Homogene

On ovu lekciju razmotrićemo tzv homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Zajedno sa odvojive jednačine I linearne nehomogene jednadžbe ova vrsta daljinskog upravljača nalazi se u gotovo svakom testni rad na temu difuzora. Ako ste došli na stranicu iz tražilice ili niste baš sigurni u razumijevanje diferencijalnih jednadžbi, onda prvo toplo preporučujem da prođete kroz uvodnu lekciju na temu - Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Činjenica je da će mnogi principi za rješavanje homogenih jednačina i korištene tehnike biti potpuno isti kao i za najjednostavnije jednadžbe s odvojivim varijablama.

Koja je razlika između homogenih diferencijalnih jednadžbi i drugih tipova diferencijalnih jednačina? Najlakši način da to odmah objasnite je konkretnim primjerom.

Primjer 1

Rješenje:
Šta Prvo treba analizirati prilikom odlučivanja bilo koji diferencijalna jednadžba prva narudžba? Prije svega, potrebno je provjeriti da li je moguće odmah odvojiti varijable pomoću „školskih“ radnji? Obično se ova analiza radi mentalno ili pokušajem odvajanja varijabli u nacrtu.

IN u ovom primjeru varijable se ne mogu odvojiti(možete pokušati izbaciti pojmove iz dijela u dio, podići faktore iz zagrada, itd.). Inače, u ovom primjeru činjenica da se varijable ne mogu podijeliti je sasvim očigledna zbog prisustva množitelja.

Postavlja se pitanje: kako riješiti ovaj difuzni problem?

Treba provjeriti i zar ne zadata jednačina homogena? Verifikacija je jednostavna, a sam algoritam verifikacije se može formulisati na sledeći način:

Na originalnu jednačinu:

umjesto zamjenjujemo, umjesto zamjenjujemo, ne diramo derivat:

Slovo lambda je uslovni parametar i ovdje igra sljedeću ulogu: ako je, kao rezultat transformacija, moguće "uništiti" SVE lambda i dobiti originalnu jednačinu, onda je ovo diferencijalna jednadžba je homogena.

Očigledno je da se lambda odmah smanjuju za eksponent:

Sada sa desne strane vadimo lambdu iz zagrada:

i podijeliti oba dijela sa istom lambdom:

Kao rezultat Sve Lambde su nestale kao san, kao jutarnja magla, i dobili smo originalnu jednačinu.

zaključak: Ova jednačina je homogena

Kako riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu?

Imam veoma dobre vesti. Apsolutno sve homogene jednadžbe se mogu riješiti upotrebom jedne (!) standardne zamjene.

Funkcija “igre” bi trebala biti zamijeniti rad neka funkcija (takođe zavisi od “x”) i "x":

Gotovo uvijek kratko pišu:

Saznajemo u što će se derivat pretvoriti takvom zamjenom, koristimo pravilo diferencijacije proizvoda. Ako onda:

Zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Šta će dati takva zamjena? Nakon ove zamjene i pojednostavljenja, mi garantovano dobijamo jednačinu sa odvojivim varijablama. ZAPAMTITE kao prva ljubav :) i, shodno tome, .

Nakon zamjene vršimo maksimalna pojednostavljenja:

Pošto je funkcija koja zavisi od “x”, njen izvod se može napisati kao standardni razlomak: .
ovako:

Odvajamo varijable, dok na lijevoj strani trebate prikupiti samo “te”, a na desnoj strani - samo “x”:

Varijable su razdvojene, integrirajmo:


Prema mom prvom tehničkom savjetu iz članka Diferencijalne jednadžbe prvog reda u mnogim slučajevima je preporučljivo „formulisati“ konstantu u obliku logaritma.

Nakon što je jednačina integrisana, moramo izvršiti obrnuta zamjena, također je standardan i jedinstven:
Ako onda
U ovom slučaju:

U 18-19 slučajeva od 20, rješenje homogene jednačine je zapisano kao opći integral.

odgovor: opšti integral:

Zašto je odgovor na homogenu jednačinu gotovo uvijek dat u obliku opšteg integrala?
U većini slučajeva nemoguće je eksplicitno izraziti "y" (get zajednička odluka), pa čak i ako je moguće, onda se najčešće opće rješenje pokaže glomazno i ​​nespretno.

Tako, na primjer, u razmatranom primjeru, opće rješenje se može dobiti vaganjem logaritama na obje strane općeg integrala:

- Pa, to je u redu. Mada, morate priznati, ipak je malo krivo.

