomačnim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neke negativne a i neke m i n, izraz ima smisla, te smo ove slučajeve odbacili uvođenjem uslova a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla ili , a gore navedena definicija nas tjera da kažemo da potencira s razlomkom eksponenta oblika nema smisla, jer baza ne bi trebala biti negativna.

Drugi pristup određivanju stepena sa razlomanim eksponentom m/n je da se odvojeno razmatraju parni i neparni eksponenti korena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: snaga broja a, čiji je eksponent je , smatra se potencijom broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodljivi razlomak (u nastavku ćemo objasniti važnost ovog uvjeta ). To jest, ako je m/n nesvodljiv razlomak, tada se za bilo koji prirodan broj k stepen prvo zamjenjuje sa .

Za parno n i pozitivno m, izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (parni korijen od negativan broj nema smisla), za negativan m broj a mora i dalje biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja sa nulom). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stepena je definiran za bilo koji realan broj), a za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja sa nula).

Gornje rezonovanje nas dovodi do ove definicije stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka je m/n nesvodljivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za bilo koji razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje sa . Potencija broja sa nesmanjivim razlomačnim eksponentom m/n je za

Hajde da objasnimo zašto se stepen sa svodljivim razlomačnim eksponentom prvo zamenjuje stepenom sa nesvodljivim eksponentom. Kada bismo jednostavno definisali stepen kao , a ne rezervisali se o nesvodljivosti razlomka m/n, onda bismo se suočili sa situacijama sličnim sledećim: pošto je 6/10 = 3/5, onda jednakost mora da važi , Ali , A .

Video lekcija “Eksponent s racionalnim eksponentom” sadrži vizualni prikaz edukativni materijal održati lekciju na ovu temu. Video lekcija sadrži informacije o pojmu stepena s racionalnim eksponentom, svojstvima takvih stupnjeva, kao i primjere koji opisuju upotrebu obrazovnog materijala za rješavanje praktičnih problema. Svrha ove video lekcije je jasno i jasno predstaviti nastavni materijal, olakšati njegovo razvijanje i pamćenje od strane učenika, te razviti sposobnost rješavanja problema koristeći naučene pojmove.

Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnog izvođenja transformacija i proračuna, mogućnost korištenja efekata animacije za poboljšanje efikasnosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućava zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga da obavlja individualni rad.

Video lekcija počinje uvođenjem teme. Povezivanje studija nova tema sa prethodno proučavanim materijalom, predlaže se zapamtiti da je n √a inače označeno sa 1/n za prirodno n i pozitivno a. Ova prezentacija n-root je prikazan na ekranu. Zatim predlažemo da razmotrimo šta znači izraz a m/n, u kojem je a pozitivan broj, a m/n razlomak. Data je definicija stepena sa racionalnim eksponentom kao m/n = n √a m, istaknuta u okviru. Primjećuje se da n može biti prirodni broj, a m je cijeli broj.

Nakon definiranja stepena sa racionalnim eksponentom, njegovo značenje se otkriva kroz primjere: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Također je prikazan primjer u kojem stepen predstavljen sa decimalni, se pretvara u obična frakcija predstaviti kao korijen: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer s negativnim eksponentom: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Posebnost posebnog slučaja kada je osnova stepena nula je naznačena posebno. Primjećuje se da ovaj stepen ima smisla samo s pozitivnim razlomkom eksponenta. U ovom slučaju, njegova vrijednost je nula: 0 m/n =0.

Napominje se još jedna karakteristika stepena sa racionalnim eksponentom - da se stepen sa razlomačnim eksponentom ne može razmatrati sa delimičnim eksponentom. Navedeni su primjeri pogrešne notacije stepena: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Sljedeće u video lekciji raspravljamo o svojstvima stepena s racionalnim eksponentom. Primećuje se da će svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom važiti i za stepen sa racionalnim eksponentom. Predlaže se podsjetiti na listu svojstava koja vrijede iu ovom slučaju:

Kada se množe stepeni sa istim bazama, njihovi eksponenti se sabiraju: a p a q =a p+q.
Podjela stupnjeva sa istim bazama svodi se na stepen sa datom bazom i razlikom u eksponentima: a p:a q =a p-q.
Ako stepen podignemo na određeni stepen, onda ćemo na kraju dobiti stepen sa datom bazom i proizvodom eksponenata: (a p) q =a pq.

Sva ova svojstva vrijede za potencije sa racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva prilikom otvaranja zagrada ostaju istinite:

(ab) p =a p b p - podizanje na neki stepen sa racionalnim eksponentom proizvod dva broja se svodi na proizvod brojeva, od kojih je svaki podignut na dati stepen.
(a/b) p =a p /b p - podizanje razlomka na stepen sa racionalnim eksponentom svodi se na razlomak čiji su brojnik i imenilac podignuti na dati stepen.

Video tutorijal govori o rješavanju primjera koji koriste razmatrana svojstva potencija s racionalnim eksponentom. Prvi primjer traži od vas da pronađete vrijednost izraza koji sadrži varijable x u frakcijskom stepenu: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava snaga može se vrlo jednostavno riješiti. Rješavanje problema počinje pojednostavljivanjem izraza, koji koristi pravilo dizanja stepena sa racionalnim eksponentom na stepen, kao i množenjem stepena sa istom osnovom. Nakon zamjene postavljena vrijednost x=8 u pojednostavljenom izrazu x 1/3 +48, lako je dobiti vrijednost - 50.

