Postojaće i problemi koje ćete sami riješiti, na koje možete vidjeti odgovore.

Ako su u zadatku i dužine vektora i ugao između njih prikazani "na srebrnom tanjiru", tada uslov problema i njegovo rešenje izgleda ovako:

Primjer 1. Dati su vektori. Pronađite skalarni proizvod vektora ako su njihove dužine i ugao između njih predstavljeni sljedećim vrijednostima:

Druga definicija je također važeća, potpuno ekvivalentna definiciji 1.

Definicija 2. Skalarni proizvod vektora je broj (skalar) jednak proizvodu dužine jednog od ovih vektora i projekcije drugog vektora na osu određenu prvim od ovih vektora. Formula prema definiciji 2:

Rešićemo problem koristeći ovu formulu nakon sledeće važne teorijske tačke.

Definicija skalarnog proizvoda vektora u terminima koordinata

Isti broj se može dobiti ako se vektorima koji se množe daju koordinate.

Definicija 3. Tačkasti proizvod vektora je broj jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Na površini

Ako su dva vektora i na ravni definisana sa svoja dva Kartezijanske pravokutne koordinate

tada je skalarni proizvod ovih vektora jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata:

.

Primjer 2. Odrediti brojčanu vrijednost projekcije vektora na osu paralelnu vektoru.

Rješenje. Pronalazimo skalarni proizvod vektora dodavanjem parnih proizvoda njihovih koordinata:

Sada moramo izjednačiti rezultirajući skalarni proizvod sa proizvodom dužine vektora i projekcije vektora na os paralelnu vektoru (u skladu sa formulom).

Dužinu vektora nalazimo kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata:

.

Kreiramo jednačinu i rješavamo je:

Odgovori. Potrebna brojčana vrijednost je minus 8.

U svemiru

Ako su dva vektora i u prostoru definirana sa svoje tri kartezijanske pravokutne koordinate

,

tada je skalarni proizvod ovih vektora također jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata, samo što već postoje tri koordinate:

.

Zadatak pronalaženja skalarnog proizvoda pomoću razmatrane metode je nakon analize svojstava skalarnog proizvoda. Jer u zadatku ćete morati odrediti koji ugao formiraju pomnoženi vektori.

Svojstva skalarnog proizvoda vektora

Algebarska svojstva

1. (komutativno svojstvo: preokretanje mjesta pomnoženih vektora ne mijenja vrijednost njihovog skalarnog proizvoda).

2. (asocijativno svojstvo u odnosu na numerički faktor: skalarni proizvod vektora pomnožen sa određenim faktorom i drugog vektora jednak je skalarnom proizvodu ovih vektora pomnoženim sa istim faktorom).

3. (distributivno svojstvo u odnosu na zbir vektora: skalarni proizvod zbira dva vektora trećim vektorom jednak je zbiru skalarnih proizvoda prvog vektora trećim vektorom i drugog vektora trećim vektorom).

4. (skalarni kvadrat vektora veći od nule), if je vektor različit od nule, i , if je nulti vektor.

Geometrijska svojstva

U definicijama operacije koja se proučava, već smo se dotakli pojma ugla između dva vektora. Vrijeme je da razjasnimo ovaj koncept.

Na gornjoj slici možete vidjeti dva vektora koja su dovedena do zajedničkog ishodišta. I prva stvar na koju morate obratiti pažnju je da postoje dva ugla između ovih vektora - φ 1 I φ 2 . Koji se od ovih uglova pojavljuje u definicijama i svojstvima skalarnog proizvoda vektora? Zbir razmatranih uglova je 2 π i stoga su kosinusi ovih uglova jednaki. Definicija tačkastog proizvoda uključuje samo kosinus ugla, a ne i vrijednost njegovog izraza. Ali svojstva uzimaju u obzir samo jedan ugao. A ovo je jedan od dva ugla koji ne prelazi π , odnosno 180 stepeni. Na slici je ovaj ugao označen kao φ 1 .

1. Pozivaju se dva vektora ortogonalno I ugao između ovih vektora je ravan (90 stepeni ili π /2 ), ako skalarni proizvod ovih vektora je nula :

.

Ortogonalnost u vektorskoj algebri je okomitost dva vektora.

2. Dva vektora različita od nule čine oštri ugao (od 0 do 90 stepeni, ili, što je isto - manje π tačkasti proizvod je pozitivan .

3. Dva vektora različita od nule čine tupi ugao (od 90 do 180 stepeni, ili, što je isto - više π /2) ako i samo ako oni tačkasti proizvod je negativan .

Primjer 3. Koordinate su date vektorima:

.

Izračunajte skalarne proizvode svih parova datih vektora. Koji ugao (oštar, pravi, tup) formiraju ovi parovi vektora?

Rješenje. Izračunat ćemo zbrajanjem proizvoda odgovarajućih koordinata.

