Razmotrimo pravu na ravni i tačku koja ne leži na ovoj pravoj. I elipsa, And hiperbola može se definirati na objedinjeni način kao geometrijski lokus tačaka za koji je omjer udaljenosti do date tačke i udaljenosti do date prave linije konstantna vrijednost
rang ε. Na 0 1 - hiperbola. Parametar ε je ekscentricitet i elipse i hiperbole. Od mogućih pozitivnih vrijednosti parametra ε, jedna, odnosno ε = 1, ispada da je neiskorištena. Ova vrijednost odgovara geometrijskom lokusu tačaka jednako udaljenih od date tačke i od date prave.
Definicija 8.1. Lokus tačaka u ravni jednako udaljenoj od fiksne tačke i od fiksne prave se naziva parabola.
Fiksna tačka se zove fokus parabole, a prava linija - direktrisa parabole. Istovremeno se vjeruje da ekscentricitet parabole jednako jedan.
Iz geometrijskih razmatranja slijedi da je parabola simetrična u odnosu na pravu liniju okomitu na direktrisu i koja prolazi kroz fokus parabole. Ova prava linija naziva se osa simetrije parabole ili jednostavno parabola osa. Parabola siječe svoju osu simetrije u jednoj tački. Ova tačka se zove vrh parabole. Nalazi se u sredini segmenta koji povezuje fokus parabole sa tačkom preseka njene ose sa direktrisom (slika 8.3).
Parabola jednadžba. Za izvođenje jednačine parabole biramo na ravni porijeklo na vrhu parabole, as x-osa- osa parabole, pozitivnog smjera na koji je postavljen položaj fokusa (vidi sliku 8.3). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za dotičnu parabolu, a odgovarajuće varijable su kanonski.
Označimo udaljenost od fokusa do direktrise sa p. On je zvao fokalni parametar parabole.
Tada fokus ima koordinate F(p/2; 0), a direktrisa d je opisana jednadžbom x = - p/2. Lokus tačaka M(x; y), jednako udaljenih od tačke F i od prave d, dat je jednadžbom
Kvadratizirajmo jednačinu (8.2) i predstavimo slične. Dobijamo jednačinu
koji se zove kanonska jednadžba parabole.
Imajte na umu da je kvadriranje u ovom slučaju ekvivalentna transformacija jednačine (8.2), budući da su obje strane jednačine nenegativne, kao i izraz pod radikalom.
Vrsta parabole. Ako se parabola y 2 = x, čiji oblik smatramo poznatim, sabije sa koeficijentom 1/(2r) duž ose apscise, onda se dobija parabola opšteg oblika, koja je opisana jednačinom (8.3).
Primjer 8.2. Nađimo koordinate fokusa i jednačinu direktrise parabole ako ona prolazi kroz tačku čije su kanonske koordinate (25; 10).
U kanonskim koordinatama, jednadžba parabole ima oblik y 2 = 2px. Pošto je tačka (25; 10) na paraboli, onda je 100 = 50p i stoga je p = 2. Dakle, y 2 = 4x je kanonska jednačina parabole, x = - 1 je jednačina njene direktrise, a fokus je u tački (1; 0).
Optička svojstva parabole. Parabola ima sljedeće optička svojstva. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus parabole, tada će svi zraci svjetlosti nakon odbijanja od parabole biti paralelni s osom parabole (slika 8.4). Optičko svojstvo znači da u bilo kojoj tački M parabole normalni vektor tangenta čini jednake uglove sa žarišnim radijusom MF i osom apscise.
Kako napraviti parabolu? Postoji nekoliko načina za grafički prikaz kvadratne funkcije. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Razmotrimo dva načina.
Počnimo sa crtanjem kvadratne funkcije oblika y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.
Primjer.
Grafikujte funkciju y=x²+2x-3.
Rješenje:
y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola sa granama prema gore. Koordinate vrha parabole
Od vrha (-1;-4) gradimo graf parabole y=x² (kao iz početka koordinata. Umjesto (0;0) - vrh (-1;-4). Iz (-1; -4) idemo udesno za 1 jedinicu i gore za 1, zatim levo za 1 i gore za 1 zatim: 2 - desno, 4 - gore, 2 - levo, 3 - gore; lijevo, 9 - gore Ako ovih 7 bodova nije dovoljno, onda 4 udesno, 16 na vrh, itd.).
