Unakrsni proizvod jednak je površini paralelograma. Vektorski proizvod vektora

7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, formiraju desnoruki triplet ako se od kraja trećeg vektora c vidi najkraći zaokret od prvog vektora a do drugog vektora b do biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a ljevoruka trojka ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sliku . 16).

Vektorski proizvod vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b ;

2. Ima dužinu numerički jednaku površini paralelograma konstruiranog na vektorima a ib kao na bočnim stranama (vidi sliku 17), tj.

3. Vektori a, b i c formiraju desnu trojku.

Unakrsni proizvod se označava a x b ili [a,b]. Sljedeće relacije između jediničnih vektora i direktno slijede iz definicije vektorskog proizvoda, j I k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektori i, j i k formiraju desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Svojstva unakrsnog proizvoda

1. Prilikom preraspoređivanja faktora vektorski proizvod mijenja predznak, tj. i xb =(b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(b xa).

2. Vektorski proizvod ima svojstvo kombinovanja u odnosu na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomita na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravni). To znači da su vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearno. Očigledno je da im se pravci poklapaju. Imaju istu dužinu:

Zbog toga l(a xb)= l a xb. Dokazuje se na sličan način za l<0.

3. Dva različita od nule vektora a i b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski proizvod jednak nultom vektoru, tj. a ||b<=>i xb =0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Prihvatićemo bez dokaza.

7.3. Izražavanje unakrsnog proizvoda u koordinatama

Koristićemo tablicu unakrsnog proizvoda vektora i, j i k:

ako se smjer najkraće staze od prvog do drugog vektora poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako se ne poklapa, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka su data dva vektora a =a x i +a y j+a z k i b =b x i+b y j+b z k. Nađimo vektorski proizvod ovih vektora množeći ih kao polinome (prema svojstvima vektorskog proizvoda):

Rezultirajuća formula može se napisati još kraće:

pošto desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene unakrsnog proizvoda

Uspostavljanje kolinearnosti vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji vektorskog proizvoda vektora A i b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parovi = |a x b |. I, prema tome, D S =1/2|a x b |.

Određivanje momenta sile oko tačke

Neka sila deluje u tački A F =AB pusti to O- neka tačka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na tačku O zove se vektor M, koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak proizvodu sile po kraku

3) formira desnu trojku sa vektorima OA i A B.

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje rotira ugaonom brzinom w oko fiksne ose, određena je Eulerovom formulom v =w xr, gdje je r =OM, gdje je O neka fiksna tačka ose (vidi sliku 21).

MJEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

Mješoviti posao tri vektora naziva se broj jednak . Određeno . Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor množi skalarno trećim vektorom. Očigledno, takav proizvod je određeni broj.

Razmotrimo svojstva mješovitog proizvoda.

Geometrijsko značenje mješoviti rad. Mješoviti proizvod 3 vektora, do predznaka, jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, kao na ivicama, tj. .
Dakle, i .

Dokaz. Odvojimo vektore od zajedničkog ishodišta i konstruirajmo na njima paralelepiped. Označimo i primijetimo da . Po definiciji skalarnog proizvoda

Pretpostavljajući to i označavajući sa h pronađite visinu paralelepipeda.

Dakle, kada

Ako, onda je tako. Dakle, .

Kombinirajući oba ova slučaja, dobivamo ili .

Iz dokaza ovog svojstva, posebno, slijedi da ako je trojka vektora desna, onda je mješoviti proizvod , a ako je lijevo, onda .
Za sve vektore , , jednakost je tačna
Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Doista, lako je pokazati da i . Štaviše, znakovi "+" i "-" uzimaju se istovremeno, jer uglovi između vektora i i i su i oštri i tupi.
Kada se bilo koja dva faktora preurede, mješoviti proizvod mijenja predznak.
Doista, ako uzmemo u obzir mješoviti proizvod, onda, na primjer, ili
Mješoviti proizvod ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli ili su vektori komplanarni.
Dokaz.

Dakle, neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost 3 vektora je da njihov mješoviti proizvod bude jednak nuli. Osim toga, slijedi da tri vektora čine osnovu u prostoru ako .