Dobili smo negativan broj, tako da vektori formiraju tup ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Dobili smo nulu, tako da vektori formiraju pravi ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 4. S obzirom na dužine dva vektora i ugao između njih:

.

Odrediti pri kojoj vrijednosti broja su vektori i ortogonalni (upravni).

Rješenje. Pomnožimo vektore koristeći pravilo za množenje polinoma:

Sada izračunajmo svaki pojam:

.

Napravimo jednačinu (proizvod je jednak nuli), dodajmo slične članove i riješimo jednačinu:

Odgovor: dobili smo vrijednost λ = 1.8, pri čemu su vektori ortogonalni.

Primjer 5. Dokazati da je vektor ortogonalno (upravno) na vektor

Rješenje. Da bismo provjerili ortogonalnost, množimo vektore i kao polinome, zamjenjujući umjesto njih izraz dat u izjavi problema:

.

Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član (član) prvog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode:

.

U rezultirajućem rezultatu, razlomak se smanjuje za. Dobija se sljedeći rezultat:

Zaključak: kao rezultat množenja dobili smo nulu, dakle, dokazana je ortogonalnost (perpendikularnost) vektora.

Riješite problem sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6. Date su dužine vektora i, a ugao između ovih vektora je π /4 . Odredite po kojoj vrijednosti μ vektori i međusobno su okomiti.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Matrična reprezentacija tačkastog proizvoda vektora i proizvoda n-dimenzionalnih vektora

Ponekad je korisno za jasnoću predstaviti dva pomnožena vektora u obliku matrica. Tada je prvi vektor predstavljen kao matrica reda, a drugi - kao matrica stupaca:

Tada će skalarni proizvod vektora biti proizvod ovih matrica :

Rezultat je isti kao onaj dobiven metodom koju smo već razmatrali. Dobili smo jedan jedini broj, a proizvod matrice reda na matricu stupca je također jedan jedini broj.

Pogodno je predstaviti proizvod apstraktnih n-dimenzionalnih vektora u matričnom obliku. Dakle, proizvod dva četvorodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa četiri elementa sa matricom kolone takođe sa četiri elementa, proizvod dva petodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa pet elemenata po matrica stupaca također sa pet elemenata, i tako dalje.

Primjer 7. Naći skalarne proizvode parova vektora

,

koristeći matričnu reprezentaciju.

Rješenje. Prvi par vektora. Prvi vektor predstavljamo kao matricu reda, a drugi kao matricu stupaca. Nalazimo skalarni proizvod ovih vektora kao proizvod matrice reda i matrice stupaca:

Na sličan način predstavljamo drugi par i nalazimo:

Kao što vidite, rezultati su bili isti kao za iste parove iz primjera 2.

Ugao između dva vektora

Izvođenje formule za kosinus ugla između dva vektora je vrlo lijepo i sažeto.

Da se izrazi tačkasti proizvod vektora

(1)

u koordinatnom obliku, prvo nalazimo skalarni proizvod jediničnih vektora. Skalarni proizvod vektora sa samim sobom po definiciji:

Ono što je napisano u gornjoj formuli znači: skalarni proizvod vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegove dužine. Kosinus nule jednak je jedan, pa će kvadrat svake jedinice biti jednak jedan:

Od vektora

su parno okomite, tada će parni proizvodi jediničnih vektora biti jednaki nuli:

Sada izvršimo množenje vektorskih polinoma:

Zamjenjujemo vrijednosti odgovarajućih skalarnih proizvoda jediničnih vektora u desnu stranu jednakosti:

Dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:

Primjer 8. Daju se tri boda A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Pronađite ugao.

Rješenje. Pronalaženje koordinata vektora:

,

.

Koristeći formulu kosinusnog ugla dobijamo:

Dakle, .

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 9. Data su dva vektora

Pronađite zbir, razliku, dužinu, tačkasti proizvod i ugao između njih.

2.Razlika

Predavanje: Vektorske koordinate; skalarni proizvod vektora; ugao između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjereni segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj predstavljeni određenim tačkama, onda imaju svoje koordinate na ravni ili u prostoru.

Ako svaka tačka ima svoje koordinate, onda možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Recimo da imamo vektor čiji početak i kraj imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Da biste dobili koordinate datog vektora, potrebno je oduzeti odgovarajuće koordinate početka od koordinata kraja vektora:

Da biste odredili koordinate vektora u prostoru, koristite sljedeću formulu:

Tačkasti proizvod vektora

Postoje dva načina da se definiše koncept skalarnog proizvoda:

• Geometrijska metoda. Prema njemu, skalarni proizvod jednak je proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa ugla između njih.

• Algebarsko značenje. Sa stanovišta algebre, skalarni proizvod dva vektora je određena veličina koja se dobija kao rezultat zbira proizvoda odgovarajućih vektora.