Grafikon kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola, čije su grane usmjerene prema dolje. Da bismo konstruisali graf, tražimo koordinate vrha i iz njega konstruišemo parabolu y= -x².
Primjer.
Grafikujte funkciju y= -x²+2x+8.
Rješenje:
y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola sa granama nadole. Koordinate vrha parabole
Od vrha gradimo parabolu y= -x² (1 - desno, 1- dolje; 1 - lijevo, 1 - dolje; 2 - desno, 4 - dolje; 2 - lijevo, 4 - dolje, itd.):
Ova metoda vam omogućava da brzo izgradite parabolu i ne uzrokuje poteškoće ako znate grafički prikazati funkcije y=x² i y= -x². Nedostatak: ako su koordinate vrha razlomci, nije baš zgodno graditi graf. Ako treba da znaš tačne vrijednosti tačke preseka grafika sa Ox osom, moraćete dodatno da rešite jednačinu x²+bx+c=0 (ili -x²+bx+c=0), čak i ako se ove tačke mogu direktno odrediti iz crteža.
Drugi način da se konstruiše parabola je po tačkama, odnosno možete pronaći nekoliko tačaka na grafu i kroz njih nacrtati parabolu (uzimajući u obzir da je prava x=xₒ njena osa simetrije). Obično za to uzimaju vrh parabole, tačke preseka grafa sa koordinatnim osa i 1-2 dodatne tačke.
Nacrtajte grafik funkcije y=x²+5x+4.
Rješenje:
y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola sa granama prema gore. Koordinate vrha parabole
odnosno, vrh parabole je tačka (-2,5; -2,25).
Traže . U tački sjecišta s osom Ox y=0: x²+5x+4=0. Roots kvadratna jednačina x1=-1, x2=-4, odnosno dobili smo dve tačke na grafu (-1; 0) i (-4; 0).
U tački preseka grafika sa Oy osom x=0: y=0²+5∙0+4=4. Dobili smo poen (0; 4).
Da biste pojasnili grafikon, možete pronaći dodatnu točku. Uzmimo x=1, zatim y=1²+5∙1+4=10, odnosno druga tačka na grafu je (1; 10). Ove tačke označavamo na koordinatnoj ravni. Uzimajući u obzir simetriju parabole u odnosu na pravu liniju koja prolazi kroz njen vrh, označavamo još dvije tačke: (-5; 6) i (-6; 10) i kroz njih povlačimo parabolu:
Grafikujte funkciju y= -x²-3x.
Rješenje:
y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola sa granama nadole. Koordinate vrha parabole
Tem (-1,5; 2,25) je prva tačka parabole.
U tačkama preseka grafika sa apscisnom osom y=0, odnosno rešavamo jednačinu -x²-3x=0. Njegovi korijeni su x=0 i x=-3, odnosno (0;0) i (-3;0) - još dvije tačke na grafu. Tačka (o; 0) je također tačka presjeka parabole sa ordinatnom osom.
Kod x=1 y=-1²-3∙1=-4, odnosno (1; -4) je dodatna tačka za crtanje.
Konstruisanje parabole iz tačaka je radno intenzivnija metoda u odnosu na prvu. Ako parabola ne siječe os Ox, bit će potrebno više dodatnih točaka.
Prije nego nastavite crtati kvadratne funkcije oblika y=ax²+bx+c, razmotrite konstruisanje grafova funkcija korišćenjem geometrijskih transformacija. Takođe je najpogodnije konstruisati grafove funkcija oblika y=x²+c koristeći jednu od ovih transformacija — paralelno prevođenje.
Kategorija: |Parabola je beskonačna kriva koja se sastoji od tačaka jednako udaljenih od date prave, koja se naziva direktrisa parabole, i dati poen- fokus parabole. Parabola je konusni presek, odnosno predstavlja presek ravni i kružnog konusa.
IN opšti pogled matematička jednadžba parabole ima oblik: y=ax^2+bx+c, gdje a nije jednako nuli, b odražava horizontalni pomak grafa funkcije u odnosu na ishodište, a c je vertikalni pomak funkcije graf funkcije u odnosu na ishodište. Štaviše, ako je a>0, tada će prilikom crtanja grafa biti usmjereni prema gore, a ako je a Svojstva parabole
Parabola je kriva drugog reda koja ima os simetrije koja prolazi kroz fokus parabole i okomita na direktrisu parabole.