Inače, u ovom primjeru nisam sasvim „pristojno“ zapisao opći integral. Nije greška, ali u "dobrom" stilu, podsjećam da se opći integral obično piše u obliku . Da biste to učinili, odmah nakon integracije jednačine, konstantu treba napisati bez ikakvog logaritma (ovdje je izuzetak od pravila!):

I nakon obrnute zamjene, dobiti opći integral u "klasičnom" obliku:

Dobijeni odgovor se može provjeriti. Da biste to učinili, morate razlikovati opći integral, odnosno pronaći derivat funkcije specificirane implicitno:

Riješimo se razlomaka množenjem svake strane jednadžbe sa:

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Preporučljivo je uvijek provjeriti. Ali homogene jednadžbe su neugodne po tome što je obično teško provjeriti njihove opće integrale - to zahtijeva vrlo, vrlo pristojnu tehniku ​​diferencijacije. U razmatranom primjeru, tokom verifikacije je već bilo potrebno pronaći ne najjednostavnije derivate (iako je sam primjer prilično jednostavan). Ako možete provjeriti, provjerite!

Primjer 2

Provjeriti homogenost jednačine i pronaći njen opći integral.

Odgovor upišite u formular

Ovo je primjer za vas da sami odlučite - tako da vam bude ugodno sa samim algoritmom radnji. Provjeru možete obaviti u slobodno vrijeme, jer... ovde je dosta komplikovano, a nisam se ni potrudio da to predstavim, inače nećete više doći kod takvog manijaka :)

A sada ono obećano važna tačka, spomenut u samom početak teme,
Istaknut ću podebljanim crnim slovima:

Ako tokom transformacija „resetujemo” množilac (nije konstanta)u imenilac, onda RIZIKujemo da izgubimo rješenja!

I u stvari, naišli smo na to u prvom primjeru uvodna lekcija o diferencijalnim jednadžbama. U procesu rješavanja jednadžbe, pokazalo se da je "y" u nazivniku: , ali je, očito, rješenje za DE i kao rezultat nejednake transformacije (podjele) postoji svaka šansa da se izgubi! Druga stvar je da je ona uključena u opšte rješenje na nultu vrijednost konstante. Resetovanje „X“ u nazivniku se takođe može zanemariti, jer ne zadovoljava originalni difuzor.

Slična priča i sa trećom jednačinom iste lekcije, prilikom čijeg rješavanja smo “spustili” u nazivnik. Strogo govoreći, ovdje je trebalo provjeriti da li je ovaj difuzor rješenje? Na kraju krajeva, jeste! Ali čak i ovdje "sve je ispalo u redu", budući da je ova funkcija uključena u opći integral u .

A ako ovo često funkcionira s "razdvojivim" jednadžbama, onda s homogenim i nekim drugim difuzerima možda neće raditi. Vrlo vjerovatno.

Hajde da analiziramo probleme koji su već riješeni u ovoj lekciji: u Primjer 1 došlo je do “resetovanja” X, ali to ne može biti rješenje jednačine. Ali unutra Primjer 2 podijelili smo se na , ali se i „izvukao“: pošto , rješenja nisu mogla biti izgubljena, jednostavno ih nema. Ali, naravno, namjerno sam kreirao “sretne prilike” i nije činjenica da će se u praksi naići na sljedeće:

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednačinu

Nije li to jednostavan primjer? ;-)

Rješenje: homogenost ove jednačine je očigledna, ali ipak - na prvom koraku UVIJEK provjeravamo da li je moguće odvojiti varijable. Jer jednačina je takođe homogena, ali se varijable u njoj lako odvajaju. Da, postoje takve stvari!

Nakon provjere „odvojivosti“, vršimo zamjenu i pojednostavljujemo jednačinu što je više moguće:

Odvajamo varijable, skupljamo "te" na lijevoj strani i "x" na desnoj strani:

I ovdje STOP. Kada dijelimo po, rizikujemo da izgubimo dvije funkcije odjednom. Od , ovo su funkcije:

Prva funkcija je očito rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugi - također zamjenjujemo njegov derivat u naš difuzor:

– dobije se tačna jednakost, što znači da je funkcija rješenje.

I rizikujemo da izgubimo ove odluke.

Osim toga, pokazalo se da je imenilac "X", međutim, zamjena implicira da nije nula. Zapamtite ovu činjenicu. Ali! Obavezno provjerite, je rješenje ORIGINALNE diferencijalne jednadžbe. Ne nije.

Zabilježimo sve ovo i nastavimo:

Moram reći da sam imao sreće sa integralom lijeve strane, može biti mnogo gore.

Sakupljamo jedan logaritam na desnoj strani i odbacujemo okove:

A sada samo obrnuta zamjena:

Pomnožimo sve pojmove sa:

Sada bi trebao provjeriti - da li su “opasna” rješenja uključena u opći integral. Da, oba rješenja su uključena u opći integral na nultu vrijednost konstante: , tako da ih nije potrebno dodatno označavati u odgovori:

opšti integral:

Ispitivanje. Nije čak ni test, već čisto zadovoljstvo :)

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Da to riješite sami:

Primjer 4

Izvršite test homogenosti i riješite diferencijalnu jednačinu

Provjeriti opći integral diferencijacijom.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Pogledajmo nekoliko primjera kada homogena jednačina specificirano sa gotovim diferencijalima.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je veoma zanimljiv primjer, samo cijeli triler!