U drugom primjeru, trebate smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stepena, izdvajamo iz razlike faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojiocu i nazivniku, a koristeći formulu za razliku kvadrata, brojilac se faktorizuje, što daje dalje redukcije identičnih faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.

Video lekcija “Eksponent s racionalnim eksponentom” može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu lekcije. Ovaj priručnik također sadrži dovoljno potpune informacije da bi student mogao samostalno učiti. Materijal može biti koristan i za učenje na daljinu.

MBOU "Sidorskaya"

sveobuhvatne škole"

Izrada okvirnog plana otvorena lekcija

iz algebre u 11. razredu na temu:

Pripremljeno i sprovedeno

nastavnik matematike

Iskhakova E.F.

Okvir otvorenog časa iz algebre u 11. razredu.

Predmet : “Diploma s racionalnim eksponentom.”

Vrsta lekcije : Učenje novog gradiva

Ciljevi lekcije:

Upoznati studente sa pojmom stepena sa racionalnim eksponentom i njegovim osnovnim svojstvima, na osnovu prethodno proučenog materijala (stepen sa celobrojnim eksponentom).

Razviti računske vještine i sposobnost pretvaranja i poređenja brojeva s racionalnim eksponentima.

Razvijati matematičku pismenost i matematičko interesovanje kod učenika.

Oprema : Kartice sa zadacima, prezentacija učenika po stepenu sa celobrojnim indikatorom, prezentacija nastavnika po stepenu sa racionalnim indikatorom, laptop, multimedijalni projektor, platno.

Tokom nastave:

Organiziranje vremena.

Provjera savladanosti obrađene teme pomoću pojedinačnih kartica zadataka.

Zadatak br. 1.

=2;

B) =x + 5;

Riješite sistem iracionalne jednačine: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Zadatak br. 2.

Riješite iracionalnu jednačinu: = - 3;

B) = x - 2;

Riješite sistem iracionalnih jednačina: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prenesite temu i ciljeve lekcije.

Tema naše današnje lekcije je „ Potencija s racionalnim eksponentom».

Objašnjenje novog gradiva na primjeru prethodno proučenog materijala.

Već ste upoznati sa konceptom stepena sa celobrojnim eksponentom. Ko će mi pomoći da ih zapamtim?

Ponavljanje pomoću prezentacije" Stepen sa cjelobrojnim eksponentom».

Za bilo koje brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Danas ćemo generalizovati pojam stepena broja i dati značenje izrazima koji imaju razlomak eksponenta. Hajde da se predstavimo definicija stepeni sa racionalnim eksponentom (Prezentacija „Stepen sa racionalnim eksponentom“):

Moć a > 0 sa racionalnim eksponentom r = , Gdje m je cijeli broj i n - prirodno ( n > 1), pozvao broj m .

Dakle, po definiciji to dobijamo = m .

Pokušajmo primijeniti ovu definiciju kada izvršavamo zadatak.

PRIMJER br. 1

Predstavljam izraz kao korijen broja:

A) B) IN) .

Pokušajmo sada ovu definiciju primijeniti obrnuto

II Izraziti izraz kao stepen sa racionalnim eksponentom:

A) 2 B) IN) 5 .

Snaga 0 je definirana samo za pozitivne eksponente.

0 r= 0 za bilo koji r> 0.

Koristeći ovu definiciju, Kuće završit ćete #428 i #429.

Hajde sada da pokažemo da su definicijom stepena sa racionalnim eksponentom koja je gore formulisana, sačuvana osnovna svojstva stepeni, koja važe za sve eksponente.

Za bilo koje racionalne brojeve r i s i bilo koje pozitivne a i b vrijede sljedeće jednakosti:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRIMJER: *

20 . a r: a s =a r-s ;

PRIMJER: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

PRIMJER: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRIMJER: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRIMJER korištenja nekoliko svojstava odjednom: * : .

Minut fizičkog vaspitanja.

Stavili smo olovke na sto, ispravili leđa, a sada pružamo ruku, želimo da dodirnemo tablu. Sada smo ga podigli i nagnuti desno, lijevo, naprijed, nazad. Pokazao si mi svoje ruke, a sad mi pokaži kako tvoji prsti mogu da plešu.

Rad na materijalu

Napomenimo još dva svojstva potencija sa racionalnim eksponentima:

6 0 . Neka r – racionalni broj i 0< a < b . Тогда

a r < b r at r> 0,

a r < b r at r< 0.

7 0 . Za sve racionalne brojever I s od nejednakosti r> s sledi to

a r>a r za a > 1,

a r < а r u 0< а < 1.

PRIMJER: Uporedite brojeve:

I ; 2 300 i 3 200 .

Sažetak lekcije:

Danas smo se u lekciji prisjetili svojstava stepena s cijelim eksponentom, naučili definiciju i osnovna svojstva stepena s racionalnim eksponentom i razmotrili primjenu ovog teorijski materijal u praksi prilikom izvođenja vežbi. Skrećem vašu pažnju na činjenicu da je tema „Izvodnik sa racionalnim eksponentom“ obavezna u Zadaci objedinjenog državnog ispita. U pripremi zadaća ( br. 428 i br. 429