Ako su vektori dati u prostoru, onda biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako dva identična vektora pomnožite skalarno, onda njihov skalarni proizvod neće biti negativan:

• Ako se pokaže da je skalarni proizvod dva identična vektora jednak nuli, onda se ovi vektori smatraju nula:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni proizvod biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni proizvod ima komunikativnu osobinu, to jest, skalarni proizvod se neće promijeniti ako se vektori preurede:

• Skalarni proizvod vektora koji nisu nula može biti jednak nuli samo ako su vektori jedan na drugi okomiti:

• Za skalarni proizvod vektora, komutativni zakon vrijedi u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa skalarnim proizvodom možete koristiti i distributivno svojstvo množenja:

Ugao između vektora

Unakrsni proizvod i tačkasti proizvod olakšavaju izračunavanje ugla između vektora. Neka su data dva vektora $\overline(a)$ i $\overline(b)$, orijentisani ugao između njih jednak je $\varphi$. Izračunajmo vrijednosti $x = (\overline(a),\overline(b))$ i $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Tada je $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, gdje je $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, a $\varphi$ je željeni ugao, odnosno tačka $(x, y)$ ima polarni ugao jednak $\varphi$, i stoga se $\varphi$ može naći kao atan2(y, x).

Površina trougla

Budući da križni proizvod sadrži proizvod dvije vektorske dužine i kosinus ugla između njih, križni proizvod se može koristiti za izračunavanje površine trokuta ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Pripadnost tačke pravoj

Neka su data tačka $P$ i prava $AB$ (date sa dve tačke $A$ i $B$). Potrebno je provjeriti da li tačka pripada pravoj $AB$.

Tačka pripada pravoj $AB$ ako i samo ako su vektori $AP$ i $AB$ kolinearni, to jest, ako je $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Pripadnost tačke zraku

Neka su data tačka $P$ i zraka $AB$ (definisane sa dve tačke - početak zraka $A$ i tačka na zraku $B$). Potrebno je provjeriti da li tačka pripada zraku $AB$.

Uslovu da tačka $P$ pripada pravoj $AB$, potrebno je dodati dodatni uslov - vektori $AP$ i $AB$ su kosmjerni, odnosno kolinearni i njihov skalarni proizvod je nenegativan, to jest, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Pripadnost tačke segmentu

Neka su data tačka $P$ i segment $AB$. Potrebno je provjeriti da li tačka pripada segmentu $AB$.

U ovom slučaju, tačka mora pripadati i zraku $AB$ i zraku $BA$, tako da se moraju provjeriti sljedeći uslovi:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Udaljenost od tačke do linije

Neka su data tačka $P$ i prava $AB$ (date sa dve tačke $A$ i $B$). Potrebno je pronaći udaljenost od tačke prave $AB$.

Razmotrimo trougao ABP. S jedne strane, njegova površina je jednaka $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

S druge strane, njegova površina je jednaka $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, gdje je $h$ visina spuštena iz tačke $P$, odnosno udaljenost od $P$ do $ AB$. Gdje je $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Udaljenost od tačke do grede

Neka su data tačka $P$ i zraka $AB$ (definisane sa dve tačke - početak zraka $A$ i tačka na zraku $B$). Potrebno je pronaći rastojanje od tačke do zraka, odnosno dužinu najkraćeg segmenta od tačke $P$ do bilo koje tačke na zraku.

Ovo rastojanje je jednako ili dužini $AP$ ili udaljenosti od tačke $P$ do prave $AB$. Koji od slučajeva se dešava može se lako odrediti relativnim položajem zraka i tačke. Ako je ugao PAB oštar, odnosno $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, onda će odgovor biti udaljenost od tačke $P$ do prave $AB$, u suprotnom odgovor će biti dužina segmenta $AB$.

Udaljenost od tačke do segmenta

Neka su data tačka $P$ i segment $AB$. Potrebno je pronaći rastojanje od $P$ do segmenta $AB$.

Ako osnova okomice spuštene sa $P$ na pravu $AB$ pada na segment $AB$, što se može potvrditi uslovima

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

tada će odgovor biti udaljenost od tačke $P$ do prave $AB$. Inače će udaljenost biti jednaka $\min(AP, BP)$.

Tačkasti proizvod vektora

Nastavljamo da se bavimo vektorima. Na prvoj lekciji Vektori za lutke Razmotrili smo koncept vektora, radnje s vektorima, vektorske koordinate i najjednostavnije probleme s vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu iz tražilice, toplo preporučujem da pročitate gornji uvodni članak, jer da biste savladali gradivo morate biti upoznati s pojmovima i notama koje koristim, imati osnovna znanja o vektorima i biti u stanju da reši osnovne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme iu njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke koji koriste skalarni proizvod vektora. Ovo je VEOMA VAŽNA aktivnost.. Pokušajte da ne preskočite primjere; oni dolaze s korisnim bonusom - praksa će vam pomoći da konsolidirate materijal koji ste pokrili i postanete bolji u rješavanju uobičajenih problema u analitičkoj geometriji.