Parabola ima posebno optičko svojstvo, koje se sastoji u fokusiranju svjetlosnih zraka paralelno s njenom osi simetrije i usmjerenih u parabolu na vrhu parabole i defokusiranju snopa svjetlosti usmjerenog na vrh parabole u paralelne svjetlosne zrake u odnosu na iste ose.
Ako parabolu odražavate u odnosu na bilo koju tangentu, tada će se slika parabole pojaviti na njenoj direktrisi. Sve parabole su slične jedna drugoj, odnosno za svake dvije tačke A i B jedne parabole postoje tačke A1 i B1 za koje je iskaz |A1,B1| = |A,B|*k, gdje je k koeficijent sličnosti, koji u numerička vrijednost uvijek veći od nule.
Manifestacija parabole u životu
Neka kosmička tijela, kao što su komete ili asteroidi, koja velikom brzinom prolaze blizu velikih svemirskih objekata, imaju putanju u obliku parabole. Ovo je vlasništvo malih kosmička tela koristi se u gravitacionim manevrima svemirskih letelica.
Za obuku budućih kosmonauta, letovi specijalnih aviona se izvode na zemlji po paraboličnoj putanji, čime se postiže efekat bestežinskog stanja u gravitacionom polju zemlje.
U svakodnevnom životu parabole se mogu naći u raznim rasvjetnim tijelima. To je zbog optičkih svojstava parabole. Jedan od najnovijih načina korištenja parabole, zasnovan na svojim svojstvima fokusiranja i defokusiranja svjetlosnih zraka, su solarni paneli, koji su sve više uključeni u sektor snabdijevanja energijom u južnim regijama Rusije.
Parabola je lokus tačaka za svaku od kojih je udaljenost do neke fiksne točke na ravni, koja se naziva fokus, jednaka udaljenosti do neke fiksne prave, koja se zove direktrisa (pod pretpostavkom da ova prava ne prolazi kroz fokus) .
Fokus parabole se obično označava slovom F, udaljenost od fokusa do direktrisnog slova R. Veličina str pozvao parametar parabole. Slika parabole je prikazana na sl. 61 (čitalac će dobiti sveobuhvatno objašnjenje ovog crteža nakon što pročita narednih nekoliko pasusa).
Komentar. U skladu sa P° 100 kaže da parabola ima ekscentricitet =1.
Neka je data neka parabola (istovremeno pretpostavljamo da je parametar R). Uvedemo na ravan Dekartov pravougaoni koordinatni sistem čije će ose biti postavljene na poseban način u odnosu na ovu parabolu. Naime, os apscise povlačimo kroz fokus okomito na direktrisu i smatramo je usmjerenom od direktrise prema fokusu; Postavimo početak koordinata u sredinu između fokus i direktorica (Sl. 61). Izvedemo jednačinu ove parabole u ovom koordinatnom sistemu.
Uzmimo proizvoljnu tačku na ravni M i označimo njegove koordinate sa X I u. Označimo dalje sa r udaljenost od tačke M da se fokusira (r=FM), kroz r- udaljenost od tačke M direktorici. Dot Mće biti na (datoj) paraboli ako i samo ako
Da biste dobili traženu jednačinu, potrebno je zamijeniti varijable u jednakosti (1) r I A njihove izraze kroz trenutne koordinate x, y. Imajte na umu da fokus F ima koordinate; uzimajući to u obzir i primjenjujući formulu (2) P° 18. nalazimo:
(2)
Označimo sa Q osnova okomice ispuštene iz tačke M direktorici. Očigledno, tačka Q ima koordinate; odavde i iz formule (2) P° 18 dobijamo:
(3),
(pri vađenju korijena uzimali smo s njegovim predznakom, jer je - broj pozitivan; to proizilazi iz činjenice da je tačka M(x;y) treba da bude na strani režisera na kojoj je fokus, tj. treba da bude x > , odakle Zamjena u jednakosti (1) g i d njihove izraze (2) i (3), nalazimo:
(4)
Ovo je jednadžba dotične parabole u naznačenom koordinatnom sistemu, pošto je zadovoljavaju koordinate tačke M(x;y) ako i samo ako je poenta M leži na ovoj paraboli.
Želeći da dobijemo jednačinu parabole u jednostavnijem obliku, kvadrirajmo obje strane jednakosti (4); dobijamo:
(5),
Jednačinu (6) smo izveli kao posljedicu jednačine (4). Lako je pokazati da se jednačina (4) može izvesti kao posljedica jednačine (6). U stvari, jednačina (5) je izvedena iz jednačine (6) na očigledan način („obrnuto“); dalje, iz jednačine (5) imamo.