Rješenje Naviknut ćemo se da ga dizajniramo kompaktnije. Prvo, mentalno ili na nacrtu, uvjeravamo se da se varijable ne mogu odvojiti ovdje, nakon čega provodimo test homogenosti - to se obično ne provodi na konačnom nacrtu. (osim ako nije posebno potrebno). Dakle, rješenje gotovo uvijek počinje unosom: “ Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu: ...».

Ako homogena jednadžba sadrži gotove diferencijale, onda se može riješiti modificiranom zamjenom:

Ali ne preporučujem korištenje takve zamjene, jer će se ispostaviti da je to Veliki zid kineskih diferencijala, gdje vam treba oko i oko. Sa tehničke tačke gledišta, povoljnije je preći na "isprekidanu" oznaku derivacije; da bismo to učinili, podijelimo sve članove jednadžbe sa:

I tu smo već napravili „opasnu“ transformaciju! Nulti diferencijal odgovara porodici pravih linija paralelnih sa osom. Jesu li oni korijeni našeg DU? Zamijenimo u originalnu jednačinu:

Ova jednakost vrijedi ako, tj. pri dijeljenju s rizikujemo da izgubimo rješenje, i izgubili smo ga- od tada više ne zadovoljava rezultirajuća jednačina .

Treba napomenuti da ako smo u početku data je jednačina , onda ne bi bilo govora o korijenu. Ali imamo ga i na vrijeme smo ga uhvatili.

Nastavljamo rješenje standardnom zamjenom:
:

Nakon zamjene, pojednostavljujemo jednačinu što je više moguće:

Odvajamo varijable:

I ovdje opet STOP: pri dijeljenju s rizikujemo da izgubimo dvije funkcije. Od , ovo su funkcije:

Očigledno, prva funkcija je rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugi - također zamjenjujemo njegovu izvedenicu:

– primljeno istinska jednakost, što znači da je funkcija također rješenje diferencijalne jednadžbe.

A prilikom dijeljenja s rizikujemo da izgubimo ova rješenja. Međutim, oni mogu ući u opšti integral. Ali možda neće ući

Uzmimo ovo u obzir i integrirajmo oba dijela:

Integral lijeve strane rješava se na standardni način korištenjem isticanje kompletnog kvadrata, ali je mnogo praktičniji za korištenje u difuzerima metoda nesigurnih koeficijenata:

Korištenje metode neizvesni koeficijenti, proširujemo integrand u zbir elementarnih razlomaka:


ovako:

Pronalaženje integrala:

– pošto smo nacrtali samo logaritme, guramo i konstantu ispod logaritma.

Prije zamjene opet pojednostavljuje sve što se može pojednostaviti:

Resetiranje lanaca:

I obrnuta zamjena:

Sada se prisjetimo "izgubljenih stvari": rješenje je bilo uključeno u opći integral na , ali je "proletjelo pored kase", jer ispostavilo se da je imenilac. Stoga se u odgovoru dodjeljuje posebna fraza, i da - ne zaboravite na izgubljeno rješenje, koje se, usput rečeno, također pokazalo ispod.

odgovor: opšti integral: . Više rješenja:

Ovdje nije tako teško izraziti generalno rješenje:
, ali ovo je već razmetanje.

Pogodno, međutim, za provjeru. Nađimo derivat:

i zamena na lijevu stranu jednačine:

– kao rezultat primljen desni deo jednačine, što je trebalo provjeriti.

Sljedeći difuzor radi samostalno:

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednačinu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Pokušajte da izrazite generalno rješenje ovdje u isto vrijeme za praksu.

U završnom dijelu lekcije razmotrit ćemo još nekoliko tipičnih zadataka na tu temu:

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Idemo utabanim putem. Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu:

“X” je ovdje u redu, ali šta je sa kvadratnim trinomom? Pošto se ne može razložiti na faktore: , onda definitivno ne gubimo rješenja. Uvek bi bilo ovako! Odaberite cijeli kvadrat na lijevoj strani i integrirajte:

Ovdje se nema šta pojednostavljivati, pa stoga i obrnuta zamjena:

odgovor: opšti integral:

Primjer 8

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Dakle:

Za nejednake konverzije UVIJEK provjerite (barem verbalno), Gubite li svoja rješenja? Koje su to transformacije? Obično skraćivanje ili dijeljenje nečega. Tako, na primjer, prilikom dijeljenja sa, trebate provjeriti jesu li funkcije rješenja diferencijalne jednadžbe. U isto vrijeme, prilikom dijeljenja sa, više nema potrebe za takvom provjerom - zbog činjenice da ovaj djelitelj ne ide na nulu.

Evo još jednog opasnoj situaciji:

Ovdje, rješavajući se , trebali biste provjeriti da li je DE rješenje. Često se “x” i “y” koriste kao takvi množitelji, a njihovim smanjenjem gubimo funkcije koje se mogu pokazati kao rješenja.

S druge strane, ako je nešto POČETNO u nazivniku, onda nema razloga za takvu zabrinutost. Dakle, u homogenoj jednadžbi, ne morate da brinete o funkciji jer je „deklarisana“ u nazivniku.