Sabiranje vektora, množenje vektora brojem.... Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili nešto drugo. Pored radnji o kojima smo već govorili, postoji niz drugih operacija s vektorima, i to: tačkasti proizvod vektora, vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora poznat nam je iz škole, druga dva proizvoda tradicionalno pripadaju predmetu više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je jednostavan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati i riješiti SVE ODJEDNOM. Ovo posebno važi za lutke; vjerujte mi, autor apsolutno ne želi da se osjeća kao Čikatilo iz matematike. Pa ne iz matematike, naravno, ni iz matematike =) Spremniji učenici mogu selektivno koristiti materijale, u određenom smislu, "dobiti" nedostajuće znanje, za tebe ću biti bezopasni grof Drakula =)

Hajde da konačno otvorimo vrata i sa entuzijazmom gledamo šta se dešava kada se dva vektora sretnu...

Definicija skalarnog proizvoda vektora.
Svojstva skalarnog proizvoda. Tipični zadaci

Koncept tačkastog proizvoda

Prvo o ugao između vektora. Mislim da svi intuitivno razumiju koji je ugao između vektora, ali za svaki slučaj, malo više detalja. Razmotrimo slobodne vektore koji nisu nula i . Ako nacrtate ove vektore iz proizvoljne tačke, dobit ćete sliku koju su mnogi mentalno već zamislili:

Priznajem, ovdje sam opisao situaciju samo na nivou razumijevanja. Ako vam je potrebna striktna definicija ugla između vektora, pogledajte udžbenik; za praktične probleme, u principu, nije nam potrebna. Takođe OVDE I OVDE ću zanemariti nulte vektore na mestima zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervisao sam posebno za napredne posetioce sajta koji bi mi mogli zameriti teoretsku nepotpunost nekih kasnijih izjava.

može uzeti vrijednosti od 0 do 180 stepeni (0 do radijana), uključujući. Analitički, ova činjenica je zapisana u obliku dvostruke nejednakosti: ili (u radijanima).

U literaturi se simbol ugla često preskače i jednostavno piše.

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je BROJ jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

Ovo je prilično stroga definicija.

Fokusiramo se na bitne informacije:

Oznaka: skalarni proizvod se označava sa ili jednostavno.

Rezultat operacije je BROJ: Vektor se množi vektorom, a rezultat je broj. Zaista, ako su dužine vektora brojevi, kosinus ugla je broj, tada je njihov proizvod takođe će biti broj.

Samo par primjera za zagrijavanje:

Primjer 1

Rješenje: Koristimo formulu . U ovom slučaju:

odgovor:

Vrijednosti kosinusa se mogu naći u trigonometrijska tabela. Preporučujem da ga odštampate - biće potreban u skoro svim delovima tornja i biće potreban mnogo puta.

Sa čisto matematičke tačke gledišta, skalarni proizvod je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stanovišta problema fizike, skalarni proizvod uvijek ima određeno fizičko značenje, odnosno nakon rezultata mora se navesti jedna ili druga fizička jedinica. Kanonski primjer izračunavanja rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo skalarni proizvod). Rad sile se mjeri u džulima, stoga će odgovor biti napisan sasvim konkretno, na primjer, .

Primjer 2

Pronađite ako , a ugao između vektora je jednak .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, odgovor je na kraju lekcije.

Ugao između vektora i vrijednosti dot proizvoda

U primjeru 1 skalarni proizvod je bio pozitivan, au primjeru 2 negativan. Hajde da saznamo o čemu zavisi predznak skalarnog proizvoda. Pogledajmo našu formulu: . Dužine vektora koji nisu nula su uvijek pozitivne: , tako da predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Da biste bolje razumjeli donje informacije, bolje je proučiti kosinusni graf u priručniku Grafovi funkcija i svojstva. Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već napomenuto, ugao između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako ugao između vektora ljuto: (od 0 do 90 stepeni), zatim , And tačkasti proizvod će biti pozitivan co-directed, tada se kut između njih smatra nula, a skalarni proizvod će također biti pozitivan. Budući da , formula pojednostavljuje: .

2) Ako ugao između vektora tup: (od 90 do 180 stepeni), zatim , i shodno tome, tačkasti proizvod je negativan: . Poseban slučaj: ako su vektori suprotnim pravcima, tada se razmatra ugao između njih proširena: (180 stepeni). Skalarni proizvod je također negativan, jer

Tačne su i suprotne tvrdnje:

1) Ako je , tada je ugao između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su kosmjerni.

