www.site omogućava vam da pronađete. Stranica vrši proračun. Za nekoliko sekundi server će se oglasiti ispravno rješenje. Karakteristična jednačina za matricu bice algebarski izraz, pronađeno po pravilu za izračunavanje determinante matrice matrice, dok će duž glavne dijagonale postojati razlike u vrijednostima dijagonalnih elemenata i varijable. Prilikom izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online, svaki element matriceće se pomnožiti sa odgovarajućim drugim elementima matrice. Pronađi u načinu rada online moguće samo za kvadrat matrice. Operacija pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online svodi na izračunavanje algebarskog zbroja proizvoda elemenata matrice kao rezultat nalaženja determinante matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Ova operacija zauzima posebno mjesto u teoriji matrice, omogućava vam da pronađete svojstvene vrijednosti i vektore koristeći korijene. Zadatak pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online sastoji se od množenja elemenata matrice nakon čega slijedi zbrajanje ovih proizvoda prema određenom pravilu. www.site nalazi karakteristična jednačina za matricu datu dimenziju u modu online. Kalkulacija karakteristična jednačina za matricu online s obzirom na njegovu dimenziju, ovo je pronalaženje polinoma sa numeričkim ili simboličkim koeficijentima, pronađenim prema pravilu za izračunavanje determinante matrice- kao zbir proizvoda odgovarajućih elemenata matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Pronalaženje polinoma u odnosu na varijablu za kvadrat matrice, kao definicija karakteristična jednačina za matricu, uobičajeno u teoriji matrice. Značenje korijena polinoma karakteristična jednačina za matricu online koristi se za određivanje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti za matrice. Štaviše, ako je determinanta matrice tada će biti jednak nuli karakteristična jednačina matriceće i dalje postojati, za razliku od obrnutog matrice. Da bi izračunali karakteristična jednačina za matricu ili pronađite za nekoliko odjednom matrice karakteristične jednačine, potrebno je uložiti puno vremena i truda, dok će naš server pronaći za nekoliko sekundi karakteristična jednadžba za matricu online. U ovom slučaju, odgovor na pronalaženje karakteristična jednačina za matricu onlineće biti ispravan i sa dovoljnom tačnošću, čak i ako su brojevi prilikom pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online biće iracionalno. Na sajtu www.site unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, to je karakteristična jednadžba za matricu online može se predstaviti u opštem simboličkom obliku prilikom izračunavanja karakteristična jednačina matrice online. Korisno je provjeriti dobijeni odgovor prilikom rješavanja zadatka nalaženja karakteristična jednačina za matricu online korištenjem stranice www.site. Prilikom izvođenja operacije izračunavanja polinoma - karakteristična jednačina matrice, morate biti oprezni i izuzetno fokusirani kada rješavate ovaj problem. Zauzvrat, naša stranica će vam pomoći da provjerite svoju odluku o ovoj temi karakteristična jednačina matrice online. Ako nemate vremena za duge provjere riješenih problema, onda www.siteće svakako biti zgodan alat za provjeru prilikom pronalaženja i izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online.

Sa matricom A, ako postoji broj l takav da je AX = lX.

U ovom slučaju se poziva broj l eigenvalue operator (matrica A) koji odgovara vektoru X.

Drugim riječima, svojstveni vektor je vektor koji se pod djelovanjem linearnog operatora pretvara u kolinearni vektor, tj. samo pomnoži sa nekim brojem. Za razliku od njega, ne sopstveni vektori teže se transformisati.

Zapišimo definiciju sopstvenog vektora u obliku sistema jednačina:

Pomerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Potonji sistem se može napisati u matričnom obliku na sljedeći način:

(A - lE)X = O

Rezultirajući sistem uvijek ima nulto rješenje X = O. Takvi sistemi u kojima su svi slobodni termini jednaki nuli se nazivaju homogena. Ako je matrica takvog sistema kvadratna i njena determinanta nije jednaka nuli, onda koristeći Cramerove formule uvijek dobijamo jedina odluka- nula. Može se dokazati da sistem ima različita od nule rješenja ako i samo ako je determinanta ove matrice jednaka nuli, tj.

|A - lE| = = 0

Ova jednačina sa nepoznatim l naziva se karakteristična jednačina (karakteristični polinom) matrica A (linearni operator).