Mnoga tehnička, ekonomska i socijalna pitanja predviđaju se pomoću krivulja. Najčešći tip među njima je parabola, tačnije njena polovica. Važna komponenta svake paraboličke krivulje je njen vrh, čije određivanje točnih koordinata ponekad igra ključnu ulogu ne samo u prikazu samog procesa, već i za naknadne zaključke. Kako pronaći njegove točne koordinate, raspravljat ćemo u ovom članku.
U kontaktu sa
Pokrenite pretragu
Prije nego što prijeđemo na pronalaženje koordinata vrha parabole, upoznajmo se sa samom definicijom i njenim svojstvima. U klasičnom smislu, parabola je takav raspored tačaka koji obrisano na ista udaljenost sa određene tačke(fokus, tačka F), kao i iz prave koja ne prolazi kroz tačku F. Razmislite ovu definiciju detaljnije na slici 1.
Slika 1. Klasičan pogled na parabolu
Slika pokazuje klasičnog oblika. Fokus je tačka F. Direktrisa će se u ovom slučaju smatrati pravom linijom Y ose (označena crvenom bojom). Iz definicije možete se uvjeriti da apsolutno svaka točka na krivulji, ne računajući fokus, ima sličnu s druge strane, koja se nalazi na istoj udaljenosti od osi simetrije kao i ona sama. Štaviše, udaljenost od bilo koje tačke na paraboli jednaka udaljenosti do direktora. Gledajući unaprijed, recimo da centar funkcije ne mora biti u početku, a grane mogu biti usmjerene u različitim smjerovima.
Parabola, kao i svaka druga funkcija, ima svoj unos u obliku formule:
U naznačenoj formuli, slovo "s" označava parametar parabole, koji je jednak udaljenosti od fokusa do direktrise. Postoji i drugi oblik snimanja, označen GMT, koji ima oblik:
Ova formula se koristi za rješavanje problema u tom području matematička analiza i koristi se češće od tradicionalnog (zbog praktičnosti). U budućnosti ćemo se fokusirati na drugi unos.
Ovo je zanimljivo!: dokaz
Izračunavanje koeficijenata i glavnih tačaka parabole
Glavni parametri obično uključuju lokaciju vrha na osi apscise, koordinate vrha na osi ordinate i parametar direktrise.
Numerička vrijednost koordinate vrha na x-osi
Ako je data jednadžba parabole klasičan izgled(1), zatim vrijednost apscise u željenoj tački će biti jednaka polovini vrijednosti parametra s(pola udaljenosti između direktrise i fokusa). Ako je funkcija predstavljena u obliku (2), tada se x nula izračunava pomoću formule:
Odnosno, gledajući ovu formulu, možemo reći da će vrh biti u desnoj polovini u odnosu na y-osu ako je jedan od parametara a ili b manji od nule.
Jednačina direktrise je definirana sljedećom jednačinom:
Vrijednost vrha na osi ordinate
Numerička vrijednost lokacije vrha za formulu (2) na osi ordinate može se pronaći pomoću sljedeće formule:
Iz ovoga možemo zaključiti da ako a<0, то vrh krive će biti u gornjoj poluravni, inače – na dnu. U ovom slučaju, tačke parabole će imati ista svojstva kao što je ranije pomenuto.
Ako je dat klasični oblik notacije, tada će biti racionalnije izračunati vrijednost položaja vrha na osi apscise, a kroz njega i naknadnu vrijednost ordinate. Imajte na umu da će se za oblik zapisa (2) osa simetrije parabole, u klasičnom prikazu, poklapati sa ordinatnom osom.
Bitan! Prilikom rješavanja zadataka pomoću jednadžbe parabole, prije svega, identificirajte glavne vrijednosti koje su već poznate. Štoviše, bit će korisno ako se utvrde nedostajući parametri. Ovaj pristup će unaprijed pružiti više „prostora za manevar“ i racionalniju odluku. U praksi pokušajte koristiti notaciju (2). Lakše je razumjeti (ne morate "obrnuti Descartesove koordinate"), a velika većina zadataka je prilagođena posebno ovom obliku notacije.