2) Ako je , tada je ugao između ovih vektora tup. Alternativno, vektori su u suprotnim smjerovima.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako ugao između vektora ravno: (90 stepeni), onda skalarni proizvod je nula: . Obrnuto je također istinito: ako , onda . Izjava se može sažeto formulirati na sljedeći način: Skalarni proizvod dva vektora je nula ako i samo ako su vektori ortogonalni. Kratka matematička notacija:

! Bilješka : Ponovimo osnove matematičke logike: Ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "ako i samo ako", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz ovoga slijedi ovo." Koja je, inače, razlika od ikone za jednosmjerno praćenje? Ikona navodi samo to, da „iz ovoga slijedi ovo“, a nije činjenica da je suprotno. Na primjer: , ali nije svaka životinja panter, tako da u ovom slučaju ne možete koristiti ikonu. Istovremeno, umjesto ikone Može koristite jednostranu ikonu. Na primjer, rješavajući problem, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav unos će biti ispravan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj ima veliki praktični značaj, jer vam omogućava da provjerite da li su vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva tačkastog proizvoda

Vratimo se na situaciju kada su dva vektora co-directed. U ovom slučaju, kut između njih je nula, , i formula skalarnog proizvoda ima oblik: .

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor poravnat sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor, i označeni su kao .

dakle, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu dužine datog vektora:

Iz ove jednakosti možemo dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora:

Za sada se čini nejasnim, ali ciljevi lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema i nama je potrebno svojstva tačkastog proizvoda.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) – komutativno ili komutativno skalarni zakon proizvoda.

2) – distribucija ili distributivni skalarni zakon proizvoda. Jednostavno, možete otvoriti zagrade.

3) – asocijativni ili asocijativni skalarni zakon proizvoda. Konstanta se može izvesti iz skalarnog proizvoda.

Često, svakakva svojstva (koja takođe treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće, koje samo treba zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se da ono što je ovdje bitno, svi već od prvog razreda znaju da preraspoređivanje faktora ne mijenja proizvod: . Moram vas upozoriti da je u višoj matematici lako zabrljati stvari takvim pristupom. Tako, na primjer, komutativno svojstvo nije tačno za algebarske matrice. To takođe nije tačno za vektorski proizvod vektora. Stoga je, u najmanju ruku, bolje proći kroz sva svojstva na koja naiđete na višem kursu matematike kako biste razumjeli šta se može, a šta ne može.

Primjer 3

.

Rješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. Šta je ovo uopšte? Zbir vektora je dobro definiran vektor, koji se označava sa . Geometrijska interpretacija radnji s vektorima može se naći u članku Vektori za lutke. Isti peršun s vektorom je zbir vektora i .

Dakle, prema uslovu, potrebno je pronaći skalarni proizvod. U teoriji, morate primijeniti radnu formulu , ali problem je što ne znamo dužine vektora i ugao između njih. Ali uvjet daje slične parametre za vektore, pa ćemo krenuti drugim putem:

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Otvaramo zagrade po pravilu množenja polinoma, vulgarnu zverku jezika možete pronaći u članku Kompleksni brojevi ili Integracija razlomno-racionalne funkcije. Neću se ponavljati =) Inače, distributivno svojstvo skalarnog proizvoda nam omogućava da otvorimo zagrade. Imamo pravo.

(3) U prvom i posljednjem pojmu kompaktno zapisujemo skalarne kvadrate vektora: . U drugom terminu koristimo komutabilnost skalarnog proizvoda: .

(4) Predstavljamo slične pojmove: .

(5) U prvom terminu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je nedavno spomenuta. U zadnjem mandatu, shodno tome, radi ista stvar: . Proširujemo drugi član prema standardnoj formuli .

(6) Zamijenite ove uslove , i PAŽLJIVO izvršite završne proračune.

odgovor:

Negativna vrijednost skalarnog proizvoda navodi činjenicu da je ugao između vektora tup.

Problem je tipičan, evo primjera da ga sami riješite:

Primjer 4

Naći skalarni proizvod vektora i ako je to poznato .

Sada još jedan uobičajeni zadatak, samo za novu formulu za dužinu vektora. Ovdje će se notacija malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Pronađite dužinu vektora if .

Rješenje bit će kako slijedi:

(1) Dostavljamo izraz za vektor .

(2) Koristimo formulu dužine: , a cijeli izraz ve djeluje kao vektor “ve”.

(3) Za kvadrat zbira koristimo školsku formulu. Zapazite kako to ovdje funkcionira na čudan način: – u stvari, to je kvadrat razlike, i, zapravo, to je tako. Oni koji žele mogu da preurede vektore: - dešava se isto, do prestrojavanja pojmova.