Navedene suptilnosti ne gube na svojoj važnosti, čak i ako problem zahtijeva pronalaženje samo određenog rješenja. Postoji, iako mala, šansa da izgubimo upravo traženo konkretno rješenje. Da li je istina Cauchy problem u praktičnim zadacima sa homogenim jednačinama postavlja se prilično rijetko. Međutim, u članku ima takvih primjera Jednačine se svode na homogene, koju preporučujem da proučavate "vruće za petama" kako biste ojačali svoje vještine rješavanja.

Postoje i složenije homogene jednačine. Poteškoća nije u promjenljivim promjenama ili pojednostavljenjima, već u prilično teškim ili rijetkim integralima koji nastaju kao rezultat razdvajanja varijabli. Imam primjere rješenja takvih homogenih jednačina - strašne integrale i zastrašujuće odgovore. Ali o njima nećemo, jer u narednim lekcijama (vidi dolje) Još imam vremena da te mučim, želim da te vidim svježe i optimistične!

Sretna promocija!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Provjerimo homogenost jednačine, za tu svrhu u originalnoj jednačini umjesto zamenimo , i umjesto zamenimo:

Kao rezultat, dobija se originalna jednačina, što znači da je ovaj DE homogen.

Stani! Pokušajmo razumjeti ovu glomaznu formulu.

Prva varijabla u snazi ​​s nekim koeficijentom bi trebala biti prva. U našem slučaju jeste

U našem slučaju jeste. Kako smo saznali, to znači da stepen kod prve varijable konvergira. I druga varijabla do prvog stepena je na mjestu. Koeficijent.

Imamo ga.

Prva varijabla je snaga, a druga varijabla je na kvadrat, sa koeficijentom. Ovo je posljednji član u jednačini.

Kao što vidite, naša jednadžba odgovara definiciji u obliku formule.

Pogledajmo drugi (verbalni) dio definicije.

Imamo dvije nepoznate i. Ovdje se spaja.

Hajde da razmotrimo sve uslove. U njima bi zbir stepeni nepoznanica trebao biti isti.

Zbir stepeni je jednak.

Zbir potencija je jednak (at i at).

Zbir stepeni je jednak.

Kao što vidite, sve odgovara!!!

Sada vježbajmo definiranje homogenih jednačina.

Odredite koja od jednačina je homogena:

Homogene jednadžbe - jednadžbe sa brojevima:

Razmotrimo jednačinu odvojeno.

Ako svaki pojam podijelimo rastavljanjem na faktore, dobićemo

I ova jednadžba u potpunosti potpada pod definiciju homogenih jednačina.

Kako riješiti homogene jednačine?

Primjer 2.

Podijelimo jednačinu sa.

Prema našem uslovu, y ne može biti jednako. Stoga možemo bezbedno podeliti po

Izradom zamjene dobijamo jednostavnu kvadratna jednačina:

Pošto je ovo redukovana kvadratna jednadžba, koristimo Vietin teorem:

Nakon što izvršimo obrnutu zamjenu, dobijamo odgovor

odgovor:

Primjer 3.

Podijelimo jednačinu sa (po uslovu).

odgovor:

Primjer 4.

Pronađite ako.

Ovdje ne trebate dijeliti, već množiti. Pomnožimo cijelu jednačinu sa:

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednačinu:

Nakon što smo izvršili obrnutu zamjenu, dobili smo odgovor:

odgovor:

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina.

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi ne razlikuje se od gore opisanih metoda rješenja. Samo ovdje, između ostalog, trebate znati malo trigonometrije. I biti u stanju da odluči trigonometrijske jednačine(za ovo možete pročitati odjeljak).

Pogledajmo takve jednadžbe na primjerima.

Primjer 5.

Riješite jednačinu.

Vidimo tipičnu homogenu jednačinu: i su nepoznanice, a zbir njihovih snaga u svakom članu je jednak.

Takve homogene jednadžbe nije teško riješiti, ali prije podjele jednadžbi na, razmotrite slučaj kada

U ovom slučaju, jednačina će imati oblik: , dakle. Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki u isto vrijeme, jer u osnovi trigonometrijski identitet. Stoga ga sa sigurnošću možemo podijeliti na:

Pošto je jednadžba data, onda prema Vietinoj teoremi:

odgovor:

Primjer 6.

Riješite jednačinu.

Kao u primjeru, trebate podijeliti jednačinu sa. Razmotrimo slučaj kada:

Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zbog toga.

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednačinu:

Uradimo obrnutu zamjenu i pronađemo i:

odgovor:

Rješavanje homogenih eksponencijalnih jednadžbi.

Homogene jednadžbe se rješavaju na isti način kao one o kojima se govorilo gore. Ako ste zaboravili kako se odlučiti eksponencijalne jednačine- pogledajte odgovarajući odjeljak ()!

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 7.