Ako su vektori dati u koordinatnom obliku, onda se može pokazati da se njihov mješoviti proizvod nalazi po formuli:

.

Dakle, mješoviti proizvod je jednak determinanti trećeg reda, koja ima koordinate prvog vektora u prvom redu, koordinate drugog vektora u drugom redu i koordinate trećeg vektora u trećem redu.

Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednačina F(x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. lokus tačaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednačinu. Ova jednačina se naziva jednačina površine, i x, y, z– trenutne koordinate.

Međutim, često površina nije određena jednadžbom, već kao skup točaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednačinu površine na osnovu njenih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI RAVNI VEKTOR.

JEDNAČINA RAVNINE KOJA PROLAZI KROZ ZADANU TAČKU

Razmotrimo proizvoljnu ravan σ u prostoru. Njegov položaj je određen specificiranjem vektora okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke M0(x 0, y 0, z 0), koji leži u σ ravni.

Vektor okomit na ravan σ naziva se normalno vektor ove ravni. Neka vektor ima koordinate .

Izvedemo jednačinu ravni σ koja prolazi kroz ovu tačku M0 i imaju normalan vektor. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku na ravni σ M(x, y, z) i razmotrimo vektor .

Za bilo koju tačku M O σ je vektor Prema tome, njihov skalarni proizvod je jednak nuli. Ova jednakost je uslov da tačka M O σ. Važi za sve tačke ove ravni i narušava se čim tačka M biće izvan σ ravni.

Ako tačke označimo radijus vektorom M, – radijus vektor tačke M0, tada se jednačina može napisati u obliku

Ova jednačina se zove vektor ravan jednadžba. Napišimo to u koordinatnom obliku. Od tada

Dakle, dobili smo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ovu tačku. Dakle, da biste napravili jednadžbu ravnine, morate znati koordinate vektora normale i koordinate neke tačke koja leži na ravni.

Imajte na umu da je jednadžba ravni jednačina 1. stepena u odnosu na trenutne koordinate x, y I z.

Primjeri.

OPŠTA JEDNAČINA RAVNI

Može se pokazati da bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na kartezijanske koordinate x, y, z predstavlja jednačinu neke ravni. Ova jednačina se piše kao:

Ax+By+Cz+D=0

i zove se opšta jednačina ravni i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravni.

Razmotrimo specijalne slučajeve opšte jednačine. Hajde da saznamo kako se ravan nalazi u odnosu na koordinatni sistem ako jedan ili više koeficijenata jednačine postane nula.

A je dužina segmenta odsečenog ravninom na osi Ox. Slično, to se može pokazati b I c– dužine segmenata odsječenih predmetnom ravninom na osi Oy I Oz.

Pogodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima za konstruisanje ravnina.

Prije nego damo pojam vektorskog proizvoda, osvrnimo se na pitanje orijentacije uređene trojke vektora a →, b →, c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak, odvojimo vektore a → , b → , c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a → , b → , c → može biti desna ili lijeva, ovisno o smjeru samog vektora c →. Tip trojke a → , b → , c → odredit će se iz smjera u kojem se pravi najkraći okret od vektora a → do b → od kraja vektora c → .

Ako se najkraći okret izvede u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva u pravu, ako je u smjeru kazaljke na satu – lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b →. Nacrtajmo onda vektore A B → = a → i A C → = b → iz tačke A. Konstruirajmo vektor A D → = c →, koji je istovremeno okomit i na A B → i na A C →. Dakle, kada konstruišemo sam vektor A D → = c →, možemo uraditi dve stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smer (vidi ilustraciju).

Uređena trojka vektora a → , b → , c → može, kako smo saznali, biti desna ili leva u zavisnosti od smera vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog proizvoda. Ova definicija je data za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvat ćemo takav vektor definiran u pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

ako su vektori a → i b → kolinearni, biće nula;
bit će okomit na vektor a → i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
njegova dužina je određena formulom: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
trojka vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao dati koordinatni sistem.

Vektorski proizvod vektora a → i b → ima sljedeću notaciju: a → × b →.

Koordinate vektorskog proizvoda

Pošto svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, možemo uvesti drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja će nam omogućiti da pronađemo njegove koordinate koristeći date koordinate vektora.