(4) Ono što slijedi već je poznato iz dva prethodna problema.

odgovor:

Budući da govorimo o dužini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Pronađite dužinu vektora if .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nastavljamo da cijedimo korisne stvari iz točkastog proizvoda. Pogledajmo ponovo našu formulu . Koristeći pravilo proporcije, vraćamo dužine vektora na nazivnik lijeve strane:

Zamenimo delove:

Šta je značenje ove formule? Ako su poznate dužine dva vektora i njihov skalarni proizvod, tada se može izračunati kosinus ugla između ovih vektora, a samim tim i sam ugao.

Da li je tačkasti proizvod broj? Broj. Da li su vektorske dužine brojevi? Brojevi. To znači da je i razlomak broj. A ako je poznat kosinus ugla: , tada je pomoću inverzne funkcije lako pronaći sam ugao: .

Primjer 7

Pronađite ugao između vektora i ako je poznato da je .

Rješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi proračuna korišćena je tehnička tehnika - eliminisanje iracionalnosti u nazivniku. Da bih eliminisao iracionalnost, pomnožio sam brojilac i imenilac sa .

Sta ako , To:

Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija mogu se pronaći pomoću trigonometrijska tabela. Iako se to retko dešava. U problemima analitičke geometrije mnogo češće neki nespretni medvjed poput , a vrijednost ugla se mora pronaći približno pomoću kalkulatora. Zapravo, takvu sliku ćemo vidjeti više puta.

odgovor:

Opet, ne zaboravite navesti dimenzije - radijane i stupnjeve. Lično, da bih očigledno „riješio sva pitanja“, radije naznačim oba (osim ako uslov, naravno, ne zahtijeva da se odgovor prikaže samo u radijanima ili samo u stepenima).

Sada se možete samostalno nositi sa složenijim zadatkom:

Primjer 7*

Date su dužine vektora i ugao između njih. Pronađite ugao između vektora , .

Zadatak nije toliko težak koliko je u više koraka.
Pogledajmo algoritam rješenja:

1) Prema uvjetu, trebate pronaći kut između vektora i , tako da trebate koristiti formulu .

2) Pronađite skalarni proizvod (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odrediti dužinu vektora i dužinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Završetak rješenja poklapa se s primjerom br. 7 - znamo broj, što znači da je lako pronaći sam ugao:

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Drugi dio lekcije posvećen je istom skalarnom proizvodu. Koordinate. Biće još lakše nego u prvom delu.

Tačkasti proizvod vektora,
dat koordinatama u ortonormalnoj bazi

odgovor:

Nepotrebno je reći da je rad s koordinatama mnogo ugodniji.

Primjer 14

Pronađite skalarni proizvod vektora i if

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne računajte, već odmah izvadite trojku izvan skalarnog proizvoda i pomnožite je s njom zadnji. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Na kraju odjeljka, provokativan primjer za izračunavanje dužine vektora:

Primjer 15

Pronađite dužine vektora , Ako

Rješenje: Metoda iz prethodnog odjeljka se ponovo sugerira: ali postoji još jedan način:

Nađimo vektor:

I njegova dužina prema trivijalnoj formuli :

Tačkasti proizvod ovdje uopće nije relevantan!

Također nije korisno kada se izračunava dužina vektora:
Stani. Zar ne bismo trebali iskoristiti prednost očigledne osobine dužine vektora? Šta možete reći o dužini vektora? Ovaj vektor je 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali to nije bitno, jer govorimo o dužini. Očigledno, dužina vektora je jednaka proizvodu modul brojevi po dužini vektora:
– znak modula “jede” mogući minus broja.

ovako:

odgovor:

Formula za kosinus ugla između vektora koji su specificirani koordinatama

Sada imamo potpunu informaciju da izrazimo prethodno izvedenu formulu za kosinus ugla između vektora kroz koordinate vektora:

Kosinus ugla između ravnih vektora i , specificirano u ortonormalnoj bazi, izraženo formulom:
.

Kosinus ugla između vektora prostora, specificirano na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Primjer 16

Zadana tri vrha trougla. Pronađi (vrhinski ugao).

Rješenje: Prema uslovima, crtež nije obavezan, ali ipak:

Potreban ugao je označen zelenim lukom. Sjetimo se odmah školske oznake ugla: – posebna pažnja na prosjek slovo - ovo je vrh ugla koji nam je potreban. Radi sažetosti, možete jednostavno napisati .

Iz crteža je sasvim očigledno da se ugao trokuta poklapa sa uglom između vektora i, drugim rečima: .

Preporučljivo je naučiti mentalno izvršiti analizu.

