Predstavljene su glavne vrste nejednakosti, uključujući nejednakosti Bernulija, Košija - Bunjakovskog, Minkovskog, Čebiševa. Razmatraju se svojstva nejednakosti i djelovanja na njih. Date su osnovne metode rješavanja nejednačina.
Formule za osnovne nejednakosti
Formule za univerzalne nejednakosti
Univerzalne nejednakosti su zadovoljene za bilo koje vrijednosti količina koje su u njima uključene. Glavne vrste univerzalnih nejednakosti navedene su u nastavku.
1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |
3)
Jednakost se javlja samo kada je a 1 = a 2 = ... = a n.
4)
Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky
Jednakost vrijedi ako i samo ako je α a k = β b k za sve k = 1, 2, ..., n i neke α, β, |α| + |β| > 0 .
5)
Minkowskijeva nejednakost, za p ≥ 1
Formule zadovoljivih nejednakosti
Zadovoljive nejednakosti su zadovoljene za određene vrijednosti količina koje su u njih uključene.
1)
Bernulijeva nejednakost:
.
Općenitije:
,
gdje je , brojevi istog predznaka i veći od -1
:
.
Bernulijeva lema:
.
Vidi "Dokazi nejednakosti i Bernulijeva lema".
2)
za a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .
3)
Čebiševljeva nejednakost
at 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
I 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
I b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Generalizovane Čebiševe nejednakosti
at 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
I 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
i k prirodni
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
I b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Svojstva nejednakosti
Svojstva nejednakosti su skup pravila koja se zadovoljavaju prilikom njihove transformacije. Ispod su svojstva nejednakosti. Podrazumijeva se da su originalne nejednakosti zadovoljene za vrijednosti x i (i = 1, 2, 3, 4) koje pripadaju nekom unaprijed određenom intervalu.
1) Kada se redoslijed stranica promijeni, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan.
Ako je x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
Ako je x 1 ≤ x 2, onda je x 2 ≥ x 1.
Ako je x 1 ≥ x 2, onda je x 2 ≤ x 1.
Ako je x 1 > x 2 onda je x 2< x 1
.
2) Jedna jednakost je ekvivalentna dvije nestroge nejednakosti različitih predznaka.
Ako je x 1 = x 2, onda je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2.
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2, onda je x 1 = x 2.
3) Svojstvo tranzitivnosti
Ako je x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Ako je x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2 ≤ x 3, onda je x 1 ≤ x 3.
4) Isti broj se može dodati (oduzeti) na obje strane nejednačine.
Ako je x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Ako je x 1 ≤ x 2, onda je x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ako je x 1 ≥ x 2, onda je x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ako je x 1 > x 2, onda je x 1 + A > x 2 + A.
5) Ako postoje dvije ili više nejednakosti sa predznakom istog smjera, onda se mogu sabrati njihova lijeva i desna strana.
Ako je x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Ako je x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Ako je x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, onda je x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Slični izrazi važe za znakove ≥, >.
Ako izvorne nejednakosti sadrže znakove nestrogih nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada zbrajanje rezultira striktnom nejednakošću.
6) Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) pozitivnim brojem.
Ako je x 1< x 2
и A >0, zatim A x 1< A · x 2
.
Ako je x 1 ≤ x 2 i A > 0, tada je A x 1 ≤ A x 2.
Ako je x 1 ≥ x 2 i A > 0, tada je A x 1 ≥ A x 2.
Ako je x 1 > x 2 i A > 0, onda je A · x 1 > A · x 2.
7) Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) negativnim brojem. U ovom slučaju, predznak nejednakosti će se promijeniti u suprotan.
Ako je x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A x 2.
Ako je x 1 ≤ x 2 i A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Ako je x 1 ≥ x 2 i A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Ako je x 1 > x 2 i A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Ako postoje dvije ili više nejednakosti sa pozitivnim članovima, sa predznakom istog smjera, onda se njihove lijeva i desna strana mogu međusobno množiti.
Ako je x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Ako je x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Ako je x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 onda je x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Slični izrazi važe za znakove ≥, >.