Može se dokazati da karakteristični polinom linearnog operatora ne zavisi od izbora baze.

Na primjer, pronađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora definirane matricom A =.

Da bismo to uradili, napravimo karakterističnu jednačinu |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; sopstvene vrijednosti l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Da bismo pronašli svojstvene vektore, rješavamo dva sistema jednačina

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Za prvi od njih, proširena matrica poprima oblik

,

odakle je x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X (1) = (-(2/3)s; s).

Za drugu od njih, proširena matrica poprima oblik

,

odakle je x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tj. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Dakle, svojstveni vektori ovog linearnog operatora su svi vektori oblika (-(2/3)s; s) sa svojstvenom vrijednošću (-5) i svi vektori oblika ((2/3)s 1 ; s 1) sa svojstvena vrijednost 7 .

Može se dokazati da je matrica operatora A u bazi koju čine njegovi vlastiti vektori dijagonalna i ima oblik:

,

gdje su l i vlastite vrijednosti ove matrice.

Vrijedi i obrnuto: ako je matrica A u nekoj bazi dijagonalna, tada će svi vektori ove baze biti svojstveni vektori ove matrice.

Također se može dokazati da ako linearni operator ima n parno različitih svojstvenih vrijednosti, tada su odgovarajući svojstveni vektori linearno nezavisni, a matrica ovog operatora u odgovarajućoj bazi ima dijagonalni oblik.

Ilustrujmo ovo prethodnim primjerom. Uzmimo proizvoljne različite od nule vrijednosti c i c 1, ali takve da su vektori X (1) i X (2) linearno nezavisni, tj. predstavljalo bi osnovu. Na primjer, neka je c = c 1 = 3, zatim X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Provjerimo linearnu nezavisnost ovih vektora:

12 ≠ 0. U ovoj novoj bazi, matrica A će imati oblik A * = .

Da bismo to potvrdili, koristimo formulu A * = C -1 AC. Prvo, nađimo C -1.

C -1 = ;

Kvadratni oblici

Kvadratni oblik f(x 1, x 2, x n) od n varijabli naziva se zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Matrica A sastavljena od ovih koeficijenata naziva se matrica kvadratni oblik. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik je f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima varijabli na kvadrat, a preostali elementi jednaki su polovinama odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zbog toga

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nesingularna matrica n-tog reda. Tada je kvadratni oblik f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Dakle, s nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2), dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled), ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz nije dat ovdje). Svaki kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik koristeći nedegenerisanu linearnu transformaciju.

Na primjer, smanjimo kvadratni oblik na kanonski oblik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat s promjenljivom x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada biramo ceo kvadrat sa promenljivom x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika određen dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik Različiti putevi). Međutim, primljeno Različiti putevi kanonski oblici imaju niz opštih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o načinu svođenja forme na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Potvrdimo ovo tako što ćemo isti kvadratni oblik dovesti do njegovog kanonskog oblika na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Evo negativan koeficijent-3 na y 1 i dva pozitivna koeficijenta 3 i 2 na y 2 i y 3 (a drugom metodom dobili smo negativan koeficijent (-5) na y 2 i dva pozitivna: 2 na y 1 i 1/20 na y 3 ).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak broju različiti od nule koeficijenti kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno (negativan) siguran, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi definitivni predznak kvadratnog oblika, pa za to koristimo jednu od sljedećih teorema (formulisaćemo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema(Silvesterov kriterijum). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi vodeći minori matrice ovog oblika pozitivni.

Glavni (ugaoni) mol Matrica k-tog reda A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno određene kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, hajde da ispitamo kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 radi definicije predznaka.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno definitivno.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za definitivnost znaka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je negativno određen (znakovi glavnih minora se izmjenjuju, počevši od minusa).

I kao drugi primjer, ispitujemo znakom određen kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Jedan od ovih brojeva je negativan, a drugi pozitivan. Znaci sopstvenih vrednosti su različiti. Prema tome, kvadratni oblik ne može biti ni negativno ni pozitivno određen, tj. ovaj kvadratni oblik nije znakom određen (može uzeti vrijednosti bilo kojeg predznaka).

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Svojstvene vrijednosti (brojevi) i svojstveni vektori.
Primjeri rješenja

Budi svoj

Iz obje jednačine slijedi da .

Recimo onda: .

Kao rezultat: – drugi sopstveni vektor.

