) i imenilac po imenilac (dobijamo imenilac proizvoda).
Formula za množenje razlomaka:
Na primjer:
Prije nego počnete množiti brojioce i nazivnike, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje proračune.
Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.
Dijeljenje razlomaka koji uključuju prirodne brojeve.
Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:
Množenje mješovitih razlomaka.
Pravila za množenje razlomaka (mješovito):
- pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke;
- množenje brojilaca i nazivnika razlomaka;
- smanjiti frakciju;
- Ako dobijete nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti razlomak.
Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate pretvoriti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.
Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.
Možda je zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate podijeliti nazivnik razlomka sa ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.
Iz gore navedenog primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.
Višespratni razlomci.
U srednjoj školi često se susreću trospratni (ili više) razlomci. primjer:
Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, koristite podjelu na 2 točke:
Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.
Bilješka, Na primjer:
Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:
Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:
1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da napišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se izgubite u mentalnim proračunima.
2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka idite na tip običnih razlomaka.
3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.
4. Razlomke na više nivoa transformiramo u obične pomoću dijeljenja na 2 tačke.
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Gotovo svaki učenik petog razreda je pomalo šokiran nakon prvog upoznavanja s običnim razlomcima. Ne samo da morate razumjeti suštinu razlomaka, već morate i izvoditi aritmetičke operacije s njima. Nakon toga, mali učenici će sistematski ispitivati svog učitelja kako bi saznali kada će se ovi razlomci završiti.
Da bi se takve situacije izbjegle, dovoljno je samo objasniti djeci ovu tešku temu što jednostavnije, a po mogućnosti na razigran način.
Suština razlomka
Prije nego što nauči šta je razlomak, dijete se mora upoznati s pojmom dijeliti . Ovdje je najbolja asocijativna metoda.
Zamislite cijelu tortu koja je podijeljena na nekoliko jednakih dijelova, recimo četiri. Tada se svaki komad torte može nazvati udjelom. Ako uzmete jedan od četiri komada torte, to će biti jedna četvrtina.
Udjeli su različiti, jer se cjelina može podijeliti na potpuno različit broj dijelova. Što je više udjela općenito, to su manje, i obrnuto.
Da bi se dionice mogle označiti, smislili su takav matematički koncept kao običan razlomak. Razlomak će nam omogućiti da zapišemo onoliko dionica koliko je potrebno.
Komponente razlomka su brojnik i nazivnik, koji su razdvojeni razlomkom ili kosom crtom. Mnoga djeca ne razumiju njihovo značenje, pa im stoga nije jasna suština razlomka. Razlomka označava podjelu, ovdje nema ništa komplikovano.
Uobičajeno je da se nazivnik piše ispod, ispod razlomka ili desno od prednje linije. Pokazuje broj delova jedne celine. Brojnik, koji je napisan iznad razlomka ili lijevo od prednje linije, određuje koliko je dionica uzeto.Na primjer, razlomak 4/7. U ovom slučaju, 7 je imenilac, što pokazuje da postoji samo 7 dionica, a brojnik 4 označava da su uzete četiri od sedam dionica.
Glavne dionice i njihovo pisanje u razlomcima:
Pored običnog razlomka, postoji i decimalni razlomak.
Operacije sa razlomcima 5. razred
U petom razredu uče da izvode sve računske operacije sa razlomcima.
Sve operacije s razlomcima izvode se prema pravilima i ne treba se nadati da će bez učenja pravila sve funkcionirati samo od sebe. Stoga ne treba zanemariti ni usmeni dio domaće zadaće iz matematike.
Već smo shvatili da je notacija decimalnog i običnog razlomka različita, pa će se aritmetičke operacije izvoditi drugačije. Radnje s običnim razlomcima ovise o onim brojevima koji se nalaze u nazivniku, a u decimalnoj - nakon decimalne točke s desne strane.
Za razlomke koji imaju iste nazivnike, algoritam za sabiranje i oduzimanje je vrlo jednostavan. Akcije izvodimo samo sa brojicima.