Definicija 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) naziva se vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdje su i → , j → , k → koordinatni vektori.

Vektorski proizvod se može predstaviti kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, gdje prvi red sadrži vektore i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći red sadrži koordinate vektora b → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu, ovo je determinanta matrice izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Proširujući ovu determinantu na elemente prvog reda, dobijamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Svojstva unakrsnog proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , a zatim na osnovu svojstva determinante matrice prikazano je sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b →, gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva imaju jednostavne dokaze.

Kao primjer, možemo dokazati antikomutativno svojstvo vektorskog proizvoda.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva reda matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotno, dakle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , što i dokazuje da je vektorski proizvod antikomutativan.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste problema.

U problemima prvog tipa obično su date dužine dva vektora i ugao između njih, a potrebno je pronaći dužinu vektorskog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora a → i b → ako znate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rješenje

Određivanjem dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b → rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Problemi drugog tipa imaju veze sa koordinatama vektora, u njima vektorski proizvod, njegova dužina itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x; a y; a z) I b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu problema možete riješiti mnogo opcija zadatka. Na primjer, ne mogu se specificirati koordinate vektora a → i b →, već njihova proširenja u koordinatne vektore oblika b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ili vektori a → i b → mogu biti specificirani koordinatama njihovog početka i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu data su dva vektora: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Pronađite njihov unakrsni proizvod.

Rješenje

Prema drugoj definiciji, nalazimo vektorski proizvod dva vektora u datim koordinatama: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako vektorski proizvod zapišemo kroz determinantu matrice, tada rješenje ovog primjera izgleda ovako: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odrediti dužinu vektorskog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k →, gdje su i →, j →, k → jedinični vektori pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje

Prvo, pronađimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1; - 1; 0) i (1; 1; 1), respektivno. Nađimo dužinu vektorskog proizvoda koristeći determinantu matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Dakle, vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda pronalazimo pomoću formule (pogledajte odjeljak o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

U pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu date su koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Nađite vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1) redom. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C →, očigledno je da je to okomit vektor po definiciji i na A B → i na A C →, odnosno da je rješenje našeg problema. Nađimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . - jedan od okomitih vektora.

Problemi trećeg tipa fokusirani su na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene koje, dobićemo rješenje zadatog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove dužine su 3 i 4, respektivno. Pronađite dužinu vektorskog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Rješenje

Prema distributivnom svojstvu vektorskog proizvoda, možemo napisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti uzimamo numeričke koeficijente iz predznaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da su a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 i b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, zatim 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog proizvoda slijedi - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobijamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pod uslovom, vektori a → i b → su okomiti, odnosno ugao između njih je jednak π 2. Sada ostaje samo da se pronađene vrijednosti zamijene u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dužina vektorskog proizvoda vektora po definiciji je jednaka a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pošto je već poznato (iz školskog predmeta) da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dužina njegovih dviju stranica pomnoženog sa sinusom ugla između ovih stranica. Prema tome, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvojenog trokuta, odnosno proizvodu stranica u obliku vektora a → i b →, položenih iz jedne tačke, sinusom od ugao između njih sin ∠ a →, b →.

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na tačku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → primijenjene na tačku B, u odnosu na tačku A, razumjet ćemo sljedeći vektorski proizvod A B → × F →.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored toga skalarni proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska zavisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo je pogrešno. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je NE PRAVITI GREŠKE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitaoci mogu selektivno upoznati informacije. Pokušao sam prikupiti što potpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Šta će vas odmah usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati sa dvije ili čak tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni proizvod, uključuje dva vektora. Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno sa na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da vektorski proizvod vektora označavam na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u skalarni proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, odatle potiče i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi, oznake se također mogu razlikovati.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Hajde da raščlanimo definiciju, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće važne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" sa "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobićemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nazivna dužina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se formula radi o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (strijela maline) je također ortogonan prema originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti šta je prostorna orijentacija. Objasniću na prstima desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domali prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat thumb– vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? „Dodeli“ istim prstima lijeva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda u općenitom slučaju to neće biti moguće kombinovati sa "originalom". Usput, držite tri prsta uz ogledalo i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro to što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razmotrena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je jednak nuli. Isto proizlazi iz formule - sinus od nule ili 180 stepeni je jednak nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda I . Napominjemo da je sam vektorski proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i pišu da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je unakrsni proizvod vektora sa samim sobom:

Koristeći vektorski proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, morate pronaći dužina vektor (unakrsni proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Ako su vas pitali o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, morate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Imajte na umu da odgovor uopće ne govori o vektorskom proizvodu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA treba da nađemo prema uslovu i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dosta literalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta zafrkancija – ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili da nije shvatila suštinu zadatka. Ovu tačku uvijek treba držati pod kontrolom prilikom rješavanja bilo kojeg zadatka iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo “en”? U principu je moglo biti dodatno priloženo rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to uradio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za DIY rješenje:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je zaista vrlo čest, trouglovi vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne ističe u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) – o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) – asocijativni ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) – distribucija ili distributivni zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Da demonstriramo, pogledajmo kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Uvjet opet zahtijeva pronalaženje dužine vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu pomjerimo izvan modula, a modul „pojede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da dodate još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Kvaka je u tome što su vektori “tse” i “de” sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izrazimo vektor u terminima vektora. Još nema riječi o dužini!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, korak 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja su mogle biti napisane u jednom redu.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testovima, evo primjera za samostalno rješavanje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, specificirano na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, a zatim koordinate “double-ve” vektora. Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti redove:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Rješenje: Provjera se temelji na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov vektorski proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će ovisiti o definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Tako su se postrojili kao voz i jedva čekaju da budu identifikovani.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zvao zapremina paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “–” ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno preuređivanje vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne nastaje bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji, ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat proračuna slovom “pe”.

A-prioritet mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima.

U ovom članku ćemo detaljnije pogledati koncept unakrsnog proizvoda dva vektora. Dat ćemo potrebne definicije, napisati formulu za pronalaženje koordinata vektorskog proizvoda, navesti i obrazložiti njegova svojstva. Nakon toga ćemo se zadržati na geometrijskom značenju vektorskog proizvoda dva vektora i razmotriti rješenja različitih tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Definicija unakrsnog proizvoda.

Prije definiranja vektorskog proizvoda, razumijemo orijentaciju uređene trojke vektora u trodimenzionalnom prostoru.

Nacrtajmo vektore iz jedne tačke. Ovisno o smjeru vektora, tri mogu biti desno ili lijevo. Pogledajmo s kraja vektora kako je najkraći okret od vektora do . Ako se najkraća rotacija dogodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se naziva trojka vektora u pravu, inače - lijevo.

Sada uzmimo dva nekolinearna vektora i . Nacrtajmo vektore i iz tačke A. Konstruirajmo neki vektor okomit na oba i i . Očigledno, kada konstruišemo vektor, možemo učiniti dvije stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smjer (vidi ilustraciju).

Ovisno o smjeru vektora, uređeni triplet vektora može biti desno ili lijevo.

Ovo nas približava definiciji vektorskog proizvoda. Dat je za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija.

Unakrsni proizvod dva vektora i , specificiran u pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, naziva se vektor takav da

Unakrsni proizvod vektora i označava se kao .

Koordinate vektorskog proizvoda.

Sada ćemo dati drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja vam omogućava da pronađete njegove koordinate iz koordinata datih vektora i.

Definicija.

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora I je vektor , gdje su koordinatni vektori.

Ova definicija nam daje unakrsni proizvod u koordinatnom obliku.

Pogodno je predstaviti vektorski proizvod kao determinantu kvadratne matrice trećeg reda, čiji su prvi red vektori, drugi red sadrži koordinate vektora, a treći koordinate vektora u datom pravougaoni koordinatni sistem:

Ako ovu determinantu proširimo na elemente prvog reda, dobijamo jednakost iz definicije vektorskog proizvoda u koordinatama (ako je potrebno, pogledajte članak):

Treba napomenuti da je koordinatni oblik vektorskog proizvoda u potpunosti u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Štaviše, ove dvije definicije unakrsnog proizvoda su ekvivalentne. Dokaz za ovu činjenicu možete vidjeti u knjizi koja je navedena na kraju članka.