Ponovimo važne tačke rješenja:

– rezultirajući sistem svakako jeste zajednička odluka(jednadžbe su linearno zavisne);

– “y” biramo na način da bude cijeli broj, a prva “x” koordinata cjelobrojna, pozitivna i što manja.

– provjeravamo da li određeno rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema.

Odgovori .

Bilo je sasvim dovoljno srednjih „kontrolnih tačaka“, pa je provjera ravnopravnosti u principu nepotrebna.

IN raznih izvora informacije, koordinate vlastitih vektora se često pišu ne u stupcima, već u redovima, na primjer: (i, da budem iskren, i sam sam navikao da ih zapisujem u redove). Ova opcija je prihvatljiva, ali u svjetlu teme linearne transformacije tehnički praktičniji za upotrebu vektori stupaca.

Možda vam je rješenje izgledalo jako dugo, ali to je samo zato što sam prvi primjer prokomentarisao vrlo detaljno.

Primjer 2

Matrice

Trenirajmo sami! Približan uzorak završavanje zadatka na kraju lekcije.

Ponekad je potrebno dodatni zadatak, naime:

napišite dekompoziciju kanonske matrice

Šta je to?

Ako su svojstveni vektori matrice osnovu, onda se može predstaviti kao:

Gdje je matrica sastavljena od koordinata vlastitih vektora, – dijagonala matrica s odgovarajućim svojstvenim vrijednostima.

Ova matrična dekompozicija se zove kanonski ili dijagonala.

Pogledajmo matricu prvog primjera. Njegovi sopstveni vektori linearno nezavisna(nekolinearne) i čine osnovu. Kreirajmo matricu njihovih koordinata:

On glavna dijagonala matrice odgovarajućim redosledom locirane su vlastite vrijednosti, a preostali elementi su jednaki nuli:
– Još jednom naglašavam važnost reda: “dva” odgovara 1. vektoru i stoga se nalazi u 1. koloni, “tri” – 2. vektoru.

Koristeći uobičajeni algoritam za pronalaženje inverzna matrica ili Gauss-Jordan metoda mi nalazimo . Ne, to nije greška u kucanju! - pred tobom je retkost, kao pomračenje sunca događaj kada se inverz poklapa sa originalnom matricom.

Ostaje da zapišemo kanonsku dekompoziciju matrice:

Sistem se može riješiti korištenjem elementarne transformacije a u sljedećim primjerima ćemo pribjeći ovu metodu. Ali ovdje "školska" metoda radi mnogo brže. Iz 3. jednačine izražavamo: – zamjenu u drugu jednačinu:

Pošto je prva koordinata nula, dobijamo sistem, iz čije jednačine sledi da .

I opet obratite pažnju na obavezno prisustvo linearnog odnosa. Ako se dobije samo trivijalno rješenje , tada je ili svojstvena vrijednost pogrešno pronađena, ili je sistem kompajliran/riješen s greškom.

Kompaktne koordinate daju vrijednost

Vlastiti vektor:

I još jednom provjeravamo da li je rješenje pronađeno zadovoljava svaku jednačinu sistema. U narednim paragrafima i narednim zadacima preporučujem da ovu želju uzmete kao obavezno pravilo.

2) Za svojstvenu vrijednost, koristeći isti princip, dobijamo sljedeći sistem:

Iz 2. jednačine sistema izražavamo: – zamjenu u treću jednačinu:

Pošto je koordinata "zeta" jednaka nuli, dobijamo sistem iz svake jednačine iz koje sledi linearna zavisnost.

Neka

Provjera da li je rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema.

Dakle, svojstveni vektor je: .

3) I konačno, sistem odgovara svojstvenoj vrijednosti:

Druga jednačina izgleda najjednostavnije, pa hajde da je izrazimo i zamenimo je u 1. i 3. jednadžbu:

Sve je u redu - pojavio se linearni odnos koji zamjenjujemo u izraz:

Kao rezultat, “x” i “y” su izraženi kroz “z”: . U praksi nije potrebno postići upravo takve odnose, u nekim slučajevima je zgodnije izraziti i kroz ili i kroz . Ili čak "vlak" - na primjer, "X" do "I", i "ja" do "Z"

Recimo onda:

Provjeravamo da li je pronađeno rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema i piše treći sopstveni vektor

Odgovori: sopstveni vektori:

Geometrijski, ovi vektori definiraju tri različita prostorna pravca ("Tamo i nazad"), prema kojoj linearna transformacija transformira vektore koji nisu nula (svojstvene vektore) u kolinearne vektore.