Za razlomke sa različitim nazivnicima morate pronaći Najmanji zajednički nazivnik (LCD). To je broj koji će biti djeljiv sa svim nazivnicima bez ostatka, i bit će najmanji od takvih brojeva ako ih ima više.
Da biste sabrali ili oduzeli decimalne razlomke, potrebno ih je upisati u kolonu, sa zarezom ispod zareza i izjednačiti broj decimalnih mjesta ako je potrebno.
Da biste pomnožili obične razlomke, jednostavno pronađite proizvod brojnika i nazivnika. Vrlo jednostavno pravilo.
Podjela se vrši prema sljedećem algoritmu:
- Zapišite dividendu nepromijenjenu
- Pretvorite dijeljenje u množenje
- Obrnite djelitelj (upišite recipročni razlomak na djelitelj)
- Izvršite množenje
Zbrajanje razlomaka, objašnjenje
Pogledajmo pobliže kako zbrajati razlomke i decimale.
Kao što možete vidjeti na gornjoj slici, razlomak jedna trećina i dvije trećine imaju zajednički imenilac tri. To znači da trebate samo sabrati brojioce jedan i dva, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Rezultat je zbir od tri trećine. Ovaj odgovor, kada su brojnik i imenilac razlomka jednaki, može se zapisati kao 1, pošto je 3:3 = 1.
Trebate pronaći zbir razlomaka dvije trećine i dvije devetine. U ovom slučaju, nazivnici su različiti, 3 i 9. Da biste izvršili sabiranje, morate pronaći zajednički. Postoji vrlo jednostavan način. Biramo najveći imenilac, on je 9. Provjeravamo da li je djeljiv sa 3. Kako je 9:3 = 3 bez ostatka, onda je 9 pogodno kao zajednički imenilac.
Sljedeći korak je pronalaženje dodatnih faktora za svaki brojilac. Da bismo to učinili, dijelimo zajednički imenilac 9 sa nazivnikom svakog razlomka zauzvrat, rezultirajući brojevi će biti dodatni. plural Za prvi razlomak: 9:3 = 3, brojiocu prvog razlomka dodajte 3. Za drugi razlomak: 9:9 = 1, ne morate sabrati jedan, jer kada se pomnožite s njim dobijate isto broj.
Sada množimo brojioce sa njihovim dodatnim faktorima i sabiramo rezultate. Dobiveni iznos je djelić osam devetina.
Sabiranje decimala slijedi isto pravilo kao i zbrajanje prirodnih brojeva. U koloni se cifra upisuje ispod cifre. Jedina razlika je u tome što u decimalnim razlomcima morate staviti tačan zarez u rezultat. Da biste to učinili, razlomci se pišu sa zarezom ispod zareza, a u zbroju trebate samo pomaknuti zarez prema dolje.
Nađimo zbir razlomaka 38, 251 i 1, 56. Da bi bilo zgodnije izvođenje radnji, izjednačili smo broj decimalnih mjesta na desnoj strani dodavanjem 0.
Dodajte razlomke ne obraćajući pažnju na zarez. I u rezultirajućem iznosu jednostavno spuštamo zarez. Odgovor: 39, 811.
Oduzimanje razlomaka, objašnjenje
Da biste pronašli razliku između razlomaka dvije trećine i jedne trećine, morate izračunati razliku brojilaca 2-1 = 1, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Odgovor daje razliku od jedne trećine.
Nađimo razliku između razlomaka pet šestih i sedam desetih. Pronalaženje zajedničkog nazivnika. Koristimo metodu odabira, od 6 i 10 najveće je 10. Provjeravamo: 10:6 nije djeljivo bez ostatka. Dodajemo još 10, ispada 20:6, što također nije djeljivo bez ostatka. Ponovo povećavamo za 10, dobijamo 30:6 = 5. Zajednički imenilac je 30. Takođe, NOZ se može naći pomoću tablice množenja.
Pronalaženje dodatnih faktora. 30:6 = 5 - za prvi razlomak. 30:10 = 3 - za drugi. Množimo brojioce i njihove dodatne množine. Dobijamo minus 25/30 i oduzimanje 21/30. Zatim oduzimamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen.