Riješite jednačinu

Zamislimo to ovako:

Vidimo tipičnu homogenu jednačinu, sa dvije varijable i zbirom potencija. Podijelimo jednačinu na:

Kao što vidite, zamjenom dobijamo kvadratnu jednačinu ispod (nema potrebe da se plašite dijeljenja sa nulom - ona je uvijek striktno veća od nule):

Prema Vietovoj teoremi:

odgovor: .

Primjer 8.

Riješite jednačinu

Zamislimo to ovako:

Podijelimo jednačinu na:

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednačinu:

Koren ne zadovoljava uslov. Uradimo obrnutu zamjenu i nađemo:

odgovor:

HOMOGENE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Prvo, na primjeru jednog problema, da vas podsjetim šta su homogene jednačine, a šta je rešenje homogenih jednačina.

Riješite problem:

Pronađite ako.

Ovdje možete primijetiti zanimljivu stvar: ako svaki pojam podijelimo sa, dobićemo:

To jest, sada nema odvojenih i, - sada je varijabla u jednadžbi željena vrijednost. A ovo je obična kvadratna jednadžba koja se lako može riješiti korištenjem Vietinog teorema: proizvod korijena je jednak, a zbroj je brojeva i.

odgovor:

Jednačine oblika

naziva se homogenim. To jest, ovo je jednačina sa dvije nepoznanice, od kojih svaki član ima isti zbir potencija ovih nepoznanica. Na primjer, u gornjem primjeru ovaj iznos je jednak. Homogene jednadžbe se rješavaju dijeljenjem sa jednom od nepoznanica do ovog stepena:

I naknadna zamjena varijabli: . Tako dobijamo jednačinu snage sa jednom nepoznatom:

Najčešće ćemo naići na jednačine drugog stepena (odnosno kvadratne), a znamo ih riješiti:

Imajte na umu da cijelu jednačinu možemo podijeliti (i pomnožiti) promjenljivom samo ako smo uvjereni da ta varijabla ne može biti jednaka nuli! Na primjer, ako se od nas traži da pronađemo, odmah razumijemo da je nemoguće podijeliti. U slučajevima kada to nije tako očigledno, potrebno je posebno provjeriti slučaj kada je ova varijabla jednaka nuli. Na primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ovdje vidimo tipičnu homogenu jednačinu: i su nepoznanice, a zbir njihovih snaga u svakom članu je jednak.

Ali, prije nego što podijelimo i dobijemo relativnu kvadratnu jednačinu, moramo razmotriti slučaj kada. U ovom slučaju, jednačina će imati oblik: , što znači . Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu: . Stoga ga sa sigurnošću možemo podijeliti na:

Nadam se da je ovo rješenje potpuno jasno? Ako ne, pročitajte odjeljak. Ako nije jasno odakle dolazi, morate se vratiti još ranije - u odjeljak.

Odlučite sami:

1. Pronađite ako.
2. Pronađite ako.
3. Riješite jednačinu.

Ovdje ću ukratko direktno napisati rješenje homogenih jednačina:

rješenja:

Odgovor: .

Ali ovdje trebamo množiti, a ne dijeliti:

odgovor:

Ako još niste uzeli trigonometrijske jednadžbe, možete preskočiti ovaj primjer.

Pošto ovdje trebamo podijeliti sa, prvo se uvjerimo da sto nije jednako nuli:

A ovo je nemoguće.

Odgovor: .

HOMOGENE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Rješenje svih homogenih jednačina svodi se na podjelu jednom od nepoznanica na stepen i daljnju promjenu varijabli.

algoritam:

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda koristite supstituciju u=y/x, odnosno u je nova nepoznata funkcija ovisno o x. Stoga y=ux. Izvod y’ nalazimo koristeći pravilo diferencijacije proizvoda: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (pošto je x’=1). Za drugi oblik zapisa: dy = udx + xdu Nakon zamjene, pojednostavljujemo jednačinu i dolazimo do jednačine sa odvojivim varijablama.

Primjeri rješavanja homogenih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

1) Riješite jednačinu

Provjeravamo da li je ova jednačina homogena (pogledajte Kako odrediti homogenu jednačinu). Kada se uvjerimo, vršimo zamjenu u=y/x, od čega je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Zamjena: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Pošto je logaritam proizvoda jednak zbroju logaritama, ln(ux)=lnu+lnx. Odavde

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Nakon donošenja sličnih pojmova: u’x+u=u(1+lnu). Sada otvorite zagrade

u'x+u=u+u·lnu. Obje strane sadrže u, dakle u’x=u·lnu. Pošto je u funkcija od x, u’=du/dx. Hajde da zamenimo

Dobili smo jednačinu sa odvojivim varijablama. Odvajamo varijable množenjem oba dijela sa dx i dijeljenjem sa x·u·lnu, pod uslovom da je proizvod x·u·lnu≠0

Hajde da integrišemo:

Na lijevoj strani - tablica integral. Desno - vršimo zamjenu t=lnu, odakle je dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Ali već smo raspravljali da je u takvim jednačinama pogodnije uzeti ln│C│ umjesto C. Onda

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Prema svojstvu logaritma: ln│t│=ln│Sx│. Stoga je t=Cx. (prema uslovu, x>0). Vrijeme je da napravimo obrnutu zamjenu: lnu=Cx. I još jedna obrnuta zamjena:

Po svojstvu logaritama:

Ovo je opšti integral jednačine.