Ako je uvjet zahtijevao pronalaženje kanonske dekompozicije, onda je to ovdje moguće, jer različite vlastite vrijednosti odgovaraju različitim linearno nezavisnim svojstvenim vektorima. Pravljenje matrice iz njihovih koordinata, dijagonalna matrica od relevantan svojstvene vrijednosti i nađi inverzna matrica .

Ako, po uslovu, treba da napišete matrica linearne transformacije u bazi sopstvenih vektora, onda dajemo odgovor u obliku . Postoji razlika, a razlika je značajna! Zato što je ova matrica „de” matrica.

Problem sa jednostavnijim proračunima koji možete sami riješiti:

Primjer 5

Naći svojstvene vektore linearne transformacije zadane matricom

Kada pronalazite svoje brojeve, pokušajte da ne idete sve do polinoma 3. stepena. Osim toga, vaša sistemska rješenja mogu se razlikovati od mojih rješenja - tu nema sigurnosti; a vektori koje pronađete mogu se razlikovati od vektora uzorka do proporcionalnosti njihovih odgovarajućih koordinata. Na primjer, i. Estetski je odgovor predstaviti u formi, ali je u redu ako se zaustavite na drugoj opciji. Međutim, postoje razumna ograničenja za sve; verzija više ne izgleda baš dobro.

Okvirni konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Kako riješiti problem u slučaju više vlastitih vrijednosti?

Opšti algoritam ostaje isti, ali ima svoje karakteristike, te je preporučljivo zadržati neke dijelove rješenja u strožijem akademskom stilu:

Primjer 6

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Rješenje

Naravno, hajde da pišemo velikim slovom fantastičnu prvu kolonu:

I, nakon faktoringa kvadratnog trinoma:

Kao rezultat, dobivaju se vlastite vrijednosti, od kojih su dvije višekratne.

Nađimo sopstvene vektore:

1) Pozabavimo se usamljenim vojnikom prema "pojednostavljenoj" šemi:

Iz posljednje dvije jednačine jasno je vidljiva jednakost koju, očigledno, treba zamijeniti 1. jednačinom sistema:

Najbolja kombinacija ne mogu pronaći:
Vlastiti vektor:

2-3) Sada uklanjamo nekoliko stražara. U ovom slučaju može ispasti ili dva ili jedan svojstveni vektor. Bez obzira na višestrukost korijena, vrijednost zamjenjujemo u determinantu što nam donosi sljedeće homogeni sistem linearnih jednačina:

Svojstveni vektori su upravo vektori
fundamentalni sistem rješenja

Zapravo, tokom čitave lekcije nismo radili ništa osim pronalaženja vektora fundamentalnog sistema. Samo što za sada ovaj termin nije bio posebno potreban. Usput, oni pametni studenti koji su promašili temu u maskirnim odijelima homogene jednačine, biće primoran da ga sada popuši.

Jedina akcija bila je uklanjanje dodatnih linija. Rezultat je matrica jedan po tri sa formalnim „korakom“ u sredini.
– osnovna varijabla, – slobodne varijable. Dakle, postoje dvije slobodne varijable postoje i dva vektora fundamentalnog sistema.

Izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli: . Multiplikator nule ispred "X" omogućava mu da preuzme apsolutno bilo koje vrijednosti (što je jasno vidljivo iz sistema jednadžbi).

U kontekstu ovog problema, prikladnije je opće rješenje napisati ne u redu, već u stupcu:

Par odgovara sopstvenom vektoru:
Par odgovara sopstvenom vektoru:

Bilješka : sofisticirani čitaoci mogu odabrati ove vektore usmeno - jednostavno analizirajući sistem , ali ovdje je potrebno određeno znanje: postoje tri varijable, rang sistemske matrice- jedan, što znači fundamentalni sistem odlučivanja sastoji se od 3 – 1 = 2 vektora. Međutim, pronađeni vektori su jasno vidljivi i bez ovog znanja, čisto na intuitivnom nivou. U ovom slučaju, treći vektor će biti napisan još „ljepše“: . Međutim, upozoravam da u drugom primjeru jednostavan odabir možda neće biti moguć, zbog čega je klauzula namijenjena iskusni ljudi. Uz to, zašto ne uzeti, recimo, kao treći vektor? Na kraju krajeva, njegove koordinate također zadovoljavaju svaku jednačinu sistema i vektore linearno nezavisna. Ova opcija je, u principu, prikladna, ali "kriva", jer je "drugi" vektor linearna kombinacija vektora osnovnog sistema.

