Da razumem šta je to fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom. Sada pređimo na stvarni opis svih potrebnih radova. Ovo će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.
Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?
Uzmimo ovaj sistem kao primjer linearne jednačine:
Hajde da pronađemo rešenje za ovaj linearni sistem jednačina. Za početak, mi potrebno je da napišete matricu koeficijenata sistema.
Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz petog reda i upisati razliku u peti red. 
Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(32)$, trebate oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u treći red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(42)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 2 iz četvrtog reda i upišete razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 3 iz petog reda i upišete razliku u peti red. 
Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, oni će postati nula. 
Prema ovoj matrici zapiši novi sistem jednačine.
Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi treba da pomerimo poslednje dve nepoznate udesno.
Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo rezultirajući rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani. 
Tada umjesto $x_4$ i $x_5$, možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.
Homogeni sistem je uvijek konzistentan i ima trivijalno rješenje 
. Da bi postojalo netrivijalno rješenje, potrebno je da je rang matrice 
bio manji broj nepoznato:
.
Osnovni sistem rješenja
homogeni sistem 
nazovite sistem rješenja u obliku vektora stupaca 
, koji odgovaraju kanonskoj osnovi, tj. bazi u kojoj proizvoljne konstante 
se naizmjenično postavljaju jednakima jedan, dok su ostali postavljeni na nulu.
Onda zajednička odluka homogeni sistem ima oblik:
Gdje 
- proizvoljne konstante. Drugim riječima, cjelokupno rješenje je linearna kombinacija osnovnog sistema rješenja.
Dakle, osnovna rješenja se mogu dobiti iz općeg rješenja ako se slobodnim nepoznanicama zauzvrat da vrijednost jedan, postavljajući sve ostale jednake nuli.
Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem
Prihvatimo , tada ćemo dobiti rješenje u obliku:
Konstruirajmo sada fundamentalni sistem rješenja:
.
Opšte rješenje će biti zapisano kao:
Rešenja sistema homogenih linearnih jednačina imaju sledeća svojstva:
Drugim riječima, svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema je opet rješenje.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom
Rešavanje sistema linearnih jednačina zanimalo je matematičare već nekoliko vekova. Prvi rezultati dobijeni su u 18. veku. Godine 1750. G. Kramer (1704–1752) objavio je svoje radove o determinantama kvadratnih matrica i predložio algoritam za pronalaženje inverzna matrica. Godine 1809. Gauss je predstavio novu metodu rješenja poznata kao metoda eliminacije.
Gaussova metoda, odnosno metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica, sastoji se u tome što se pomoću elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika. Takvi sistemi omogućavaju sekvencijalno pronalaženje svih nepoznatih u određenom redoslijedu.
Pretpostavimo da je u sistemu (1) 
(što je uvek moguće).
(1)
Množenjem prve jednačine jednu po jednu sa tzv odgovarajući brojevi
i dodavanjem rezultata množenja sa odgovarajućim jednačinama sistema, dobijamo ekvivalentni sistem u kojem u svim jednačinama osim u prvoj neće biti nepoznate X 1
(2)
Pomnožimo sada drugu jednačinu sistema (2) odgovarajućim brojevima, uz pretpostavku da je to 
,
i dodajući ga sa nižim, eliminišemo varijablu 
iz svih jednačina, počevši od treće.
Nastavak ovog procesa, nakon 
korak dobijamo:
(3)
Ako je barem jedan od brojeva 
nije jednako nuli, onda je odgovarajuća jednakost kontradiktorna i sistem (1) je nekonzistentan. Obrnuto, za bilo koji zajednički brojni sistem 
jednaki su nuli. Broj 
nije ništa drugo do rang matrice sistema (1).
Prijelaz iz sistema (1) u (3) se zove samo naprijed Gaussova metoda i pronalaženje nepoznanica iz (3) – obrnuto .
Komentar : Pogodnije je izvršiti transformacije ne sa samim jednadžbama, već sa proširenom matricom sistema (1).
Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem
.
Napišimo proširenu matricu sistema:
.
Dodajmo prvi redovima 2,3,4, pomnožen sa (-2), (-3), (-2) redom:
.
Zamenimo redove 2 i 3, a zatim u rezultujućoj matrici dodamo red 2 na red 4, pomnožen sa 
:
.
Dodajte u red 4 red 3 pomnožen sa 
:
.
Očigledno je da 
, dakle, sistem je konzistentan. Iz rezultirajućeg sistema jednačina
nalazimo rješenje obrnutom zamjenom:
,
,
,
.
Primjer 2. Pronađite rješenje za sistem:
.
Očigledno je da je sistem nekonzistentan, jer 
, A 
.
Prednosti Gaussove metode :
Manje radno intenzivan od Cramerove metode.
Nedvosmisleno utvrđuje kompatibilnost sistema i omogućava vam da pronađete rješenje.