Rezultat je bila razlika od 4/30. Frakcija je reducibilna. Podijelite sa 2. Odgovor je 2/15.
Dijeljenje decimala 5
Ova tema govori o dvije opcije:
Množenje decimala 5
Sjetite se kako množite prirodne brojeve, na potpuno isti način pronalazite proizvod decimalnih razlomaka. Prvo, hajde da shvatimo kako pomnožiti decimalni razlomak prirodnim brojem. Za ovo:
Kada množimo decimalni razlomak decimalom, postupamo na potpuno isti način.
Mješovite frakcije 5. razred
Učenici petog razreda vole da takve razlomke nazivaju ne miješanim, već<<смешные>>Na ovaj način je vjerovatno lakše zapamtiti. Mješoviti razlomci nazivaju se tako jer nastaju spajanjem cijelog prirodnog broja i običnog razlomka.
Mješoviti razlomak se sastoji od cijelog broja i razlomka.
Prilikom čitanja takvih razlomaka, prvo imenuju cijeli dio, a zatim razlomak: jedna cijela dvije trećine, dva cijela jedna petina, tri cijela dvije petine, četiri točka tri četvrtine.
Kako se dobijaju ove mešane frakcije? Prilično je jednostavno. Kada dobijemo nepravilan razlomak u odgovoru (razlomak čiji je brojilac veći od nazivnika), uvijek ga moramo pretvoriti u mješoviti razlomak. Dovoljno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Ova radnja se zove odabir cijelog dijela:
Pretvaranje mješovitog razlomka natrag u nepravilan razlomak je također lako:
Primjeri sa decimalnim razlomcima ocjena 5 sa objašnjenjem
Primjeri nekoliko radnji pokreću mnoga pitanja kod djece. Pogledajmo nekoliko takvih primjera.
(0,4 8,25 - 2,025) : 0,5 =
Prvi korak je pronaći proizvod brojeva 8,25 i 0,4. Množenje vršimo po pravilu. U odgovoru prebrojite tri cifre s desna na lijevo i stavite zarez.
Druga radnja je u zagradama, to je razlika. Od 3.300 oduzimamo 2.025. Radnju bilježimo u koloni sa zarezom ispod zareza.
Treća radnja je podjela. Rezultirajuća razlika u drugom koraku podijeljena je sa 0,5. Zarez je pomjeren za jedno mjesto. Rezultat 2.55.
Odgovor: 2.55.
(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =
Prvi korak je iznos u zagradama. Dodajte ga u kolonu, zapamtite da je zarez ispod zareza. Dobijamo odgovor 1.00.
Druga radnja je razlika u odnosu na drugu zagradu. Pošto minus ima manje decimalnih mjesta od oduzetog, dodajemo onaj koji nedostaje. Rezultat oduzimanja je 0,125.
Treći korak je podijeliti zbir sa razlikom. Zarez se pomera za tri mesta. Rezultat je podjela 1000 na 125.
Odgovor: 8.
Primjeri sa običnim razlomcima sa različitim nazivnicima ocjena 5 s objašnjenjem
U prvom U ovom primjeru nalazimo zbir razlomaka 5/8 i 3/7. Zajednički imenitelj će biti broj 56. Pronađite dodatne faktore, podijelite 56:8 = 7 i 56:7 = 8. Dodajte ih prvom i drugom razlomku. Pomnožimo brojioce i njihove faktore, dobijemo zbir razlomaka 35/56 i 24/56. Rezultat je bio 59/56. Razlomak je nepravilan, pretvaramo ga u mješoviti broj.Preostali primjeri se rješavaju slično.
Primjeri sa razlomcima ocjena 5 za obuku
Radi praktičnosti, pretvorite miješane razlomke u nepravilne razlomke i izvršite operacije.
Kako naučiti svoje dijete da lako rješava razlomke koristeći Legos
Uz pomoć takvog konstruktora, ne samo da možete razviti dječju maštu, već i jasno na razigran način objasniti što su udio i razlomak.
