Statistički proračuni sadržaja vlage

test

2. Jednačina trenda zasnovana na linearnoj zavisnosti.

2.1. Osnovni elementi vremenske serije.

Možete izgraditi ekonometrijski model koristeći dvije vrste ulaznih podataka:

Podaci koji karakteriziraju kolekciju različitih objekata u određenom trenutku.

Podaci koji karakteriziraju jedan objekt u nizu uzastopnih trenutaka u vremenu.

Modeli izgrađeni pomoću podataka prvog tipa nazivaju se prostorni. Modeli izgrađeni na osnovu druge vrste podataka nazivaju se vremenskim serijama.

Vremenska serija je skup vrijednosti bilo kojeg indikatora za nekoliko uzastopnih trenutaka ili vremenskih perioda. Svaki nivo vremenske serije se formira pod uticajem veliki broj faktori koji se mogu podijeliti u tri grupe:

Faktori koji oblikuju trend serije.

Faktori koji formiraju ciklične fluktuacije u seriji.

Slučajni faktori.

Uz različite kombinacije ovih faktora u fenomenu ili procesu koji se proučava, zavisnost nivoa serije o vremenu može imati različite oblike.

Prvo, većina vremenskih serija ekonomskih indikatora ima trend koji karakteriše kumulativni dugoročni uticaj mnogih faktora na dinamiku indikatora koji se proučava. Očigledno je da ovi faktori, uzeti odvojeno, mogu imati višesmjerni uticaj na indikator koji se proučava. Međutim, zajedno čine trend rasta ili smanjenja. Na sl. 1. prikazuje vremensku seriju koja sadrži trend rasta.

Drugo, indikator koji se proučava može biti podložan cikličnim fluktuacijama. Ove fluktuacije mogu biti sezonske, jer privredna aktivnost niza privrednih sektora zavisi od doba godine. Ako su velike količine podataka dostupne tokom dužeg vremenskog perioda, moguće je identifikovati ciklične fluktuacije povezane sa opštom dinamikom tržišnih uslova, kao i sa fazom poslovnog ciklusa u kojoj se nalazi privreda zemlje. Na sl. 2. prikazana je vremenska serija koja sadrži samo sezonsku komponentu.

Neke vremenske serije ne sadrže trend ili cikličku komponentu, a svaki naredni nivo se zasniva na zbiru prosečnog nivoa serije i neke slučajne komponente. Primjer serije koja sadrži samo slučajnu komponentu prikazan je na Sl. 3.

Očigledno, stvarni podaci ne slijede u potpunosti ni iz jednog od opisanih modela. Najčešće sadrže sve tri komponente. Svaki nivo se formira pod uticajem trendova, sezonskih fluktuacija i slučajne komponente.

U većini slučajeva, stvarni nivo vremenske serije može se predstaviti kao zbir ili proizvod trenda, cikličkih i slučajnih komponenti. Naziva se model u kojem je vremenska serija predstavljena kao zbir navedenih komponenti aditivni model. Model u kojem se vremenska serija predstavlja kao proizvod navedenih komponenti naziva se multiplikativnim modelom.

2.2. Autokorelacija nivoa vremenskih serija.

Ako postoji trend i ciklične fluktuacije u vremenskoj seriji, vrijednosti svakog sljedećeg nivoa serije zavise od prethodnih. Korelacija između uzastopnih nivoa vremenske serije naziva se autokorelacija. Može se kvantitativno mjeriti korištenjem koeficijenta linearne korelacije između nivoa originalne vremenske serije i nivoa ove serije pomjerenih u vremenu.

Jedna od radnih formula za izračunavanje koeficijenta korelacije je:

r xy = (xj - x) * (yj - y) .

(x j -x) 2 * (y j -y) 2

Kao promenljivu x smatraćemo niz y 2, y 3, ... y t; Kao varijablu y, razmotrite niz y 1, y 2, ... y t -1. Tada će ova formula poprimiti oblik:

r 1 = (g t - y 1 ) * (g t-1 - y 2 ) ; gdje je y 1 = y t ; y 2 = y t-1 .

(y t -y 1) 2 * (y t-1 -y 2) 2 n - 1 n - 1

Ova veličina se naziva koeficijent autokorelacije nivoa prvog reda. Broj perioda za koje se izračunava koeficijent autokorelacije naziva se kašnjenje. Kako se kašnjenje povećava, smanjuje se broj parova vrijednosti iz kojih se izračunava koeficijent autokorelacije.

Svojstva koeficijenta autokorelacije:

Prvo, izgrađen je po analogiji sa linearni koeficijent korelaciju i tako karakteriše bliskost samo linearne veze između sadašnjeg i prethodnog nivoa serije. Stoga se po koeficijentu autokorelacije može suditi o prisustvu linearnog trenda.

Drugo, na osnovu predznaka koeficijenta autokorelacije ne može se zaključiti da postoji trend povećanja ili smanjenja nivoa serije.

Niz koeficijenata autokorelacije prvog, drugog itd. nivoa. narudžbi naziva se autokorelacionom funkcijom vremenske serije. Grafikon zavisnosti njegovih vrednosti od vrednosti kašnjenja naziva se korelogram. Analiza autokorelacione funkcije i korelograma nam omogućava da odredimo zaostajanje u kojem je autokorelacija najveća, a samim tim i kašnjenje u kojem je veza između trenutnog i prethodnog nivoa serije najbliža, tj. Analizom autokorelacione funkcije i korelograma može se identifikovati struktura serije.

Ako se koeficijent autokorelacije prvog reda pokaže najvećim, serija koja se proučava sadrži samo trend. Ako je najveći koeficijent autokorelacije reda t, serija sadrži cikličke fluktuacije s periodičnošću u t tačaka u vremenu. Ako nijedan od koeficijenata autokorelacije nije značajan, možemo zaključiti da ili serija ne sadrži trend i cikličke fluktuacije, ili serija sadrži jak nelinearni trend, koji zahtijeva dodatnu analizu da bi se identificirao.

2.3. Modeliranje trendova vremenskih serija.

Jedan od najčešćih načina za modeliranje trenda vremenske serije je konstruiranje analitičke funkcije koja karakterizira ovisnost nivoa serije o vremenu, odnosno trendu. Ova metoda se naziva analitičko usklađivanje vremenskih serija.

Jer Ovisnost o vremenu može imati različite oblike; da biste je formalizirali, možete koristiti različite vrste funkcija. Za izgradnju trendova najčešće se koriste sljedeće funkcije:

Linearni trend: y t = a + b*t ;

Hiperbola: y t = a + b/t ;

Eksponencijalni trend: y t = e a + b * t ;

Trend u obliku funkcije stepena: y t = a*t ;

Parabola: y t = a + b 1 *t + b 2 *t 2 + ... + b k *t k ;

Parametri svakog od ovih trendova mogu se odrediti metodom najmanjih kvadrata, koristeći vrijeme t = 1, 2, ... ,n kao nezavisnu varijablu, a stvarne nivoe vremenske serije y t kao zavisnu varijablu. Za nelinearne trendove prvo se provodi standardna procedura za njihovu linearizaciju.

Postoji nekoliko načina za određivanje vrste trenda. Neke od najčešćih metoda uključuju kvalitativna analiza procesa koji se proučava, konstrukcija i vizuelna analiza grafa zavisnosti nivoa serije od vremena, proračun nekih osnovnih pokazatelja dinamike. U iste svrhe mogu se koristiti koeficijenti autokorelacije nivoa serije. Tip trenda se može odrediti poređenjem koeficijenata autokorelacije prvog reda izračunatih iz originalnog i transformisanog nivoa serije. Ako vremenska serija ima linearni trend, tada su njeni susjedni nivoi y t i y t -1 usko povezani. U ovom slučaju, koeficijent autokorelacije prvog reda nivoa originalne serije trebao bi biti visok. Ako vremenska serija sadrži nelinearni trend, na primjer, u obliku eksponencijala, tada će koeficijent autokorelacije prvog reda zasnovan na logaritmima nivoa originalne serije biti veći od odgovarajućeg koeficijenta izračunatog iz nivoa serije. Što je izraženiji nelinearni trend u vremenskoj seriji koja se proučava, to je više u većoj meri vrijednosti ovih koeficijenata će se razlikovati.

Odabir najbolje jednadžbe ako serija sadrži nelinearni trend može se izvršiti pretraživanjem kroz glavne forme trenda, izračunavanjem prilagođenog koeficijenta determinacije R za svaku jednačinu i odabirom jednačine trenda sa maksimalnom vrijednošću prilagođenog koeficijenta determinacije.

Visoke vrijednosti koeficijenata autokorelacije prvog, drugog i trećeg reda ukazuju na to da serija sadrži trend. Približno jednake vrijednosti koeficijenata autokorelacije za nivoe ove serije i za logaritme nivoa omogućavaju nam da izvučemo sljedeći zaključak: ako serija sadrži nelinearni trend, onda se on izražava u implicitnom obliku. Stoga je za modeliranje njegovog trenda podjednako preporučljivo koristiti i linearne i nelinearne funkcije, na primjer, stepen ili eksponencijalni trend. Da bi se identifikovala najbolja jednačina trenda, potrebno je odrediti parametre glavnih tipova trendova.

Parametri linearnih i eksponencijalnih trendova imaju najjednostavniju ekonomsku interpretaciju. Opcije linearni trend:

a je početni nivo vremenske serije u trenutku t = 0;

b je prosječno apsolutno povećanje nivoa serije tokom perioda.

Vrijednosti nivoa vremenskih serija izračunate korištenjem linearnog trenda određuju se na dva načina. Prvo, možete sekvencijalno zamijeniti vrijednosti t = 1, 2, ..., n u pronađenu jednadžbu trenda. Drugo, u skladu sa tumačenjem parametara linearnog trenda, svaki sljedeći nivo serije je zbir prethodnog nivoa i prosječnog lančanog apsolutnog povećanja.

Zadatak br. 1

Deset ljudi različite dobi ima sljedeće parametre:

1. Odredite efektivni znak.

Izračunajmo zavisnost visine od starosti:

Faktor (X): starost.

Rezultirajuća karakteristika (Y): rast.

a*x + b*x 2 = x*y

10*a + 248*b = 1812

248*a + 6492*b = 45023

a = 1812 - 248*b => 1812 - 248*b*248 + 6492*b = 45023

r = x*y - ( x* y)/n = 45023 - (248*1812)/10 =>

(x 2 - (x) 2 /n)*(y 2 - (y) 2 /n) (6492 - 248 2 /10)*(328444 - 1812 2 /10)

r = 0,44 - direktna umjerena veza

r 2 = 0,19 - rast od 19% zavisi od starosti

Fisher test:

F cp = r 2 * (n - 2)

F cp = 0.19 * (10 - 2) = 1.78

F tabela = 5,32

Fcp< F табл =>

Izračunajmo zavisnost težine od starosti:

Faktor (X): starost.

Hajde da definišemo parametre linearna funkcija koristeći sistem jednačina:

a*x + b*x 2 = x*y

10*a + 248*b = 753

248*a + 6492*b = 18856

a = 753 - 248*b => 1812 - 248*b*248 + 6492*b = 18856

r = x*y - ( x* y)/n = 18856 - (248*753)/10 =>

(x 2 - (x) 2 /n)*(y 2 - (y) 2 /n) (6492 - 248 2 /10)*(56967 - 753 2 /10)

r = 0,6 - primjetna direktna veza

r 2 = 0,36 - težina zavisi 36% od starosti

Fisher test:

F cp = r 2 * (n - 2)

F cp = 0.36 * (10 - 2) = 4.5

F tabela = 5,32

Fcp< F табл =>nulta hipoteza je potvrđena, jednačina je bila statistički beznačajna.

Izračunajmo odnos između težine i visine:

Faktor (X): rast.

Rezultirajući atribut (Y): težina.

Odredimo parametre linearne funkcije pomoću sistema jednadžbi:

a*x + b*x 2 = x*y

10*a + 1812*b = 753

1812*a + 328444*b = 136562

a = 753 - 1812*b => 753 - 1812*b*1812 + 328444*b = 136562

r = x*y - ( x* y)/n = 136562 - (1812*753)/10 =>

(x 2 - (x) 2 /n)*(y 2 - (y) 2 /n) (328444 - 1812 2 /10)*(56967 - 753 2 /10)

r = 0,69 - primjetna direktna veza

r 2 = 0,47 - težina zavisi 47% od visine

x = 1812/10 = 181,2

Fisher test:

F cp = r 2 * (n - 2)

F cp = 0.47 * (10 - 2) = 7.1

F tabela = 5,32

F cp > F tabela => nulta hipoteza nije potvrđena, jednačina ima ekonomski smisao.

Studentov t test:

Izračunajmo slučajne greške:

.

m a = (y - yx ) 2 * x 2 .

n - 2 n*(x -x) 2

m b = (y - yx ) 2 / (n - 2)

m r = 1 - r 2

m a = 138.19 * 328444 = 72

m b = 138.19 / (10 - 2) = 1

m r = 1 - 0.47 = 0.26

t a = a/m a = 120/72 = 1,67

t b = b/m b = 1,08/1 = 1,08

t r = r/m r = 0,69/0,26 = 2,65

t tabela = 2.3

Za izračunavanje intervala pouzdanosti izračunavamo maksimalnu grešku:

a = t tabela - t a = 2,3 - 1,67 = 0,63

b = t tabela - t b = 2,3 - 1,08 = 1,22

r = t tabela - t r = 2,3 - 2,65 = -0,35

Izračunajmo intervale povjerenja:

a = a a = -121,03 119,77

b = b b = -0,14 2.3

r = r r = 0,34 1,04

Zadatak br. 2

Prilikom provjere kontrolnog uzorka procenta vlažnosti zemljišta na farmama u regionu dobijeni su sljedeći podaci:

1. Sa vjerovatnoćom od 0,95 i 0,99, postavite granicu unutar koje se nalazi prosječni postotak vlage.

2. Izvucite zaključke.

Opšti prosek: x = x = 31.1 = 3.8875

Opšta varijansa: 2 = (x - x) 2 = 1.8875 = 0.1261

n 8 .