Ako originalne nejednakosti sadrže znakove nestrogih nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada množenje rezultira striktnom nejednakošću.
9) Neka je f(x) monotono rastuća funkcija. To jest, za bilo koje x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Tada se ova funkcija može primijeniti na obje strane nejednakosti, što neće promijeniti predznak nejednakosti.
Ako je x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Ako je x 1 ≤ x 2 onda je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2 onda je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2, onda je f(x 1) > f(x 2).
10) Neka je f(x) monotono opadajuća funkcija, tj. za bilo koje x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ako je x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x 2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 onda je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2 onda je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2 onda je f(x 1)< f(x 2)
.
Metode rješavanja nejednačina
Rješavanje nejednačina metodom intervala
Intervalna metoda je primjenjiva ako nejednakost uključuje jednu varijablu koju označavamo sa x, a ima oblik:
f(x) > 0
gdje je f(x) kontinuirana funkcija s konačnim brojem diskontinuiteta. Znak nejednakosti može biti bilo koji: >, ≥,<, ≤
.
Metoda intervala je sljedeća.
1) Pronađite područje definicije funkcije f(x) i označite ga intervalima na brojevnoj osi.
2) Naći tačke diskontinuiteta funkcije f(x). Na primjer, ako je ovo razlomak, tada nalazimo tačke u kojima imenilac postaje nula. Ove tačke označavamo na brojevnoj osi.
3) Riješite jednačinu
f(x) = 0.
Označavamo korijene ove jednadžbe na brojevnoj osi.
4) Kao rezultat toga, brojevna osa će biti podijeljena na intervale (segmente) po točkama. Unutar svakog intervala uključenog u domenu definicije, biramo bilo koju tačku i u ovom trenutku izračunavamo vrijednost funkcije. Ako je ova vrijednost veća od nule, onda stavljamo znak "+" iznad segmenta (intervala). Ako je ova vrijednost manja od nule, onda stavljamo znak "-" iznad segmenta (intervala).
5) Ako nejednakost ima oblik: f(x) > 0, odaberite intervale sa znakom “+”. Rješenje nejednakosti je kombiniranje ovih intervala, koji ne uključuju njihove granice.
Ako nejednakost ima oblik: f(x) ≥ 0, tada rješenju dodajemo tačke u kojima je f(x) = 0. To jest, neki intervali mogu imati zatvorene granice (granica pripada intervalu). drugi dio može imati otvorene granice (granica ne pripada intervalu).
Slično, ako nejednakost ima oblik: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ako nejednakost ima oblik: f(x) ≤ 0, tada rješenju dodajemo tačke u kojima je f(x) = 0.
Rješavanje nejednačina korištenjem njihovih svojstava
Ova metoda je primjenjiva na nejednakosti bilo koje složenosti. Sastoji se od primjene svojstava (gore prikazanih) kako bi se nejednakosti svele na jednostavniji oblik i dobilo rješenje. Sasvim je moguće da će to rezultirati ne samo jednom, već sistemom nejednakosti. Ovo je univerzalna metoda. Primjenjuje se na sve nejednakosti.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
Od davnina je bilo potrebno porediti količine i količine prilikom rješavanja praktičnih problema. Istovremeno su se pojavile riječi kao što su više i manje, više i niže, lakše i teže, tiše i glasnije, jeftinije i skuplje itd. koje označavaju rezultate poređenja homogenih veličina.
Koncepti više i manje nastali su u vezi sa brojanjem predmeta, mjerenjem i poređenjem veličina. Na primjer, matematičari Drevne Grčke znali su da je stranica bilo kojeg trougla manja od zbira druge dvije strane i da veća strana leži nasuprot većeg ugla u trokutu. Arhimed je prilikom izračunavanja obima ustanovio da je obim svakog kruga jednak trostrukom prečniku sa viškom manjim od jedne sedme prečnika, ali više od deset i sedamdeset puta prečnika.