Odgovori: vlastite vrijednosti: , svojstveni vektori:

Sličan primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 7

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Treba napomenuti da se i u 6. i u 7. primjeru dobija trojka linearno nezavisnih svojstvenih vektora, te je stoga originalna matrica reprezentabilna u kanonskoj dekompoziciji. Ali takve maline se ne dešavaju u svim slučajevima:

Primjer 8

Rješenje: Kreirajmo i riješimo karakterističnu jednačinu:

Proširimo determinantu u prvoj koloni:

Dalja pojednostavljenja vršimo prema razmatranoj metodi, izbjegavajući polinom trećeg stepena:

– vlastite vrijednosti.

Nađimo sopstvene vektore:

1) Nema poteškoća s root-om:

Nemojte se iznenaditi, osim kompleta, u upotrebi su i varijable - tu nema razlike.

Iz 3. jednačine to izražavamo i zamjenjujemo u 1. i 2. jednačinu:

Iz obje jednačine slijedi:

Neka onda:

2-3) Za više vrijednosti dobijamo sistem .

Zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik:

Svojstveni vektor kvadratne matrice je onaj koji, kada se pomnoži sa datom matricom, rezultira kolinearnim vektorom. Jednostavnim riječima, pri množenju matrice sa sopstvenim vektorom, ovaj drugi ostaje isti, ali pomnožen sa određenim brojem.

Definicija

Svojstveni vektor je vektor V različit od nule, koji, kada se pomnoži kvadratnom matricom M, sam postaje uvećan za neki broj λ. U algebarskoj notaciji to izgleda ovako:

M × V = λ × V,

gdje je λ vlastita vrijednost matrice M.

Pogledajmo brojčani primjer. Radi lakšeg snimanja, brojevi u matrici će biti odvojeni tačkom i zarezom. Hajde da imamo matricu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnožimo ga vektorom stupca:

• V = -2;

Kada pomnožimo matricu sa vektorom kolone, dobijamo i vektor kolone. U strogom matematičkom jeziku, formula za množenje matrice 2 × 2 vektorom kolone će izgledati ovako:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 označava element matrice M koji se nalazi u prvom redu i prvoj koloni, a M22 označava element koji se nalazi u drugom redu i drugoj koloni. Za našu matricu ovi elementi su jednaki M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Za vektor stupac ove vrijednosti su jednake V11 = –2, V21 = 1. Prema ovoj formuli, dobijamo sledeći rezultat proizvoda kvadratne matrice vektorom:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Radi praktičnosti, zapišimo vektor kolone u red. Dakle, pomnožili smo kvadratnu matricu sa vektorom (-2; 1), što je rezultiralo vektorom (4; -2). Očigledno, ovo je isti vektor pomnožen sa λ = -2. Lambda u ovom slučaju označava svojstvenu vrijednost matrice.

Svojstveni vektor matrice je kolinearni vektor, odnosno objekt koji ne mijenja svoj položaj u prostoru kada se pomnoži sa matricom. Koncept kolinearnosti u vektorskoj algebri sličan je terminu paralelizma u geometriji. U geometrijskoj interpretaciji, kolinearni vektori su paralelno usmjereni segmenti različitih dužina. Još od Euklidovog vremena znamo da jedna linija ima beskonačan broj linija paralelnih sa njom, pa je logično pretpostaviti da svaka matrica ima beskonačan broj svojstvenih vektora.

Iz prethodnog primjera jasno je da svojstveni vektori mogu biti (-8; 4), i (16; -8) i (32, -16). Ovo su svi kolinearni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -2. Kada množimo originalnu matricu ovim vektorima, i dalje ćemo dobiti vektor koji se razlikuje od originala 2 puta. Zato je pri rješavanju zadataka nalaženja svojstvenog vektora potrebno pronaći samo linearno nezavisne vektorske objekte. Najčešće, za n × n matricu, postoji n broj svojstvenih vektora. Naš kalkulator je dizajniran za analizu kvadratnih matrica drugog reda, tako da će gotovo uvijek rezultat naći dva svojstvena vektora, osim u slučajevima kada se poklapaju.