Nađimo vektore:

Izračunajmo skalarni proizvod:

I dužine vektora:

Kosinus ugla:

Upravo to je redoslijed izvršavanja zadatka koji preporučujem lutkama. Napredniji čitaoci mogu da napišu izračune "u jednom redu":

Evo primjera “loše” vrijednosti kosinusa. Dobijena vrijednost nije konačna, tako da nema smisla da se riješimo iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo sam ugao:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru, ugao se također može izmjeriti kutomjerom. Nemojte oštetiti poklopac monitora =)

odgovor:

U odgovoru to ne zaboravljamo pitao o uglu trougla(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti tačan odgovor: i približnu vrijednost ugla: , pronađen pomoću kalkulatora.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati uglove i provjeriti valjanost kanonske jednakosti

Primjer 17

Trokut je definiran u prostoru koordinatama njegovih vrhova. Pronađite ugao između stranica i

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Kratak završni dio bit će posvećen projekcijama, koje također uključuju skalarni proizvod:

Projekcija vektora na vektor. Projekcija vektora na koordinatne ose.
Kosinus smjera vektora

Razmotrimo vektore i :

Projektujmo vektor na vektor; da bismo to učinili, izostavljamo početak i kraj vektora okomite u vektor (zelene isprekidane linije). Zamislite da zraci svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti “sjena” vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DUŽINA segmenta. To jest, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ se označava na sljedeći način: , “veliki vektor” označava vektor KOJI projekta, “mali indeksni vektor” označava vektor ON koji je projektovan.

Sam unos glasi ovako: "projekcija vektora "a" na vektor "be"."

Šta se dešava ako je vektor "be" "prekratak"? Crtamo pravu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor “a” će već biti projektovan u smjeru vektora "biti", jednostavno - na pravu liniju koja sadrži vektor “be”. Ista stvar će se dogoditi ako se vektor “a” odloži u tridesetom kraljevstvu – i dalje će se lako projektovati na pravu liniju koja sadrži vektor “be”.

Ako je ugao između vektora ljuto(kao na slici), onda

Ako vektori ortogonalno, zatim (projekcija je tačka čije se dimenzije smatraju nultim).

Ako je ugao između vektora tup(na slici mentalno preuredite vektorsku strelicu), zatim (iste dužine, ali uzeto sa znakom minus).

Hajde da nacrtamo ove vektore iz jedne tačke:

Očigledno, kada se vektor kreće, njegova projekcija se ne mijenja

Definicija 1

Skalarni proizvod vektora je broj jednak proizvodu dina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.

Zapis za proizvod vektora a → i b → ima oblik a → , b → . Pretvorimo to u formulu:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → i b → označavaju dužine vektora, a → , b → ^ - oznaka ugla između datih vektora. Ako je barem jedan vektor nula, odnosno ima vrijednost 0, tada će rezultat biti jednak nuli, a → , b → = 0

Kada množimo vektor sam po sebi, dobijamo kvadrat njegove dužine:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definicija 2

Skalarno množenje vektora samo po sebi naziva se skalarni kvadrat.

Izračunato po formuli:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Zapis a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → pokazuje da je n p b → a → numerička projekcija a → na b → , n p a → a → - projekcija b → na a →, respektivno.

Formulirajmo definiciju proizvoda za dva vektora:

Skalarni proizvod dva vektora a → po b → naziva se proizvod dužine vektora a → projekcijom b → smjerom a → ili proizvod dužine b → projekcijom a →, respektivno.

Točkasti proizvod u koordinatama

Skalarni proizvod se može izračunati korišćenjem koordinata vektora u datoj ravni ili u prostoru.

Skalarni proizvod dva vektora na ravni, u trodimenzionalnom prostoru, naziva se zbir koordinata datih vektora a → i b →.

Prilikom izračunavanja skalarnog proizvoda datih vektora a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) na ravni u Dekartovom sistemu, koristite:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

za trodimenzionalni prostor je primenljiv izraz:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z.

Zapravo, ovo je treća definicija skalarnog proizvoda.

Dokažimo to.

Dokazi 1

Da bismo to dokazali, koristimo a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y za vektore a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) na kartezijanskom sistemu.

Vektore treba ostaviti po strani

O A → = a → = a x, a y i O B → = b → = b x, b y.

Tada će dužina vektora A B → biti jednaka A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Razmotrimo trougao O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) je tačan na osnovu kosinusne teoreme.

Prema uslovu, jasno je da je O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , što znači da formulu za nalaženje ugla između vektora pišemo drugačije

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Tada iz prve definicije slijedi da je b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , što znači (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Primjenom formule za izračunavanje dužine vektora dobijamo:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Dokažimo jednakosti:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– za vektore trodimenzionalnog prostora.

Skalarni proizvod vektora sa koordinatama govori da je skalarni kvadrat vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata u prostoru i na ravni. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) i (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Tačkasti proizvod i njegova svojstva

Postoje svojstva tačkastog proizvoda koja se odnose na a →, b → i c →:

1. komutativnost (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivnost (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. kombinativno svojstvo (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - bilo koji broj;
4. skalarni kvadrat je uvijek veći od nule (a → , a →) ≥ 0, gdje je (a → , a →) = 0 u slučaju kada je a → nula.