Podsjećamo na uvjet proizvoda x·u·lnu≠0 (i stoga x≠0,u≠0, lnu≠0, odakle je u≠1). Ali x≠0 iz uslova ostaje u≠1, dakle x≠y. Očigledno, y=x (x>0) je uključeno u opšte rješenje.

2) Naći parcijalni integral jednačine y’=x/y+y/x, koji zadovoljava početne uslove y(1)=2.

Prvo, provjeravamo da li je ova jednadžba homogena (iako prisustvo pojmova y/x i x/y već indirektno ukazuje na to). Zatim vršimo zamjenu u=y/x, od čega je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Dobivene izraze zamjenjujemo u jednačinu:

u'x+u=1/u+u. Hajde da pojednostavimo:

u'x=1/u. Pošto je u funkcija od x, u’=du/dx:

Dobili smo jednačinu sa odvojivim varijablama. Da bismo odvojili varijable, pomnožimo obje strane sa dx i u i podijelimo sa x (x≠0 po uslovu, dakle i u≠0, što znači da nema gubitka rješenja).

Hajde da integrišemo:

a pošto obje strane sadrže tabelarne integrale, odmah dobijamo

Vršimo obrnutu zamjenu:

Ovo je opšti integral jednačine. Koristimo početno stanje y(1)=2, odnosno zamjenjujemo y=2, x=1 u rezultirajuće rješenje:

3) Naći opći integral homogene jednačine:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Zamjena u=y/x, odakle je y=ux, dy=xdu+udx. Zamenimo:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Izvadimo x² iz zagrada i sa njim podijelimo oba dijela (pod uvjetom da je x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Otvorite zagrade i pojednostavite:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Grupiramo pojmove sa du i dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Izvadimo uobičajene faktore iz zagrada:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Odvajamo varijable:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Da bismo to učinili, podijelimo obje strane jednačine sa xu(u²+1)≠0 (prema tome, dodajemo zahtjeve x≠0 (već napomenuto), u≠0):

Hajde da integrišemo:

Na desnoj strani jednačine je tabelarni integral, racionalni razlomak na lijevoj strani činimo ga na proste faktore:

(ili u drugom integralu, umjesto zamjene diferencijalnog predznaka, bilo je moguće napraviti zamjenu t=1+u², dt=2udu - ko voli koja je metoda bolja). Dobijamo:

Prema svojstvima logaritama:

Reverzna zamjena

Podsjećamo na uslov u≠0. Otuda y≠0. Kada je C=0 y=0, to znači da nema gubitka rješenja, a y=0 je uključen u opći integral.

Komentar

Možete dobiti rješenje napisano u drugom obliku ako ostavite pojam sa x na lijevoj strani:

Geometrijsko značenje integralne krive u ovom slučaju je porodica krugova sa centrima na Oy osi i koji prolaze kroz ishodište.

Zadaci za samotestiranje:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Provjeravamo da li je jednadžba homogena, nakon čega vršimo zamjenu u=y/x, odakle je y=ux, dy=xdu+udx. Zamijenite u uslov: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Podijeleći obje strane jednačine sa x²≠0, dobijamo: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Dakle, dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Pojednostavljajući, imamo: dx-xudu=0. Otuda xudu=dx, udu=dx/x. Hajde da integrišemo oba dela:

Na primjer, funkcija
je homogena funkcija prve dimenzije, budući da

je homogena funkcija treće dimenzije, budući da

je homogena funkcija nulte dimenzije, budući da je

, tj.
.

Definicija 2. Diferencijalna jednadžba prvog reda y" = f(x, y) naziva se homogena ako je funkcija f(x, y) je homogena funkcija nulte dimenzije u odnosu na x I y, ili, kako kažu, f(x, y) je homogena funkcija stepena nula.

Može se predstaviti u obliku

što nam omogućava da definišemo homogenu jednačinu kao diferencijalnu jednačinu koja se može transformisati u oblik (3.3).

Zamjena
svodi homogenu jednačinu na jednačinu sa odvojivim varijablama. Zaista, nakon zamjene y =xz dobijamo
,
Odvajajući varijable i integrirajući, nalazimo:

,

Primjer 1. Riješite jednačinu.

Δ Pretpostavljamo y =zx,
Zamijenite ove izraze y I dy u ovu jednačinu:
ili
Odvajamo varijable:
i integrisati:
,

Zamjena z on , dobijamo
.

Primjer 2. Naći opće rješenje jednačine.

Δ U ovoj jednačini P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy su homogene funkcije druge dimenzije, dakle, ova jednadžba je homogena. Može se predstaviti u obliku
i riješi isto kao gore. Ali mi koristimo drugačiji oblik snimanja. Hajde da stavimo y = zx, gdje dy = zdx + xdz. Zamjenom ovih izraza u originalnu jednačinu, imaćemo

dx+2 zxdz = 0 .