Simbolično zapišite odnose između brojeva i veličina pomoću znakova > i b. Zapisi u kojima su dva broja povezana jednim od znakova: > (veći od), Brojne nejednakosti ste naišli i u nižim razredima. Znate da nejednakosti mogu biti istinite, a mogu biti i lažne. Na primjer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) je ispravna numerička nejednakost, 0,23 > 0,235 je netačna numerička nejednakost.
Nejednakosti koje uključuju nepoznanice mogu biti istinite za neke vrijednosti nepoznatih i lažne za druge. Na primjer, nejednakost 2x+1>5 je tačna za x = 3, ali netačna za x = -3. Za nejednakost s jednom nepoznatom možete postaviti zadatak: riješite nejednakost. Problemi rješavanja nejednačina u praksi se postavljaju i rješavaju ne manje često nego problemi rješavanja jednačina. Na primjer, mnogi ekonomski problemi svode se na proučavanje i rješavanje sistema linearnih nejednakosti. U mnogim granama matematike, nejednakosti su češće nego jednačine.
Neke nejednakosti služe kao jedino pomoćno sredstvo za dokazivanje ili opovrgavanje postojanja određenog objekta, na primjer, korijena jednadžbe.
Numeričke nejednakosti
Možete upoređivati cijele brojeve i decimalne razlomke. Poznavati pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima; sa istim brojnicima ali različitim nazivnicima. Ovdje ćete naučiti kako uporediti bilo koja dva broja tako što ćete pronaći znak njihove razlike.
Poređenje brojeva se široko koristi u praksi. Na primjer, ekonomista upoređuje planirane pokazatelje sa stvarnim, liječnik upoređuje temperaturu pacijenta s normalnom, strugar uspoređuje dimenzije obrađenog dijela sa standardom. U svim takvim slučajevima upoređuju se neki brojevi. Kao rezultat poređenja brojeva, nastaju numeričke nejednakosti.
Definicija. Broj a je veći od broja b ako je razlika a-b pozitivna. Broj a je manji od broja b ako je razlika a-b negativna.
Ako je a veće od b, onda pišu: a > b; ako je a manje od b, onda pišu: a Dakle, nejednakost a > b znači da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Nejednakost a Za bilo koja dva broja a i b, iz sljedeće tri relacije a > b, a = b, a Uporediti brojeve a i b znači saznati koji od znakova >, = ili Teorema. Ako je a > b i b > c, onda je a > c.
Teorema. Ako na obje strane nejednakosti dodate isti broj, predznak nejednakosti se neće promijeniti.
Posljedica. Bilo koji član se može premjestiti iz jednog dijela nejednakosti u drugi promjenom predznaka ovog člana na suprotan.
Teorema. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Posljedica. Ako su obje strane nejednakosti podijeljene istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti neće promijeniti. Ako su obje strane nejednakosti podijeljene istim negativnim brojem, tada će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Znate da se numeričke jednakosti mogu sabirati i množiti član po član. Zatim ćete naučiti kako izvoditi slične radnje s nejednakostima. Mogućnost sabiranja i množenja nejednakosti pojam se često koristi u praksi. Ove radnje pomažu u rješavanju problema vrednovanja i poređenja značenja izraza.
Prilikom rješavanja različitih zadataka često je potrebno zbrajati ili množiti lijevu i desnu stranu nejednakosti član po član. Istovremeno, ponekad se kaže da se nejednakosti zbrajaju ili množe. Na primjer, ako je turista prvog dana prepješačio više od 20 km, a drugog više od 25 km, onda možemo reći da je za dva dana prepješačio više od 45 km. Slično, ako je dužina pravokutnika manja od 13 cm, a širina manja od 5 cm, onda možemo reći da je površina ovog pravokutnika manja od 65 cm2.
Prilikom razmatranja ovih primjera korišteno je sljedeće: teoreme o sabiranju i množenju nejednačina:
Teorema. Sabiranjem nejednakosti istog predznaka dobija se nejednakost istog predznaka: ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.
Teorema. Množenjem nejednakosti istog predznaka, čije su leve i desne strane pozitivne, dobija se nejednakost istog predznaka: ako su a > b, c > d i a, b, c, d pozitivni brojevi, onda je ac > bd.