Na slici ispod se vidi da je jedan dio sa osam krugova cjelina. To znači da ako uzmete slagalicu sa četiri kruga, dobijate polovinu ili 1/2. Na slici se jasno vidi kako se rješavaju primjeri sa Legom, ako brojite krugove na dijelovima.
Kule možete izgraditi od određenog broja dijelova i označiti svaki od njih, kao na slici ispod. Na primjer, uzmimo kupolu od sedam dijelova. Svaki komad zelene konstrukcije će biti 1/7. Ako jednom takvom dijelu dodate još dva, dobijete 3/7. Vizuelno objašnjenje primjera 1/7+2/7 = 3/7.
Da biste dobili petice iz matematike, ne zaboravite naučiti pravila i vježbati ih.
Detetu je teško razumeti frakcione izraze. Većina ljudi ima poteškoća sa. Prilikom proučavanja teme "sabiranje razlomaka sa cijelim brojevima", dijete pada u stupor, jer mu je teško riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje, mora se izvršiti niz proračuna. Na primjer, pretvoriti razlomke ili pretvoriti nepravilan razlomak u pravilan razlomak.
Objasnimo to djetetu jasno. Uzmimo tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treću iseći na 4 dijela. Od isečene jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite pored dva cela voća. Dobijamo ¼ jabuke sa jedne strane i 2 ¾ sa druge strane. Ako ih spojimo, dobićemo tri jabuke. Pokušajmo smanjiti 2 ¾ jabuke za ¼, odnosno ukloniti još jednu krišku, dobićemo 2 2/4 jabuke.
Pogledajmo bliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:
Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za razlomke sa zajedničkim nazivnikom:
Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali ovo se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju konverziju.
Kako pronaći vrijednost izraza gdje su nazivnici različiti
U nekim zadacima morate pronaći značenje izraza gdje su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3
Nađimo vrijednost ovog izraza tako što ćemo pronaći zajednički nazivnik za dva razlomka.
Za brojeve 7 i 3, ovo je 21. Cjelobrojne dijelove ostavljamo istim, a razlomke dovodimo do 21, za to množimo prvi razlomak sa 3, drugi sa 7, dobijamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat, dobijamo dva razlomka sa istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbir:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Šta ako je rezultat zbrajanja nepravilan razlomak koji već ima cijeli broj:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju, zbrajamo cjelobrojne dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Pronalaženje zbira je jasno, pogledajmo oduzimanje:
Iz svega rečenog slijedi pravilo za operacije s mješovitim brojevima:
- Ako trebate oduzeti cijeli broj od frakcijskog izraza, ne morate drugi broj predstaviti kao razlomak, dovoljno je izvršiti operaciju samo nad cijelim dijelovima.
Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:
Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":
4 5/11-2 8/11, brojilac prvog razlomka je manji od drugog. Da bismo to učinili, pozajmimo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobijemo,
3 5/11+11/11=3 cijeli 16/11, oduzmi drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11
- Budite oprezni prilikom dovršavanja zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite razlomke, naglašavajući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojila s vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojilac, na primjer:
19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.
rezimirati:
Prije započinjanja zadatka koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba izvršiti na razlomku da bi rješenje bilo ispravno. Potražite racionalnije rješenje. Ne idi težim putem. Planirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku svesku.
Da biste izbjegli zabunu prilikom rješavanja frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo konzistentnosti. O svemu odlučite pažljivo, bez žurbe.
Idemo u bitku sa domaćim zadacima iz matematike! Neprijatelj su neposlušne frakcije. Program za 5. razred. Strateški važan zadatak je objasniti razlomke djetetu. Zamijenimo uloge sa učiteljem i pokušajmo to učiniti uz malo truda, bez živaca i u pristupačnoj formi. Mnogo je lakše obučiti jednog vojnika nego četu...
ria.ru
Kako djetetu objasniti razlomke
Nemojte čekati da vaše dijete krene u 5. razred i naiđe na razlomke na stranicama udžbenika matematike. Preporučujemo da odgovor na pitanje "Kako objasniti razlomke djetetu" potražite u kuhinji! I uradi to odmah! Čak i ako vaše dijete ima samo 4-5 godina, ono je u stanju razumjeti značenje pojma "razlomci" i čak može naučiti najjednostavnije operacije s razlomcima.