Konstruisanje paraboličke krive
Koristeći uobičajeni oblik zapisa, prije konstruiranja parabole, morate pronaći njen vrh. Jednostavno rečeno, potrebno je izvršiti sljedeći algoritam:
- Pronađite koordinate vrha na X osi.
- Pronađite koordinate lokacije vrha na Y osi.
- Zamjenjujući različite vrijednosti zavisne varijable X, pronađite odgovarajuće vrijednosti Y i konstruirajte krivu.
One. Algoritam nije komplikovan, glavni naglasak je na tome kako pronaći vrh parabole. Dalji proces izgradnje može se smatrati mehaničkim.
Pod uslovom da su date tri tačke čije su koordinate poznate, prvo je potrebno napraviti jednačinu za samu parabolu, a zatim ponoviti postupak koji je ranije opisan. Jer u jednadžbi (2) postoje 3 koeficijenta, a zatim, koristeći koordinate tačaka, izračunavamo svaki od njih:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
U formulama (5.1), (5.2), (5.3) koriste se one tačke koje su poznate (npr. A (, B (, C (). Na taj način nalazimo jednačinu parabole koristeći 3 tačke S praktične strane, ovaj pristup nije „najprijatniji“, ali daje jasan rezultat na osnovu kojeg se naknadno konstruiše sama kriva.
Prilikom konstruisanja parabole, uvek mora postojati osa simetrije. Formula za os simetrije koju treba napisati (2) će izgledati ovako:
One. Nije teško pronaći os simetrije kojoj su sve tačke krivulje simetrične. Tačnije, jednaka je prvoj koordinati vrha.
Ilustrativni primjeri
Primjer 1. Recimo da imamo jednačinu parabole:
Potrebno je pronaći koordinate vrha parabole, te provjeriti da li tačka D (10; 5) pripada datoj krivoj.
Rješenje: Prije svega, provjerimo da li navedena tačka pripada samoj krivulji
Iz čega zaključujemo da navedena tačka ne pripada datoj krivoj. Nađimo koordinate vrha parabole. Iz formula (4) i (5) dobijamo sljedeći niz:
Ispada da su koordinate na vrhu, u tački O, sljedeće (-1,25; -7,625). To sugerira da naš parabola potiče iz 3. četvrtine kartezijanskog sistema koordinate
Primjer 2. Pronađite vrh parabole, znajući tri tačke koje joj pripadaju: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Koristeći formule (5.1), (5.2), (5.3), nalazimo koeficijente jednačine parabole. Dobijamo sljedeće:
Koristeći dobijene vrijednosti, dobijamo sljedeću jednačinu:
Na slici će navedena funkcija izgledati ovako (slika 2):
Slika 2. Grafikon parabole koja prolazi kroz 3 tačke
One. Graf parabole koji prolazi kroz tri date tačke imaće vrh u 1. četvrtini. Međutim, grane ove krive su usmjerene prema dolje, tj. postoji pomak parabole od početka. Ova konstrukcija se mogla predvidjeti obraćajući pažnju na koeficijente a, b, c.
Posebno, ako a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 kriva će biti rastegnuta, a ako je manja od 1, bit će komprimirana.
Konstanta c je odgovorna za "kretanje" krive duž ordinatne ose. Ako je c>0, tada parabola "puzi" prema gore, inače – dolje. Što se tiče koeficijenta b, stepen uticaja se može odrediti samo promjenom oblika pisanja jednačine, dovodeći je u sljedeći oblik:
Ako je koeficijent b>0, tada će koordinate vrha parabole biti pomaknute udesno za b jedinica, ako je manje, onda za b jedinica ulijevo.
Bitan! Korištenje tehnika za određivanje pomaka parabole na koordinatnoj ravni ponekad pomaže da se uštedi vrijeme pri rješavanju problema ili da se sazna o mogućem presjeku parabole s drugom krivom prije konstrukcije. Obično gledaju samo na koeficijent a, jer upravo on daje jasan odgovor na postavljeno pitanje.
Koristan video: kako pronaći vrh parabole
Koristan video: kako jednostavno kreirati jednadžbu parabole iz grafa
Zaključak
Algebarski proces kao što je određivanje vrhova parabole nije komplikovan, ali je prilično radno intenzivan. U praksi pokušavaju koristiti drugi oblik notacije kako bi olakšali razumijevanje grafičko rješenje i odluke uopšte. Stoga toplo preporučujemo korištenje upravo ovog pristupa, a ako se ne sjećate formule za koordinate vrhova, onda barem imate cheat sheet.