Omogućava određivanje ranga bilo koje matrice.
Zadane matrice
Pronađite: 1) aA - bB,
Rješenje: 1) Nalazimo ga sekvencijalno, koristeći pravila množenja matrice brojem i sabiranja matrica.
2. Pronađite A*B ako
Rješenje: Koristimo pravilo množenja matrice
odgovor: 
3. Za datu matricu pronađite minor M 31 i izračunajte determinantu.
Rješenje: Minor M 31 je determinanta matrice koja se dobija iz A
nakon precrtavanja reda 3 i kolone 1. Nalazimo
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Transformirajmo matricu A bez promjene njene determinante (napravimo nule u redu 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Sada izračunavamo determinantu matrice A proširenjem duž reda 1
Odgovor: M 31 = 0, detA = 0
Riješite Gaussovom metodom i Cramerovom metodom.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Rješenje: Hajde da proverimo
Možete koristiti Cramerovu metodu
Rješenje sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Primijenimo Gaussovu metodu.
Svedujmo proširenu matricu sistema na trouglasti oblik.
Radi lakšeg izračunavanja, zamijenimo redove:
Pomnožite 2. red sa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodajte trećem:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Pomnožite prvi red sa (k = -2 / 2 = -1 ) i dodajte drugom:
Sada se originalni sistem može napisati kao:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Iz 2. reda izražavamo
Od 1. reda izražavamo
Rješenje je isto.
Odgovor: (2; -5; 3)
Pronađite opšte rješenje sistema i FSR-a
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Rješenje: Primijenimo Gaussovu metodu. Svedujmo proširenu matricu sistema na trouglasti oblik.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Pomnožite prvi red sa (-11). Pomnožite 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:
| -2 | -2 | -3 | ||
Pomnožite 2. red sa (-5). Pomnožimo 3. red sa (11). Dodajmo 3. red u 2.:
Pomnožite 3. red sa (-7). Pomnožimo 4. red sa (5). Dodajmo 4. red u 3.:
Druga jednačina je linearna kombinacija ostalih
Nađimo rang matrice.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Odabrani minor ima najveći red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na obrnutoj dijagonali), stoga rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1 , x 2 , što znači da su nepoznate x 1 , x 2 zavisne (osnovne), a x 3 , x 4 , x 5 su slobodne.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo zajednička odluka:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Pronalazimo fundamentalni sistem rješenja (FSD), koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna.
Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata reda bude jednak broju redova, odnosno 3.
Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 , x 4 , x 5 vrijednosti iz linija determinante 3. reda, različite od nule, i izračunati x 1 , x 2 .
Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.
Ali zgodnije je uzeti ovdje
Pronalazimo koristeći opće rješenje:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I odluka FSR-a: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II FSR rješenje: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III odluka FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Dato je: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Pronađite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Rješenje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i
Rešenja homogenog sistema imaju sledeća svojstva. Ako je vektor = (α 1 , α 2 ,... ,α n) je rješenje sistema (15.14), tada za bilo koji broj k vektor k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n) biće rešenje za ovaj sistem. Ako je rješenje sistema (15.14) vektor = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), zatim iznos + će također biti rješenje za ovaj sistem. Iz toga slijedi svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema je također rješenje za ovaj sistem.
Kao što znamo iz odjeljka 12.2, svaki sistem n-dimenzionalni vektori koji se sastoje od više od P vektori su linearno zavisni. Dakle, iz skupa vektora rješenja homogenog sistema (15.14) može se izabrati baza, tj. svako vektorsko rješenje datog sistema bit će linearna kombinacija vektora ove baze. Svaka takva osnova se zove fundamentalni sistem rješenja homogeni sistem linearnih jednačina. Tačna je sljedeća teorema koju iznosimo bez dokaza.
TEOREMA 4. Ako je rang r sistema homogene jednačine (15.14) je manji od broja nepoznanica n, tada svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (15.14) sastoji se od n - r rješenja.
Naznačimo sada metodu za pronalaženje fundamentalnog sistema rješenja (FSS). Neka sistem homogenih jednačina (15.14) ima rang r< п. Zatim, kao što slijedi iz Cramerovih pravila, osnovne nepoznanice ovog sistema x 1 , x 2 , … x r linearno izraženo u terminima slobodnih varijabli x r + 1 , xr + 2 , ..., x p:
Odaberimo pojedina rješenja homogenog sistema (15.14) prema sljedećem principu. Da bismo pronašli prvi vektor rješenja postavili smo x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Tada nalazimo drugo rješenje 2: prihvatamo x r+2 = 1 i ostalo r- Postavite 1 slobodnu varijablu na nulu. Drugim riječima, svakoj slobodnoj varijabli sekvencijalno dodjeljujemo jediničnu vrijednost, postavljajući ostatak na nulu. Dakle, osnovni sistem rješenja u vektorskom obliku, uzimajući u obzir prvo r bazne varijable (15.15) ima oblik
FSR (15.16) je jedan od osnovnih skupova rješenja homogenog sistema (15.14).