U gornjem primjeru smo unaprijed znali svojstveni vektor originalne matrice i jasno odredili lambda broj. Međutim, u praksi se sve događa obrnuto: prvo se pronađu svojstvene vrijednosti pa tek onda svojstveni vektori.

Algoritam rješenja

Pogledajmo ponovo originalnu matricu M i pokušajmo pronaći oba njena svojstvena vektora. Dakle, matrica izgleda ovako:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Prvo moramo odrediti svojstvenu vrijednost λ, što zahtijeva izračunavanje determinante sljedeće matrice:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ova matrica dobijeno oduzimanjem nepoznatog λ od elemenata na glavnoj dijagonali. Determinanta se određuje pomoću standardne formule:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Pošto naš vektor mora biti različit od nule, prihvatamo rezultirajuću jednačinu kao linearno zavisnu i izjednačavamo našu determinantu detA sa nulom.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorimo zagrade i dobijemo karakterističnu jednačinu matrice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ovo je standardno kvadratna jednačina, što treba riješiti preko diskriminanta.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Koren diskriminante je sqrt(D) = 14, dakle λ1 = -2, λ2 = 12. Sada za svaku lambda vrijednost trebamo pronaći svojstveni vektor. Izrazimo sistemske koeficijente za λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

U ovoj formuli, E je matrica identiteta. Na osnovu rezultirajuće matrice kreiramo sistem linearne jednačine:

2x + 4y = 6x + 12y,

gdje su x i y elementi svojstvenog vektora.

Skupimo sve X na lijevoj i sve Y na desnoj strani. Očigledno - 4x = 8y. Podijelite izraz sa -4 i dobijete x = –2y. Sada možemo odrediti prvi svojstveni vektor matrice, uzimajući bilo koje vrijednosti nepoznatih (sjetite se beskonačnosti linearno zavisnih svojstvenih vektora). Uzmimo y = 1, a zatim x = –2. Dakle, prvi sopstveni vektor izgleda kao V1 = (–2; 1). Vratite se na početak članka. Upravo smo ovim vektorskim objektom pomnožili matricu da bismo demonstrirali koncept svojstvenog vektora.

Sada pronađimo svojstveni vektor za λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Napravimo isti sistem linearnih jednačina;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Sada uzimamo x = 1, dakle y = 3. Dakle, drugi sopstveni vektor izgleda kao V2 = (1; 3). Kada se originalna matrica množi datim vektorom, rezultat će uvijek biti isti vektor pomnožen sa 12. Ovdje se završava algoritam rješenja. Sada znate kako ručno odrediti svojstveni vektor matrice.

• determinanta;
• trag, odnosno zbir elemenata na glavnoj dijagonali;
• rang, odnosno maksimalni broj linearno nezavisnih redova/kolona.

Program radi prema gore navedenom algoritmu, skraćujući proces rješavanja što je više moguće. Važno je istaći da je u programu lambda označena slovom “c”. Pogledajmo brojčani primjer.

Primjer kako program radi

Pokušajmo odrediti svojstvene vektore za sljedeću matricu:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Unesimo ove vrijednosti u ćelije kalkulatora i dobijemo odgovor u sljedećem obliku:

• Rang matrice: 2;
• Matrična determinanta: 18;
• Trag matrice: 19;
• Izračunavanje svojstvenog vektora: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristična jednačina);
• Izračun sopstvenog vektora: 18 (prva lambda vrijednost);
• Izračun sopstvenog vektora: 1 (druga lambda vrijednost);
• Sistem jednačina za vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem jednačina za vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastiti vektor 1: (1; 1);
• Vlastiti vektor 2: (-3,25; 1).

Tako smo dobili dva linearno nezavisna svojstvena vektora.

Zaključak

Linearna algebra i analitička geometrija su standardni predmeti za svakog studenta brucoškog inženjerstva. Veliki broj vektori i matrice su zastrašujući, a u takvim glomaznim proračunima lako je pogriješiti. Naš program će omogućiti studentima da provjere svoje proračune ili automatski riješe problem pronalaženja svojstvenog vektora. U našem katalogu postoje i drugi kalkulatori za linearnu algebru; koristite ih u svom studiranju ili poslu.