Primjer 1

Svojstva su objašnjiva zahvaljujući definiciji skalarnog proizvoda na ravni i svojstvima sabiranja i množenja realnih brojeva.

Dokazati komutativno svojstvo (a → , b →) = (b → , a →) . Iz definicije imamo da je (a → , b →) = a y · b y + a y · b y i (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Po svojstvu komutativnosti, jednakosti a x · b x = b x · a x i a y · b y = b y · a y su tačne, što znači a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Iz toga slijedi da je (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivnost vrijedi za sve brojeve:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

i (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

dakle imamo

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Točkasti proizvod s primjerima i rješenjima

Svaki problem ove vrste rješava se korištenjem svojstava i formula koje se odnose na skalarni proizvod:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ili (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Pogledajmo neke primjere rješenja.

Primjer 2

Dužina a → je 3, dužina b → je 7. Nađite tačkasti proizvod ako je ugao 60 stepeni.

Rješenje

Po uslovu imamo sve podatke, pa ih izračunavamo po formuli:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odgovor: (a → , b →) = 21 2 .

Primjer 3

Dati vektori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Šta je skalarni proizvod?

Rješenje

Ovaj primjer razmatra formulu za izračunavanje koordinata, budući da su one navedene u iskazu problema:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odgovor: (a → , b →) = - 9

Primjer 4

Pronađite skalarni proizvod A B → i A C →. Na koordinatnoj ravni date su tačke A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Rješenje

Za početak izračunavaju se koordinate vektora, budući da su pod uslovom date koordinate tačaka:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Zamjenom u formulu koristeći koordinate, dobijamo:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Odgovor: (A B → , A C →) = 28 .

Primjer 5

Dati vektori a → = 7 · m → + 3 · n → i b → = 5 · m → + 8 · n → , pronađite njihov proizvod. m → jednako 3 i n → jednako 2 jedinice, oni su okomiti.

Rješenje

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Primjenom svojstva distributivnosti dobijamo:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Izvadimo koeficijent iz predznaka proizvoda i dobijemo:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Svojstvom komutativnosti transformiramo:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Kao rezultat dobijamo:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Sada primjenjujemo formulu za skalarni proizvod sa uglom određenim uslovom:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Odgovor: (a → , b →) = 411

Ako postoji numerička projekcija.

Primjer 6

Pronađite skalarni proizvod a → i b →. Vektor a → ima koordinate a → = (9, 3, - 3), projekciju b → sa koordinatama (- 3, - 1, 1).

Rješenje

Pod uslovom, vektori a → i projekcija b → su suprotno usmereni, jer a → = - 1 3 · n p a → b → → , što znači da projekcija b → odgovara dužini n p a → b → → , a sa „ -” znak:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Zamjenom u formulu dobijamo izraz:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Odgovor: (a → , b →) = - 33 .

Zadaci s poznatim skalarnim proizvodom, gdje je potrebno pronaći dužinu vektora ili numeričke projekcije.

Primjer 7

Koju vrijednost λ treba uzeti za dati skalarni proizvod a → = (1, 0, λ + 1) i b → = (λ, 1, λ) će biti jednako -1.

Rješenje

Iz formule je jasno da je potrebno pronaći zbir proizvoda koordinata:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

S obzirom da imamo (a → , b →) = - 1 .

Da bismo pronašli λ, izračunavamo jednačinu:

λ 2 + 2 · λ = - 1, dakle λ = - 1.

Odgovor: λ = - 1.

Fizičko značenje skalarnog proizvoda

Mehanika razmatra primenu tačkastog proizvoda.

Kada A radi sa konstantnom silom F → telo koje se kreće od tačke M do N, možete pronaći proizvod dužina vektora F → i M N → sa kosinusom ugla između njih, što znači da je rad jednak na proizvod vektora sile i pomaka:

A = (F → , M N →) .

Primjer 8

Kretanje materijalne tačke za 3 metra pod uticajem sile od 5 Ntona usmereno je pod uglom od 45 stepeni u odnosu na osu. Pronaci.

Rješenje

Pošto je rad proizvod vektora sile i pomaka, to znači da na osnovu uslova F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, dobijamo A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Odgovor: A = 15 2 2 .

Primjer 9

Materijalna tačka, koja se kreće od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod dejstvom sile F → = (3, 1, 2), radila je jednaka 13 J. Izračunajte dužina kretanja.

Rješenje

Za date vektorske koordinate M N → imamo M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Koristeći formulu za pronalaženje rada sa vektorima F → = (3, 1, 2) i M N → = (3, 3 λ - 1, 7), dobijamo A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Prema uslovu, dato je da je A = 13 J, što znači 22 + 3 λ = 13. Ovo implicira λ = - 3, što znači M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Da biste pronašli dužinu kretanja M N →, primijenite formulu i zamijenite vrijednosti:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Odgovor: 158.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Povratak