Nejednakosti sa predznakom > (veće od) i 1/2, 3/4 b, c Uz predznake strogih nejednakosti > i Na isti način, nejednakost \(a \geq b \) znači da je broj a veće ili jednako b, tj. a ne manje b.
Nejednačine koje sadrže znak \(\geq \) ili znak \(\leq \) nazivaju se nestrogim. Na primjer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nisu stroge nejednakosti.
Sva svojstva strogih nejednakosti vrijede i za nestroge nejednakosti. Štaviše, ako se za stroge nejednakosti predznaci > smatraju suprotnim i znate da za rješavanje brojnih primijenjenih problema morate kreirati matematički model u obliku jednačine ili sistema jednačina. Zatim ćete naučiti da su matematički modeli za rješavanje mnogih problema nejednakosti s nepoznanicama. Biće predstavljen koncept rješavanja nejednakosti i pokazaće se kako provjeriti da li je dati broj rješenje određene nejednakosti.
Nejednakosti oblika
\(ax > b, \quad ax u kojima su a i b dati brojevi, a x je nepoznata, nazivaju se linearne nejednačine sa jednom nepoznatom.
Definicija. Rješenje nejednakosti s jednom nepoznatom je vrijednost nepoznate pri kojoj ova nejednakost postaje prava brojčana nejednakost. Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih njenih rješenja ili utvrđivanje da ih nema.
Rešili ste jednadžbe tako što ste ih sveli na najjednostavnije jednačine. Slično, prilikom rješavanja nejednačina pokušava se, koristeći svojstva, svesti na oblik jednostavnih nejednačina.
Rješavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom varijablom
Nejednakosti oblika
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \), tzv. nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom.
Rješenje nejednakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ili \(ax^2+bx+c se može smatrati pronalaženjem intervala u kojima funkcija \(y= ax^2+bx+c \) uzima pozitivnu ili negativnu vrijednosti Da biste to učinili, dovoljno je analizirati kako se graf funkcije \(y= ax^2+bx+c\) nalazi u koordinatnoj ravni: gdje su grane parabole usmjerene - gore ili dolje, da li parabola siječe x-osu i ako siječe, u kojim tačkama.
Algoritam za rešavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom:
1) pronaći diskriminant kvadratnog trinoma \(ax^2+bx+c\) i saznati da li trinom ima korijen;
2) ako trinom ima korijene, označite ih na osi x i kroz označene tačke nacrtajte shematsku parabolu, čije su grane usmjerene prema gore za a > 0 ili prema dolje za 0 ili na dnu za a 3) pronađite intervale na x-osi za koje se parabole tačaka nalaze iznad x-ose (ako rješavaju nejednakost \(ax^2+bx+c >0\)) ili ispod x-ose (ako rješavaju nejednakost
\(ax^2+bx+c Rješavanje nejednačina metodom intervala
Razmotrite funkciju
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domen ove funkcije je skup svih brojeva. Nule funkcije su brojevi -2, 3, 5. Oni dijele područje definicije funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) i \( (5; +\infty)\)
Hajde da saznamo koji su predznaci ove funkcije u svakom od navedenih intervala.
Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je proizvod tri faktora. Znak svakog od ovih faktora u intervalima koji se razmatraju prikazan je u tabeli:
Općenito, neka je funkcija data formulom
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdje je x varijabla, a x 1, x 2, ..., x n su brojevi koji nisu jednaki jedan drugom. Brojevi x 1 , x 2 , ..., x n su nule funkcije. U svakom od intervala na koje je domen definicije podijeljen nulama funkcije, predznak funkcije je sačuvan, a pri prolasku kroz nulu njen predznak se mijenja.
Ovo svojstvo se koristi za rješavanje nejednakosti oblika
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdje su x 1, x 2, ..., x n brojevi koji nisu jednaki jedan drugom
Razmatrana metoda rješavanje nejednačina naziva se intervalna metoda.
Navedimo primjere rješavanja nejednačina metodom intervala.