Srednja kvadratna standardna greška: x = 2 = 0.1261 = 0.126

Granična greška uzorkovanja: x = t* x

Iz tabele Studentovih vrijednosti t-testa:

Za vjerovatnoću od 0,95, maksimalna greška uzorkovanja je:

x = 2,4469*0,126 = 0,308

Za vjerovatnoću od 0,99, maksimalna greška uzorkovanja je:

x = 3,7074*0,126 = 0,467

Intervali pouzdanosti:

Granica prosječnog procenta sadržaja vlage sa vjerovatnoćom 0,95:

Gornji centralni eksponent nekog linearnog sistema

Neka je sistem (2) zadan i njegovo rješenje. Razmotrimo porodicu funkcija, Definicija 5: Funkcija R (t) se naziva gornjom za sistem (2) ako je ograničena, mjerljiva i vrednuje, gdje je norma Cauchyjeve matrice linearnog sistema...

Diferencijalni račun

Na osnovu definicije derivacije, formulišemo sledeće pravilo pronalaženje izvoda funkcije u tački: Da biste izračunali derivaciju funkcije f(x) u tački x0 potrebno je: 1) Naći f(x) - f(x0); 2) stvoriti odnos razlike; 3) izračunaj granicu...

Diferencijalni račun

Na osnovu definicije derivata...

Invarijantne podgrupe biprimarnih grupa

Napomena (1) ispravlja grešku koju je napravio Burnside u papiru (2). Naime, u (3) je dokazano da je grupa reda, gdje su i različite primarni brojevi i, ili ima karakterističnu -podgrupu reda...

Korišćenjem savremene računarske tehnologije i softvera za rešavanje primenjenog problema iz inženjerske i bušaće prakse

Poznavajući vrijednosti koeficijenata a0, a1 i a2, možete pronaći vrijednosti y` pomoću formule, u našem slučaju. Razlika između eksperimentalnih i teorijskih podataka je mala. Dobijeni podaci nam omogućavaju da pronađemo odnos, 5...

Linearna složenost ciklotomskih sekvenci

Neka je niz četvrtog reda, odnosno, prema lemi 1.1, formira se prema pravilu: (2.1) Imajte na umu da pravilo (2.1) specificira niz samo kada...

Matematički model digitalnog uređaja za igru ​​"Križice" sa osobom

Polje za igru ​​tic-tac-toe može se predstaviti kao mreža koja se sastoji od redova i kolona. Svaki element mreže može biti u tri stanja: prazno (početno), označeno križićem, označeno nulom...

Clipping Methods

Među skupom od n nedjeljivih objekata, od kojih svaki i (i = 1,2,..., p) ima i-ti karakterističan indikator i korisnost, pronađite skup koji vam omogućava da maksimizirate efikasnost korištenja resursa vrijednost...

Približno rješenje algebarskih i transcendentalnih jednačina. Newtonova metoda

Informacije o prethodnim aproksimacijama korijena koriste se za pronalaženje naknadnih aproksimacija ne samo u metodi tangente. Kao primjer druge takve metode dat ćemo metodu...

Statistički proračuni sadržaja vlage

Praktični zadaci: 1. Deset osoba različite starosne dobi ima sljedeće parametre: starost, godine 18 20 21 21 22 22 22 22 22 26 26 31 39 rast, cm 174 183 182 180 178 185 4 1818 18 18 18 18 18 18 47 77 78 84 84 84 84 79 79 1...

Krivulje rasta koje opisuju obrasce razvoja fenomena tokom vremena rezultat su analitičkog usklađivanja vremenskih serija. Usklađivanje niza pomoću određenih funkcija u većini slučajeva pokazuje se kao pogodno sredstvo za opisivanje empirijskih podataka. Ovaj alat, ako su ispunjeni brojni uslovi, može se koristiti i za predviđanje. Proces izravnavanja sastoji se od sljedećih glavnih koraka:

Odabir tipa krive čiji oblik odgovara prirodi promjene vremenske serije;

Određivanje numeričkih vrijednosti (procjena) parametara krive;

A posteriori kontrola kvaliteta odabranog trenda.

U savremenom JPP sve navedene faze se sprovode istovremeno, najčešće u okviru jedne procedure.

Analitičko izglađivanje pomoću jedne ili druge funkcije omogućava da se dobiju nivelirane, ili, kako se ponekad ne s pravom nazivaju, teorijske vrijednosti nivoa vremenske serije, odnosno nivoa koji bi se promatrali kada bi dinamika pojave potpuno se poklopila sa krivom. Ista funkcija, sa ili bez nekog prilagođavanja, koristi se kao model za ekstrapolaciju (prognozu).

Pitanje izbora vrste krivulje je glavno kod poravnavanja serije. Uz sve ostale stvari jednake, greška u rješavanju ovog pitanja pokazuje se značajnijom po svojim posljedicama (posebno za prognoziranje) od greške povezane sa statističkom procjenom parametara.

Budući da forma trenda objektivno postoji, prilikom njegovog identifikovanja treba poći od materijalne prirode fenomena koji se proučava, istražujući unutrašnje razloge njegovog razvoja, kao i spoljašnje uslove i faktore koji na njega utiču. Tek nakon duboke smislene analize može se pristupiti upotrebi posebnih tehnika koje je razvila statistika.

Vrlo uobičajena tehnika za identifikaciju oblika trenda je grafički prikaz vremenske serije. Ali u isto vrijeme uticaj je veliki subjektivni faktor, čak i kada se prikazuju poravnati nivoi.

Najpouzdanije metode za odabir jednadžbe trenda temelje se na svojstvima različitih krivulja korištenih u analitičkom poravnanju. Ovaj pristup nam omogućava da povežemo vrstu trenda sa određenim kvalitativnim svojstvima razvoja fenomena. Čini nam se da je u većini slučajeva praktično prihvatljiva metoda koja se zasniva na upoređivanju karakteristika promjena stopa rasta dinamičke serije koja se proučava sa odgovarajućim karakteristikama krivulja rasta. Za poravnanje se bira kriva čiji je zakon promjene rasta najbliži zakonu promjene stvarnih podataka.

Prilikom odabira oblika krivulje treba imati na umu još jednu okolnost. Povećanje složenosti krivulje u velikom broju slučajeva može zaista povećati tačnost opisa trenda u prošlosti, međutim, zbog činjenice da složenije krive sadrže veći broj parametara i viših snaga nezavisne varijable, njihovi intervali povjerenja će, općenito, biti značajno širi od onih jednostavnijih krivulja za isti vodeći period.

Danas, kada upotreba posebnih programa bez mnogo napora omogućava simultanu konstruisanje nekoliko vrsta jednačina, formalni statistički kriterijumi se široko koriste za određivanje najbolje jednačine trenda.

Iz navedenog, po svemu sudeći, možemo zaključiti da je odabir oblika krivulje za nivelaciju zadatak koji se ne može riješiti jedinstveno, već se svodi na dobivanje niza alternativa. Konačan izbor ne može biti u polju formalne analize, pogotovo ako se pomoću niveliranja ne treba samo statistički opisati obrazac ponašanja nivoa u prošlosti, već i ekstrapolirati pronađeni obrazac u budućnost. Istovremeno, različite statističke tehnike za obradu podataka posmatranja mogu biti od značajne koristi, uz njihovu pomoć, moguće je odbaciti očigledno neprikladne opcije i time značajno ograničiti polje izbora.

Razmotrimo najčešće korištene tipove jednadžbi trenda:

1. Oblik linearnog trenda:

gdje je nivo reda dobijen kao rezultat poravnanja prave linije; – početni nivo trenda; – prosječno apsolutno povećanje, trend konstantan.

Linearni oblik trenda karakteriše jednakost takozvanih prvih razlika (apsolutnih povećanja) i nula drugih razlika, odnosno ubrzanja.

2. Parabolički (polinom 2. stepena) oblik trenda:

(3.6)

Za ovu vrstu krivulje, druge razlike (ubrzanje) su konstantne, a treće razlike su nula.

Parabolički oblik trenda odgovara ubrzanoj ili sporoj promjeni nivoa serije uz konstantno ubrzanje. Ako< 0 и >0, tada kvadratna parabola ima maksimum ako je > 0 i< 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t izjednačiti sa 0 i riješiti jednačinu za t.

3. Logaritamski oblik trenda:

, (3.7)

gdje je konstanta trenda.

Logaritamski trend može opisati tendenciju koja se manifestuje usporavanjem rasta nivoa niza dinamike u odsustvu maksimalno moguće vrednosti. Kada je dovoljno velika t logaritamska kriva postaje nerazlučiva od prave linije.

4. Multiplikativni (moćni) oblik trenda:

(3.8)

5. Polinom 3. stepena:

Naravno, postoji mnogo više krivulja koje opisuju glavne trendove. Međutim, format nastavno pomagalo ne dozvoljava nam da opišemo svu njihovu raznolikost. Tehnike za konstruisanje modela prikazane u nastavku će omogućiti korisniku da samostalno koristi druge funkcije, posebno inverzne.

Za rješavanje zadatka analitičkog izglađivanja vremenskih serija u sistemu STATISTICA, potrebno je kreirati dodatnu varijablu na listu sa početnim podacima varijable “VG2001-2010”, koju treba učiniti aktivnom.

Moramo da konstruišemo jednačinu trenda, koja je u suštini jednačina regresije u kojoj je „vreme“ faktor. Kreiramo varijablu “T” koja sadrži vremenske intervale od 10 godina (od 2001. do 2010.). Varijabla "T" će se sastojati od prirodnih brojeva od 1 do 10, koji odgovaraju navedenim godinama.

Rezultat je sljedeći radni list (slika 3.6)

Rice. 3.6. Radni list sa kreiranom vremenskom varijablom

Zatim ćemo razmotriti proceduru koja nam omogućava da izgradimo regresijske modele i linearnog i nelinearnog tipa. Da biste to učinili, odaberite: Statistika/Napredni linearni/Nelinearni modeli/Nelinearna procjena (Sl. 3.7). U prozoru koji se pojavi (slika 3.8) odaberite funkciju Korisnički specificirana regresija, najmanji kvadrati (konstrukcija regresionih modela od strane korisnika ručno, parametri jednadžbe se pronalaze metodom najmanjih kvadrata (LSM)).

U sljedećem dijaloškom okviru (slika 3.9) kliknite na dugme Funkcija za procjenu da dođete do ekrana za ručno određivanje modela (slika 3.10).

Rice. 3.7. Pokretanje procedure Statistics/Advanced Linear/

Nelinearni modeli/Nelinearna procjena

Rice. 3.8. Prozor procedure Nelinearna procjena

Rice. 3.9 Prozor procedure Korisnički specificirana regresija, najmanji kvadrati

Rice. 3.10. Prozor za sprovođenje procedure

ručno specificiranje jednačine trenda

Na vrhu ekrana nalazi se polje za unos funkcije, na dnu su primjeri unosa funkcija za različite situacije.

Prije formiranja modela koji nas zanimaju, potrebno je neke razjasniti simboli. Varijable jednadžbe su specificirane u formatu “ v№", gdje je " v» označava varijablu ( sa engleskog « varijabla"), a "Ne" je broj kolone u kojoj se nalazi u tabeli na radnom listu sa izvornim podacima. Ako ima puno varijabli, onda se nalazi dugme na desnoj strani Review vars , što vam omogućava da ih odaberete sa liste po imenu i pregledate njihove parametre pomoću dugmeta Zoom (Sl. 3.11).

Rice. 3.11. Prozor za odabir varijable pomoću dugmeta Review vars

Parametri jednadžbi su označeni bilo kojim latiničnim slovima koji ne označavaju nikakvu matematičku operaciju. Da bi se pojednostavio rad, predlaže se označavanje parametara jednadžbe kao u opisu jednadžbi trenda - latiničnim slovom “ A“, uzastopno dodjeljujući im serijske brojeve. Znakovi za matematičke operacije (oduzimanje, sabiranje, množenje, itd.) specificiraju se na uobičajen način Windows-format aplikacije. Nisu potrebni razmaci između elemenata jednadžbe.

Dakle, razmotrimo prvi model trenda - linearni, .

Stoga će nakon kucanja izgledati ovako:

,

Gdje v 1 je stupac na listu sa izvornim podacima, koji sadrži vrijednosti originalne dinamičke serije; A 0 i A 1 – parametri jednačine; v 2 – kolona na listu sa originalnim podacima, koja sadrži vrijednosti vremenskih intervala (varijabla T) (slika 3.12).

Nakon toga dvaput pritisnite dugme uredu .

Rice. 3.12. Prozor za postavljanje jednačine linearnog trenda

Rice. 3.13. Bookmark Brzo procedure za procjenu jednačine trenda.

U prozoru koji se pojavi (slika 3.13) možete odabrati metodu za procjenu parametara regresijske jednačine ( Metoda procjene ), ako je potrebno. U našem slučaju, moramo ići na bookmark Napredno i pritisnite dugme Početne vrijednosti (Sl. 3.14). U ovom dijalogu se specificiraju početne vrijednosti parametara jednadžbe kako bi se pronašle korištenjem metode najmanjih kvadrata, tj. njihov minimalne vrijednosti. U početku su postavljeni na 0,1 za sve parametre. U našem slučaju, možemo ostaviti ove vrijednosti u istom obliku, ali ako su vrijednosti u našim izvornim podacima manje od jedan, onda ih moramo postaviti u obliku 0,001 za sve parametre jednadžbe trenda ( Slika 3.15). Zatim pritisnite dugme uredu .

Rice. 3.14. Bookmark Napredno Procedure za procjenu jednadžbe trenda

Rice. 3.15. Prozor za postavljanje početnih vrijednosti parametara jednadžbe trenda

Rice. 3.16. Bookmark Brzo prozori rezultata regresijske analize

Na obeleživaču Brzo (Sl. 3.16) značenje linije je veoma važno Učešće varijanse , što odgovara koeficijentu determinacije; Ovu vrijednost je bolje napisati odvojeno, jer se neće prikazivati ​​u budućnosti, a korisnik će morati ručno izračunati koeficijent, a dovoljna su tri decimala. Zatim pritisnite dugme Sažetak: Procjene parametara da dobijete podatke o parametrima linearna jednačina trend (slika 3.17).

Rice. 3.17. Rezultati proračuna parametara modela linearnog trenda

Kolona Procjena – numeričke vrijednosti parametara jednadžbe; Standardna greška – standardna greška parametra; t-vrijednost – izračunata vrijednost t-kriterijumi; df – broj stepeni slobode ( n-2); p-nivo – izračunati nivo značajnosti; Lo. Konf. Limit I Gore. Konf. Limit – donju i gornju granicu intervala pouzdanosti za parametre jednačine sa određenom vjerovatnoćom (označeno kao Nivo samopouzdanja u gornjem polju tabele).

Prema tome, jednadžba modela linearnog trenda ima oblik .

Nakon toga se vraćamo na analizu i kliknemo na dugme Analiza varijanse (analiza varijanse) na istoj kartici Brzo (vidi sliku 3.16).

Rice. 3.18. Rezultati analize varijanse modela linearnog trenda

Pet ocjena je dato u gornjem redu zaglavlja tabele:

Zbir kvadrata – zbir kvadrata odstupanja; df – broj stepeni slobode; Mean Squares – prosječni kvadrat; F-vrijednost – Fišerov kriterijum; p-vrijednost – izračunati nivo značajnosti F-kriterijumi.

Lijeva kolona označava izvor varijacije:

Regresija – varijacija objašnjena jednadžbom trenda; Ostatak – varijacija reziduala – odstupanja stvarnih vrijednosti od prilagođenih (dobijenih iz jednačine trenda); Ukupno – ukupna varijacija varijable.

Na preseku kolona i redova dobijamo jednoznačno definisane indikatore čije su formule za proračun prikazane u tabeli. 3.2,

Tabela 3.2

Proračun indikatora varijacije trend modela

Izvor	df	Zbir kvadrata	Srednji kvadrati	F-vrijednost
Regresija	m
Ostatak	n-m
Ukupno	n
Ispravljeno ukupno	n-1
Regresija vs. Ispravljeno ukupno	m	SSR	MSR

gdje su usklađene vrijednosti nivoa dinamičkog niza; – stvarne vrijednosti nivoa dinamičke serije; – prosječna vrijednost nivoa dinamičke serije.

SSR (Regresijski zbir kvadrata) – zbir kvadrata predviđenih vrijednosti; SSE (preostali zbir kvadrata) – zbir kvadrata odstupanja teorijske i stvarne vrijednosti (za izračunavanje preostale, neobjašnjive varijanse); SST (ukupni zbir kvadrata) – zbir prvog i drugog reda (zbir kvadrata stvarnih vrijednosti); SSCT (ispravljena ukupna suma kvadrata) – zbir kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti od prosječne veličine(za izračunavanje ukupne varijanse); Regresija vs. Ispravljena ukupna suma kvadrata – ponavljanje prvog reda; MSR (srednja kvadratna regresija) – objašnjena varijansa; MSE (Rezidualni srednji kvadrati) – rezidualna, neobjašnjiva varijansa; MSCT (Srednji kvadrati ispravljeni ukupno) – prilagođeno totalna varijansa; Regresija vs. Ispravljeni ukupni srednji kvadrati – ponavljanje prvog reda; F-vrijednost regresije – izračunata vrijednost F-kriterijumi; Regresija vs. Ispravljena ukupna F-vrijednost – prilagođena izračunata vrijednost F-kriterijumi; n– broj nivoa serije; m– broj parametara jednačine trenda.

Dalje opet na bookmark Brzo (vidi sliku 3.16) pritisnite dugme Predviđene vrijednosti, reziduali itd . Nakon što kliknete na njega, sistem pravi tabelu koja se sastoji od tri kolone (slika 3.19).

Posmatrano – uočene vrijednosti (tj. nivoi originalne vremenske serije);

a) Metode za identifikaciju trenda. Analiza značaja trenda. Izolacija rezidua i njihova analiza.

Jedan od najvažnijih koncepata tehnička analiza je koncept trenda. Riječ trend je paus papir iz engleskog trenda. kako god precizna definicija U tehničkoj analizi ne postoji trend. I to nije slučajnost. Činjenica je da je trend ili tendencija vremenske serije donekle konvencionalan koncept. Pod trendom se podrazumijeva prirodna, neslučajna komponenta vremenske serije (obično monotona, odnosno rastuća ili opadajuća), koja se može izračunati prema vrlo specifičnom nedvosmislenom pravilu. Trend serije u realnom vremenu često se povezuje s djelovanjem prirodnih (na primjer, fizičkih) zakona ili nekih drugih objektivnih zakona. Međutim, općenito govoreći, nemoguće je nedvosmisleno podijeliti slučajni proces ili vremensku seriju na regularni dio (trend) i oscilatorni dio (ostatak). Stoga se obično pretpostavlja da je trend neka funkcija ili kriva prilično jednostavnog oblika (linearna, kvadratna, itd.) koja opisuje “prosječno ponašanje” serije ili procesa. Ako se pokaže da identifikacija takvog trenda pojednostavljuje studiju, onda se pretpostavka o odabranom obliku trenda smatra prihvatljivom. U tehničkoj analizi obično se pretpostavlja da je trend linearan (a njegov graf je prava linija) ili komadno linearan (i tada je njegov graf isprekidana linija).

Pretpostavimo da implementacija vremenske serije u vremenskim tačkama T=t1, t2,...tN uzima vrijednosti X=x1,x2,...xN. Linearni trend ima jednačinu x=at+b. Postoje posebne metode za pronalaženje koeficijenata a i b ove jednačine. U tehničkoj analizi koja je opisana u većini knjiga, trend se pronalazi korištenjem nekih grafičkih ili jednostavnih tehnika aproksimacije. Međutim, u savremenoj praksi široko se koriste računari koji za nekoliko sekundi mogu ispisati tačnu jednačinu trenda određenog tipa (posebno linearni trend) iz datog niza podataka.

Za vremensku seriju, opšta jednačina linearnog trenda ima oblik:

MT vrijednost je prosječna vrijednost vremenskih tačaka t1, t2,...tN. Odabirom odgovarajuće jedinice vremena, uvijek možemo pretpostaviti da je t1, t2... jednostavno cijeli brojevi 1,2.... Na primjer, to će biti slučaj za seriju cijena u kojoj su cijene dionica fiksne dnevno na početku trgovanja, ako uzmemo jedan dan kao jedinicu vremena. U ovom slučaju:

Vrijednosti od i o nazivaju se standardnim odstupanjima; one karakteriziraju širenje vrijednosti oko prosječnih vrijednosti MT i MX vrijednosti T i X, respektivno. Ručno izračunavanje o je prilično zamorno, posebno za velike skupove podataka. Međutim, sve kompjuterski programi orijentisani na finansijske aplikacije, pa čak i takvi univerzalni programi kao što je Excel (da ne spominjemo posebne statističke pakete kao što su SPSS, Statistica, Statgraphics, itd.) omogućavaju trenutno izračunavanje o za bilo koji niz podataka koji se unese u memoriju računara (i napisano u nekima određeni oblik). Što se tiče vrijednosti od, za slučaj niza prirodnih brojeva ona je jednaka:

Vrijednost g igra ključnu ulogu u formuli trenda. Zove se koeficijent korelacije (drugi naziv: normalizovani koeficijent korelacije) i karakteriše stepen veze između varijabli X i T. Koeficijent korelacije ima vrednosti u rasponu od -1 do +1. Ako je blizu nule, to znači da nije moguće identificirati značajan linearni trend. Ako je pozitivan, onda postoji tendencija rasta indeksa koji se proučava, a što je r bliže jedinici, to ta tendencija postaje određenija. Kada je g negativan, težimo smanjenju.

Izračunavanje r je veoma glomazno, ali moderni računar to radi gotovo trenutno.

Kada je r>0 govorimo o pozitivnom trendu (tokom vremena, vrijednosti vremenske serije imaju tendenciju rasta), kada je r

Znaš li to: Najuspješniji menadžeri PAMM naloga u Runetu posluju preko kompanije Alpari: rejting PAMM računa ; rejting gotovih portfelja PAMM računa .

Nakon što izračunate linearni trend, morate saznati koliko je on značajan. Ovo se radi pomoću analize koeficijenata korelacije. Činjenica je da se razlika između koeficijenta korelacije i nule, a samim tim i prisustva trenda (pozitivnog ili negativnog), može pokazati slučajnom, u vezi sa specifičnostima segmenta vremenske serije koji se razmatra. Drugim riječima, kada se analizira drugi skup eksperimentalnih podataka (za istu vremensku seriju), može se pokazati da je rezultirajuća procjena vrijednosti r mnogo bliža nuli od originalne (a možda čak ima i drugačiji predznak) , a možemo govoriti o stvarnom, izraženom trendu već postaje teško ovdje.

Da bi se provjerio značaj trenda u matematičkoj statistici, razvijene su posebne tehnike. Jedna od njih se zasniva na provjeri jednakosti r = 0 pomoću Studentove distribucije (Student je pseudonim engleskog statističara W. Gosseta).

Pretpostavimo da postoji skup eksperimentalnih podataka - vrijednosti x1, x2,...xN vremenske serije u jednako raspoređenim vremenima t1, t2...tN. Koristeći posebne programe (vidi gore), iz ovih podataka moguće je izračunati aproksimaciju r* do tačna vrijednost r koeficijent korelacije (ova aproksimacija se naziva procjena). Nazovimo ovu vrijednost r* eksperimentalnom. Opća ideja metode testiranja statističkih hipoteza je sljedeća. Postavlja se određena hipoteza, u našem slučaju hipoteza da je koeficijent korelacije jednak nuli. Zatim se specificira određeni nivo vjerovatnoće a. Značenje ove vrijednosti je da je vjerovatnoća mjera dozvoljene greške. Naime, priznajemo da se zaključak koji smo donijeli o valjanosti ili nepravednosti hipoteze na osnovu datog niza eksperimentalnih podataka može pokazati pogrešnim, jer, naravno, ne treba očekivati ​​apsolutno tačan zaključak zasnovan samo na djelomičnim informacijama. . Međutim, možemo zahtijevati da vjerovatnoća ove greške ne prelazi neku unaprijed odabranu vrijednost a (nivo vjerovatnoće). Obično uzimaju njegovu vrijednost jednaku 0,05 (tj. 5%) ili 0,10, ponekad čak i 0,01. Događaj čija je vjerovatnoća manja od a smatra se toliko rijetkim da smo slobodni da ga zanemarimo. Za vremenske serije različite prirode ova vrijednost se bira na različite načine. Ako mi pričamo o tome o nizu cijena dionica neke vrste mala kompanija, onda rizik od greške nema katastrofalne posledice (za ponuđače nezavisne od ove kompanije) i stoga se a može uzeti ne baš mali. Ako govorimo o velikoj transakciji, onda posljedice greške mogu biti vrlo ozbiljne i vrijednost a se uzima manje.

Može se dokazati da je za dovoljno velike vrijednosti N ova vrijednost Uex (koja je također slučajna) vrlo slična jednoj od standardnih slučajnih varijabli koja se koristi u matematičkoj statistici ili je, kako kažu u matematičkoj statistici, bliska Studentova distribucija sa brojem stepena slobode k (tzv. parametar koji definiše Studentovu raspodelu) jednaka N-2, gde je N broj eksperimentalnih podataka.

Za Studentovu raspodelu postoje detaljne tabele u kojima je za dati nivo verovatnoće a i broj stepena slobode k naznačena kritična vrednost Ikr. Naziva se kritičnim ili graničnim jer ograničava dvostrano (uzimajući u obzir i pozitivne i negativne vrijednosti) područje, izvan kojeg se vrijednosti slučajne varijable mogu pojaviti prilično rijetko, s vjerojatnošću ne većom od a. Tačnije, pod uslovom r = 0 vrijedi jednakost:

Trenutno se vrijednost Ucr može pronaći ne samo iz tabela (gdje je data samo za neke pojedinačne vrijednosti nivoa vjerovatnoće - vidi tabelu 2 ispod). Svaki moderni statistički kompjuterski program omogućava trenutno izračunavanje Ucr za proizvoljan dati nivo vjerovatnoće. Kao što je lako razumjeti, kako se vrijednost a povećava, tako se povećavaju i vrijednosti Ucr.

Dalje obrazloženje je sljedeće. Pretpostavimo da je N dovoljno veliko. Tada se slučajna varijabla 0zks distribuira približno prema Studentovom zakonu. Ako je r = 0, onda sa velikom (tj. bliskom 1) vjerovatnoćom jednakom 1 - a, vrijednost Uex ne bi trebala prelaziti Ucr u apsolutnoj vrijednosti, tj. leži između - kr i ukr. Ali vrijednost Uzks može ići izvan granica segmenta [-Ucr, Ucr] samo sa vjerovatnoćom a (za koju smo se dogovorili da smatramo malom). Dakle, ako je I Uzks I > Ucr, onda zaključuju da hipoteza r = 0 nije potvrđena eksperimentalnim podacima, tj. r se značajno razlikuje od nule i stoga je trend izražen. Vjerovatnoća greške u takvom zaključku ne prelazi navedeni nivo vjerovatnoće a. Ako | Uzks | Na primjer, neka je g*= 0,20 i N= 20. Tada proračun daje Uex = 0,87. Za nivo vjerovatnoće od 5%, nalazimo iz Studentove tabele raspodjele Ucr = 2,10. Upoređujući Uex i Ucr, vidimo da nema razloga da se odbaci hipoteza da je koeficijent korelacije jednak nuli. Trend ovdje nije izražen.

Ako studija otkrije da je trend izražen, tek tada se ovaj trend može koristiti za predviđanje vremenske serije. Izračunavanjem koeficijenata a i b gornje naznačene jednačine linearnog trenda, dobijamo linearnu zavisnost koja u određenom vremenskom periodu približno opisuje trend u dinamici vremenske serije. Grafikon je ravna linija, produžujući ga u budućnost, možemo napraviti pretpostavke o tome kakve će vrijednosti vremenske serije biti u budućnosti. Međutim, trendovi imaju tendenciju da se mijenjaju, tako da u nekom trenutku dolazi do prekretnice u ponašanju vremenske serije, nakon koje stara jednačina trenda više ne može adekvatno opisati vremensku seriju. Teškoća je shvatiti ovo presudni trenutak veoma teško. Proučavanje linearnog trenda ne govori ništa o prisutnosti prekretnih tačaka u budućnosti, tako da kada ih tražimo moramo koristiti potpuno različite metode. O nekima od njih će biti riječi u nastavku.

Pored linearnog trenda, moramo uzeti u obzir i trendove složenije strukture. U tehničkoj analizi, u takvim slučajevima govore o usporavanju ili ubrzanju linearnog trenda, kao da priznaju da je izgubio svoju linearnost. Istovremeno, obično se ne čini realističnim unaprijed naznačiti funkciju kojom se ovaj trend može opisati. Stoga u praksi često jednostavno prolaze kroz nekoliko jednostavnih funkcionalnih ovisnosti (koje mogu sadržavati nekoliko parametara) i za svaku od njih procjenjuju koliko uspješno funkcija jednog ili drugog tipa može opisati trend vremenske serije koja se razmatra. Ako imate računar, ovi proračuni ne oduzimaju mnogo vremena, a ponekad se mogu izvesti i u automatskom režimu, koji bira optimalni između nekoliko navedenih tipova trendova. Međutim, nije uvijek slučaj da među razmatranim funkcijama postoji jedna koja zapravo prilično učinkovito opisuje trend razvoja date vremenske serije. U ovom slučaju morate ići drugim putevima. Dakle, često se u takvoj situaciji izvode različite transformacije članova vremenske serije (logaritam, „diferencijacija“ – formiranje razlika između susednih članova niza, „integracija“ – sabiranje uzastopnih članova niza, itd.) kako bi se pokušala dobiti vremenska serija sa jasno definisanim linearnim trendom. Ako je ovo uspješno, tada se gore opisane metode izračuna trenda primjenjuju na rezultirajuću seriju, a zatim se inverzna transformacija koristi za povratak na originalni niz.

b) Metode za identifikaciju skrivenih zavisnosti. Korelaciona analiza vremenskih serija. Spektralna analiza i njene primjene.

Kada je trend identificiran, jedini preostali zadatak je opisati fluktuacije koje vremenska serija čini oko ovog trenda. Na kraju krajeva, jasno je da je trend samo tendencija, na njemu je rizično zasnivati ​​prognoze, jer u različitim vremenskim periodima realno stanje može, i to prilično značajno, odstupiti od trenda u jednom ili drugom smjeru. U ovom slučaju, odstupanje u jednom smjeru može donijeti profit, au drugom - gubitke. U tehničkoj analizi, u ovom slučaju govorimo o oscilatorima. Do nedavno, metodologija za analizu oscilatora bila je na vrlo niskom, gotovo predmatematičkom nivou. Samo u poslednjih godina pojavom kompjuterske tehnologije i specijalista sa dobrim matematičkim obrazovanjem (oni su to do sada implementirali u odbrambene industrije, koji je danas u opadanju u cijelom svijetu), počele su se koristiti prilično moderne metode (bazirane na harmonijskoj i spektralnoj analizi) pri analizi oscilatora.

Oscilacije oko trenda se dijele na regularne (koje su kombinacija nekoliko sinusoidnih ili bliskih oscilacija različitih frekvencija) i slučajne. Da bi se identifikovale pravilne oscilacije (ponekad se nazivaju i skriveni obrasci) u matematici, razvijeno je mnogo različitih metoda na zahtev velikog broja primenjenih nauka. Ne postoji način da se čak samo nabroje. Međutim, sve ove metode obično pripadaju jednoj od dvije velike grupe.

U prvoj grupi su metode koje svoj nastanak duguju matematičkoj statistici, tačnije, teoriji korelacije. Teorija korelacije proučava odnose između slučajne varijable, kao i veze između pojedinačnih vrijednosti vremenskih serija razdvojenih određenim vremenskim periodom (lag). Ako se pokaže, na primjer, da postoji bliska veza između vrijednosti u vremenskoj seriji odvojenoj sa 12 vremenskih jedinica, onda se to može uzeti kao pokazatelj da smo otkrili oscilatornu komponentu (ne nužno baš sinusoidnu) sa period od 12 vremenskih jedinica. U praksi se takva analiza provodi pomoću posebnih programa koji izračunavaju korelogram - procjenu korelacijske funkcije (koja opisuje korelaciju između vrijednosti vremenske serije uzetih u različitim vremenskim intervalima - kašnjenjima).

Druga grupa metoda dolazi iz tehnologije - gdje se spektralna analiza već dugo uspješno koristi u analizi signala. Posebnim metodama (proširivanje u trigonometrijske redove i Fourierove integrale) identifikuju se najznačajniji harmonici koji daju pravilan dio oscilacija oko trenda. Ovdje su proračuni još glomazniji nego u korelacionoj analizi. međutim, danas možete potpuno zaboraviti na ove poteškoće (računar proizvodi sve potrebne kalkulacije za nekoliko sekundi). Stoga je došlo vrijeme da naučimo analizirati podatke koje daje spektralna analiza i na osnovu tih podataka graditi prognoze. Ove metode su prilično osjetljive na greške u specificiranju početnih podataka i stoga ponekad dovode do zaključaka o prisutnosti obrazaca u procesu koji se proučavaju, a koji zapravo i ne postoje.

c) Stohastičko predviđanje (ARIMA modeli).

Stohastičko predviđanje je konstrukcija prognoza zasnovanih na različitim vrstama stohastičkih modela. Stohastički modeli su oni modeli koji su konstruisani korišćenjem koncepata i metoda teorije slučajnih procesa. Konkretno, među ovim modelima postoje oni u kojima se buduće vrijednosti izračunavaju pomoću formula koje izražavaju ove vrijednosti u terminima nekoliko prethodnih (tj. koje odgovaraju prethodnim vremenskim točkama) vrijednosti. Ovakav model se naziva autoregresivni. Postoje modeli druge vrste - u njima se proces modelira kombinacijom nekoliko potpuno nasumičnih procesa (naziva se bijeli šum). Ovi modeli se nazivaju modeli pokretnog prosjeka. Koncept pokretnog proseka u tehničkoj analizi je jedan od glavnih alata.Ogroman broj tehnika predviđanja se zasniva na razne kombinacije pokretni proseci različitih redova" (koji odgovaraju različitim vremenskim periodima - 7, 14 dana, itd.). U inženjerskoj praksi sličan metod se naziva filtriranje signala. Najefikasniji modeli koriste obje ove metode. Jedan od najčešćih. kombinovani modeli ove vrste su ARIMA. Na ruskom zvuči kao ARISS i označava automatsku regresiju i integrisani pokretni prosek. Ovdje nećemo ulaziti u detalje konstruiranja ovih modela - oni su prilično složeni. Za one koji žele ozbiljno da se upoznaju sa ovom najefikasnijom klasom stohastičkih modela, preporučujemo da pogledaju knjigu " Statistička analiza podaci na računaru." Direktni proračuni u ARIAL-u se izvode samo pomoću računara, jer su veoma glomazni. ARIMA metoda je najčešća opšta metoda stohastičkog modeliranja u mnogim oblastima, uključujući ozbiljan pristup analizi podataka i finansijskom predviđanju Nakon konstruisanja stohastičkog modela, može se koristiti za predviđanje.Međutim, treba napomenuti da se prognoza u ovom (kao iu svim drugim matematičkim modelima) izdaje sa određenim granicama, unutar kojih je moguća greška.

Donji dijagram (konstruiran pomoću programa Statgraphics) prikazuje prognozu dobivenu korištenjem stohastičkog modela. Sastoji se od glavne linije i dvije granične linije, između kojih se sa određenim stepenom pouzdanosti (tzv. verovatnoća poverenja, obično je jednako 95%) u bliskoj budućnosti će postojati članovi vremenske serije koja se proučava (na primjer, serija cijena).

d) Korišćenje Fibonačijevih brojeva. Gann metode.

Upotreba Fibonačijevih brojeva u tehničkoj analizi ima prilično dugu istoriju. Same ove brojeve uveo je matematičar Leonardo iz Pize (zvao se Fibonacci - to jest, sin Bonaccia, a Bonaccio - dobrodušan - bio je nadimak njegovog oca) u svojoj "Knjizi Abacus" 1228. gdje ih je koristio za izračunavanje visine potomaka Zečeva. Zapravo, ovaj niz brojeva bio je poznat još u prošlosti drevni Egipat. Fibonačijeva knjiga daje prvih 14 brojeva ovog beskonačnog niza brojeva.

Svaki broj u ovom nizu jednak je zbiru prethodna dva. Prva dva broja su 1 i 1, a svi sljedeći brojevi su jednoznačno određeni korištenjem gornjeg pravila. Fibonačijevi brojevi su posebno poznati u rekreativnom delu matematike, kao i u nekim oblastima moderne matematike (postoji čak i međunarodni matematički časopis Fibonacci Quarterly, posvećen Fibonačijevim brojevima i njihovim primenama). Može se dokazati da je omjer svakog Fibonačijevog broja prema sljedećem s povećanjem serijski broj Ovaj broj teži broju 0,618... - čuvenom broju zlatnog preseka. Ovaj broj je bio izuzetno popularan još u srednjem vijeku, a sada mu se pridaje gotovo fundamentalni značaj u mnogim oblastima umjetnosti i nauke. Međutim, vrlo često se to zapravo ispostavi važnu ulogu Ne igra se sam taj broj, već broj koji mu je blizak 2/3 = 0,666666... ​​Broj 2/3 je zaista fundamentalan, on simbolizira ternarnu podjelu, ali se broj zlatnog omjera često koristi jednostavno “ za lepotu.”

U tehničkoj analizi postoji nekoliko metoda koje uključuju korištenje broja zlatnog omjera i nekoliko brojeva izvedenih iz njega. Prije svega, može se primijetiti da su trajanja pojedinih elemenata (valova) u valovnoj teoriji R. Elliotta (o čemu će biti riječi u nastavku) međusobno povezana upravo pomoću ovog broja. Inače, sama podjela ciklusa na 8=5+3 stupnja u talasnoj teoriji ukazuje na Fibonačijeve brojeve 3,5,8.

U tehničkoj analizi, za podjele (vertikalne i kose prave) grafikona koristi se broj 0,618... i brojevi koji su iz njega izvedeni (na primjer (0,61 8...) = 1-0,61 8...= 0382 ...). Na primjer, ucrtava se mreža čiji je omjer jednak zlatnom rezu ili omjeru Fibonačijevih brojeva (što je, kao što već znamo, približno ista stvar). proučavaju se elementi grafikona (linije otpora i podrške, tačke preokreta i druge karakteristične tačke) Vertikalne linije ove mreže definišu Fibonačijeve periode (a u literaturi se preporučuje zanemariti prve dve ili tri linije ove podele). Također možete izgraditi zasebne kose linije, također definirane Fibonačijevim brojevima.Ove linije su povučene iz ključnih tačaka grafikona (na primjer, iz prekretnica). Fibonačijeve linije ostaju na snazi ​​neko vrijeme nakon promjene trenda, što ga čini Moguće je koristiti ove linije za predviđanje. Međutim, u svim ovim slučajevima možete jednostavno koristiti broj 2/3 i postići ništa lošije rezultate (iako možda ne tako impresivno dizajnirano, kao kada koristite zlatni omjer). Uz pomoć ovakvih podjela ponekad je moguće vrlo efektno opisati kretanje cijena. Međutim, ako se tržište naglo okrene, sve Fibonačijeve linije moraju se ponovo iscrtati.

Detaljan sistem grafičke analize grafikona razvio je William Gann (1878-1955), koji je bio jedan od prvih koji je koristio geometrijske metode u tehničkoj analizi. Konstruisao je nagnute linije (Gannove linije) date brojevima 1/8, 1/4, 1/3, 3/8, 1/2, 5/8, 2/3, 3/4, 7/8 i koristio njih, posebno, da pronađu linije otpora i podrške - osnovne linije u grafičkoj tehničkoj analizi. Kada se približi ovim linijama, serija cijena prestaje da raste (za linije otpora) ili pada (za linije podrške) ili ih barem značajno usporava. Uz određenu želju, među ovim brojevima možete pronaći i one koji su približno izraženi kroz broj zlatnog omjera i na osnovu toga zaključiti da ovaj izuzetan broj i ovdje igra glavnu ulogu. Međutim, Gannova ideja je bila mnogo jednostavnija - on je jednostavno zapisao niz onih brojeva u segmentu koji su dati prilično jednostavnim razlomcima.

Gann je konstruisao zrake koje izlaze iz karakterističnih tačaka grafikona (obično prekretnica) da bi dobio linije otpora i podrške. Najteže je ovdje odabrati pravu početnu tačku za Gann linije. Možete kombinovati Fibonačijevu mrežu i Ganove linije. Ove metode se implementiraju u mnogim programima tehničke analize (kao što je, na primjer, MetaStock).

Tri prethodne napomene opisuju regresijske modele koji vam omogućavaju da predvidite odgovor na osnovu vrijednosti varijabli objašnjenja. U ovoj napomeni pokazujemo kako koristiti ove modele i druge statističke metode za analizu podataka prikupljenih u uzastopnim vremenskim intervalima. U skladu sa karakteristikama svake kompanije pomenute u scenariju, razmotrićemo tri alternativna pristupa analizi vremenskih serija.

Materijal će biti ilustrovan kratkim primjerom: predviđanje prihoda tri kompanije. Zamislite da radite kao analitičar u velikoj finansijskoj kompaniji. Da biste procijenili izglede za ulaganja vaših klijenata, morate predvidjeti zaradu tri kompanije. Da biste to učinili, prikupili ste podatke o tri kompanije koje vas zanimaju - Eastman Kodak, Cabot Corporation i Wal-Mart. Budući da se kompanije razlikuju po vrsti djelatnosti, svaka vremenska serija ima svoje jedinstvene karakteristike. Stoga se za predviđanje moraju koristiti različiti modeli. Kako odabrati najbolji model predviđanja za svaku kompaniju? Kako procijeniti izglede ulaganja na osnovu rezultata predviđanja?

Diskusija počinje analizom godišnjih podataka. Prikazane su dvije metode za izglađivanje takvih podataka: pokretni prosjek i eksponencijalno izglađivanje. Zatim pokazuje kako izračunati trend koristeći najmanje kvadrate i naprednije metode predviđanja. Konačno, ovi modeli se proširuju na vremenske serije konstruirane iz mjesečnih ili kvartalnih podataka.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjere u formatu

Predviđanje u poslovanju

Kako se ekonomski uslovi mijenjaju tokom vremena, menadžeri moraju predvidjeti uticaj koji će te promjene imati na njihovu kompaniju. Jedna od metoda za osiguranje preciznog planiranja je predviđanje. Uprkos velikom broju razvijenih metoda, sve one teže istom cilju – predviđanju događaja koji će se desiti u budućnosti kako bi ih uzeli u obzir prilikom izrade planova i razvojnih strategija kompanije.

Moderno društvo stalno ima potrebu za predviđanjem. Na primjer, da bi razvili pravu politiku, članovi vlade moraju prognozirati nivoe nezaposlenosti, inflacije, industrijske proizvodnje, porez na prihod pojedinci i korporacije. Da bi odredili potrebe za opremom i osobljem, rukovodioci avio-kompanija moraju tačno predvideti obim vazdušnog saobraćaja. Kako bi stvorili dovoljno prostora u studentskim domovima, administratori koledža ili univerziteta žele znati koliko studenata će se upisati u njihov obrazovne ustanove sljedeće godine.

Postoje dva opšteprihvaćena pristupa predviđanju: kvalitativni i kvantitativni. Kvalitativne metode predviđanja su posebno važne kada kvantitativni podaci nisu dostupni istraživaču. Ove metode su po pravilu vrlo subjektivne. Ako su statističaru dostupni podaci o istoriji predmeta proučavanja, treba koristiti kvantitativne metode predviđanja. Ove metode vam omogućavaju da predvidite stanje objekta u budućnosti na osnovu podataka o njegovoj prošlosti. Metode kvantitativnog predviđanja dijele se u dvije kategorije: analiza vremenskih serija i metode analize uzroka i posljedica.

Vremenske serije je zbirka numeričkih podataka dobijenih tokom uzastopnih vremenskih perioda. Metoda analize vremenskih serija predviđa vrijednost numeričke varijable na osnovu njenih prošlih i sadašnjih vrijednosti. Na primjer, dnevne cijene dionica na njujorškoj berzi formiraju vremensku seriju. Drugi primjeri vremenskih serija su mjesečne vrijednosti indeksa potrošačkih cijena, kvartalne vrijednosti bruto domaćeg proizvoda i godišnji prihodi od prodaje kompanije.

Metode za analizu uzročno-posledičnih veza omogućavaju vam da odredite koji faktori utiču na vrijednosti predviđene varijable. To uključuje metode višestruke regresione analize sa zaostalim varijablama, ekonometrijsko modeliranje, analizu vodećih indikatora, metode analize indeksa difuzije i druge ekonomske pokazatelje. Govorićemo samo o metodama predviđanja zasnovanim na analizi vremena. s x redova.

Komponente klasičnog multiplikativnog vremenskog modela s x redova

Glavna pretpostavka na kojoj se temelji analiza vremenskih serija je sljedeća: faktori koji utiču na predmet koji se proučava u sadašnjosti i prošlosti utjecat će na njega u budućnosti. Dakle, glavni ciljevi analize vremenskih serija su identifikovanje i isticanje faktora relevantnih za predviđanje. Da bi se postigao ovaj cilj, razvijeni su mnogi matematički modeli za proučavanje fluktuacija komponenti uključenih u model vremenske serije. Vjerojatno najčešći je klasični multiplikativni model za godišnje, kvartalne i mjesečne podatke. Da biste demonstrirali klasični multiplikativni model vremenske serije, razmotrite podatke o stvarnom prihodu kompanije Wm. Wrigley Jr. Preduzeće za period od 1982. do 2001. godine (Sl. 1).

Rice. 1. Grafikon stvarnog bruto prihoda Wm. Wrigley Jr. Kompanija (milioni dolara po tekućim cijenama) za period od 1982. do 2001.

Kao što vidimo, tokom 20 godina, stvarni bruto prihod kompanije je imao trend rasta. Ovaj dugoročni trend naziva se trend. Trend nije jedina komponenta vremenske serije. Osim toga, podaci imaju ciklične i nepravilne komponente. Ciklična komponenta opisuje kako podaci fluktuiraju gore-dole, često u korelaciji sa poslovnim ciklusima. Njegova dužina varira od 2 do 10 godina. Intenzitet, ili amplituda, cikličke komponente takođe nije konstantan. U nekim godinama podaci mogu biti veći od vrijednosti predviđene trendom (tj. blizu vrhunca ciklusa), au drugim godinama - niži (tj. na dnu ciklusa). Svaki uočeni podatak koji ne leži na krivulji trenda i ne podliježe cikličnoj ovisnosti naziva se nepravilnim ili slučajne komponente. Ako se podaci bilježe dnevno ili tromjesečno, postoji dodatna komponenta koja se zove sezonski. Sve komponente vremenskih serija tipičnih za ekonomske aplikacije prikazane su na Sl. 2.

Rice. 2. Faktori koji utiču na vremenske serije

Klasični multiplikativni model vremenske serije navodi da je svaka posmatrana vrijednost proizvod navedenih komponenti. Ako su podaci godišnji, posmatranje Yi, odgovarajući i godine, izražava se jednačinom:

(1) Y i = T i* C i* I i

Gdje T i- vrijednost trenda, C i i-ta godina, I i i-te godine.

Ako se podaci mjere mjesečno ili tromjesečno, posmatranje Y i, koji odgovara i-tom periodu, izražava se jednadžbom:

(2) Y i = T i *S i *C i *I i

Gdje T i- vrijednost trenda, S i- vrijednost sezonske komponente u i-ti period, C i- vrijednost cikličke komponente u i-ti period, I i- vrijednost slučajne komponente u i-th period.

U prvoj fazi analize vremenskih serija konstruiše se graf podataka i identifikuje njegovu zavisnost od vremena. Prvo, morate saznati postoji li dugoročno povećanje ili smanjenje podataka (tj. trend), ili da li vremenska serija oscilira oko horizontalne linije. Ako nema trenda, tada se za izglađivanje podataka može koristiti metoda pokretnih prosjeka ili eksponencijalno izglađivanje.

Izglađivanje godišnjih vremenskih serija

U scenariju smo spomenuli Cabot Corporation. Sa sjedištem u Bostonu, Massachusetts, specijalizirana je za proizvodnju i prodaju hemikalija, građevinskih materijala, finih hemikalija, poluprovodnika i tečnog prirodnog gasa. Kompanija ima 39 fabrika u 23 zemlje. Tržišna vrijednost kompanije je oko 1,87 milijardi dolara, a njene dionice kotiraju na njujorškoj berzi pod skraćenicom SVT. Prihod kompanije za navedeni period prikazan je na sl. 3.

Rice. 3. Prihodi Cabot Corporation u 1982-2001 (milijarde dolara)

Kao što vidimo, dugoročni trend rasta zarada prikriven je velikim brojem fluktuacija. Dakle, vizuelna analiza grafikona ne dozvoljava nam da kažemo da podaci imaju trend. U takvim situacijama možete primijeniti metode pokretnog prosjeka ili eksponencijalnog izglađivanja.

Pokretni proseci. Metoda pokretnog prosjeka je vrlo subjektivna i ovisi o dužini perioda L, odabrano za izračunavanje prosječnih vrijednosti. Da bi se eliminisale ciklične fluktuacije, dužina perioda mora biti celobrojni višekratnik prosečne dužine ciklusa. Pokretni proseci za odabrani period dužine L, formiraju niz prosječnih vrijednosti izračunatih za sekvence dužine L. Pokretni proseci su označeni simbolima MA(L).

Pretpostavimo da želimo da izračunamo petogodišnje pokretne proseke iz podataka izmerenih tokom n= 11 godina. Zbog L= 5, petogodišnji pokretni prosjeci formiraju niz prosjeka izračunatih iz pet uzastopnih vrijednosti u vremenskoj seriji. Prvi od petogodišnjih pokretnih prosjeka izračunava se zbrajanjem podataka za prvih pet godina, a zatim dijeljenjem sa pet:

Drugi petogodišnji pokretni prosjek izračunava se zbrajanjem podataka za godine 2 do 6, a zatim dijeljenjem sa pet:

Ovaj proces se nastavlja sve dok se ne izračuna pokretni prosjek za posljednjih pet godina. Kada radite s godišnjim podacima, trebali biste pretpostaviti broj L(dužina perioda odabranog za izračunavanje pokretnih proseka) neparan. U ovom slučaju, nemoguće je izračunati pokretne prosjeke za prvi ( L– 1)/2 i zadnji ( L– 1)/2 godine. Stoga, kada se radi sa petogodišnjim pokretnim prosjecima, nije moguće izvršiti proračune za prve dvije i posljednje dvije godine. Godina za koju se izračunava pokretni prosek mora biti u sredini perioda dužine L. Ako n= 11,a L= 5, prvi pokretni prosek treba da odgovara trećoj godini, drugi četvrtoj, a poslednji devetoj. Na sl. Slika 4 prikazuje 3- i 7-godišnje pokretne prosjeke izračunate za zarade Cabot Corporation od 1982. do 2001. godine.

Rice. 4. Grafikoni 3- i 7-godišnjih pokretnih prosjeka izračunati za zarade Cabot Corporation

Imajte na umu da se prilikom izračunavanja trogodišnjih pokretnih prosjeka zanemaruju promatrane vrijednosti koje odgovaraju prvoj i posljednjoj godini. Slično, kada se računaju sedmogodišnji pokretni proseci, nema rezultata za prve i poslednje tri godine. Pored toga, sedmogodišnji pokretni proseci izglađuju vremenske serije mnogo više od trogodišnjih pokretnih proseka. To je zato što sedmogodišnji pokretni prosek odgovara dužem periodu. Nažalost, što je period duži, manje pokretnih proseka se može izračunati i prikazati na grafikonu. Stoga nije preporučljivo odabrati više od sedam godina za izračunavanje pokretnih prosjeka, jer će previše tačaka ispasti s početka i kraja grafikona, što će iskriviti oblik vremenske serije.

Eksponencijalno izglađivanje. Da bi se identifikovali dugoročni trendovi koji karakterišu promene u podacima, pored pokretnih proseka, koristi se i metoda eksponencijalnog izglađivanja. Ova metoda omogućava i kratkoročne prognoze (unutar jednog perioda), kada je postojanje dugoročnih trendova upitno. Zbog toga, metoda eksponencijalnog izglađivanja ima značajnu prednost u odnosu na metodu pokretnog prosjeka.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja dobila je ime po nizu eksponencijalno ponderiranih pokretnih prosjeka. Svaka vrijednost u ovom nizu ovisi o svim prethodnim promatranim vrijednostima. Još jedna prednost metode eksponencijalnog izglađivanja u odnosu na metodu pokretnog prosjeka je ta što se prilikom korištenja potonjeg neke vrijednosti odbacuju. Sa eksponencijalnim izglađivanjem, težine dodijeljene promatranim vrijednostima se vremenom smanjuju, tako da kada se izračunavanje završi, najčešće vrijednosti će dobiti najveću težinu, a rijetke vrijednosti će dobiti najmanju težinu. Unatoč ogromnom broju proračuna, Excel vam omogućava da implementirate metodu eksponencijalnog izglađivanja.

Jednačina koja vam omogućava da izgladite vremensku seriju unutar proizvoljnog vremenskog perioda i, sadrži tri pojma: trenutnu posmatranu vrijednost Yi, koji pripada vremenskoj seriji, prethodna eksponencijalno izglađena vrijednost Ei –1 i dodeljenu težinu W.

(3) E 1 = Y 1 E i = WY i + (1 – W)E i–1 , i = 2, 3, 4, …

Gdje Ei– vrijednost eksponencijalno izglađenih serija izračunata za i-ti period, E i –1 – vrijednost eksponencijalno izglađene serije izračunate za ( i– 1) period, Y i– uočena vrijednost vremenske serije u i-ti period, W– subjektivna težina, odnosno koeficijent zaglađivanja (0< W < 1).

Izbor faktora izglađivanja, odnosno težine koja se dodeljuje članovima serije, je fundamentalno važan jer direktno utiče na rezultat. Nažalost, ovaj izbor je donekle subjektivan. Ako istraživač jednostavno želi isključiti neželjene ciklične ili nasumične fluktuacije iz vremenske serije, treba odabrati male vrijednosti W(blizu nule). S druge strane, ako se za prognoziranje koristi vremenska serija, potrebno je odabrati veliku težinu W(blizu jedinstva). U prvom slučaju, dugoročni trendovi u vremenskim serijama su jasno vidljivi. U drugom slučaju povećava se tačnost kratkoročnog predviđanja (slika 5).

Rice. 5 Eksponencijalno izglađene dijagrame vremenskih serija (W=0,50 i W=0,25) za podatke o zaradi Cabot Corporation od 1982. do 2001.; Za formule za izračunavanje pogledajte Excel datoteku

Dobivena eksponencijalno izglađena vrijednost za i-vremenski interval, može se koristiti kao procjena predviđene vrijednosti u ( i+1)-ti interval:

Predvidjeti zaradu Cabot Corporation za 2002. na osnovu eksponencijalno izglađene vremenske serije koja odgovara težini W= 0,25, može se koristiti izglađena vrijednost izračunata za 2001. godinu. Od sl. Slika 5 pokazuje da je ova vrijednost jednaka 1651,0 miliona dolara.Kada podaci o prihodima kompanije u 2002. postanu dostupni, možemo primijeniti jednačinu (3) i predvidjeti nivo prihoda u 2003. koristeći izglađenu vrijednost prihoda u 2002. godini:

Paket analiza Excel može kreirati eksponencijalni grafik izravnavanja jednim klikom. Prođite kroz meni Podaci → Analiza podataka i odaberite opciju Eksponencijalno izglađivanje(Sl. 6). U prozoru koji se otvori Eksponencijalno izglađivanje podesite parametre. Nažalost, procedura vam omogućava da izgradite samo jednu izglađenu seriju, tako da ako želite da se "igrate" sa parametrom W, ponovite postupak.

Rice. 6. Iscrtavanje eksponencijalnog grafa uglađivanja pomoću paketa za analizu

Trend i predviđanje najmanjih kvadrata

Među komponentama vremenske serije najčešće se proučava trend. To je trend koji nam omogućava da pravimo kratkoročne i dugoročne prognoze. Da bi se identifikovao dugoročni trend u vremenskoj seriji, obično se konstruiše graf u kojem su posmatrani podaci (vrednosti zavisne varijable) iscrtani na vertikalnoj osi, a vremenski intervali (vrednosti nezavisne varijable) iscrtane su na horizontalnoj osi. U ovom odeljku opisujemo proceduru za identifikaciju linearnih, kvadratnih i eksponencijalnih trendova koristeći metodu najmanjih kvadrata.

Model linearnog trenda je najjednostavniji model koji se koristi za predviđanje: Y i = β 0 + β 1 X i + εi. Jednačina linearnog trenda:

Za dati nivo značajnosti α, nulta hipoteza se odbacuje ako je test t-Statistike su veće od gornjeg ili manje od donjeg kritičnog nivoa t-distribucije. Drugim riječima, odlučujuće pravilo je formulirano na sljedeći način: ako t > tU ili t < t L, Nulta hipoteza H 0 se odbacuje, inače se nulta hipoteza ne odbacuje (slika 14).

Rice. 14. Područja odbacivanja hipoteze za dvostrani kriterij za značaj autoregresivnog parametra A r vlasništvo najviši red

Ako je nulta hipoteza ( A r= 0) nije odbijen, što znači da odabrani model sadrži previše parametara. Kriterijum vam omogućava da odbacite vodeći član modela i procenite model autoregresije r–1. Ovaj postupak treba nastaviti do nulte hipoteze H 0 neće biti odbijeni.

1. Odaberite narudžbu R procijenjen autoregresivni model, uzimajući u obzir činjenicu da t- kriterijum značajnosti ima n–2r–1 stepena slobode.
2. Generirajte niz varijabli R“sa kašnjenjem” tako da prva varijabla kasni za jedan vremenski interval, druga za dva itd. Zadnja vrijednost mora kasniti R vremenskim intervalima (vidi sliku 15).
3. Prijavite se Paket analiza Excel za izračunavanje regresijskog modela koji sadrži sve R vrijednosti vremenske serije sa kašnjenjem.
4. Procijenite značaj parametra A R, koji ima najviši red: a) ako je nulta hipoteza odbačena, sve R parametri; b) ako nulta hipoteza nije odbačena, odbaciti je R th varijablu i ponovite korake 3 i 4 za novi model uključujući r–1 parametar. Testiranje značaja novog modela se zasniva na t-kriterijum, broj stepeni slobode je određen novim brojem parametara.
5. Ponavljajte korake 3 i 4 dok vodeći član autoregresivnog modela ne postane statistički značajan.

Da bismo demonstrirali autoregresivno modeliranje, vratimo se analizi vremenskih serija stvarne zarade Wm. Wrigley Jr. Na sl. Slika 15 prikazuje podatke potrebne za izgradnju autoregresivnih modela prvog, drugog i trećeg reda. Za izradu modela trećeg reda potrebne su sve kolone ove tabele. Kada se gradi autoregresivni model drugog reda, posljednja kolona se zanemaruje. Kada se gradi autoregresivni model prvog reda, posljednje dvije kolone se zanemaruju. Dakle, pri konstruisanju autoregresivnih modela prvog, drugog i trećeg reda, od 20 varijabli, jedna, dve i tri su isključene, respektivno.

Odabir najpreciznijeg autoregresivnog modela počinje modelom trećeg reda. Za ispravan rad Paket analiza slijedi kao ulazni interval Y označava opseg B5:B21 i interval unosa za X– C5:E21. Podaci analize su prikazani na sl. 16.

Provjerimo značaj parametra A 3, koji ima najviši red. Njegova procjena a 3 je -0,006 (ćelija C20 na slici 16), a standardna greška je 0,326 (ćelija D20). Da bismo testirali hipoteze H 0: A 3 = 0 i H 1: A 3 ≠ 0, izračunavamo t-statistika:

t-kriterijumi sa n–2p–1 = 20–2*3–1 = 13 stepeni slobode jednaki su: t L=STUDENT.OBR(0,025,13) = –2,160; tU=STUDENT.OBR(0.975,13) = +2.160. Od –2.160< t = –0,019 < +2,160 и R= 0,985 > α = 0,05, nulta hipoteza H 0 ne može se odbiti. Dakle, parametar trećeg reda nema statistički značaj u autoregresivnom modelu i treba ga ukloniti.

Ponovimo analizu za autoregresivni model drugog reda (slika 17). Procjena parametra najvišeg reda a 2= –0,205, a njegova standardna greška je 0,276. Da bismo testirali hipoteze H 0: A 2 = 0 i H 1: A 2 ≠ 0, izračunavamo t-statistika:

Na nivou značajnosti α = 0,05, kritične vrijednosti su dvostrane t-kriterijumi sa n–2p–1 = 20–2*2–1 = 15 stepeni slobode jednaki su: t L=STUDENT.OBR(0,025,15) = –2,131; tU=STUDENT.OBR(0.975,15) = +2.131. Od -2.131< t = –0,744 < –2,131 и R= 0,469 > α = 0,05, nulta hipoteza H 0 ne može se odbiti. Stoga, parametar drugog reda nije statistički značajan i treba ga ukloniti iz modela.

Ponovimo analizu za autoregresivni model prvog reda (slika 18). Procjena parametra najvišeg reda a 1= 1,024, a njegova standardna greška je 0,039. Da bismo testirali hipoteze H 0: A 1 = 0 i H 1: A 1 ≠ 0, izračunavamo t-statistika:

Na nivou značajnosti α = 0,05, kritične vrijednosti su dvostrane t-kriterijumi sa n–2p–1 = 20–2*1–1 = 17 stepeni slobode jednaki su: t L=STUDENT.OBR(0,025,17) = –2,110; tU=STUDENT.OBR(0.975,17) = +2.110. Od -2.110< t = 26,393 < –2,110 и R = 0,000 < α = 0,05, нулевую гипотезу H 0 treba odbiti. Stoga je parametar prvog reda statistički značajan i ne treba ga ukloniti iz modela. Dakle, autoregresivni model prvog reda aproksimira originalne podatke bolje od ostalih. Koristeći procjene a 0 = 18,261, a 1= 1,024 i vrijednost vremenske serije za prošlu godinu - Y 20 = 1,371,88, možemo predvidjeti vrijednost realnog prihoda kompanije Wm. Wrigley Jr. Kompanija u 2002. godini:

Odabir adekvatnog modela prognoze

Gore je opisano šest metoda za predviđanje vrijednosti vremenskih serija: linearni, kvadratni i eksponencijalni modeli trenda i autoregresivni modeli prvog, drugog i trećeg reda. Postoji li optimalan model? Koji od šest opisanih modela treba koristiti za predviđanje vrijednosti vremenske serije? U nastavku su navedena četiri principa koji bi vas trebali voditi pri odabiru adekvatnog modela predviđanja. Ovi principi su zasnovani na procjenama tačnosti modela. Pretpostavlja se da se vrijednosti vremenske serije mogu predvidjeti proučavanjem njenih prethodnih vrijednosti.

Principi za odabir modela za predviđanje:

• Izvršite analizu rezidua.
• Procijenite veličinu preostale greške koristeći kvadratne razlike.
• Procijenite veličinu preostale greške koristeći apsolutne razlike.
• Vodite se principom ekonomičnosti.

Analiza rezidua. Podsjetimo da je ostatak razlika između predviđenih i uočenih vrijednosti. Nakon što ste izgradili model za vremensku seriju, trebali biste izračunati ostatke za svaku od njih n intervalima. Kao što je prikazano na sl. 19, Panel A, ako je model adekvatan, reziduali predstavljaju slučajnu komponentu vremenske serije i stoga su nepravilno raspoređeni. S druge strane, kao što je prikazano na preostalim panelima, ako model nije adekvatan, reziduali mogu imati sistematski odnos koji ne uzima u obzir ni trend (panel B), ni ciklički (panel C), ni sezonski komponenta (panel D).

Rice. 19. Analiza ostataka

Mjerenje apsolutne i srednje kvadratne preostale greške. Ako analiza reziduala ne dozvoljava da se odredi jedan adekvatan model, mogu se koristiti druge metode zasnovane na procjeni veličine ostatka greške. Nažalost, statističari nisu postigli konsenzus o najboljoj procjeni zaostalih grešaka modela koji se koriste za predviđanje. Na osnovu principa najmanjih kvadrata, prvo možete provesti regresijsku analizu i izračunati standardnu ​​grešku procjene S XY. Kada se analizira određeni model, ova vrijednost je zbir kvadrata razlika između stvarnih i predviđenih vrijednosti vremenske serije. Ako model savršeno aproksimira vrijednosti vremenske serije u prethodnim vremenskim točkama, standardna greška procjene je nula. S druge strane, ako model loše radi aproksimaciju vrijednosti vremenske serije u prethodnim vremenskim točkama, standardna greška procjene je velika. Dakle, analizom adekvatnosti nekoliko modela moguće je odabrati model koji ima minimalnu standardnu ​​grešku procjene S XY .

Glavni nedostatak ovog pristupa je preuveličavanje grešaka prilikom predviđanja pojedinačnih vrijednosti. Drugim riječima, svaka velika razlika između količina Yi I Ŷ i Prilikom izračunavanja zbira grešaka na kvadrat, SSE se kvadrira, tj. povećava. Iz tog razloga, mnogi statističari radije koriste srednju apsolutnu devijaciju (MAD) za procjenu adekvatnosti modela predviđanja:

Kada se analiziraju specifični modeli, MAD vrijednost je prosjek apsolutnih vrijednosti razlika između stvarnih i predviđenih vrijednosti vremenske serije. Ako model savršeno aproksimira vrijednosti vremenske serije u prethodnim vremenskim točkama, srednja apsolutna devijacija je nula. S druge strane, ako model ne aproksimira dobro takve vrijednosti vremenske serije, srednja apsolutna devijacija je velika. Dakle, analizom adekvatnosti nekoliko modela moguće je odabrati model koji ima minimalno srednje apsolutno odstupanje.

Princip ekonomičnosti. Ako analiza standardne greške procjene i prosječna apsolutna odstupanja ne dozvoljavaju da odredimo optimalni model, možemo koristiti četvrti metod, zasnovan na principu ekonomičnosti. Ovaj princip kaže da od nekoliko jednakih modela treba izabrati najjednostavniji.

Među šest modela predviđanja o kojima se govori u ovom poglavlju, najjednostavniji su modeli linearne i kvadratne regresije, kao i autoregresivni model prvog reda. Ostali modeli su mnogo složeniji.

Poređenje četiri metode predviđanja. Da bismo ilustrirali proces izbora optimalnog modela, vratimo se na vremensku seriju koja se sastoji od vrijednosti realnog prihoda kompanije Wm. Wrigley Jr. Kompanija. Uporedimo četiri modela: linearni, kvadratni, eksponencijalni i autoregresivni model prvog reda. (Autoregresivni modeli drugog i trećeg reda samo neznatno poboljšavaju tačnost predviđanja vrijednosti date vremenske serije, tako da se mogu zanemariti.) Na Sl. Slika 20 prikazuje rezidualne grafove generirane analizom četiri metode predviđanja Paket analiza Excel. Treba biti oprezan kada izvlačite zaključke iz ovih grafikona jer vremenska serija sadrži samo 20 tačaka. Za metode konstrukcije pogledajte odgovarajući list Excel datoteke.

Rice. 20. Grafovi reziduala konstruisani analizom četiri metode predviđanja Paket analiza Excel

Nijedan model osim autoregresivnog modela prvog reda ne uzima u obzir cikličnu komponentu. Upravo ovaj model najbolje aproksimira opažanja i karakteriše ga najmanje sistematska struktura. Dakle, analiza reziduala sve četiri metode pokazala je da je autoregresivni model prvog reda najbolji, dok linearni, kvadratni i eksponencijalni modeli imaju manju tačnost. Da bismo to potvrdili, uporedimo zaostale greške ovih metoda (slika 21). Sa metodologijom izračunavanja možete se upoznati otvaranjem Excel datoteke. Na sl. Navedena je 21 stvarna vrijednost Y i(kolona Realni prihodi), predviđene vrijednosti Ŷ i, kao i ostaci ei za svaki od četiri modela. Osim toga, prikazane su vrijednosti SYX I MAD. Za sva četiri modela količina SYX I MAD približno isto. Eksponencijalni model je relativno lošiji, dok su linearni i kvadratni modeli superiorniji u preciznosti. Očekivano, najmanje vrijednosti SYX I MAD ima autoregresivni model prvog reda.

Rice. 21. Poređenje četiri metode predviđanja koristeći S YX i MAD indikatore

Nakon što odaberete određeni model predviđanja, morate pažljivo pratiti dalje promjene u vremenskoj seriji. Između ostalog, takav model je kreiran za ispravno predviđanje vrijednosti vremenske serije u budućnosti. Nažalost, takvi modeli predviđanja ne uzimaju dobro u obzir promjene u strukturi vremenske serije. Apsolutno je neophodno porediti ne samo zaostalu grešku, već i tačnost predviđanja budućih vrednosti vremenskih serija dobijenih korišćenjem drugih modela. Nakon mjerenja nove vrijednosti Yi u posmatranom vremenskom intervalu, mora se odmah uporediti sa predviđenom vrednošću. Ako je razlika prevelika, model predviđanja treba revidirati.

Prognoza vremena s x serija zasnovana na sezonskim podacima

Do sada smo proučavali vremenske serije koje se sastoje od godišnjih podataka. Međutim, mnoge vremenske serije sastoje se od količina koje se mjere kvartalno, mjesečno, sedmično, dnevno, pa čak i po satu. Kao što je prikazano na sl. 2, ako se podaci mjere mjesečno ili tromjesečno, treba uzeti u obzir sezonsku komponentu. U ovom dijelu ćemo pogledati metode koje nam omogućavaju da predvidimo vrijednosti takvih vremenskih serija.

Scenario opisan na početku poglavlja uključivao je Wal-Mart Stores, Inc. Tržišna kapitalizacija kompanije je 229 milijardi dolara, a njene dionice kotiraju na njujorškoj berzi pod skraćenicom WMT. Fiskalna godina kompanije završava se 31. januara, tako da četvrti kvartal 2002. obuhvata novembar i decembar 2001. godine, kao i januar 2002. godine. Vremenska serija kvartalnih prihoda kompanije prikazana je na Sl. 22.

Rice. 22. Kvartalna zarada Wal-Mart Stores, Inc. (milioni dolara)

Za kvartalne serije kao što je ova, klasični multiplikativni model, pored trenda, cikličke i slučajne komponente, sadrži i sezonsku komponentu: Y i = T i* S i* C i* I i

Predviđanje menstruacije i vremena s x serija koristeći metodu najmanjih kvadrata. Regresijski model, koji uključuje sezonsku komponentu, zasniva se na kombinovanom pristupu. Za izračunavanje trenda koristi se metoda najmanjih kvadrata opisana ranije, a da bi se uzela u obzir sezonska komponenta koristi se kategorička varijabla (za više detalja, pogledajte odjeljak Modeli regresije lažne varijable i efekti interakcije). Eksponencijalni model se koristi za aproksimaciju vremenskih serija uzimajući u obzir sezonske komponente. U modelu koji aproksimira tromjesečnu vremensku seriju, bile su nam potrebne tri lažne varijable da bismo uzeli u obzir četiri kvartala P 1, P 2 I P 3, au modelu mjesečne vremenske serije, 12 mjeseci je predstavljeno pomoću 11 lažnih varijabli. Pošto ovi modeli koriste varijablu dnevnika kao odgovor Y i, ali ne Y i, da bi se izračunali realni koeficijenti regresije, potrebno je izvršiti inverznu transformaciju.

Da bismo ilustrirali proces izgradnje modela koji aproksimira kvartalnu vremensku seriju, vratimo se Wal-Martovim zaradama. Parametri eksponencijalnog modela dobiveni korištenjem Paket analiza Excel, prikazan na sl. 23.

Rice. 23. Regresiona analiza Tromjesečna zarada Wal-Mart Stores, Inc.

Može se vidjeti da eksponencijalni model prilično dobro aproksimira originalne podatke. Koeficijent mješovite korelacije r 2 jednako 99,4% (ćelije J5), prilagođeni mješoviti koeficijent korelacije - 99,3% (ćelije J6), test F-statistika - 1.333,51 (ćelije M12), i R-vrijednost je 0,0000. Na nivou značajnosti od α = 0,05, svaki koeficijent regresije u klasičnom multiplikativnom modelu vremenske serije je statistički značajan. Primjenjujući na njih operaciju potenciranja, dobijamo sljedeće parametre:

Odds tumače se na sljedeći način.

Korištenje koeficijenata regresije b i, možete predvidjeti prihod kompanije u određenom tromjesečju. Na primjer, predvidimo prihod kompanije za četvrti kvartal 2002. ( Xi = 35):

log = b 0 + b 1 Xi = 4,265 + 0,016*35 = 4,825

= 10 4,825 = 66 834

Tako je, prema prognozi, u četvrtom kvartalu 2002. godine kompanija trebala dobiti prihod od 67 milijardi dolara (malo je vjerovatno da bi prognoza trebala biti tačna do milion miliona). Proširiti prognozu na vremenski period izvan vremenske serije, na primjer, na prvi kvartal 2003. Xi = 36, P 1= 1), moraju se izvršiti sljedeći proračuni:

log Ŷi = b 0 + b 1Xi + b 2 Q 1 = 4,265 + 0,016*36 – 0,093*1 = 4,748

10 4,748 = 55 976

Indeksi

Indeksi se koriste kao indikatori koji odgovaraju na promjene ekonomske situacije ili poslovne aktivnosti. Postoje brojne vrste indeksa, kao što su indeksi cijena, indeksi količine, indeksi vrijednosti i sociološki indeksi. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo indeks cijena. Indeks- vrijednost nekog ekonomskog indikatora (ili grupe indikatora) u određenom trenutku, izražena kao procenat njegove vrijednosti u baznom trenutku.

Indeks cijena. Jednostavan indeks cijena odražava procentualnu promjenu cijene robe (ili grupe roba) tokom određenog vremenskog perioda u poređenju sa cijenom te robe (ili grupe dobara) u određenom trenutku u prošlosti. Prilikom izračunavanja indeksa cijena, prvo morate odabrati osnovni vremenski period - vremenski interval u prošlosti s kojim će se vršiti poređenja. Prilikom odabira osnovnog vremenskog okvira za određeni indeks, periodi ekonomske stabilnosti se preferiraju u odnosu na periode ekonomske ekspanzije ili kontrakcije. Osim toga, referentni period ne bi trebao biti vremenski previše udaljen kako na rezultate poređenja ne bi previše uticale promjene u tehnologiji i navikama potrošača. Indeks cijena se izračunava pomoću formule:

Gdje I i- indeks cijena u i godina, Ri- cijena u i godina, P baza- cijena u baznoj godini.

Indeks cijena je procentualna promjena cijene proizvoda (ili grupe proizvoda) u datom vremenskom periodu u odnosu na cijenu proizvoda u baznom trenutku. Kao primjer, razmotrite indeks cijena bezolovnog benzina u Sjedinjenim Državama u periodu od 1980. do 2002. godine (Sl. 24). Na primjer:

Rice. 24. Cijena galona bezolovnog benzina i jednostavni indeks cijena u Sjedinjenim Državama od 1980. do 2002. (bazne godine 1980. i 1995.)

Tako je 2002. godine cijena bezolovnog benzina u Sjedinjenim Državama bila 4,8% viša nego 1980. godine. Analiza Sl. 24 pokazuje da je indeks cijena 1981. i 1982. godine bio veći od indeksa cijena 1980. godine, a potom do 2000. godine nije prelazio bazni nivo. Budući da je 1980. izabrana kao bazni period, vjerovatno bi imalo smisla izabrati bližu godinu, kao što je 1995. Formula za ponovno izračunavanje indeksa u odnosu na novi bazni vremenski period je:

Gdje Inovo- novi indeks cijena, Istar- stari indeks cijena, Inovo baza – vrijednost indeksa cijena u novoj baznoj godini pri obračunu za staru baznu godinu.

Pretpostavimo da je za novu bazu izabrana 1995. godina. Koristeći formulu (10) dobijamo novi indeks cijena za 2002. godinu:

Dakle, 2002. godine bezolovni benzin u Sjedinjenim Državama koštao je 13,9% više nego 1995. godine.

Neponderisani kompozitni indeksi cijena. Iako je indeks cijena za svaki pojedinačni proizvod nesumnjivo zanimljiv, važniji je indeks cijena za grupu roba, koji omogućava procjenu troškova i životnog standarda velika količina potrošači. Neponderisani kompozitni indeks cijena, definisana formulom(11), svakoj pojedinačnoj vrsti proizvoda pripisuje jednaku težinu. Kompozitni indeks cijena odražava procentualnu promjenu cijene grupe dobara (koja se često naziva tržišna korpa) tokom određenog vremenskog perioda u odnosu na cijenu te grupe dobara u referentnoj tački vremena.

Gdje t i- broj proizvoda (1, 2, …, n), n- broj robe u grupi koja se razmatra, - zbir cijena za svaku od n robe u određenom vremenskom periodu t, - zbir cijena za svaku od n roba u nultom vremenskom periodu, - vrijednost neponderisanog kompozitnog indeksa u vremenskom periodu t.

Na sl. 25 prikazane su prosječne cijene tri vrste voća za period od 1980. do 1999. godine. Da biste izračunali neponderisani kompozitni indeks cijena u različite godine primjenjuje se formula (11), smatrajući 1980. kao baznu godinu.

Tako je 1999. godine ukupna cijena funte jabuka, funte banana i funte narandži bila 59,4% viša od ukupne cijene ovog voća 1980. godine.

Rice. 25. Cijene (u dolarima) za tri vrste voća i neponderisani kompozitni indeks cijena

Neponderisani kompozitni indeks cijena izražava promjene cijena cijele grupe roba tokom vremena. Iako je ovaj indeks lako izračunati, on ima dva očigledna nedostatka. Prvo, pri izračunavanju ovog indeksa sve vrste robe se smatraju podjednako važnim, tako da skupa roba dobija neprimeren uticaj na indeks. Drugo, ne troše se sva dobra podjednako intenzivno, pa promjene cijena manje potrošene robe previše utiču na neponderisani indeks.

Ponderisani kompozitni indeksi cijena. Zbog nedostataka neponderisanih indeksa cena poželjniji su ponderisani indeksi cena koji uzimaju u obzir razlike u cenama i nivoima potrošnje dobara koje čine potrošačku korpu. Postoje dvije vrste ponderiranih kompozitnih indeksa cijena. Lapeyreov indeks cijena, definisan formulom (12), koristi nivoe potrošnje u baznoj godini. Ponderisani kompozitni indeks cijena uzima u obzir nivoe potrošnje dobara koje čine potrošačku korpu, dodjeljujući određenu težinu svakom proizvodu.

Gdje t- vremenski period (0, 1, 2, …), i- broj proizvoda (1, 2, …, n), n i u nultom vremenskom periodu, - vrijednost Lapeyréovog indeksa u vremenskom periodu t.

Proračuni Lapeyretovog indeksa prikazani su na Sl. 26; 1980. se koristi kao bazna godina.

Rice. 26. Cijene (u dolarima), količina (potrošnja u funtama po glavi stanovnika) tri vrste voća i Lapeyretov indeks

Dakle, Lapeyretov indeks 1999. godine iznosi 154,2. Ovo ukazuje da su ove tri vrste voća 1999. godine bile skuplje za 54,2% nego 1980. godine. Napominjemo da je ovaj indeks manji od neponderisanog indeksa od 159,4 jer je cijena narandže, najmanje konzumiranog voća, porasla više od cijene jabuka i banana. Drugim riječima, zbog toga što su cijene voća koje se najviše konzumiraju manje porasle od cijena narandži, Lapeyréov indeks je manji od neponderisanog kompozitnog indeksa.

Paasche indeks cijena koristi nivoe potrošnje proizvoda u tekućem, a ne u osnovnom vremenskom periodu. Shodno tome, Paascheov indeks preciznije odražava ukupne troškove potrošnje dobara u datom trenutku. Međutim, ovaj indeks ima dva značajna nedostatka. Prvo, trenutni nivo potrošnje je općenito teško odrediti. Iz tog razloga, mnogi popularni indeksi koriste Lapeyret indeks umjesto Paascheovog indeksa. Drugo, ako cijena određenog dobra u potrošačkoj korpi naglo poraste, kupci smanjuju nivo potrošnje iz nužde, a ne zbog promjene ukusa. Paascheov indeks se izračunava pomoću formule:

Gdje t- vremenski period (0, 1, 2, …), i- broj proizvoda (1, 2, …, n), n- broj robe u grupi koja se razmatra, - broj jedinica robe i u nultom vremenskom periodu, - vrijednost Paascheovog indeksa u vremenskom periodu t.

Proračuni Paascheovog indeksa prikazani su na Sl. 27; 1980. se koristi kao bazna godina.

Rice. 27. Cijene (u dolarima), količina (potrošnja u funtama po glavi stanovnika) tri vrste voća i Paascheov indeks

Dakle, Paascheov indeks 1999. godine iznosi 147,0. Ovo ukazuje da su ove tri vrste voća 1999. godine bile skuplje za 47,0% nego 1980. godine.

Neki popularni indeksi cijena. Postoji nekoliko indeksa cijena koji se koriste u poslovanju i ekonomiji. Najpopularniji je indeks potrošačkih cijena (CPI). Zvanično, ovaj indeks se zove CPI-U kako bi se naglasilo da se računa za gradove (urbane), iako se u pravilu jednostavno zove CPI. Ovaj indeks mjesečno objavljuje američki Biro za statistiku rada kao primarni alat za mjerenje troškova života u Sjedinjenim Državama. Indeks potrošačkih cijena je kompozitan i ponderiran korištenjem Lapeyretove metode. Izračunava se na osnovu cijena 400 najšire konzumiranih proizvoda, vrsta odjeće, prijevoza, medicinskih i komunalnih usluga. Trenutno se pri izračunavanju ovog indeksa kao bazni period koristi period 1982–1984. (Sl. 28). Važna funkcija CPI indeksa je njegova upotreba kao deflatora. Indeks CPI se koristi za pretvaranje stvarnih cijena u stvarne množenjem svake cijene sa faktorom 100/CPI. Proračuni pokazuju da je u proteklih 30 godina prosječna godišnja stopa inflacije u Sjedinjenim Državama iznosila 2,9%.

Rice. 28. Dinamika cijena indeksa potrošača; Za kompletne podatke pogledajte Excel datoteku

Drugi važan indeks cijena koji objavljuje Zavod za statistiku rada je Indeks cijena proizvođača (PPI). PPI je ponderisani kompozitni indeks koji koristi Lapeyréov metod za mjerenje promjena u cijenama robe koju prodaju njihovi proizvođači. Indeks PPI je vodeći indikator za CPI indeks. Drugim riječima, povećanje PPI indeksa dovodi do povećanja CPI indeksa, i obrnuto, smanjenje PPI indeksa dovodi do smanjenja CPI indeksa. Finansijski indeksi kao što je Dow Jones Industrial Average za dionice industrijska preduzeća(Dow Jones Industrial Average - DJIA), S&P 500 i NASDAQ se koriste za mjerenje promjena cijena dionica u Sjedinjenim Državama. Mnogi indeksi mjere profitabilnost međunarodnih berzi. Ovi indeksi uključuju Nikkei indeks u Japanu, Dax 30 u Njemačkoj i SSE Composite u Kini.

Zamke povezane sa analizom vremena s x redova

Vrijednost metodologije koja koristi informacije o prošlosti i sadašnjosti za predviđanje budućnosti rječito je prije više od dvije stotine godina opisao državnik Patrick Henry: „Imam samo jednu lampu da osvijetli put, i to je moje iskustvo. Samo znanje o prošlosti omogućava da se proceni budućnost.”

Analiza vremenskih serija zasniva se na pretpostavci da će faktori koji su uticali na poslovnu aktivnost u prošlosti i koji utiču na poslovnu aktivnost u sadašnjosti nastaviti da deluju i u budućnosti. Ako je to tačno, analiza vremenskih serija predstavlja efikasan alat za predviđanje i upravljanje. Međutim, kritičari klasične metode, na osnovu analize vremenskih serija, tvrde da su ove metode previše naivne i primitivne. Drugim riječima, matematički model, uzimajući u obzir faktore koji su djelovali u prošlosti, ne bi trebalo mehanički ekstrapolirati trendove u budućnost bez uzimanja u obzir procjena stručnjaka, poslovnog iskustva, tehnoloških promjena, kao i navika i potreba ljudi. U pokušaju da isprave ovu situaciju, ekonometričari su poslednjih godina razvili sofisticirane kompjuterske modele ekonomske aktivnosti koji uzimaju u obzir gore navedene faktore.

Međutim, tehnike analize vremenskih serija su odličan alat za predviđanje (i kratkoročne i dugoročne) kada se primjenjuju ispravno, u kombinaciji s drugim tehnikama predviđanja, te sa stručnim prosuđivanjem i iskustvom.

Sažetak. U ovoj napomeni, koristeći analizu vremenskih serija, razvijeni su modeli za predviđanje prihoda tri kompanije: Wm. Wrigley Jr. Kompanija, Cabot Corporation i Wal-Mart. Opisane su komponente vremenske serije, kao i nekoliko pristupa predviđanju godišnjih vremenskih serija - metoda pokretnog prosjeka, metoda eksponencijalnog glađenja, linearni, kvadratni i eksponencijalni modeli, kao i autoregresivni model. Razmatra se regresijski model koji sadrži lažne varijable koje odgovaraju sezonskoj komponenti. Prikazana je primjena metode najmanjih kvadrata za predviđanje mjesečnih i kvartalnih vremenskih serija (Sl. 29).

P stepena slobode se gubi kada se porede vrednosti vremenskih serija.

Jednačina linearnog trenda je y = at + b.

Parametri jednadžbi funkcije trenda nalaze se korištenjem teorije korelacije primjenom metode najmanjih kvadrata.

1. Metoda najmanjih kvadrata.
Metoda najmanjih kvadrata (LSM) je jedan od načina za suzbijanje mjernih grešaka (kao u fizici, greška odstupanja).
Ova metoda se obično koristi za pronalaženje parametara jednadžbi (prave, hiperbole, parabole, itd.)
Ova metoda uključuje minimiziranje sume kvadrata odstupanja.
Značenje MNC može se izraziti kroz ovaj grafikon

2. Analiza tačnosti određivanja procjena parametara jednadžbe trenda (koristeći studentovu tablicu nalazimo TT tablicu i pravimo intervalnu prognozu, tj. identifikujemo srednju kvadratnu grešku)

3. Testiranje hipoteza o koeficijentima jednadžbe linearnog trenda (statistika, Studentov test, Fisherov test)

Testiranje autokorelacije reziduala.
Važan preduvjet za konstruiranje kvalitativnog regresijskog modela korištenjem OLS-a je neovisnost vrijednosti slučajnih odstupanja od vrijednosti odstupanja u svim drugim opažanjima. Ovo osigurava da ne postoji korelacija između bilo kakvih odstupanja, a posebno između susjednih odstupanja.
autokorelacija (serijska korelacija) Autokorelacija reziduala (varijansi) je uobičajena u regresionoj analizi kada se koriste podaci vremenskih serija i vrlo rijetka kada se koriste podaci poprečnog presjeka.
Provjera heteroskedastičnosti.
1) Grafičkom analizom ostataka.
U ovom slučaju, vrijednosti eksplanatorne varijable X iscrtavaju se duž apscisne ose, a odstupanja e i ili njihovi kvadrati e 2 i se crtaju duž osi ordinata.
Ako postoji određena veza između devijacija, onda se javlja heteroskedastičnost. Odsustvo zavisnosti najverovatnije će ukazivati ​​na odsustvo heteroskedastičnosti.
2) Korištenje Spearmanovog testa korelacije ranga.
Spearmanov koeficijent korelacije ranga.

36. Metode mjerenja stabilnosti dinamičkih trendova (Spearmanov rang koeficijent).

Koncept „održivosti“ se koristi na vrlo različite načine. U odnosu na naučno proučavanje dinamike, razmotrićemo dva aspekta ovog koncepta: 1) stabilnost kao kategoriju suprotnu fluktuaciji; 2) stabilnost pravca promena, tj. održivost trenda.

Stabilnost u drugom smislu karakteriše ne same nivoe, već proces njihove usmerene promene. Možete saznati, na primjer, koliko je održiv proces smanjenja specifičnih troškova resursa za proizvodnju jedinice proizvoda, da li je održiv trend smanjenja mortaliteta novorođenčadi itd. Sa ove tačke gledišta, potpuna stabilnost promjene smjera u nivoima dinamičke serije treba smatrati takvu promjenu u procesu čiji je svaki naredni nivo ili viši od svih prethodnih (održivi rast), ili niži od svih prethodnih (trajni pad). Svako kršenje striktno rangiranog niza nivoa ukazuje na nepotpunu stabilnost promjena.

Iz definicije koncepta stabilnosti trenda proizilazi i način konstruisanja njegovog indikatora, a kao indikator stabilnosti može se koristiti Spearmanov koeficijent korelacije ranga - rx.

gdje je n broj nivoa;

I je razlika između rangova nivoa i broja vremenskih perioda.

U slučaju potpunog podudaranja rangova nivoa, počevši od najnižeg, i broja perioda (trenutaka) vremena prema njihovom hronološkom redu, koeficijent korelacije rangova je jednak +1. Ova vrijednost odgovara slučaju potpune stabilnosti povećanja nivoa. Kada su rangovi nivoa potpuno suprotni rangovima godina, Spearmanov koeficijent je jednak -1, što znači potpunu stabilnost procesa smanjenja nivoa. Sa haotičnom izmjenom rangova nivoa, koeficijent je blizu nule, što znači nestabilnost bilo kojeg trenda.

Negativna rx vrijednost ukazuje na trend pada nivoa, a održivost ovog trenda je ispod prosjeka.

Treba imati na umu da čak i sa 100% stabilnosti trenda može doći do fluktuacija nivoa u dinamici, a koeficijent njihove stabilnosti će biti ispod 100%. Sa slabim fluktuacijama, ali još slabijim trendom, naprotiv, moguć je koeficijent stabilnosti visokog nivoa, ali koeficijent stabilnosti trenda blizu nule. Generalno, oba indikatora su, naravno, direktno povezana: najčešće se uočava veća stabilnost nivoa istovremeno sa većom stabilnošću trenda.

37. Modeliranje trenda niza dinamike u prisustvu strukturnih promjena.

Jednokratne promjene u prirodi trenda vremenske serije uzrokovane strukturnim promjenama u privredi ili drugim faktorima treba razlikovati od sezonskih i cikličkih fluktuacija. U ovom slučaju, počevši od određene tačke u vremenu t, mijenja se priroda dinamike indikatora koji se proučava, što dovodi do promjene parametara trenda koji opisuje ovu dinamiku.

Trenutak t je praćen značajnim promjenama brojnih faktora koji utiču jak uticaj na indikatoru koji se proučava Modeliranje trenda vremenske serije u prisustvu strukturnih promjena, koje su najčešće uzrokovane promjenama opšte ekonomske situacije ili globalnim događajima koji su doveli do promjene strukture privrede. Ako vremenska serija koja se proučava uključuje odgovarajuću vremensku tačku, onda je jedan od zadataka njenog proučavanja da razjasni pitanje da li su opšte strukturne promene značajno uticale na prirodu ovog trenda.

Ako je ovaj uticaj značajan, onda bi modele linearne regresije trebalo koristiti za modeliranje trenda ove vremenske serije, tj. podijelite originalnu populaciju na 2 subpopulacije (prije vremena t i poslije) i konstruirajte jednadžbe linearne regresije odvojeno za svaku podpopulaciju.

Ako su strukturne promjene imale blagi utjecaj na prirodu trenda serije Modeliranje trenda vremenske serije u prisustvu strukturnih promjena., onda se može napisati korištenjem jednadžbe trenda koja je uniformna za cijeli skup podataka.

Svaki od gore opisanih pristupa ima svoje pozitivne i negativne strane. Kada se konstruiše komadno linearni model, rezidualni zbir kvadrata se smanjuje u poređenju sa jednačinom trenda koja je uniformna za celu populaciju. Ali podjela populacije na dijelove dovodi do gubitka broja opservacija i do smanjenja broja stupnjeva slobode u svakoj jednadžbi parčad linearnog modela. Konstrukcija jedne jednadžbe trenda omogućava vam da zadržite broj opservacija u originalnoj populaciji, ali rezidualni zbir kvadrata za ovu jednačinu će biti veći u odnosu na komadni linearni model. Očigledno, izbor modela ovisi o odnosu između redukcije rezidualna varijansa i gubitak broja stupnjeva slobode pri prelasku sa jedne regresijske jednadžbe na komadno linearni model.

38. Regresiona analiza povezanih vremenskih serija.

Multivarijantne vremenske serije koje pokazuju zavisnost efektivne karakteristike od jedne ili više faktorskih se nazivaju povezanim dinamičkim serijama. Upotreba metoda najmanjih kvadrata za obradu vremenskih serija ne zahtijeva pravljenje bilo kakvih pretpostavki o zakonima distribucije početnih podataka. Međutim, kada se koristi metoda najmanjih kvadrata za obradu povezanih nizova, treba voditi računa o prisutnosti autokorelacije (autoregresije), koja nije uzeta u obzir prilikom obrade jednodimenzionalnih vremenskih serija, jer je njeno prisustvo doprinijelo gušćem i jasnijem identifikacija trenda razvoja društveno-ekonomskog fenomena koji se razmatra tokom vremena.

Detekcija autokorelacije u nivoima niza dinamike

U dinamici ekonomskih procesa postoji odnos između nivoa, posebno onih usko lociranih. Pogodno je to prikazati u obliku korelacije između nizova y1,y2,y3,…..yn h y1+h, y2+h,…, yn+h. Vremenski pomak L naziva se pomak, a sam fenomen međusobnog povezivanja naziva se autokorelacija.

Zavisnost autokorelacije je posebno značajna između narednih i prethodnih nivoa dinamičke serije.

Postoje dvije vrste autokorelacije:

Autokorelacija u opažanjima jedne ili više varijabli;

Autokorelacija grešaka ili autokorelacija u odstupanjima od trenda.

Prisustvo potonjeg dovodi do izobličenja vrijednosti srednjih kvadratnih grešaka regresijskih koeficijenata, što otežava konstruiranje intervala povjerenja za koeficijente regresije, kao i provjeru njihove važnosti.

Autokorelacija se mjeri pomoću koeficijenta cikličke autokorelacije, koji se može izračunati ne samo između susjednih nivoa, tj. pomaknut za jednu tačku, ali i između pomaknut za bilo koji broj vremenskih jedinica (L). Ovaj pomak, nazvan vremenski odmak, također određuje redoslijed koeficijenata autokorelacije: prvi red (na L=1), drugi red (na L=2), itd. Međutim, najveći interes za studiju je izračunavanje necikličkog koeficijenta (prvi red), budući da najteža izobličenja rezultata analize nastaju kada postoji korelacija između početnih nivoa serije i istih nivoa pomerenih za jednu jedinicu vremena.

Da bi se procenilo prisustvo ili odsustvo autokorelacije u seriji koja se proučava, stvarna vrednost koeficijenata autokorelacije se upoređuje sa tabelarno (kritičnom) vrednošću za nivo značajnosti od 5% ili 1%.

Ako je stvarna vrijednost koeficijenta autokorelacije manja od tabelarne vrijednosti, tada se može prihvatiti hipoteza o odsustvu autokorelacije u nizu. Kada je stvarna vrijednost veća od tabelarne vrijednosti, možemo zaključiti da postoji autokorelacija u seriji dinamike.

Povratak