Primjer 1. Naći rješenje i FSR sistema homogenih jednačina
Rješenje. Ovaj sistem ćemo riješiti Gausovom metodom. Pošto je broj jednačina sistema manji od broja nepoznanica, razmatramo X 1 , x 2 , X 3 osnovne nepoznanice, i x 4 , X 5 , x 6 - slobodne varijable. Hajde da sastavimo proširenu matricu sistema i izvršimo akcije koje čine direktan tok metode.
Rješenje linearnih sistema algebarske jednačine(SLAU) je nesumnjivo najvažnija tema kurs linearne algebre. Velika količina problemi iz svih grana matematike svode se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete
- odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
- proučavati teoriju odabrane metode,
- riješite svoj sistem linearnih jednačina pregledom detaljnih rješenja tipični primjeri i zadatke.
Kratak opis materijala članka.
Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.
Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.
Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept osnovni mol matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.
Svakako ćemo se zadržati na strukturi općeg rješenja homogenih i nehomogenih homogeni sistemi linearne algebarske jednadžbe. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.
U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme pri čijem rješavanju nastaju SLAE.
Navigacija po stranici.
Definicije, koncepti, oznake.
Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika
Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).
Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.
IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje 
- glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.
Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj. 
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli takođe postaje identitet.
Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.
Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.
Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.
Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli 
, tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.
Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.
Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.
Počeli smo proučavati takve SLAE u srednja škola. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.
Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.
Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina 
u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.
Neka je determinanta glavne matrice sistema, i 
- determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova: 
Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao 
. Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.
Primjer.
Cramerova metoda 
.
Rješenje.
Glavna matrica sistema ima oblik 
. Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.
Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante 
(determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih termina, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) : 
Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula 
:
odgovor:
Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.
Pošto je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnom metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.
Rješenje.
Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku: 
Jer
tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao 
.
Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice 
na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak): 
odgovor:
ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.
Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli 
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok ne ostane samo nepoznata varijabla x n u poslednjoj jednačini. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.
Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , i 
.
Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.
Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici 
Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , i 
. Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.
Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici 
Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik 
Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .
Primjer.
Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.
Rješenje.
Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa: 
Sada eliminišemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem levom i desna strana lijeva i desna strana druge jednadžbe, pomnožene sa: 
Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.
Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3: 
Iz druge jednačine dobijamo .
Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.
odgovor:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
IN opšti slučaj broj jednačina sistema p se ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli n:
Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.
Kronecker–Capelli teorem.
Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).
Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.
Primjer.
Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima 
rješenja.
Rješenje.
. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda 
različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče: 
Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.
Zauzvrat, rang proširene matrice 
je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda 
različito od nule.
dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.
odgovor:
Sistem nema rješenja.
Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?
Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.
Zove se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule osnovni.
Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora; uvijek postoji jedan bazni minor.
Na primjer, razmotrite matricu 
.
Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.
Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule 
Maloljetnici 
nisu osnovne, jer su jednake nuli.
Teorema o rangu matrice.
Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.
Šta nam govori teorema o rangu matrice?
Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njen red je jednak r) i isključujemo iz sistema sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).
Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Primjer.
.
Rješenje.
Rang glavne matrice sistema 
je jednako dva, pošto je minor drugog reda 
različito od nule. Prošireni matrični rang 
je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula 
a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.
Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine: 
Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice: 
Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom: 
odgovor:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada na lijevoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desne strane jednačine sistema sa suprotnim predznakom.
Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.
Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.
Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu uzeti proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli jedini način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.
Pogledajmo to na primjeru.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina 
.
Rješenje.
Nađimo rang glavne matrice sistema 
metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom: 
Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda: 
Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.
Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.
Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor: 
Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu: 
Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo 
, gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik 
Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu: 
Dakle, .
U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.
odgovor:
Gdje su proizvoljni brojevi.
Sažmite.
Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.
Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.
Ako je poredak osnovice minor jednak broju nepoznate varijable, onda SLAE ima jedinstveno rješenje, koje nalazimo bilo kojom metodom koja nam je poznata.
Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznanice varijable po metodi Cramer, matrična metoda ili Gaussova metoda.
Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.
Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.
Pazi Detaljan opis i analizirao primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.
U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.
Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.
Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.
Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupaste matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantni koeficijenti C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno, .
Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?
Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), koristeći formulu dobićemo jedno od rješenja za originalni homogeni SLAE.
Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .
Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.
Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desnu stranu sistemskih jednačina suprotnih predznaka. Dajmo besplatne nepoznate varijabilne vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunati glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednačina na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .
Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti 0,0,…,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.
Pogledajmo primjere.
Primjer.
Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Rješenje.
Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda: 
Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom: 
Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine: 
Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti: 
Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:
Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina 
.