Osnova prostora oni nazivaju takav sistem vektora u kojem se svi ostali vektori u prostoru mogu predstaviti kao linearna kombinacija vektora uključenih u bazu.
U praksi se sve to vrlo jednostavno provodi. Osnova se po pravilu provjerava na ravni ili u prostoru, a za to je potrebno pronaći determinantu matrice drugog, trećeg reda sastavljene od vektorskih koordinata. Ispod su šematski napisane uslovi pod kojima vektori čine osnovu
To proširiti vektor b u bazne vektore
e,e...,e[n] potrebno je pronaći koeficijente x, ..., x[n] za koje je linearna kombinacija vektora e,e...,e[n] jednaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da biste to učinili, vektorsku jednačinu treba pretvoriti u sistem linearnih jednačina i pronaći rješenja. Ovo je također prilično jednostavno za implementaciju.
Pronađeni koeficijenti x, ..., x[n] se pozivaju koordinate vektora b u bazi e,e...,e[n].
Idemo dalje praktična strana Teme.
Dekompozicija vektora na bazne vektore
Zadatak 1. Provjerite da li vektori a1, a2 čine osnovu na ravni
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rješenje: Sastavljamo determinantu iz koordinata vektora i izračunavamo je
Determinanta nije nula, dakle vektori su linearno nezavisni, što znači da čine osnovu.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Rješenje: Izračunavamo determinantu koju čine vektori 
Determinanta je jednaka 13 (nije jednaka nuli) - iz ovoga slijedi da su vektori a1, a2 baza na ravni.
---=================---
Pogledajmo tipične primjere iz programa MAUP u disciplini "Viša matematika".
Zadatak 2. Pokazati da vektori a1, a2, a3 čine osnovu trodimenzionalnog vektorskog prostora i proširiti vektor b prema ovoj osnovi (prilikom rješavanja sistema linearnih algebarske jednačine koristiti Cramerovu metodu).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rješenje: Prvo razmotrite sistem vektora a1, a2, a3 i provjerite determinantu matrice A
izgrađen na vektorima koji nisu nula. Matrica sadrži jedan nulti element, pa je prikladnije izračunati determinantu kao raspored u prvoj koloni ili trećem redu. 
Kao rezultat proračuna, ustanovili smo da je determinanta različita od nule vektori a1, a2, a3 su linearno nezavisni.
Po definiciji, vektori čine osnovu u R3. Zapišimo raspored vektora b na osnovu 
Vektori su jednaki kada su im odgovarajuće koordinate jednake.
Dakle, iz vektorske jednačine dobijamo sistem linearnih jednačina 
Rešimo SLAE Cramerova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo sistem jednačina u obliku
Glavna determinanta SLAE je uvijek jednaka determinanti sastavljenoj od baznih vektora
Stoga se u praksi ne računa dvaput. Da bismo pronašli pomoćne determinante, stavljamo kolonu slobodnih pojmova na mjesto svake kolone glavne determinante. Determinante se računaju pomoću pravila trougla 
Zamijenimo pronađene determinante u Cramerovu formulu 
Dakle, proširenje vektora b u smislu baze ima oblik b=-4a1+3a2-a3. Koordinate vektora b u bazi a1, a2, a3 će biti (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rješenje: Provjeravamo vektore za osnovu - sastavljamo determinantu iz koordinata vektora i izračunavamo je 
Dakle, determinanta nije jednaka nuli vektori čine osnovu u prostoru. Ostaje pronaći raspored vektora b kroz ovu bazu. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednačinu 
i transformisati u sistem linearnih jednačina 
Hajde da to zapišemo matrična jednačina
Zatim, za Cramerove formule nalazimo pomoćne determinante 
Primjenjujemo Cramerove formule 
Dakle, dati vektor b ima raspored kroz dva bazna vektora b=-2a1+5a3, a njegove koordinate u bazi su jednake b(-2,0, 5).
Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem
U gledalištu se nalaze kolica sa čokoladama, a svaki posjetitelj danas će ih dobiti slatki par– analitička geometrija sa linearnom algebrom. Ovaj članak će se dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a mi ćemo vidjeti kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...dođavola, kakva gomila gluposti. Mada, dobro, neću bodovati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.
Linearna zavisnost vektora, linearna vektorska nezavisnost, osnovu vektora a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora 
. Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao u Gismeteo: temperatura i atmosferski pritisak, respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...
Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) se odnose na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će biti dati geometrijski primeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipične probleme algebre. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?
Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem
Razmotrimo ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:
1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno da će za konstruiranje osnove biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.
2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.
Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeva ruka na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desna ruka
na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.
Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.
Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sam smjer, a ravan ima dužinu i širinu.
Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.
referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama i izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.
Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.
Prekrižite prste na stolu tako da postoji bilo koji ugao između njih osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno Ne zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je dobijena. Nema potrebe da se sramite što se osnova pokazalo da je "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine
Bilo koji ravan vektor jedini način
proširuje se prema osnovi: 
, gdje su realni brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.
Takođe se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.
Na primjer, možemo reći da je vektor dekomponovan duž ortonormalne osnove ravni, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.
Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.
Bitna tačka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. Baze 
– ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.
Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto to nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim mjestima na stolu zaostalim od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takav orijentir je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Hajde da razumemo koordinatni sistem:
Počeću sa “školskim” sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:
Kada pričaju o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne ose i razmjer duž osa. Pokušajte da upišete "pravougaoni koordinatni sistem" u pretraživač i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.
S druge strane, čini se da se pravougaoni koordinatni sistem može u potpunosti definirati u terminima ortonormalne baze. I to je skoro tačno. Formulacija je sljedeća:
porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.
Mislim da svi razumiju da korištenje tačke (porijeklo) i ortonormalna osnova BILO KOJA TAČKA na ravni i BILO KOJI VEKTOR na ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, „sve u avionu može biti numerisano“.
Da li je potrebno da koordinatni vektori budu jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrimo tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne dužine različite od nule:
Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka tačka na ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori V opšti slučaj
imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedinici, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.
! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravni i prostora, razmatraju se jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž x-ose sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinatne ose sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da, ako je potrebno, pretvorimo „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.
I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je da li ugao između baznih vektora mora biti jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.
Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afine ravni koordinatni sistem :
Ponekad se takav koordinatni sistem naziva koso sistem. Kao primjeri, crtež prikazuje tačke i vektore: 
Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan; formule za dužine vektora i segmenata, o kojima smo razgovarali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u ovoj relaciji, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.
I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Zato je najčešće moraš viđati, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi ugao (ili neki drugi, npr. polar) koordinatni sistem. I humanoidima bi se takvi sistemi mogli svidjeti =)
Pređimo na praktični dio. Svi zadaci ovu lekciju važi i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.
Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?
Tipična stvar. Za dva ravan vektora 
bile kolinearne, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U suštini, ovo je koordinata po koordinata detalji očiglednog odnosa.
Primjer 1
a) Provjerite jesu li vektori kolinearni 
.
b) Da li vektori čine osnovu? 
?
Rješenje:
a) Hajde da saznamo da li postoji za vektore 
koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti zadovoljene: 
Definitivno ću vam reći o "foppish" verziji primjene ovog pravila, koja prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:
Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:
skratimo:
, tako da su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,
Odnos bi se mogao napraviti i obrnuto; ovo je ekvivalentna opcija:
Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju dolazi do jednakosti 
. Njihova valjanost se može lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima: 
b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora 
. Kreirajmo sistem: 
Iz prve jednačine slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.
Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.
Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:
Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora 
:
, što znači da su ovi vektori linearno nezavisni i čine osnovu.
Obično ovu opciju recenzenti ne odbijaju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: 
. ili ovako: 
. ili ovako: 
. Kako ovdje raditi kroz proporciju? (zaista, ne možete dijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao “foppish”.
odgovor: a) , b) oblik.
Mali kreativni primjer za vaše vlastito rješenje:
Primjer 2
Na kojoj vrijednosti parametra su vektori 
hoće li biti kolinearni?
U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.
Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i dodamo ga kao petu tačku:
Za dva vektora ravni su ekvivalentne sljedeće izjave
:
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora nije nula.
odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka je nuli.
Stvarno se tome nadam ovog trenutka već razumijete sve pojmove i izjave na koje naiđete.
Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora 
su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Za upotrebu ove karakteristike Naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.
Hajde da odlučimo Primjer 1 na drugi način:
a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora 
:
, što znači da su ovi vektori kolinearni.
b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate 
:
, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.
odgovor: a) , b) oblik.
Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.
Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata i pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.
Primjer 3
Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.
Dokaz: Nema potrebe praviti crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram
Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se.
Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.
dokazujemo:
1) Pronađite vektore: 
2) Pronađite vektore: 
Rezultat je isti vektor („prema školi“ – jednaki vektori). Kolinearnost je prilično očigledna, ali je bolje formalizirati odluku jasno, sa dogovorom. Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate: 
, što znači da su ovi vektori kolinearni, i .
Zaključak: Suprotne stranečetvorouglovi su paralelni u parovima, što znači da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.
Više dobrih i drugačijih figura:
Primjer 4
Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.
Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.
Ovo je zadatak koji treba da rešite sami. Potpuno rješenje na kraju lekcije.
A sada je vrijeme da se polako krećemo iz aviona u svemir:
Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?
Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.
Primjer 5
Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A) ;
b)
V) 
Rješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:
Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.
“Pojednostavljeno” se formalizira provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.
odgovor: vektori nisu kolinearni.
b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.
Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora putem determinante trećeg reda; ova metoda je obrađena u članku Vektorski proizvod vektora.
Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravih linija.
Dobrodošli u drugu sekciju:
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem
Mnogi uzorci koje smo ispitivali u avionu važiće za svemir. Pokušao sam da minimiziram teorijske bilješke, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.
Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada unutra, neko napolju, ali u svakom slučaju ne možemo pobeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstruiranje osnove biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.
I opet se grijemo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, nema potrebe da to demonstrirate nastavnicima, ma koliko jako uvijali prste, ali od definicija nema bijega =)
Dalje, hajde da pitamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na vrh računarskog stola. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim je očigledno da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.
Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, mogu biti u paralelnim ravnima (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali to uradio =)).
Definicija: vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne. Logično je ovdje dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.
Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, zamislimo opet da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, oni mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: 
(a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odeljku).
Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.
Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redosledom, i bilo koji vektor prostora jedini način se dekomponuje na datu bazu, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi
Da vas podsjetim da možemo reći i da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora.
Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao i za ravan; dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:
porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redosledom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora
:
Naravno, koordinatna mreža je „kosa“ i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sistemu prostora.
Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi nagađaju, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:
Tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni prostorni koordinatni sistem
. Poznata slika: 
Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematizujmo informacije:
Za tri vektora prostora sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.
Mislim da su suprotne izjave razumljive.
Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap i rukujete bejzbol palicom linearne algebre:
Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: 
.
Skrećem vam pažnju na malu tehnička nijansa: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u kolone, već i u redove (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - vidi svojstva determinante). Ali mnogo je bolji u kolonama, jer je korisniji za rješavanje nekih praktičnih problema.
Za one čitaoce koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili ih možda uopće slabo razumiju, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?
Primjer 6
Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:
Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.
a) Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate (determinanta je otkrivena u prvom redu): 
, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.
Odgovori: ovi vektori čine osnovu
b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Tu su i kreativni zadaci:
Primjer 7
Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?
Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka nuli: 
U suštini, trebate riješiti jednačinu s determinantom. Spuštamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa: 
Vršimo dalja pojednostavljenja i svedemo stvar na najjednostavnije linearna jednačina:
Odgovori: at
Ovdje je lako provjeriti; da biste to učinili, trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da 
, otvarajući ga ponovo.
U zaključku ćemo razmotriti još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:
Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u ovoj bazi
Primjer 8
Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.
Rješenje: Prvo da se pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je to osnova nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prva faza se potpuno poklapa sa rješenjem primjera 6; potrebno je provjeriti da li su vektori zaista linearno nezavisni:
Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate: 
, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.
! Bitan : vektorske koordinate Neophodno zapiši u kolone determinanta, ne u nizovima. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.
Rn,(MATEMATIKA U EKONOMICI)
Vektorska dekompozicija
Vektorska dekompozicija A u komponente - operacija zamjene vektora A nekoliko drugih vektora ab a2, a3, itd., koji kada se dodaju formiraju početni vektor A; u ovom slučaju vektori db a2, a3 itd. nazivaju se komponentama vektora A. Drugim riječima, razlaganje bilo kojeg...(FIZIKA)
Osnova i rang vektorskog sistema
Razmotrimo sistem vektora (1.18) Maksimalno nezavisan podsistem vektorskog sistema(1.I8) je parcijalni skup vektora ovog sistema koji zadovoljava dva uslova: 1) vektori ovog skupa su linearno nezavisni; 2) bilo koji vektor sistema (1.18) linearno je izražen kroz vektore ovog skupa....(MATEMATIKA U EKONOMICI)
Vektorska reprezentacija u različiti sistemi koordinate
Razmotrimo dva ortogonalna pravolinijska koordinatna sistema sa skupovima jediničnih vektora (i, j, k) i (i j, k") i predstavimo vektor a u njima. Pretpostavimo konvencionalno da jedinični vektori sa prostim brojevima odgovaraju novi sistemi e koordinate, a bez poteza - stari. Zamislimo vektor u obliku ekspanzije duž ose i starog i novog sistema...Dekompozicija vektora u ortogonalnoj bazi
Razmotrite osnovu prostora Rn, u kojoj je svaki vektor ortogonan na druge bazne vektore: Ortogonalne baze su poznate i dobro se mogu predstaviti na ravni i u prostoru (slika 1.6). Baze ovog tipa su pogodne prvenstveno zbog toga što se određuju koordinate ekspanzije proizvoljnog vektora...(MATEMATIKA U EKONOMICI)
Vektori i njihovi prikazi u koordinatnim sistemima
Pojam vektora povezan je sa određenim fizičkim veličinama, koje karakterizira njihov intenzitet (veličina) i smjer u prostoru. Takve veličine su, na primjer, sila koja djeluje na materijalno tijelo, brzina određene tačke ovog tijela, ubrzanje materijalne čestice...(MEHANIKA KONTINUUMA: TEORIJA NAPONA I OSNOVNI MODELI)
Najjednostavniji analitički prikazi proizvoljne eliptičke funkcije
Predstavljanje eliptičke funkcije kao zbir najjednostavnijih elemenata. Neka / (z) je eliptična funkcija reda s s jednostavnim polovima jjt, $s, leži u paralelogramu perioda. Označavanje sa Bk oduzimanjem funkcije u odnosu na pol, imamo da je 2 ?l = 0 (§ 1, paragraf 3, teorema...(UVOD U TEORIJU FUNKCIJA KOMPLEKSNE VARIJABLE)