Svojstva vektorskog proizvoda.

Budući da se vektorski proizvod u koordinatama može predstaviti kao determinanta matrice, sljedeće se lako može opravdati na osnovu svojstva unakrsnog proizvoda:

Kao primjer, dokažemo antikomutativno svojstvo vektorskog proizvoda.

A-prioritet I . Znamo da je vrijednost determinante matrice obrnuta ako se dva reda zamijene, dakle, , što dokazuje antikomutativno svojstvo vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja.

Postoje uglavnom tri vrste problema.

U problemima prvog tipa date su dužine dva vektora i ugao između njih, a potrebno je pronaći dužinu vektorskog proizvoda. U ovom slučaju se koristi formula .

Primjer.

Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora i , ako je poznato .

Rješenje.

Iz definicije znamo da je dužina vektorskog proizvoda vektora i jednaka proizvodu dužina vektora i sinusom ugla između njih, dakle, .

odgovor:

Problemi drugog tipa odnose se na koordinate vektora, u kojima se preko koordinata datih vektora traži vektorski proizvod, njegova dužina ili bilo šta drugo. I .

Ovdje je moguće mnogo različitih opcija. Na primjer, ne mogu se specificirati koordinate vektora i, već njihova proširenja u koordinatne vektore oblika i , ili vektori i mogu biti specificirani koordinatama njihove početne i krajnje tačke.

Pogledajmo tipične primjere.

Primjer.

Dva vektora su data u pravougaonom koordinatnom sistemu . Pronađite njihov unakrsni proizvod.

Rješenje.

Prema drugoj definiciji, vektorski proizvod dva vektora u koordinatama zapisuje se kao:

Do istog rezultata bismo došli da je vektorski proizvod zapisan u terminima determinante

odgovor:

Primjer.

Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora i , gdje su jedinični vektori pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje.

Prvo nalazimo koordinate vektorskog proizvoda u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Pošto vektori i imaju koordinate i (ako je potrebno, pogledajte koordinate vektora u pravougaonom koordinatnom sistemu), onda po drugoj definiciji vektorskog proizvoda imamo

To jest, vektorski proizvod ima koordinate u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata (ovu formulu za dužinu vektora smo dobili u dijelu o pronalaženju dužine vektora):

odgovor:

Primjer.

U pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu date su koordinate tri tačke. Nađi neki vektor koji je okomit i istovremeno.

Rješenje.

Vektori i imaju koordinate i, respektivno (pogledajte članak pronalaženje koordinata vektora kroz koordinate tačaka). Ako pronađemo vektorski proizvod vektora i , tada je po definiciji to vektor okomit na i na i na , to jest, to je rješenje našeg problema. Hajde da ga nađemo

odgovor:

- jedan od okomitih vektora.

U zadacima trećeg tipa testira se vještina korištenja svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene svojstava, primjenjuju se odgovarajuće formule.

Primjer.

Vektori i su okomiti i njihove dužine su 3 i 4, respektivno. Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda .

Rješenje.

Po distributivnom svojstvu vektorskog proizvoda možemo pisati

Zbog kombinacijske osobine, numeričke koeficijente uzimamo iz predznaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu:

Vektorski proizvodi i jednaki su nuli, budući da I , Onda .

Budući da je vektorski proizvod antikomutativan, onda .

Dakle, koristeći svojstva vektorskog proizvoda, došli smo do jednakosti .

Po uslovu, vektori i su okomiti, odnosno ugao između njih je jednak . Odnosno, imamo sve podatke da pronađemo potrebnu dužinu

odgovor:

Geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Po definiciji, dužina vektorskog proizvoda vektora je . A iz srednjoškolskog kursa geometrije znamo da je površina trokuta jednaka polovini proizvoda dužina dviju stranica trokuta i sinusa ugla između njih. Prema tome, dužina vektorskog proizvoda jednaka je dvostrukoj površini trokuta čije su stranice vektori i , ako su nacrtani iz jedne točke. Drugim riječima, dužina vektorskog proizvoda vektora i jednaka je površini paralelograma sa stranicama i kutom između njih jednakim . Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.