Definicija 9.3. Vector X pozvao svojstveni vektor matrice A, ako postoji takav broj λ, da vrijedi jednakost: A X= λ X, odnosno rezultat prijave na X linearna transformacija specificirana matricom A, je množenje ovog vektora brojem λ . Sam broj λ pozvao eigenvalue matrice A.

Zamjena u formule (9.3) x` j = λx j , dobijamo sistem jednadžbi za određivanje koordinata sopstvenog vektora:

. (9.5)

Ovo linearno homogeni sistemće imati netrivijalno rješenje samo ako mu je glavna determinanta 0 (Kramerovo pravilo). Pisanjem ovog uslova u obliku:

dobijamo jednačinu za određivanje sopstvenih vrednosti λ , zvao karakteristična jednačina. Ukratko se može predstaviti na sljedeći način:

| A - λE | = 0, (9.6)

budući da njegova lijeva strana sadrži determinantu matrice A-λE. Polinomski relativni λ | A - λE| pozvao karakteristični polinom matrice A.

Svojstva karakterističnog polinoma:

1) Karakteristični polinom linearne transformacije ne zavisi od izbora baze. Dokaz. (vidi (9.4)), ali dakle, . Dakle, ne zavisi od izbora osnove. To znači da | A-λE| ne mijenja se pri prelasku na novu osnovu.

2) Ako je matrica A linearna transformacija je simetrično(oni. i ij =a ji), tada su svi korijeni karakteristične jednadžbe (9.6) realni brojevi.

Svojstva sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora:

1) Ako izaberete osnovu od sopstvenih vektora x 1, x 2, x 3 , što odgovara vlastitim vrijednostima λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, tada u ovoj osnovi linearna transformacija A ima matricu dijagonalnog oblika:

(9.7) Dokaz ovog svojstva slijedi iz definicije svojstvenih vektora.

2) Ako su svojstvene vrijednosti transformacije A su različiti, onda su njihovi odgovarajući sopstveni vektori linearno nezavisni.

3) Ako je karakterističan polinom matrice A ima tri različita korijena, onda u nekoj osnovi matrica A ima dijagonalni izgled.

Nađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice Kreirajmo karakterističnu jednačinu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Nađimo koordinate svojstvenih vektora koji odgovaraju svakoj pronađenoj vrijednosti λ. Iz (9.5) slijedi da ako X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – odgovarajući sopstveni vektor λ 1 =-2, onda

- zajednički, ali neizvestan sistem. Njegovo rješenje se može napisati u obliku X (1) ={a,0,-a), gdje je a bilo koji broj. Posebno, ako zahtijevamo da | x (1) |=1, X (1) =

Zamjena u sistem (9.5) λ 2 =3, dobijamo sistem za određivanje koordinata drugog sopstvenog vektora - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, gdje X (2) ={b,-b,b) ili pod uslovom | x (2) |=1, x (2) =

Za λ 3 = 6 pronađite svojstveni vektor x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) ili u normaliziranoj verziji

x (3) = Može se primijetiti da X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Dakle, svojstveni vektori ove matrice su po paru ortogonalni.

Predavanje 10.

Kvadratni oblici i njihova povezanost sa simetričnim matricama. Svojstva svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti simetrične matrice. Svođenje kvadratnog oblika na kanonski oblik.

Definicija 10.1.Kvadratni oblik realne varijable x 1, x 2,…, x n naziva se polinom drugog stepena u ovim varijablama koji ne sadrži slobodni član i članove prvog stepena.

Primjeri kvadratnih oblika:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Prisjetimo se definicije simetrične matrice date u prošlom predavanju:

Definicija 10.2. Kvadratna matrica se zove simetrično, ako , odnosno ako su elementi matrice koji su simetrični oko glavne dijagonale jednaki.

Svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora simetrične matrice:

1) Sve vlastite vrijednosti simetrične matrice su realne.

Dokaz (za n = 2).

Pustite matricu A ima oblik: . Napravimo karakterističnu jednačinu:

(10.2) Nađimo diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima samo realne korijene.

2) Vlastiti vektori simetrične matrice su ortogonalni.

Dokaz (za n= 2).

Koordinate sopstvenih vektora i moraju zadovoljiti jednačine.

Povratak