Odvajamo varijable brojanjem

.

Integrirajmo ovu jednačinu pojam po član

, gdje

to je
. Povratak na prethodnu funkciju
pronaći opšte rešenje


Primjer 3 . Pronađite opšte rješenje jednačine
.

Δ Lanac transformacija: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Predavanje 8.

4. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik

Evo slobodnog člana, koji se još naziva i desna strana jednačine. U ovom obliku ćemo razmotriti linearna jednačina dalje.

Ako
0, tada se jednačina (4.1a) naziva linearno nehomogenom. Ako
0, tada jednačina poprima oblik

i naziva se linearno homogeno.

Naziv jednačine (4.1a) objašnjava se činjenicom da je nepoznata funkcija y i njen derivat unesite ga linearno, tj. na prvom stepenu.

U linearnoj homogenoj jednadžbi varijable su razdvojene. Prepisivanjem u formu
gdje
i integracijom dobijamo:
, one.

Kada se podijeli po gubimo odluku
. Međutim, može se uključiti u pronađenu porodicu rješenja (4.3), ako to pretpostavimo WITH takođe može uzeti vrijednost 0.

Postoji nekoliko metoda za rješavanje jednačine (4.1a). Prema Bernulijeva metoda, rješenje se traži u obliku proizvoda dvije funkcije od X:

Jedna od ovih funkcija može se odabrati proizvoljno, jer samo proizvod uv mora zadovoljiti prvobitnu jednačinu, druga se određuje na osnovu jednačine (4.1a).

Diferencirajući obje strane jednakosti (4.4), nalazimo
.

Zamjena rezultirajućeg izraza za izvod , kao i vrijednost at u jednačinu (4.1a), dobijamo
, ili

one. kao funkcija v Uzmimo rješenje homogene linearne jednadžbe (4.6):

(Ovdje C Potrebno je napisati, inače ćete dobiti ne opće, već konkretno rješenje).

Dakle, vidimo da se kao rezultat korištene zamjene (4.4), jednačina (4.1a) svodi na dvije jednačine sa odvojivim varijablama (4.6) i (4.7).

Zamena
I v(x) u formulu (4.4), konačno dobijamo

,

.

Primjer 1. Pronađite opšte rješenje jednačine

 Stavimo
, Onda
. Zamjenjivanje izraza I u originalnu jednačinu, dobijamo
ili
(*)

Postavimo koeficijent na nulu jednak :

Razdvajanjem varijabli u rezultirajućoj jednačini imamo


(proizvoljna konstanta C mi ne pišemo), odavde v= x. Pronađena vrijednost v zamijeniti u jednačinu (*):

,
,
.

dakle,
opšte rješenje izvorne jednačine.

Imajte na umu da se jednačina (*) može napisati u ekvivalentnom obliku:

.

Nasumično biranje funkcije u, ali ne v, mogli smo vjerovati
. Ovo rješenje se razlikuje od onog koji se razmatra samo zamjenom v on u(i zbog toga u on v), dakle konačna vrijednost at ispostavilo se da je isto.

Na osnovu navedenog dobijamo algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Zapazite dalje da ponekad jednačina prvog reda postaje linearna ako at smatra nezavisnom varijablom, i x– zavisna, tj. zamijenite uloge x I y. Ovo se može uraditi pod uslovom da x I dx unesite jednačinu linearno.

Primjer 2 . Riješite jednačinu
.

Po izgledu, ova jednadžba nije linearna u odnosu na funkciju at.

Međutim, ako uzmemo u obzir x kao funkcija at, onda, s obzirom na to
, može se dovesti u formu

(4.1 b)

Zamjena on ,dobijamo
ili
. Dijeljenje obje strane posljednje jednadžbe proizvodom ydy, hajde da ga dovedemo u formu

, ili
. (**)

Ovdje P(y)=,
. Ovo je linearna jednadžba u odnosu na x. Mi vjerujemo
,
. Zamjenom ovih izraza u (**) dobijamo

ili
.

Odaberimo v tako da
,
, gdje
;
. Sledeće imamo
,
,
.

Jer
, onda dolazimo do općeg rješenja ove jednačine u obliku

.

Imajte na umu da u jednačini (4.1a) P(x) I Q (x) može biti uključen ne samo u obliku funkcija iz x, ali i konstante: P= a,Q= b. Linearna jednadžba

također se može riješiti zamjenom y= uv i razdvajanje varijabli:

;
.

Odavde
;
;
; Gdje
. Oslobađajući se logaritma, dobijamo opšte rešenje jednačine

(Ovdje
).

At b= 0 dolazimo do rješenja jednačine

(vidjeti jednadžbu eksponencijalnog rasta (2.4) na
).

Prvo, integrišemo odgovarajuću homogenu jednačinu (4.2). Kao što je gore navedeno, njegovo rješenje ima oblik (4.3). Razmotrićemo faktor WITH u (4.3) kao funkcija od X, tj. u suštini praveći promjenu varijable

odakle, integrirajući, nalazimo

Imajte na umu da je prema (4.14) (vidi i (4.9)), opšte rješenje nehomogene linearne jednačine jednako zbiru opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine (4.3) i posebnog rješenja nehomogene jednačine definisane kao drugi član uključen u (4.14) (i u (4.9)).

Prilikom odlučivanja specifične jednačine trebali biste ponoviti gornje proračune, a ne koristiti glomaznu formulu (4.14).

Primijenimo Lagrangeovu metodu na jednačinu koja se razmatra u primjer 1 :

.

Integriramo odgovarajuću homogenu jednačinu
.

Odvajajući varijable, dobijamo
i dalje
. Rješavanje izraza formulom y = Cx. Tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku y = C(x)x. Zamjenom ovog izraza u datu jednačinu dobijamo
;
;
,
. Opće rješenje izvorne jednačine ima oblik

.

U zaključku, napominjemo da se Bernoullijeva jednačina svodi na linearnu jednačinu

, ( )

koji se može napisati u obliku

.

Zamjena
svodi se na linearnu jednačinu:

,
,
.

Bernoullijeve jednadžbe se također mogu riješiti korištenjem gore navedenih metoda.

Primjer 3 . Naći opće rješenje jednačine
.

 Lanac transformacija:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika
, gdje je f funkcija.

Kako odrediti homogenu diferencijalnu jednačinu

Da biste utvrdili da li je diferencijalna jednadžba prvog reda homogena, morate uvesti konstantu t i zamijeniti y sa ty i x sa tx: y → ty, x → tx. Ako t otkaže, onda ovo homogena diferencijalna jednadžba. Izvod y′ se ne mijenja ovom transformacijom.
.

Primjer

Odredite da li je data jednačina homogena

Rješenje

Napravimo zamjenu y → ty, x → tx.


Podijelite sa t 2 .

.
Jednačina ne sadrži t. Dakle, ovo je homogena jednačina.

Metoda za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda reducira se na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene y = ux. Hajde da to pokažemo. Razmotrimo jednačinu:
(i)
Napravimo zamjenu:
y = ux,
gdje je u funkcija od x. Razlikovati u odnosu na x:
y′ =
Zamijenite u originalnu jednačinu (i).
,
,
(ii) .
Razdvojimo varijable. Pomnožite sa dx i podijelite sa x ( f(u) - u).

Kod f (u) - u ≠ 0 i x ≠ 0 dobijamo:

Hajde da integrišemo:

Tako smo dobili opšti integral jednačine (i) u kvadraturama:

Zamenimo konstantu integracije C sa U C, Onda

Izostavimo znak modula, jer je željeni znak određen izborom predznaka konstante C. Tada će opći integral poprimiti oblik:

Zatim treba razmotriti slučaj f (u) - u = 0.
Ako ova jednadžba ima korijene, onda su oni rješenje jednadžbe (ii). Pošto je jednadžba. (ii) ne poklapa se s originalnom jednadžbom, onda biste trebali osigurati da dodatna rješenja zadovoljavaju izvornu jednadžbu (i).

Kad god, u procesu transformacije, podijelimo bilo koju jednačinu nekom funkcijom, koju označavamo kao g (x, y), tada vrijede daljnje transformacije za g (x, y) ≠ 0. Stoga, slučaj g treba razmotriti odvojeno (x, y) = 0.

Primjer rješavanja homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Riješite jednačinu

Rješenje

Provjerimo da li je ova jednačina homogena. Napravimo zamjenu y → ty, x → tx. U ovom slučaju, y′ → y′.
,
,
.
Skraćujemo ga za t.

Konstanta t se smanjila. Stoga je jednadžba homogena.

Napravimo zamjenu y = ux, gdje je u funkcija od x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Zamijenite u originalnu jednačinu.
,
,
,
.
Kada je x ≥ 0 , |x| = x. Kada je x ≤ 0 , |x| = - x . Pišemo |x| = x što znači da se gornji znak odnosi na vrijednosti x ≥ 0 , a donji - na vrijednosti x ≤ 0 .
,
Pomnožite sa dx i podijelite sa .

Kada u 2 - 1 ≠ 0 imamo:

Hajde da integrišemo:

Tabelarni integrali,
.

Primijenimo formulu:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Stavimo a = u, .
.
Uzmimo obje strane po modulu i logaritmizirajmo,
.
Odavde
.

Tako imamo:
,
.
Izostavljamo predznak modula, jer se željeni predznak osigurava izborom predznaka konstante C.

Pomnožite sa x i zamenite ux = y.
,
.
Na kvadrat.
,
,
.

Sada razmotrite slučaj, u 2 - 1 = 0 .
Korijeni ove jednadžbe
.
Lako je provjeriti da funkcije y = x zadovoljavaju originalnu jednačinu.

Odgovori

,
,
.

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Povratak