Dijelili smo narandžu.
Ima nas mnogo, ali on je sam
Ova kriška je za ježa, ova kriška je za cigu...
A za vuka - kora.
Sećate se pesme? Evo najjasnijeg primjera i najefikasnijeg vodiča za akciju! Djetetu je najlakše objasniti razlomke na primjeru hrane: isjeći jabuku na polovine i četvrtine, podijeliti pizzu članovima porodice, isjeći veknu hljeba prije ručka itd. Najvažnije je, prije nego što pojedete “vizuelnu pomoć”, ne zaboravite da kažete koji dio cjeline “uništavate”.
- Unesite koncept “dijeljenja”.
Naglasite da je CIJELA narandža (jabuka, čokolada, lubenica, itd.) 1 (označena brojem 1).
- Uvedite koncept "razlomka".
Podijelimo narandžu ili čokoladicu, možete reći i "podijeli" na nekoliko dijelova.
Pokažite svom djetetu poznati predmet - lenjir. Objasnite da između brojeva postoje srednje vrijednosti - dijelovi.
i.ytimg.com
- Objasnite kako pisati razlomke: šta znači brojilac i na šta ukazuje imenilac.
Značenje koncepta "razlomaka" i ispravne notacije može se lako prikazati na primjeru konstruktora. U brojiocu IZNAD crte upisujemo koji dio, a u nazivnik ISPOD linije na koliko je takvih dijelova podijeljena cjelina.
gladtolearn.ru
spacemath.xyz
Obavezno koristite jasan primjer da pokažete razliku između razlomaka s istim brojinikom, ali različitim nazivnicima.
gladtolearn.ru
Na primjeru 4 kvadrata iste veličine pokažite kako ih možete podijeliti na isti/različiti broj dijelova. Pustite dijete da makazama izreže papirnate praznine, a zatim zapišite rezultate koristeći razlomke.
gladtolearn.ru
- Objasnite kako napisati cjelinu kao razlomak.
Sjetite se kvadrata i kako smo ga podijelili na 4 dijela. Kvadrat je cjelina, možemo ga napisati kao 1. Ali kako ga možemo napisati kao razlomak: šta je u brojiocu, šta je u nazivniku? Ako kvadrat podijelimo na 4 dijela, onda je cijeli kvadrat 4/4. Ako kvadrat podijelimo na 8 dijelova, onda je cijeli kvadrat 8/8. Ali to je još uvijek kvadrat, tj. 1. I 4/4 i 8/8 su jedno, cjelina!
Kako djetetu objasniti razlomke: postavljati PRAVA pitanja
Da bi učenik 5. razreda razumio temu "Razlomci" i naučio kako se izvodi računanje s razlomcima, pogledajmo metodologiju. Za nas, roditelje, važno je da shvatimo kako nastavnik objašnjava razlomke djeci u školi, inače možemo potpuno zbuniti našeg „vojnika“.
Razlomak je broj koji je dio cijelog objekta. Uvek je manji od jedan.
Primjer 1. Jabuka je cjelina, a pola jedna polovina. Nije li manji od cijele jabuke? Polovine ponovo podelite na pola. Svaka kriška je jedna četvrtina cijele jabuke, a manja je od jedne polovine.
Razlomak je broj dijelova cjeline.
Primjer 2. Na primjer, u prodavnicu odjeće isporučen je novi proizvod: 30 košulja. Prodavci su uspjeli rasporediti i okačiti samo jednu trećinu svih košulja iz nove kolekcije. Koliko su košulja okačili?
Dijete lako verbalno može izračunati da je trećina (jedna trećina) 10 košulja, tj. 10 je obješeno i odvedeno u prodajni prostor, a još 20 je ostalo u magacinu.