Riješite nejednakost:
\(x(0.5-x)(x+4) Očigledno, nule funkcije f(x) = x(0.5-x)(x+4) su tačke \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Ucrtavamo nule funkcije na brojevnu os i izračunavamo predznak na svakom intervalu:
Odaberemo one intervale u kojima je funkcija manja ili jednaka nuli i zapišemo odgovor.
odgovor:
\(x \in \levo(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebni dio 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta se desilo "kvadratna nejednakost"? Nema sumnje!) Ako uzmete bilo koji kvadratna jednačina i zamijenite znak u njemu "=" (jednako) bilo kojem znaku nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Pa razumes...)
Nije uzalud ovdje povezao jednačine i nejednačine. Poenta je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga, nemogućnost rješavanja kvadratnih jednačina automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa, pogledajte kako riješiti bilo koje kvadratne jednadžbe. Tamo je sve detaljno opisano. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.
Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: na lijevoj strani je kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje već su spremni da donesu odluku. Treći primjer tek treba pripremiti.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Jedna od tema koja od učenika zahtijeva maksimalnu pažnju i istrajnost je rješavanje nejednakosti. Tako slične jednadžbi, a u isto vrijeme vrlo različite od njih. Jer njihovo rješavanje zahtijeva poseban pristup.
Svojstva koja će biti potrebna za pronalaženje odgovora
Svi oni se koriste za zamjenu postojećeg unosa s ekvivalentnim. Većina njih je slična onome što je bilo u jednadžbi. Ali postoje i razlike.
- Funkcija koja je definirana u ODZ-u, ili bilo koji broj, može se dodati na obje strane izvorne nejednakosti.
- Isto tako, množenje je moguće, ali samo pozitivnom funkcijom ili brojem.
- Ako se ova radnja izvodi s negativnom funkcijom ili brojem, tada se znak nejednakosti mora zamijeniti suprotnim.
- Funkcije koje nisu negativne mogu se podići na pozitivnu potenciju.
Ponekad je rješavanje nejednakosti popraćeno radnjama koje daju strane odgovore. Treba ih eliminisati upoređivanjem DL domena i skupa rješenja.
Korištenje metode intervala
Njegova suština je da se nejednakost svede na jednadžbu u kojoj se na desnoj strani nalazi nula.
- Odredite područje u kojem se nalaze dozvoljene vrijednosti varijabli, odnosno ODZ.
- Transformirajte nejednakost pomoću matematičkih operacija tako da desna strana ima nulu.
- Zamijenite znak nejednakosti sa “=” i riješite odgovarajuću jednačinu.
- Na numeričkoj osi označite sve odgovore koji su dobijeni tokom rješavanja, kao i OD intervale. U slučaju stroge nejednakosti, tačke se moraju nacrtati kao probušene. Ako postoji znak jednakosti, onda ih treba prefarbati.
- Odredite predznak izvorne funkcije na svakom intervalu dobivenom iz tačaka ODZ-a i odgovora koji ga dijele. Ako se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz tačku, onda je uključen u odgovor. U suprotnom je isključeno.
- Granične tačke za ODZ treba dalje provjeriti i tek onda uključiti ili ne uključiti u odgovor.
- Rezultirajući odgovor mora biti napisan u obliku kombinovanih skupova.
Malo o dvostrukim nejednakostima
Koriste dva znaka nejednakosti odjednom. To jest, neka funkcija je ograničena uslovima dva puta odjednom. Takve se nejednakosti rješavaju kao sistem dvojke, kada se original podijeli na dijelove. A u metodi intervala navedeni su odgovori iz rješavanja obje jednačine.
Da biste ih riješili, također je dozvoljeno koristiti gore navedena svojstva. Uz njihovu pomoć, zgodno je smanjiti nejednakost na nulu.
Šta je sa nejednačinama koje imaju modul?
U ovom slučaju, rješenje nejednačina koristi sljedeća svojstva, a ona vrijede za pozitivnu vrijednost “a”.
Ako "x" poprimi algebarski izraz, tada su važeće sljedeće zamjene:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > a do x< -a или х >a.
Ako nejednakosti nisu stroge, onda su i formule tačne, samo što se u njima, pored znaka većeg ili manjeg, pojavljuje i “=”.
Kako se rješava sistem nejednakosti?
Ovo znanje će biti potrebno u slučajevima kada je takav zadatak zadan ili postoji zapis o dvostrukoj nejednakosti ili se modul pojavljuje u zapisu. U takvoj situaciji rješenje će biti vrijednosti varijabli koje bi zadovoljile sve nejednakosti u zapisu. Ako takvih brojeva nema, onda sistem nema rješenja.
Plan po kome se sprovodi rešavanje sistema nejednačina:
- riješiti svaki od njih posebno;
- prikazati sve intervale na brojevnoj osi i odrediti njihove sjecišta;
- zapišite odgovor sistema, koji će biti kombinacija onoga što se dogodilo u drugom paragrafu.
Šta raditi sa razlomcima?
Budući da njihovo rješavanje može zahtijevati promjenu znaka nejednakosti, morate vrlo pažljivo i pažljivo pratiti sve točke plana. U suprotnom, možete dobiti suprotan odgovor.
Rješavanje frakcijskih nejednačina također koristi metodu intervala. A akcioni plan će biti ovakav:
- Koristeći opisana svojstva, dajte razlomku takav oblik da ostane samo nula desno od znaka.
- Zamijenite nejednakost sa “=” i odredite tačke u kojima će funkcija biti jednaka nuli.
- Označite ih na koordinatnoj osi. U ovom slučaju, brojevi dobijeni kao rezultat izračunavanja u nazivniku uvijek će biti iskucani. Svi ostali su zasnovani na uslovu nejednakosti.
- Odrediti intervale konstantnosti predznaka.
- Kao odgovor, zapišite uniju onih intervala čiji predznak odgovara onom u izvornoj nejednakosti.
Situacije kada se iracionalnost pojavljuje u nejednakosti
Drugim riječima, postoji matematički korijen u notaciji. Budući da je u školskom kursu algebre većina zadataka za kvadratni korijen, ovo će biti razmatrano.
Rješenje iracionalnih nejednakosti svodi se na dobijanje sistema od dva ili tri koji će biti ekvivalentan izvornom.
| Originalna nejednakost | stanje | ekvivalentni sistem |
| √ n(x)< m(х) | m(x) manje ili jednako 0 | nema rješenja |
| m(x) veće od 0 | n(x) je veće ili jednako 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) veće ili jednako 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) je veće ili jednako 0 m(x) manje od 0 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) manje od 0 | nema rješenja |
| m(x) veće ili jednako 0 | n(x) je veće ili jednako 0 n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) veće ili jednako 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) je veće ili jednako 0 m(x) manje od 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) je veće ili jednako 0 n(x) manje od m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) veće od 0 m(x) manje od 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) veće od 0 m(x) veće od 0 |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) veće od 0 |
|
n(x) jednako 0 m(x) - bilo koji |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) veće od 0 |
|
n(x) jednako 0 m(x) - bilo koji |
Primjeri rješavanja različitih vrsta nejednakosti
Da bi se teoriji o rješavanju nejednakosti dodala jasnoća, u nastavku su dati primjeri.
Prvi primjer. 2x - 4 > 1 + x
Rješenje: Da biste odredili ADI, sve što trebate učiniti je pažljivo pogledati nejednakost. Formira se od linearnih funkcija, stoga je definiran za sve vrijednosti varijable.
Sada trebate oduzeti (1 + x) s obje strane nejednakosti. Ispada: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Nakon što se otvore zagrade i daju slični pojmovi, nejednakost će poprimiti sljedeći oblik: x - 5 > 0.
Izjednačavajući ga sa nulom, lako je pronaći njegovo rješenje: x = 5.
Sada ova tačka sa brojem 5 mora biti označena na koordinatnoj zraci. Zatim provjerite znakove originalne funkcije. Na prvom intervalu od minus beskonačnosti do 5, možete uzeti broj 0 i zamijeniti ga nejednakošću dobivenom nakon transformacija. Nakon proračuna ispada -7 >0. ispod luka intervala treba da potpišete znak minus.
Na sljedećem intervalu od 5 do beskonačnosti, možete odabrati broj 6. Tada se ispostavi da je 1 > 0. Ispod luka je znak “+”. Ovaj drugi interval će biti odgovor na nejednakost.
Odgovor: x leži u intervalu (5; ∞).
Drugi primjer. Potrebno je riješiti sistem od dvije jednačine: 3x + 3 ≤ 2x + 1 i 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Rješenje. VA ovih nejednakosti također leži u području bilo kojeg broja, pošto su linearne funkcije date.
Druga nejednačina će imati oblik sljedeće jednačine: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Nakon transformacije: -x - 4 =0. Ovo proizvodi vrijednost za varijablu jednaku -4.
Ova dva broja moraju biti označena na osi, prikazujući intervale. Pošto nejednakost nije stroga, sve tačke moraju biti zasjenjene. Prvi interval je od minus beskonačnosti do -4. Neka bude izabran broj -5. Prva nejednakost će dati vrijednost -3, a druga 1. To znači da ovaj interval nije uključen u odgovor.
Drugi interval je od -4 do -2. Možete odabrati broj -3 i zamijeniti ga u obje nejednačine. U prvom i drugom, vrijednost je -1. To znači da ispod luka "-".
U posljednjem intervalu od -2 do beskonačnosti, najbolji broj je nula. Morate ga zamijeniti i pronaći vrijednosti nejednakosti. Prvi od njih daje pozitivan broj, a drugi nulu. Ova praznina se također mora isključiti iz odgovora.
Od tri intervala, samo jedan je rješenje nejednakosti.
Odgovor: x pripada [-4; -2].
Treći primjer. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Rješenje. Prvi korak je određivanje tačaka u kojima funkcije nestaju. Za lijevu ovaj broj će biti 2, za desnu - 1. Treba ih označiti na gredi i odrediti intervale konstantnosti predznaka.
Na prvom intervalu, od minus beskonačnosti do 1, funkcija na lijevoj strani nejednakosti poprima pozitivne vrijednosti, a funkcija na desnoj strani poprima negativne vrijednosti. Ispod luka trebate napisati dva znaka “+” i “-” jedan pored drugog.
Sljedeći interval je od 1 do 2. Na njemu obje funkcije poprimaju pozitivne vrijednosti. To znači da postoje dva plusa ispod luka.
Treći interval od 2 do beskonačnosti će dati sljedeći rezultat: lijeva funkcija je negativna, desna funkcija je pozitivna.
Uzimajući u obzir rezultirajuće znakove, potrebno je izračunati vrijednosti nejednakosti za sve intervale.
Prvi proizvodi sljedeću nejednakost: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus ispred dva u drugoj nejednakosti je zbog činjenice da je ova funkcija negativna.
Nakon transformacije, nejednakost izgleda ovako: x > 0. Odmah daje vrijednosti varijable. Odnosno, iz ovog intervala će biti odgovoreno samo na interval od 0 do 1.
Na drugom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformacije će dati sljedeću nejednakost: -3x + 4 je veće od nule. Njegova nula će biti x = 4/3. Uzimajući u obzir znak nejednakosti, ispada da x mora biti manji od ovog broja. To znači da se ovaj interval smanjuje na interval od 1 do 4/3.
Ovo posljednje daje sljedeću nejednakost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njegova transformacija dovodi do sljedećeg: -x > 0. To jest, jednačina je tačna kada je x manje od nule. To znači da na traženom intervalu nejednakost ne daje rješenja.
U prva dva intervala ispostavilo se da je granični broj 1. Potrebno ga je posebno provjeriti. Odnosno, zamijenite ga izvornom nejednakošću. Ispada: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Brojanje pokazuje da je 1 veće od 0. Ovo je tačna tvrdnja, tako da je jedan uključen u odgovor.
Odgovor: x leži u intervalu (0; 4/3).