LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U UPOTREBI
Sečin Mihail Aleksandrovič
Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan “Iskatel”
MBOU "Sovetskaya Srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovetsky Sovetsky okrug
Gunko Ljudmila Dmitrijevna, MBOU nastavnik"Sovjetska srednja škola br. 1"
Sovetsky okrug
Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih nejednačina C3 nestandardnim metodama, identifikacija zanimljivosti logaritam
Predmet studija:
3) Naučite rješavati specifične logaritamske nejednakosti C3 koristeći nestandardne metode.
Rezultati:
Sadržaj
Uvod………………………………………………………………………………………………….4
Poglavlje 1. Istorijat izdanja…………………………………………………………5
Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7
2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7
2.2. Metoda racionalizacije………………………………………………………………………… 15
2.3. Nestandardna zamjena ................................................................ ............ ..... 22
2.4. Zadaci sa zamkama……………………………………………………27
Zaključak…………………………………………………………………………………………… 30
Književnost…………………………………………………………………………………. 31
Uvod
Ja sam 11. razred i planiram da upišem fakultet gdje je osnovni predmet matematika. Zato puno radim na problemima dijela C. U zadatku C3 trebate riješiti nestandardna nejednakost ili sistem nejednakosti, obično povezan sa logaritmima. Pripremajući se za ispit, susreo sam se sa problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti ponuđenih u C3. Metode koje se proučavaju u školski program na ovu temu, ne daju osnovu za rješavanje C3 zadataka. Nastavnica matematike mi je predložila da samostalno radim C3 zadatke pod njenim vodstvom. Osim toga, zanimalo me je pitanje: da li se u životu susrećemo s logaritmima?
Imajući to na umu, odabrana je tema:
“Logaritmske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu”
Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje C3 problema korištenjem nestandardnih metoda, identifikujući zanimljive činjenice o logaritmu.
Predmet studija:
1) Pronađite potrebne informacije o nestandardne metode rješenja logaritamskih nejednačina.
2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.
3) Naučite rješavati specifične C3 probleme koristeći nestandardne metode.
Rezultati:
Praktični značaj leži u proširenju aparata za rješavanje C3 problema. Ovaj materijal se može koristiti na nekim časovima, za klupske i izborne časove matematike.
Proizvod projekta će biti zbirka „C3 Logaritamske nejednakosti sa rješenjima“.
Poglavlje 1. Pozadina
Tokom 16. vijeka, broj približnih proračuna se brzo povećavao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi poslovi zahtijevali su kolosalne, ponekad višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile u drugim oblastima, na primjer, u poslovima osiguranja, bile su potrebne tabele složenih kamata za različite kamatne stope. Glavna poteškoća bilo je množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva, posebno trigonometrijskih veličina.
Otkriće logaritama zasnivalo se na svojstvima progresija koje su bile dobro poznate do kraja 16. veka. O povezanosti članova geometrijska progresija q, q2, q3, ... i aritmetička progresija njihovi pokazatelji su 1, 2, 3,... Arhimed je govorio u svom “Psalmitisu”. Drugi preduvjet je bio proširenje koncepta stepena na negativne i razlomke. Mnogi autori su istakli da množenje, dijeljenje, eksponencijacija i vađenje korijena u geometrijskoj progresiji odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju.
Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.
U istoriji razvoja doktrine logaritma prošlo je nekoliko faza.
Faza 1
Logaritme su izumili najkasnije 1594. nezavisno škotski baron Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švajcarski mehaničar Bürgi (1552-1632). Obojica su željeli da pruže novo, pogodno sredstvo za aritmetička izračunavanja, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i time ušao novo područje teorija funkcije. Bürgi je ostao na bazi razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastala je iz kombinacije grčke riječi: logos - “relacija” i ariqmo – “broj”, što je značilo “broj odnosa”. U početku je Napier koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "umjetni brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".
Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorom matematike na Gresh koledžu u Londonu, Napier je predložio da se nula uzme kao logaritam od jedan, a 100 kao logaritam od deset, ili, što znači isto stvar, samo 1. Ovako su štampani decimalni logaritmi i prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tabele dopunio holandski knjižar i zaljubljenik u matematiku Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, iako su došli do logaritma ranije od svih ostalih, objavili su svoje tabele kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakove log i log uveo je 1624. I. Kepler. Termin “prirodni logaritam” uveo je Mengoli 1659. godine, a zatim N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj John Speidel objavio je tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom “Novi logaritmi”.
Prve logaritamske tablice objavljene su na ruskom jeziku 1703. godine. Ali u svim logaritamskim tablicama bilo je grešaka u proračunu. Prve tabele bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu, obradio ih je njemački matematičar K. Bremiker (1804-1877).
Faza 2
Dalji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i infinitezimalnog računa. Do tog vremena, veza između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodni logaritam. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.
Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u eseju
"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje ekspanziju ln(x+1) u
moći x:
Ovaj izraz tačno odgovara njegovom toku misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomazniji simbolizam. Sa otkrićem logaritamskih nizova, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se određivati pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima “Elementarna matematika sa višeg gledišta”, održanim 1907-1908, F. Klein je predložio korištenje formule kao polazne tačke za izgradnju teorije logaritama.
Faza 3
Definicija logaritamska funkcija kao inverzna funkcija
eksponencijalni, logaritam kao eksponent date baze
nije formulisano odmah. Esej Leonharda Ojlera (1707-1783)
"Uvod u analizu infinitezimima" (1748) poslužio je daljem
razvoj teorije logaritamskih funkcija. dakle,
Prošle su 134 godine od kada su prvi put uvedeni logaritmi
(računajući od 1614. godine), prije nego što su matematičari došli do definicije
koncept logaritma, koji je sada osnova školskog predmeta.
Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti
2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.
Ekvivalentni prelazi
, ako je a > 1
, ako je 0 <
а <
1
Metoda generaliziranog intervala
Ova metoda je najuniverzalnija za rješavanje nejednakosti gotovo bilo kojeg tipa. Dijagram rješenja izgleda ovako:
1. Dovedite nejednakost u oblik gdje je funkcija na lijevoj strani 
, a na desnoj strani 0.
2. Pronađite domenu funkcije .
3. Pronađite nule funkcije , odnosno riješiti jednačinu 
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednačine).
4. Nacrtajte domen definicije i nule funkcije na brojevnoj pravoj.
5. Odredite znakove funkcije na dobijenim intervalima.
6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima tražene vrijednosti i zapišite odgovor.
Primjer 1.
Rješenje:
Primijenimo metodu intervala
gdje
Za ove vrijednosti, svi izrazi pod logaritamskim predznacima su pozitivni.
odgovor:
Primjer 2.
Rješenje:
1st način . ADL je određen nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x u bazi 10, dobijamo
Posljednja nejednakost bi se mogla riješiti primjenom pravila ekspanzije, tj. poređenje faktora sa nulom. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije
stoga se može primijeniti intervalna metoda.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano na x> 3 i nestaje u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, određujemo intervale konstantnog predznaka funkcije f(x):
odgovor:
2. metoda . Hajde da direktno primenimo ideje intervalne metode na originalnu nejednakost.
Da biste to učinili, podsjetite da su izrazi a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost u x> 3 je ekvivalentno nejednakosti
ili
Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala
odgovor:
Primjer 3.
Rješenje:
Primijenimo metodu intervala
odgovor:
Primjer 4.
Rješenje:
Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, To
Za rješavanje druge nejednakosti koristimo metodu intervala
U prvoj nejednakosti vršimo zamjenu
onda dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.
Odakle, jer
dobijamo nejednakost
koji se sprovodi kada x, za koji 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sistema, konačno dobijamo
odgovor:
Primjer 5.
Rješenje:
Nejednakost je ekvivalentna skupu sistema
ili
Koristimo metodu intervala ili
Odgovori:
Primjer 6.
Rješenje:
Sistem nejednakosti jednakosti
Neka
Onda y > 0,
i prva nejednakost
sistem poprima oblik
ili, odvijanje
kvadratni trinom razložen na faktore,
Primjenom metode intervala na posljednju nejednakost,
vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uslov y> 0 će biti sve y > 4.
Dakle, originalna nejednakost je ekvivalentna sistemu:
Dakle, rješenja za nejednakost su sva
2.2. Metoda racionalizacije.
Ranije se nejednakost nije rješavala metodom racionalizacije, nije bila poznata. Ovo je "nova moderna" efikasan metod rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikove)
A čak i da ga je učiteljica poznavala, postojao je strah - poznaje li ga stručnjak za Jedinstveni državni ispit i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je nastavnik rekao učeniku: "Odakle ti to? Sedi - 2."
Sada se metoda svuda promoviše. A za stručnjake postoje smjernice povezane s ovom metodom, a u “Najpotpunijim izdanjima standardnih opcija...” u Rješenju C3 koristi se ova metoda.
DIVNA METODA!
"Čarobni sto"
U drugim izvorima
Ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;
Ako a >1 i 0 ako je 0<a<1 и b
>1, zatim log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ako je 0<a<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0. Provedeno rezonovanje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješenje logaritamskih nejednačina. Primjer 4.
log x (x 2 -3)<0
Rješenje:
Primjer 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Rješenje: Primjer 6.
Za rješavanje ove nejednakosti umjesto nazivnika pišemo (x-1-1)(x-1), a umjesto brojnika pišemo proizvod (x-1)(x-3-9 + x). Primjer 7.
Primjer 8.
2.3. Nestandardna zamjena. Primjer 1.
Primjer 2.
Primjer 3.
Primjer 4.
Primjer 5.
Primjer 6.
Primjer 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada će ova nejednakost dobiti oblik Log 4 log 0,25 Jer log 0,25 Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednakost t 2 -2t +≥0, čije su rješenje intervali - Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y imamo skup od dvije jednostavne nejednakosti Prema tome, originalna nejednakost je ekvivalentna skupu dvije eksponencijalne nejednakosti, Rješenje prve nejednakosti ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Primjer 8.
Rješenje:
Sistem nejednakosti jednakosti Rješenje druge nejednakosti koja definira ODZ bit će skup njih x,
za koji x > 0.
Za rješavanje prve nejednakosti vršimo zamjenu Tada dobijamo nejednakost ili Skup rješenja posljednje nejednačine nalazi se metodom intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobijamo ili Mnogo toga x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost pripada ODZ-u ( x> 0), dakle, predstavlja rješenje sistema, a time i originalna nejednakost. odgovor: 2.4. Zadaci sa zamkama. Primjer 1.
Rješenje. ODZ nejednakosti je sve x koji zadovoljava uslov 0 Primjer 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Odgovori. (0; 0,5)U.
Odgovori :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada ćemo posljednju nejednakost prepisati kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Rješenje ovog skupa su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.
odnosno agregati 
. Dakle, originalna nejednakost je zadovoljena za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Dakle, svi x su iz intervala 0
Zaključak
Nije bilo lako pronaći specifične metode za rješavanje C3 problema iz velikog broja različitih obrazovnih izvora. U toku obavljenog rada bio sam u mogućnosti da proučavam nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. To su: ekvivalentni prelazi i generalizovana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nisu uključene u školski program.
Različitim metodama riješio sam 27 nejednakosti predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u dijelu C, odnosno C3. Ove nejednakosti sa rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke „C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima“, koja je postala projektni proizvod moje aktivnosti. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: C3 problemi se mogu efikasno riješiti ako poznajete ove metode.
Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo ovo raditi. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i nastavnicima.
Zaključci:
Time je cilj projekta postignut i problem riješen. I dobio sam najpotpunije i najraznovrsnije iskustvo projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tokom rada na projektu, moj glavni razvojni uticaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane za logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, lične inicijative, odgovornosti, istrajnosti i aktivnosti.
Garancija uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Stekao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost da dobijem informacije iz različitih izvora, provjerim njihovu pouzdanost i rangiram ih po važnosti.
Pored neposrednih predmetnih znanja iz matematike, proširio sam svoje praktične veštine u oblasti informatike, stekao nova znanja i iskustva iz oblasti psihologije, uspostavio kontakte sa kolegama iz razreda, te naučio da sarađujem sa odraslima. Tokom projektnih aktivnosti razvijene su organizacione, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine.
Književnost
1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi nejednakosti sa jednom promenljivom (standardni zadaci C3).
2. Malkova A. G. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.
3. Samarova S. S. Rješavanje logaritamskih nejednačina.
4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str.-
Članak je posvećen analizi zadataka 15 sa profila Jedinstveni državni ispit iz matematike za 2017. godinu. U ovom zadatku od školaraca se traži da riješe nejednačine, najčešće logaritamske. Iako možda ima indikativnih. Ovaj članak daje analizu primjera logaritamskih nejednakosti, uključujući one koje sadrže varijablu u bazi logaritma. Svi primjeri su preuzeti iz otvorene banke Jedinstvenih ispitnih zadataka iz matematike (profil), tako da će se takve nejednakosti vjerovatno pojaviti na ispitu kao zadatak 15. Idealno za one koji žele naučiti rješavati zadatak 15 iz drugog dijela profila Jedinstveni državni ispit u kratkom roku iz matematike da dobijete više ocjena na ispitu.
Analiza zadataka 15 sa profila Jedinstveni državni ispit iz matematike
| Primjer 1. Riješite nejednačinu: |
U zadacima 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil) često se susreću logaritamske nejednakosti. Rješavanje logaritamskih nejednačina počinje određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom slučaju nema varijable u osnovi oba logaritma, postoji samo broj 11, što uvelike pojednostavljuje problem. Dakle, jedino ograničenje koje imamo ovdje je da su oba izraza pod predznakom logaritma pozitivna:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Prva nejednakost u sistemu je kvadratna nejednakost. Da bismo to riješili, zaista bismo željeli faktorizirati lijevu stranu. Mislim da znate da je svaki kvadratni trinom oblika 
faktorizira se na sljedeći način:
gdje su i korijeni jednadžbe. U ovom slučaju, koeficijent je 1 (ovo je numerički koeficijent ispred ). Koeficijent je također jednak 1, a koeficijent je lažni pojam, jednak je -20. Korijene trinoma najlakše je odrediti pomoću Vietine teoreme. Jednačina koju smo dali znači da će zbir korijena biti jednak koeficijentu suprotnog predznaka, odnosno -1, a proizvod ovih korijena će biti jednak koeficijentu, odnosno -20. Lako je pretpostaviti da će korijeni biti -5 i 4.
Sada se lijeva strana nejednakosti može faktorizirati: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X u tačkama -5 i 4. To znači da je traženo rješenje nejednakosti interval . Za one koji ne razumiju šta je ovdje napisano, detalje možete pogledati u videu, počevši od ovog trenutka. Tamo ćete naći i detaljno objašnjenje kako se rješava druga nejednakost sistema. To se rješava. Štaviše, odgovor je potpuno isti kao i za prvu nejednakost sistema. Odnosno, gore napisani skup je područje dozvoljenih vrijednosti nejednakosti.
Dakle, uzimajući u obzir faktorizaciju, originalna nejednakost ima oblik:
Koristeći formulu, dodajemo 11 na stepen izraza pod znakom prvog logaritma, a drugi logaritam pomjeramo na lijevu stranu nejednakosti, mijenjajući njegov predznak u suprotan:
Nakon smanjenja dobijamo:
Posljednja nejednakost, zbog povećanja funkcije, je ekvivalentna nejednakosti 
, čije je rješenje interval 
. Ostaje samo da ga presječemo s područjem prihvatljivih vrijednosti nejednakosti, a to će biti odgovor na cijeli zadatak.
Dakle, traženi odgovor na zadatak izgleda ovako:
Bavili smo se ovim zadatkom, sada prelazimo na sljedeći primjer zadatka 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil).
| Primjer 2. Riješite nejednačinu:
|
Rješenje započinjemo određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti ove nejednakosti. U osnovi svakog logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Svi izrazi pod znakom logaritma moraju biti pozitivni. Imenilac razlomka ne smije sadržavati nulu. Posljednji uvjet je ekvivalentan činjenici da , jer samo inače oba logaritma u nazivniku nestaju. Svi ovi uslovi određuju raspon dozvoljenih vrijednosti ove nejednakosti, dat sljedećim sistemom nejednakosti:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
U rasponu prihvatljivih vrijednosti, možemo koristiti formule za konverziju logaritma da bismo pojednostavili lijevu stranu nejednakosti. Korištenje formule 
oslobađamo se imenioca:
Sada imamo samo logaritme sa bazom. Ovo je već zgodnije. Zatim koristimo formulu, a također i formulu kako bismo izraz vrijedan slave doveli u sljedeći oblik:
U proračunima smo koristili ono što je bilo u granicama prihvatljivih vrijednosti. Koristeći zamjenu dolazimo do izraza:
Upotrijebimo još jednu zamjenu: . Kao rezultat, dolazimo do sljedećeg rezultata:
Dakle, postepeno se vraćamo na originalne varijable. Prvo na varijablu:
Udžbenici matematike „Jedinstveni državni ispit 2017. Matematika“ imaju za cilj pripremu učenika srednjih škola za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ovaj udžbenik pruža materijal za pripremu za rješavanje zadatka 15 na nivou profila.
U odnosu na prošlu godinu, knjiga je značajno poboljšana i proširena.
Priručnik je namijenjen srednjoškolcima, nastavnicima matematike i roditeljima.
Primjeri.
Od pet sljedećih tvrdnji o rezultatima utakmice između hokejaških ekipa “Ugolnik” i “Cirkul”, tri su tačne, a dvije nisu:
1) osvojio “Ugolnik”;
2) “Ugolnik” je postigao 5 golova;
3) utakmica je završena neriješeno;
4) na utakmici je postignuto ukupno 11 golova;
5) “Kompas” je pobijedio.
Odredite rezultat utakmice i označite pobjednika (ako je utakmica završila pobjedom jednog od timova).
Pronađite broj strana konveksnog poligona ako su tačne samo tri od sljedeća četiri iskaza o njemu:
1) zbir uglova mnogougla je veći od 600°;
2) zbir uglova mnogougla je veći od 700°;
3) zbir uglova mnogougla je veći od 800°;
4) zbir uglova poligona je veći od 900°.
Sadržaj
Predgovor
Poglavlje 1. Opće metode rješavanja nejednačina
§1.1. Osnovni koncepti i činjenice
§1.2. Intervalna metoda
§1.3. Faktorizacija i grupisanje
§1.4. Metoda za uvođenje nove varijable
§1.5. Primjena svojstava funkcija na rješavanje nejednačina
§1.6. Metoda znakovno-identičnih faktora
Poglavlje 2. Cjelokupne nejednakosti i sistemi nejednakosti
§2.1. Linearne i kvadratne nejednakosti
§2.2. Složenije cjelobrojne nejednakosti
Poglavlje 3. Frakcijsko-racionalne nejednakosti i sistemi nejednakosti
§3.1. Najjednostavnije razlomke racionalne nejednakosti
§3.2. Složenije razlomke racionalne nejednakosti
Poglavlje 4. Nejednakosti koje sadrže varijablu pod predznakom apsolutne vrijednosti (modula).
§4.1. Najjednostavnije nejednakosti sa modulom
§4.2. Složenije nejednakosti sa modulom
Poglavlje 5. Iracionalne nejednakosti
§5.1. Najjednostavnije iracionalne nejednakosti
§5.2. Složenije iracionalne nejednakosti
Poglavlje 6. Trigonometrijske nejednakosti
§6.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti
§6.2. Složenije trigonometrijske nejednakosti
Poglavlje 7. Eksponencijalne nejednakosti
§7.1. Najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti
§7.2. Složenije eksponencijalne nejednakosti
Poglavlje 8. Logaritamske nejednakosti
§8.1. Najjednostavnije logaritamske nejednakosti
§8.2. Složenije logaritamske nejednakosti
Odgovori.
Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu, gledajte i čitajte:
Preuzmite knjigu Jedinstveni državni ispit 2017, Matematika, Nejednakosti i sistemi nejednakosti, Zadatak 15, Nivo profila, Šestakov S.A. - fileskachat.com, brzo i besplatno preuzimanje.
- Jedinstveni državni ispit 2019, Matematika, Značenja izraza, Zadatak 9, Nivo profila, Zadatak 2 i 5, Osnovni nivo, Radna sveska, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Jedinstveni državni ispit 2019, Matematika, Zadaci o stereometriji, Zadatak 8, Nivo profila, Zadatak 13 i 16, Osnovni nivo, Radna sveska, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Jedinstveni državni ispit 2019, Matematika, Jednostavne jednačine, Zadatak 5, Nivo profila, Zadatak 4 i 7, Osnovni nivo, Radna sveska, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Jedinstveni državni ispit 2019, Matematika, Zadaci sa parametrom, Zadatak 18, Nivo profila, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
Sledeći udžbenici i knjige:
- Jedinstveni državni ispit 2017, Matematika, Zadaci sa parametrom, Zadatak 18, Nivo profila, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Jedinstveni državni ispit 2017, Matematika, Zadaci o sastavljanju jednačina, Zadatak 11, Nivo profila, Radna sveska, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
Od davnina je bilo potrebno porediti količine i količine prilikom rješavanja praktičnih problema. Istovremeno su se pojavile riječi kao što su više i manje, više i niže, lakše i teže, tiše i glasnije, jeftinije i skuplje itd. koje označavaju rezultate poređenja homogenih veličina.
Koncepti više i manje nastali su u vezi sa brojanjem predmeta, mjerenjem i poređenjem veličina. Na primjer, matematičari Drevne Grčke znali su da je stranica bilo kojeg trougla manja od zbira druge dvije strane i da veća strana leži nasuprot većeg kuta u trokutu. Arhimed je prilikom izračunavanja obima ustanovio da je obim svakog kruga jednak trostrukom prečniku sa viškom koji je manji od jedne sedme prečnika, ali više od deset i sedamdeset puta veći od prečnika.
Simbolično zapišite odnose između brojeva i veličina pomoću znakova > i b. Zapisi u kojima su dva broja povezana jednim od znakova: > (veći od), Brojne nejednakosti ste naišli i u nižim razredima. Znate da nejednakosti mogu biti istinite, a mogu biti i lažne. Na primjer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) je ispravna numerička nejednakost, 0,23 > 0,235 je netačna numerička nejednakost.
Nejednakosti koje uključuju nepoznanice mogu biti istinite za neke vrijednosti nepoznatih i lažne za druge. Na primjer, nejednakost 2x+1>5 je tačna za x = 3, ali netačna za x = -3. Za nejednakost s jednom nepoznatom možete postaviti zadatak: riješite nejednakost. Problemi rješavanja nejednačina u praksi se postavljaju i rješavaju ne manje često nego problemi rješavanja jednačina. Na primjer, mnogi ekonomski problemi svode se na proučavanje i rješavanje sistema linearnih nejednakosti. U mnogim granama matematike, nejednakosti su češće nego jednačine.
Neke nejednakosti služe kao jedino pomoćno sredstvo za dokazivanje ili opovrgavanje postojanja određenog objekta, na primjer, korijena jednadžbe.
Numeričke nejednakosti
Možete upoređivati cijele brojeve i decimalne razlomke. Poznavati pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima; sa istim brojnicima ali različitim nazivnicima. Ovdje ćete naučiti kako uporediti bilo koja dva broja tako što ćete pronaći znak njihove razlike.
Poređenje brojeva se široko koristi u praksi. Na primjer, ekonomista upoređuje planirane pokazatelje sa stvarnim, liječnik upoređuje temperaturu pacijenta s normalnom, strugar uspoređuje dimenzije obrađenog dijela sa standardom. U svim takvim slučajevima upoređuju se neki brojevi. Kao rezultat poređenja brojeva, nastaju numeričke nejednakosti.
Definicija. Broj a je veći od broja b ako je razlika a-b pozitivna. Broj a je manji od broja b ako je razlika a-b negativna.
Ako je a veće od b, onda pišu: a > b; ako je a manje od b, onda pišu: a Dakle, nejednakost a > b znači da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Nejednakost a Za bilo koja dva broja a i b, iz sljedeće tri relacije a > b, a = b, a Uporediti brojeve a i b znači saznati koji od znakova >, = ili Teorema. Ako je a > b i b > c, onda je a > c.
Teorema. Ako na obje strane nejednakosti dodate isti broj, predznak nejednakosti se neće promijeniti.
Posljedica. Bilo koji član se može premjestiti iz jednog dijela nejednakosti u drugi promjenom predznaka ovog člana na suprotan.
Teorema. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Posljedica. Ako su obje strane nejednakosti podijeljene istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti neće promijeniti. Ako su obje strane nejednakosti podijeljene istim negativnim brojem, tada će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Znate da se numeričke jednakosti mogu sabirati i množiti član po član. Zatim ćete naučiti kako izvoditi slične radnje s nejednakostima. Mogućnost sabiranja i množenja nejednakosti pojam se često koristi u praksi. Ove radnje pomažu u rješavanju problema vrednovanja i poređenja značenja izraza.
Prilikom rješavanja različitih zadataka često je potrebno zbrajati ili množiti lijevu i desnu stranu nejednakosti član po član. Istovremeno, ponekad se kaže da se nejednakosti zbrajaju ili množe. Na primjer, ako je turista prvog dana prepješačio više od 20 km, a drugog više od 25 km, onda možemo reći da je za dva dana prepješačio više od 45 km. Slično, ako je dužina pravokutnika manja od 13 cm, a širina manja od 5 cm, onda možemo reći da je površina ovog pravokutnika manja od 65 cm2.
Prilikom razmatranja ovih primjera korišteno je sljedeće: teoreme o sabiranju i množenju nejednačina:
Teorema. Sabiranjem nejednakosti istog predznaka dobija se nejednakost istog predznaka: ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.
Teorema. Množenjem nejednakosti istog predznaka, čije su leve i desne strane pozitivne, dobija se nejednakost istog predznaka: ako su a > b, c > d i a, b, c, d pozitivni brojevi, onda je ac > bd.
Nejednakosti sa predznakom > (veće od) i 1/2, 3/4 b, c Uz predznake strogih nejednakosti > i Na isti način, nejednakost \(a \geq b \) znači da je broj a veće ili jednako b, tj. a ne manje b.
Nejednačine koje sadrže znak \(\geq \) ili znak \(\leq \) nazivaju se nestrogim. Na primjer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nisu stroge nejednakosti.
Sva svojstva strogih nejednakosti vrijede i za nestroge nejednakosti. Štaviše, ako se za stroge nejednakosti predznaci > smatraju suprotnim i znate da za rješavanje brojnih primijenjenih problema morate kreirati matematički model u obliku jednačine ili sistema jednačina. Sljedeće ćete to saznati matematički modeli Za rješavanje mnogih problema postoje nejednakosti sa nepoznanicama. Biće predstavljen koncept rješavanja nejednakosti i pokazaće se kako provjeriti da li je dati broj rješenje određene nejednakosti.
Nejednakosti oblika
\(ax > b, \quad ax u kojima su a i b dati brojevi, a x je nepoznata, nazivaju se linearne nejednačine sa jednom nepoznatom.
Definicija. Rješenje nejednakosti s jednom nepoznatom je vrijednost nepoznate pri kojoj ova nejednakost postaje prava brojčana nejednakost. Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih njenih rješenja ili utvrđivanje da ih nema.
Rešili ste jednadžbe tako što ste ih sveli na najjednostavnije jednačine. Slično, prilikom rješavanja nejednačina pokušava se, koristeći svojstva, svesti na oblik jednostavnih nejednačina.
Rješavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom varijablom
Nejednakosti oblika
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \), tzv. nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom.
Rješenje nejednakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ili \(ax^2+bx+c se može smatrati pronalaženjem intervala u kojima funkcija \(y= ax^2+bx+c \) uzima pozitivnu ili negativnu vrijednosti Da biste to učinili, dovoljno je analizirati kako se graf funkcije \(y= ax^2+bx+c\) nalazi u koordinatnoj ravni: gdje su grane parabole usmjerene - gore ili dolje, da li parabola siječe x-osu i ako siječe, u kojim tačkama.
Algoritam za rešavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom:
1) pronaći diskriminant kvadratnog trinoma \(ax^2+bx+c\) i saznati da li trinom ima korijen;
2) ako trinom ima korijene, označite ih na osi x i kroz označene tačke nacrtajte shematsku parabolu, čije su grane usmjerene prema gore za a > 0 ili prema dolje za 0 ili na dnu za a 3) pronađite intervale na x-osi za koje se parabole tačaka nalaze iznad x-ose (ako rješavaju nejednakost \(ax^2+bx+c >0\)) ili ispod x-ose (ako rješavaju nejednakost
\(ax^2+bx+c Rješavanje nejednačina metodom intervala
Razmotrite funkciju
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domen ove funkcije je skup svih brojeva. Nule funkcije su brojevi -2, 3, 5. Oni dijele područje definicije funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) i \( (5; +\infty)\)
Hajde da saznamo koji su predznaci ove funkcije u svakom od navedenih intervala.
Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je proizvod tri faktora. Znak svakog od ovih faktora u intervalima koji se razmatraju prikazan je u tabeli:
Općenito, neka je funkcija data formulom
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdje je x varijabla, a x 1, x 2, ..., x n su brojevi koji nisu jednaki jedan drugom. Brojevi x 1 , x 2 , ..., x n su nule funkcije. U svakom od intervala na koje je domen definicije podijeljen nulama funkcije, predznak funkcije je sačuvan, a pri prolasku kroz nulu njen predznak se mijenja.
Ovo svojstvo se koristi za rješavanje nejednakosti oblika
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdje su x 1, x 2, ..., x n brojevi koji nisu jednaki jedan drugom
Razmatrana metoda rješavanje nejednačina naziva se intervalna metoda.
Navedimo primjere rješavanja nejednačina metodom intervala.
Riješite nejednakost:
\(x(0,5-x)(x+4) Očigledno, nule funkcije f(x) = x(0,5-x)(x+4) su tačke \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Ucrtavamo nule funkcije na brojevnu os i izračunavamo predznak na svakom intervalu:
Odaberemo one intervale u kojima je funkcija manja ili jednaka nuli i zapišemo odgovor.
odgovor:
\(x \in \levo(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)