ZAKLJUČAK: Razlomci se mogu koristiti za mjerenje bilo čega, ne samo komada pizze, već i litara u bačvama, broja divljih životinja u šumi, područja itd.
Navedite razne primjere iz života kako bi dijete 5. razreda shvatilo SUŠTINU razlomaka: to će pomoći u budućnosti u rješavanju zadataka i izvođenju računanja s pravilnim i nepravilnim razlomcima, a učenje u 5. razredu neće biti opterećenje, već radost.
Kako možete osigurati da vaše dijete razumije šta brojevi u brojiocu i nazivniku predstavljaju kada piše razlomke?
Primjer 3. Pitajte šta znači 5 u razlomku 4/5?
- Ovako su je podijelili.
- Šta znači 4?
- Ovo je koliko su uzeli.
Poređenje razlomaka je možda najteža tema.
Primjer 4. Pozovite svoje dijete da kaže koji je razlomak veći: 3/10 ili 3/20? Čini se da je 10 manje od 20, onda je odgovor očigledan, ali nije tako! Sjetite se kvadrata koje režemo na komade. Ako se dva kvadrata iste veličine iseku - jedan na 10, drugi na 20 komada - da li je odgovor očigledan? Dakle, koji je razlomak veći?
Operacije sa razlomcima
Ako vidite da je dijete dobro razumjelo značenje pisanja u obliku razlomka, možete prijeći na jednostavne aritmetičke operacije s razlomcima. Koristeći primjer konstruktora, to možete učiniti vrlo jasno.
Primjer 5.
edinstvennaya.ua
Primjer 6. Matematički loto na temu “Razlomci”.
www.kakprosto.ru
Dragi čitatelji, ako znate druge učinkovite metode za objašnjavanje razlomaka djetetu, podijelite ih u komentarima. Rado ćemo dodati našoj kolekciji korisnih školskih savjeta.
Sadržaj lekcijeSabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:
- Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
- Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima
Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:
Primjer 2. Dodajte razlomke i .
Ispostavilo se da je odgovor nepravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izoluje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:
Primjer 3. Dodajte razlomke i .
Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.
Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima
Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.
Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.
Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.
Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.
Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.
Primjer 1. Dodajmo razlomke i
Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6
LCM (2 i 3) = 6
Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.
Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.
Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:
Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:
Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:
Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).
Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).
Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:
Ali postoji i druga strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.
Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:
- Naći LCM nazivnika razlomaka;
- Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
- Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
- Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
- Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
.
Koristimo gore navedene upute.
Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka
Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4
Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak
LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:
Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:
Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:
Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima
Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:
Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:
Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.
Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli dio
Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:
Dobili smo odgovor
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:
- Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
- Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.
Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:
Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
- Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.
Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.
Primjer 1. Pronađite značenje izraza:
Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.
Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12
LCM (3 i 4) = 12
Sada se vratimo na razlomke i
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:
Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:
Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:
Dobili smo odgovor
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu
Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:
Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):
Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.
Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.
Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:
Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.
Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:
Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.
Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.
Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:
Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10
Dobili smo odgovor
Množenje razlomka brojem
Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka s tim brojem, a imenilac ostaviti isti.
Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.
Pomnožite brojilac razlomka brojem 1
Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu
Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:
Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojilac razlomka sa 4
Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze
A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.
Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:
Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:
I uzmi dva od ova tri komada:
Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:
Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:
Drugim riječima, govorimo o pizzi iste veličine. Stoga je vrijednost izraza
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:
Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:
Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.
Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:
Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15
Predstavljanje cijelog broja kao razlomak
Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:
Recipročni brojevi
Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".
Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.
Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:
Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.
Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:
Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:
Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:
To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.
Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.
Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.
Deljenje razlomka brojem
Recimo da imamo pola pice:
Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?
Vidi se da su nakon podjele polovine pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.
Podjela razlomaka se vrši korištenjem recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi vam omogućavaju da zamijenite dijeljenje množenjem.
Da biste razlomak podijelili brojem, trebate taj razlomak pomnožiti s inverzom djelitelja.
Koristeći ovo pravilo, zapisaćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.
Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je broj 2.
Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa